GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT

NGUYỄN THÚC AN - NGUYỄN ĐÌNH CHIỀU - KHỔNG DỖN ĐIỀN GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT NHÀ XUẤT BẢN XÂY DỰNG THÔNG TIN TÁC GIẢ A Tác giả giáo trình: Lý thuyết dao động GS.TS Nguyễn Thúc An - Năm sinh: 25/02/1939 - Nguyên quán: Xã Tảo Dương văn, huyện Ứng hòa, Hà nội - Trú quán: Phòng 101 nhà tập thể trường Đại học Thủy lợi - Điện Thoại: 04.38533673 - Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi PGS.TS Nguyễn Đình Chiều - Năm sinh: 19/9/1946 - Nguyên quán: Xã Yên Nam huyện Duy Tiên tỉnh Hà nam - Trú quán: 515 Nguyễn Tam Trinh quận Hai Bà trưng, Hà nội - Điện Thoại: 04.36241860 - Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi PGS.TS Khổng Doãn Điền - Năm sinh: 08/10/1946 - Nguyên quán: Phường Bạch hạc thành phố Việt trì, tỉnh Phú thọ - Trú quán: Tập thể trường Đại học Thủy lợi, Đống Đa, Hà nội - Điện Thoại: 38528515 - Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi B Phạm vi đối tượng sử dụng: Ngành học: Kỹ thuật cơng trình, Cơng nghệ kỹ thuật xây dựng, Thủy điện lượng tái tạo, Kỹ thuật tài nguyên nước, Kỹ thuật khí, Thủy văn, Kỹ thuật bờ biển Trường học: Đại học Thủy lợi Từ khóa: Cơ học, Cơ lý thuyết Yêu cầu kiến thức: Toán cao cấp Số lần xuất bản: 01 Nhà xuất bản: NXB Xây dựng LỜI NĨI ĐẦU Trong 40 năm qua, giáo trình Cơ học lý thuyết dùng để giảng dạy học tập Trường Đại học Thuỷ lợi biên soạn nhiều lần Chất lượng in thời kỳ có khác nhau, nội dung đảm bảo cho giảng dạy học tập, đáp ứng yêu cầu đào tạo chương trình khung Hội đồng Ngành Cơ học Bộ Đại học Trung học chuyên nghiệp trước đây, Bộ Giáo dục Đào tạo Lần in năm 1977, chương trình có tới 20 chương, nhiều năm liền sinh viên Trường Đại học Thuỷ lợi học theo chương trình đầy đủ Qua nhiều lần cải cách, chương trình bị rút bớt gần theo chương trình khung Hội đồng Ngành Xây dựng, khơng cịn dạy nội dung: Chuyển động vật rắn có điểm cố định, chuyển động vật rắn tự do, Hợp chuyển động vật rắn, động lực học vật rắn, lý thuyết va chạm, … rút gọn cách trình bày phần Tĩnh học Để thuận tiện cho sinh viên có nguyện vọng học đầy đủ nâng cao, đồng thời đáp ứng u cầu tình hình mới, chúng tơi biên soạn lại giáo trình Cơ học lý thuyết, có chương khơng có chương trình khung (như Chương V phần thứ Phần phụ lục), theo chúng tơi, có chương trình đầy đủ Cách xếp phần không đáp ứng cho tất ngành, chia theo chương trình học ngành học đầy đủ Phân công trách nhiệm viết phần sau: - PGS TS Khổng Doãn Điền viết Chương: I, II, III phần thứ nhất; Phần mở đầu, Chương I, II, III, IV phần thứ hai GS Nguyễn Thúc An viết Chương II phần Một vài Nguyên lý Cơ học - PGS TS Nguyễn Đình Chiều viết Chương V phần thứ hai; Chương I, II phần thứ ba Chương I, III phần phụ lục - GS TS Nguyễn Thúc An viết Chương I PGS Khổng Doãn Điền viết Chương II phần Một vài Nguyên lý Cơ học; Chương II phần phụ lục Tập thể tác giả chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Đông Anh GS TS Nguyễn Văn Phó ý kiến đóng góp