Đề thi chọn HSG tỉnh toán 12 năm 2017 2018 sở GD đt quảng bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 22 tháng năm 2018 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Họ tên:………………… LỚP 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang SỐ BÁO DANH:…………… Câu (2.0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  x , biết khoảng cách từ tâm x 1 đối xứng đồ thị  C  đến tiếp tuyến lớn Câu (2.0 điểm) x  y3  y  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x  x  y  y  xy  xy  Câu (2.0 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn: x  x  log e a Cho I n   ln n x.dx (n  * ) , chứng minh rằng: I n 1  e   n  1 I n  b Tính tích phân sau: I   ln   tan x dx Câu (3.0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Giả sử  P  mặt phẳng qua hai điểm A , K cắt cạnh SB, SD M , N ( M , N không trùng S ) a Chứng minh rằng: SB SD   SM SN b Gọi V1 V theo thứ tự thể tích khối chóp S AMKN S ABCD Xác định vị trí mặt phẳng  P  để tỷ số V1 đạt giá trị lớn V Câu (1.0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm, thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a2 b2 c2    2 b 1 c 1 a 1 -hÕt - SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 22 tháng năm 2018 Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM LỚP 12 THPT Đáp án gồm có 05 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất Câu Nội dung x , biết x 1 khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị  C  đến tiếp tuyến lớn Điểm Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y   Gọi M  x0 ;  x0   , x0  tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị  C  , tiếp x0    tuyến  C  M  x0 ;  y  x0  1 x  x0    x0   : x0   Mà 0,50 x0  x   x0  1 y  x02  ( ) x0  Và tâm đối xứng  C  I 1;1 Khi đó:   x0  1  x02 (2,0 điểm) x0  d  I;   4   x0  1   x0  1  2,0 0,50 2   x0  1  x0  1 2  d  I;  2   x0  1   x0  1 x   x0    x0  1    Dấu ‘‘=’’ xảy chi x0   x0  Với x0  tiếp tuyến cần tìm là: y   x Với x0  tiếp tuyến cần tìm là: y   x  0,50 0,50 Cho số thực dương x, y thỏa mãn: x  x  log x  y3  y  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x3  x  y  y  xy  xy  x Ta có: x  x  log  y  y  y  x  x  log x   y   y  log  y  * Xét hàm số: f (t )  t  t  log t , t  , ta có: f '(t )  3t    0, t  t ln Do f (t ) hàm đồng biến (0;  ) Khi  *   f  x   f  y   x  y Khi đó, ta có: P   x3  x  y  y  xy  xy  (2,0 điểm) 0,25  y  12 y  y  Xét hàm số P( y )  y  12 y  y  4, y  , ta có: P '( y )  16 y  36 y  18 y 3 P '( y )   16 y  36 y  18 y   y  0, y  , y  Bảng biến thiên P ' y  +  0,25  + 337 64 P y 0,25 0,5  8 y  y  y  y  y  y  y 2,0 0,5  4 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: P  4, x  3, y  x , y 0 0,25 e a Cho I n   ln n x.dx (n  * ) , chứng minh rằng: I n 1  e   n  1 I n 1,0 e e Ta có: I n   ln n x.dx (n  * )  I n1   ln n 1 x.dx (n  Z  ) 0,25 Đặt: u  ln n1 x  du   n  1 ln n x.dx x dv  dx  v  x (2,0 điểm) e e Khi đó: I n 1   ln n 1 x.dx  x.ln  e   n  1 I n n 1 0,25 e x   n  1  ln n x.dx 1 0,5  1,0 b Tính tích phân sau: I   ln   tan x dx C Đặt x    t  dx  dt Đổi cận: x   t    4  ,x   t 0 0,25  Khi đó: I   ln   tan x dx   ln 1  tan   t  dt  4  0   tan t   ln     tan t   4 dt  ln    0   tan t  dt      ln 2dt   ln   tan t dt  0,25   4 ln   ln   tan x dx 0,25  Vậy I   ln   tan x dx   0,25 ln Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Giả sử  P  mặt phẳng qua hai điểm A , K cắt cạnh SB, SD M , N ( M , N 3,0 không trùng S ) a Chứng minh rằng: SB SD   SM SN 1,5 S K (3,0 điểm) N 0,5 I M D C O A B Gọi O  AC  BD, I  SO  AK Qua I dựng đường thẳng d cho d cắt cạnh SB, SD M , N 1 Ta có: VS ADC  VS ABC  VS ABD  VS CBD  VS ABCD  V 2 VS ANK SN SK SN SN SN    VS ANK  VS ADC  V VS ADC SD SC SD SD SD Tương tự SM SM SN V SM SN V VS AMK  V , VS AMN  , VS MNK  SB SB SD SB SD Do đó: VS AMKN  VS ANK  VS AMK  VS AMN  VS KMN SN SM SM SN V SM SN V SM SN 3V  V V    SD SB SB SD SB SD SB SD SB SD SM SN V    (Chia vế cho ) SM SN SB SD b Gọi V1 V theo thứ tự thể tích khối chóp S AMKN Khi đó: S ABCD Xác định vị trí mặt phẳng  P  để tỷ số V1 đạt giá trị V 0,5 0.5 1,5 lớn Đặt SM SN  x,  y;   x, y   SB SD Theo câu a ta có: V1  x y V  xy V  x  y  xy x  x  (do y  ) 3x  SN x 1   x   (do x   ) suy x  y  SD 3x  Do  x  V xy 3x 3x  ; x   ;1  Ta có  Đặt f ( x)  V 4  3x    3x   2  3(3 x  x) ; f '( x)   x  0; x  Tính f '( x)  4(3x  1) Bảng biến thiên: y x f ' x 2  f  x 0,5 0,5  8 Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  x 1 M  B V1 SM có giá trị lớn  x    V  SB Vậy mặt phẳng  P  trùng với mặt phẳng  ABK  mặt phẳng  P  qua AK trung điểm SB 0,5 Cho a, b, c số thực không âm, thỏa mãn a  b  c  Chứng a2 b2 c2    b 1 c 1 a 1 minh rằng: 1,0 Ta có : 2 +)  (a  b  c)  3(a  b  c )  a  b  c  +) a  b2  c    a 2b  b c  c a  0,25 a b2 c  a  b  c  ; m, n, p  +)    m n p mn p Khi đó: a2 b2 c2 a4 b4 c4 S      b  c2  a  a  b2   b2  c2   c2  a   (1,0 điểm) Nên  a  b2  c  2 a2  b2  c2   S 2  a b  b2c  c a  a  b  c 2 a  b2  c   a  b2  c  0,25 Đặt t  a  b  c  ta được: S t2 t t Do f '(t )   3t  f (t ), t   3;   t 3  0, t   3;   (t  3) 0,25 suy hàm số đồng biến t   3;   Từ đây: S  f (t )  f (3)  Dấu “=” xảy t  hay a  b  c  0,25 ...SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 22 tháng năm 2018 Mơn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM LỚP 12 THPT Đáp án gồm có 05 trang YÊU CẦU CHUNG *... điểm) 0,25  y  12 y  y  Xét hàm số P( y )  y  12 y  y  4, y  , ta có: P '( y )  16 y  36 y  18 y 3 P '( y )   16 y  36 y  18 y   y  0, y  , y  Bảng biến thi? ?n P ' y  +...  x) ; f '( x)   x  0; x  Tính f '( x)  4(3x  1) Bảng biến thi? ?n: y x f ' x 2  f  x 0,5 0,5  8 Dựa vào bảng biến thi? ?n, ta có:  x 1 M  B V1 SM có giá trị lớn  x    V  SB