quý báu trình biên soạn giáo trình Chúng tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp người học Cảm ơn Th.S Nguyễn Ngọc Hun đóng góp cơng sức vào hình thức thể giáo trình Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2007 Các tác giả MỞ ĐẦU Cơ học lý thuyết môn học sở Khoa học kỹ thuật đại, Khoa học nghiên cứu quy luật tổng quát chuyển động cân chuyển động vật thể Trong Cơ học lý thuyết, ta hiểu chuyển động thay đổi vị trí vật thể khơng gian theo thời gian, cịn vật thể biểu diễn dạng mơ hình chất điểm hệ Cơ học lý thuyết xây dựng theo phương pháp tiên đề, tức dựa vào số khái niệm hệ tiên đề Niutơn, suy diễn toán học lơgíc mà suy kết Người ta gọi Cơ học cổ điển hay Cơ học Niutơn, nghiên cứu chuyển động với vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng vật thể vĩ mơ, tức vật thể có kích thước lớn kích thước nguyên tử nhiều Trên sở toán nghiên cứu, Cơ học lý thuyết chia làm ba phần: Tĩnh học, Động học Động lực học Phần tĩnh học, nghiên cứu trạng thái cân vật rắn tác dụng lực đặt lên vật Phần động học khảo sát chuyển động chất điểm hay vật rắn phương diện hình học mà khơng xét đến ngun nhân gây chuyển động Phần động lực học nghiên cứu quy luật chuyển động chất điểm hệ tác dụng lực Cơ học lý thuyết có vai trị ý nghĩa lớn Nó khơng sở khoa học nhiều lĩnh vực Khoa học kỹ thuật đại, mà quy luật phương pháp nghiên cứu học lý thuyết cho phép ta tìm hiểu giải thích tượng tự nhiên giới xung quanh ta Đối với Trường Đại học kỹ thuật nói chung Trường Đại học Thuỷ lợi nói riêng, Cơ học lý thuyết mơn học quan trọng sở cho nhiều môn học khác, Sức bền vật liệu, Nguyên lý máy, Thuỷ lực, Bê tông cốt thép, Thuỷ năng, Thi công, Để học tốt môn học, cần phải nắm sở giải tích tốn học, hình học giải tích, Đại số cao cấp, phương pháp vi phân Ngồi ra, kiến thức hình học đại số sơ cấp, lượng giác phải nắm thật vững Lịch sử phát triển Cơ học lý thuyết gắn liền với với phát triển sản xuất, q trình lâu dài Từ xa xưa, để xây dựng cơng trình vĩ đại Kim tự tháp Ai cập, người ta dùng kinh nghiệm tích lũy học để chuyên chở hay đưa vật nặng lên cao công cụ đơn giản như: Xe trượt, lăn đòn bẩy, mặt phẳng nghiêng, Sự chuyển tiếp từ hiểu biết đơn kinh nghiệm dẫn đến việc thiết lập quy luật chung học địi hỏi thời gian dài tích luỹ dần tài liệu thực tế phong phú kết quan sát, kinh nghiệm hoạt động sản xuất người Nhà thuỷ tổ Cơ học lý thuyết (phần tĩnh học) Ácximét (287-212 TCN), giải nhiều vấn đề học như: Xét điều kiện cân đòn, xây dựng lý thuyết trọng tâm, sức đẩy nước lên vật đặt nước nhiều phát minh kỹ thuật Quân Dưới thời trung cổ, học môn học khác bị đình trệ kìm hãm thống trị hà khắc chế độ phong kiến thần học Nhà hoạ sĩ nhà Vật lý học người Ý tên Lê-ô-na Đờvanhxi (1452-1513) người dùng tốn học học Ơng nghiên cứu tượng ma sát Máy, trượt vật mặt phẳng nghiêng đưa khái niệm mơmen lực Cơpécních (1473-1543) lập lý thuyết “mặt trời trung tâm”, lật đổ lý thuyết “trái đất trung tâm” đóng góp cho lịch sử phát triển cho lịch sử học Kêple (1571-1630) tìm ba định luật tiếng chuyển động Galilê (1564-1642) đưa khái niệm vận tốc, gia tốc giải xác vấn đề chuyển động viên đạn, đặt móng cho phần động lực học Nhà Tốn học Cơ học tiếng người Anh Ixac Niutơn (1643-1727) có cơng lớn việc xây dựng hồn chỉnh sở Cơ học cổ điển; đó, ông lập định luật xuất phát từ định luật ơng trình bày phần động lực học cách có hệ thống Ngồi ơng cịn tìm định luật vạn vật hấp dẫn người lập môn Cơ học Sau nhà tốn học Ơle (1707-1783) dùng giải tích để nghiên cứu học cách triệt để hơn, phương pháp nghiên cứu học giải tích phát triển nhờ cơng trình nghiên cứu Lagrăng (1736-1813) Nhà khoa học người Pháp Đalămbe (1717-1813) dựa nguyên lý di chuyển ảo Bécnulli, đưa nguyên lý tiếng mang tên ơng Ngồi ra, nhà khoa học Pháp Laplas, Pốtxơng nhà khoa học Đức Gaoxơ, Écxơ đóng góp nhiều cơng trình giá trị cho phát triển học giải tích Vào kỷ 19 phát triển nhanh chóng khoa học kỹ thuật, để đáp ứng yêu cầu thực dụng, môn Cơ học kết cấu đời Vào kỷ 20, công nghiệp ngành hàng không phát triển nên môn Đàn hồi, thuỷ khí động lực có bước phát triển mạnh Nhà khoa học người Nga Jucốpski (1847-1921) người có giả thiết táo bạo ngành du hành vũ trụ coi thuỷ tổ ngành hàng không Nga Do thành tựu sáng lạn ngành Vật lý vào nửa kỷ 19, đầu kỷ 20 Môn Cơ học tương đối nhà khoa học thiên tài người Đức Anhxtanh đời, làm đảo lộn quy luật Cơ học cổ điển, phủ định khái niệm không gian thời gian tuyệt đối, khối lượng không đổi, mở cho Cơ học bước tiến nhảy vọt Nhưng phải nhấn mạnh rằng: Cơ học cổ điển khơng ý nghĩa vật lý Các tính toán kỹ thuật, thiên văn học vào định luật học cổ điển Tính tốn cho biết rằng: Khi vật chất chuyển động với vận tốc gần vận tốc ánh sáng (300.000 Km/s) kết đạt học cổ điển khác so với kết đạt học tương đối PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC Tĩnh học phần đầu giáo trình Cơ học lý thuyết Nội dung chủ yếu phần khảo sát trạng thái cân vật rắn tác dụng hệ lực đặt lên Để nghiên cứu vấn đề ta giải hai toán sau: Thu gọn hệ lực đặt lên vật rắn Tìm điều kiện cân hệ lực đặt lên vật rắn CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN - HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT 1.1 Các khái niệm Trong tĩnh học có ba khái niệm là: Lực, vật rắn tuyết đối trạng thái cân vật rắn 1.1.1 Lực Khái quát hóa kinh nghiệm thực nghiệm tác dụng vật thể, người ta xây dựng khái niệm lực Lực đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hỗ vật thể Tác dụng lực đặc trưng ba yếu tố: • Điểm đặt lực: Là phần tử vật chất thuộc vật chịu tác dụng, tác dụng học mà ta nói đến truyền sang vật • Phương, chiều tác dụng lực • Cường độ tác dụng lực (cịn gọi mơđun ur F lực) B Đơn vị lực thường dùng niutơn, ký hiệu N Từ ba yếu tố đặc trưng cho lực ta thấy lực đại uur uur uur lượng véctơ, ký hiệu F , P , R A Hình 1-1 Véctơ lực véctơ buộc Đường thẳng chứa véctơ lực gọi giá lực hay đường tác dụng lực 1.1.2 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối vật thể mà khoảng cách hai điểm thuộc vật không thay đổi tác dụng học Thường thực tế, tác dụng học, vật rắn biến dạng, ta gọi vật rắn tuyệt đối hai lý sau: − Biến dạng xảy vật rắn bé, khơng ảnh hưởng đến kết tính tốn kỹ thuật, sai số cho phép − Quan niệm toán đơn giản Từ sau, ta gọi vật rắn tuyệt đối vật rắn, khơng nói thêm 1.1.3 Trạng thái cân vật rắn Vật rắn trạng thái cân vật rắn đứng yên hay chuyển động tịnh tiến thẳng so với hệ quy chiếu Trong tĩnh học, vật rắn trạng thái cân vật rắn đứng yên so với hệ quy chiếu gắn liền với trái đất Chuyển động tịnh tiến thẳng vật rắn chuyển động mà điểm thuộc vật chuyển động thẳng với vận tốc không đổi 1.1.4 Một số định nghĩa khác a Hệ lực Hệ lực tập hợp lực tác dụng lên vật rắn uur uur uur Giả sử vật rắn chịu tác dụng lực: F1 , F2 , , Fn , ta ký hiệu hệ lực tác dụng lên uur uur uur vật rắn là: F1 , F2 , , Fn ( ) b Hệ lực tương đương Hai hệ lực gọi tương đương với chúng có tác dụng học vật rắn uur uur uur ur uur uur Hai hệ lực F1 , F2 , , Fn P1 , P2 , , Pm tương đương với ký hiệu uur uur uur ur uur uur sau: F1 , F2 , , Fn P1 , P2 , , Pm ( ( ) ( ) ( ) ) c Hợp lực hệ lực Hợp lực hệ lực lực tương đương với ur hệ lực Gọi R hợp lực hệ lực ur uur uur uur R F1 , F2 , , Fn ( ) uur uur uur ( F , F , , F ) n ta viết: d Hệ lực cân Hệ lực cân hệ lực tác dụng lên vật rắn mà không làm thay đổi trạng thái chuyển động mà vật có chưa tác dụng hệ lực Giả sử hệ uur uur uur lực F1 , F2 , , Fn tác dụng lên vật rắn đứng yên, vật rắn trạng thái đứng yên, uur uur uur uur uur uur ta ta nói hệ lực F1 , F2 , , Fn cân ký hiệu là: F1 , F2 , , Fn ( ) ( ) ( ) Hệ lực cân cịn gọi hệ lực tương đương với khơng e Hệ quy chiếu Trong Cơ học lý thuyết để khảo sát chuyển động vật thể, ta phải so sánh vị trí với vị trí vật thể khác mà ta coi đứng yên Vật dùng để so sánh gọi vật quy chiếu, hệ toạ độ gắn với vật quy chiếu gọi hệ quy chiếu Thường thực tế, người ta chọn hệ tọa độ đề vng góc gắn liền với trái đất làm hệ quy chiếu 1.2 Hệ tiên đề tĩnh học Tiên đề mệnh đề phát biểu cơng nhận tính chất khái niệm bản, điều hiển nhiên có thực tiễn kiểm nghiệm mà rút Dưới ta trình bày tiên đề, cịn lại tiên đề nêu cuối chương Đó hệ tiên đề tĩnh học, làm sở xây dựng lý luận cho phần tĩnh học Tiên đề (Tiên đề hai lực cân bằng) Điều kiện cần đủ hệ hai lực tác dụng lên vật rắn cân chúng có giá, cường độ ngược chiều uur uur Ta viết F1 , F2 ( ur F1 ) ur F1 uur F2 Hình 1-2 Tiên đề nêu lên hệ lực cân chuẩn, đơn giản Tiên đề (Tiên đề thêm bớt hệ lực cân bằng) uur F2 uur F2 Tác dụng hệ lực lên vật rắn không thay đổi, ta thêm vào hay bớt hệ lực cân ur uur uur Nếu P1 , P2 , , Pm thì: ) uur uur uur uur uur uur ur uur uur F , F , , F F , F , , F ; P , P , , P ) ( ) ( ur F1 ( n n m ur F B A Từ tiên đề 2, ta có hệ sau: Hình 1-3 Hệ (Định lý trượt lực) Tác dụng lực đặt lên vật rắn không thay đổi, ta trượt lực dọc theo giá uur Chứng minh: Giả sử lực F tác dụng lên vật rắn điểm A Gọi B điểm uur uur nằm giá lực F thuộc vật rắn, ta thêm vào B hệ hai lực cân ( F1 , uur uur Sao cho phương với lực F trị số F1 = F2 = F (hình 1-3) F2 ) uur Theo tiên đề ta có F uur uur uur uur uur ( F , F , F ) mặt khác theo tiên đề ( F , F ) 2 đó, theo tiên đề 2, ta bớt hệ lực khơng làm thay đổi trạng thái chuyển uur uur uur uur uur động vật: F F , F1 , F2 F1 đặt B ( ) Từ ta suy véctơ biểu diễn lực tác dụng lên vật rắn véctơ trượt Hệ Nếu hệ lực đặt lên vật rắn mà cân lực lấy theo chiều ngược lại hợp lực hệ lực lại uur uur uur uur uur uur uur Nếu F1 , F2 , , Fn − F1 F2 , F3 , , Fn ( ) ( uur uur uur Chứng minh: Giả sử hệ lực ( F , F , , F ) ) n uur Tác dụng lên vật rắn lực − F1 Theo tiên đề ta tác dụng thêm hệ lực cân cho thì: uur uur uur uur uur − F1 − F1 , F1 , F2 , , Fn ( ) uur uur Vì hệ hai lực − F1 , F1 hệ lực cân nên theo tiên đề 2, ta bớt tác dụng ( ) lên hệ không thay đổi: uur − F1 uur uur uur uur ( − F , F , F , , F ) 1 n 10 uur uur uur ( F , F , , F ) n (đpcm) uur uur q uur h W BA = W BA + W BA uur W BA uur q đẳng thức cho ta chiều quay W BA suy chiều quay gia tốc góc ε hình phẳng Bây ta lấy hai nửa đường thẳng chứa uur uur W A W B quay quanh A B góc α theo chiều quay gia tốc góc ε, giao điểm chúng tâm gia tốc tức thời CW cần xác định (hình 4-24) uur Trong trường hợp W A song song với uur W B dựa vào kết biết: uur WB A uur WA uur q W BA α ε B α uur WA α Cw Hình 4-24 WA ACW = WB BCW 25) Ta xác định dẽ dàng tâm gia tốc tức thời theo hình vẽ, thí dụ (hình 4- Đặc biệt xảy trường hợp: − Nếu thời điểm khảo sát ω ≠ 0, ε = ta có tgα = suy α = Tâm gia tốc tức thời CW hình vẽ (hình 4-26a) Nếu thời điểm khảo sát ω = 0, cịn ε ≠ 0, ta có tgα = ∞, suy − α= π Tâm gia tốc tức thời xác định theo hình vẽ (hình 4-26b) uur WA A α B α uur WA A α uur WB Cw A uur WA Cw uur WB α B Hình 4-25 B C uur WB uur WC Cw Hình 4-26a Cuối cần ý rằng, nói chung tâm vận tốc tức thời tâm gia tốc tức thời không trùng Chẳng hạn, bánh xe lăn không trượt đường ray thẳng, có vận tốc tâm bánh xe khơng đổi, tâm O tâm gia tốc tức thời, điểm tiếp xúc bánh xe mặt đường tâm vận tốc tức thời (hình 4-27) 126 uur WA A uur WB B ur VO C Cw Cw ≡ O uur WC ε M ≡ CV Hình 4-26b Hình 4-27 Ví dụ Tam giác ABC có cạnh dài 40cm chuyển động mặt phẳng Oxy uur uur Tại thời điểm khảo sát biết WA = 20 cm.s−2, WB = 10 cm.s−2 W A , W B có chiều từ xuống Tìm gia tốc đỉnh C lúc cạnh AC song song với trục Ox tìm tâm gia tốc tức thời hình phẳng (hình 4-28) Bài giải: uur uur Vì W A W B song song với nhau, nên tâm gia tốc tức thời xác định hình vẽ (hình 4-28), với α = 300 và: ACW = AB.WA 40.20 = ≅ 56,32cm WA − WB 20 − 10 Để tính gia tốc điểm C ta áp dụng công thức sau: WC = CCW ε + ω Trong đó: CCW = y A uur WA O C uur WC α α x uur WB ε C w Hình 4-28 ACW2 + BC − ACW BC cos 600 ε + ω4 = WA ACW Từ ta có: WC = 56,322 + 402 − 2.56,32.40 cos 600 20 = 30,85 cms −2 56,32 uur Phương chiều W C xác định sau: Lấy CCW quay xung quanh C ngược uur chiều ε góc α = 300, xác định chiều W C cần tìm Ví dụ Bánh xe bán kính R = 12cm chuyển động nhờ tay quay OA Tay quay quay quanh trục O bánh cố định có bán kính với gia tốc góc ε0 = 8s−2 vận tốc góc ω0 = 2s−1 thời điểm xét Hãy xác định: a Vị trí tâm vận tốc tức thời tâm gia tốc tức thời bánh 127 b Gia tốc tâm vận tốc tức thời c Gia tốc điểm N (hình 4- 29a) rτ II uur uu WA WA Cw α M I uur q W NA N A ω y ε uur n WA N uur h W NA uur τ WA A ε ω uur n WA uur h W MA O M ε uur q W MA x Hình 4-29a Hình 4-29b Bài giải: Theo đề ra, Bánh II chuyển động lăn không trượt bánh I cố định (do ăn khớp hai bánh răng) Nên điểm tiếp xúc M tâm vận tốc tức thời uur uurτ uur n Xét điểm A thuộc OA quay xung quanh trục cố định, ta có: W A = W A + W A đó: WAτ = ε R = 192 cm.s −2 WAn = ω02 R = 96 cm.s −2 VA = ω0 OA = ωII MA , từ đó: ωII = Suy ra: ε II = ω& II = VA = 2ω0 = s −1 R WAτ = 2ε = 16 s −2 R Chiều εII chiều ωII hình vẽ Bây để tính gia tốc điểm M N ta sử dụng công thức sau: uur uur uur q uur h uur uur uur q uur h W M = W A + W MA + W MA ; W N = W A + W NA + W NA Phương chiều thành phần gia tốc hình vẽ (hình 4-29b) Do ta tính được: WM = R.ω02 = 2.12.2 = 96 cm.s −2 WN = R (4ε ) + (6ω02 ) = 12 (4.8) + (6.22 ) = 480 cms −2 128 uur Từ kết dễ dàng xác định tâm gia tốc tức thời CW Thật vậy, W M uur hướng từ M A, nên ta lấy nửa đường thẳng chứa W M quay quanh M theo chiều εII góc α với tgα = ε II 16 = = , (α = 450) ωII Trên lấy điểm CW có: MCW = WM ε II2 + ωII4 = 96 162 + 44 = cm Điểm CW xác định hình vẽ (hình 4-29a) Ví dụ Cho cấu bốn khâu lề hình vẽ (hình 4-30), OA = r; AB = 2r; O1B = 2r Xác định gia tốc góc AB thời điểm OA thẳng đứng, điểm O, B, O1 nằm đường thẳng nằm ngang Cho biết thời điểm khảo sát OA có vận tốc góc ω0 gia tốc góc ε = ω02 Bài giải: Cơ cấu gồm ba hình phẳng chuyển động: OA O1B quay quanh trục cố định qua O O1; AB chuyển động song phẳng Khảo sát chuyển động AB Xét A thuộc AB, A thuộc OA nên vận tốc gia tốc điểm A xác định: VA = OA.ω0 = r.ω0 uur uurτ uur n ur uur W A = W A + W A với: WAτ = rε ; WAn = rω02 Chiều V A W A hình vẽ (hình 4-30) ur VA uur WA uur τ WA A ε0 O uur n WA ω0 uur h W BA B uur τ WB ur V B uur q W BA uur n WB O1 uur WB Hình 4-30 Để tìm gia tốc góc AB (εAB) ta khảo sát gia tốc điểm B (điểm B biết quỹ đạo) Chọn A làm cực, áp dụng định lý liên hệ gia tốc, ta có: uur uur uur uurτ uur n uur q uur h W B = W A + W BA = W A + W A + W BA + W BA 129 uur uurτ uur n Do điểm B chuyển động với quỹ đạo tròn, nên: W B = W B + W B viết: uurτ uur n uurτ uur n uur q uur h (*) W B + W B = W A + W A + W BA + W BA uur ur ur Ở W A biết Ngoài V A V B có chiều hình vẽ, nên O tâm vận tốc tức thời AB Từ tìm được: VA = ωAB.OA ⇒ ω AB = VA rω0 = = ω0 OA r VB = BO.ωAB = AB sin 600 = r ω0 h Do đó: WBA = AB.ω AB = 2rω02 ; WBn = VB2 r ω02 = BO1 uurτ uur q Giả sử W B , W BA có chiều hình vẽ (hình 4-30), chiếu (*) lên trục Bx, ta có: q h WBn = −WAτ + WBA cos 600 − WBA cos300 uur q q Suy ra: WBA = rω02 > véctơ W BA chọn chiều, từ ta có: ε AB q WBA rω02 = = = ω0 , gia tốc góc εAB có chiều hình vẽ BA 2r 130 CHƯƠNG V: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN CĨ MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH Vật rắn chuyển động ln ln có điểm cố định gọi vật rắn chuyển động quay quanh điểm cố định Mơ hình nghiên cứu mơ tả hình (5-1a) Vài hình ảnh thực tế chuyển động biểu diễn hình (5-1d) Đó hình nón lăn khơng trượt mặt phẳng cố định quanh O, quay đặt giá có vịng động, bánh xe ơtơ xe lái vòng quãng đường vòng tròn (cơ cấu vi sai ơtơ), v.v… (S) O O Hình 5-1a Hình 5-1b O O Hình 5-1c Hình 5-1d Ta khảo sát đặc điểm chuyển động vật chuyển động điểm thuộc vật 131 5.1 Khảo sát chuyển động vật 5.1.1 Phương trình chuyển động Cho vật (S) quay xung quanh điểm cố định O Để xác định vị trí vật (S) ta lấy hệ quy chiếu Ox1y1z1 cố định hệ trục động Oxyz gắn chặt với vật (S) (hình 5-2) Rõ ràng vị trí vật (S) hồn tồn xác định biết vị trí hệ Oxyz Muốn xác định vị trí hệ Oxyz hệ Ox1y1z1 ta dựa vào ba góc Ơle xác định sau: Gọi giao tuyến hai mặt phẳng x1 Ox1y1 Oxy đường nút Khi góc: ψ = (Ox1 , ON ) z1 ≡ z′ z z″ ϕ& & ψ θ O1 ≡ O θ& ϕ θ ψ y y″ y′ y1 ψ ϕ N x′ x″ x ϕ = (ON , Ox) Hình 5-2 θ = (Oz1 , Oz ) Chiều quay góc ψ, ϕ θ quanh trục tương ứng Oz1, Oz ON quy ước chiều quay góc ϕ chuyển động vật rắn quay quanh trục cố định Các góc ψ, ϕ θ ba góc Ơle Dựa vào tính chất chuyển động vật người ta gọi góc ϕ góc quay riêng, góc ψ góc tiến động, góc θ góc chương động vật rắn quay quanh điểm cố định Rõ ràng ba góc Ơle hồn tồn xác định vị trí vật rắn (S) Thật vật, biết vị trí (S) vị trí hệ Oxyz hồn tồn xác định biết ba góc Ơle nêu Ngược lại biết ba góc Ơle ta quay hệ toạ độ cố định Ox1y1z1 theo ba góc Ơle liên tiếp: - Quay quanh Oz1 góc ψ đưa Ox1 ON - Quay quanh ON góc θ đưa Oz1 đến Oz - Quanh quanh Oz góc ϕ đưa ON tới Ox Sẽ đưa hệ Ox1y1z1 trùng với hệ Oxyz, tức biết vị trí vật (S) 132 Vậy, ba góc Ơle ψ, ϕ θ ba thông số xác định vị trí vật (S) có điểm cố định O Khi vật (S) chuyển động ba góc phụ thuộc vào thời gian, nếu: ψ = ψ(t) ϕ = ϕ(t) (5-1) θ = θ(t) Hệ thức (5-1) phương trình chuyển động vật rắn có điểm cố định Nhận xét: Qua phân tích thấy rằng, chuyển động vật rắn quay quanh điểm cố định từ vị trí sang vị trí khác thực nhờ ba phép quay đồng thời quanh ba trục Oz1, ON, Oz với góc quay ψ, ϕ θ 5.1.2 Định lý dịch chuyển hữu hạn vật rắn có điểm cố định (Định lý Đalămbe-Ơle) Định lý: Mọi dịch chuyển vật rắn có điểm cố định từ vị trí sang vị trí khác thực phép quay quanh trục qua điểm cố định Chứng minh: Để chứng minh định lý trước hết ta ý rằng: Vị trí vật (S) chuyển động có điểm cố định hồn tồn xác định biết vị trí hai điểm thuộc vật khơng trùng O Trên hình vẽ (hình 5-3) lấy O làm tâm, vẽ hình cầu bán kính tuỳ ý lấy mặt cầu hai điểm A, B Khi vị trí vật (S) xác định cung AB vịng trịn lớn hình cầu Giả sử vật (S) vị trí (I) xác định cung AB, dịch chuyển sang vị trí (II) xác định cung A1B1 A (do AB dịch chuyển tới) P O B C C1 A1 B1 Nối A với A1, B với B1 cung vòng tròn lớn từ điểm C, D các cung vẽ hai đường thẳng góc cầu (qua C, D vẽ cung vòng tròn lớn trực giao với cung AA1 BB1), ta Hình 5-3 có giao điểm P chúng mặt cầu Điểm P cách điểm A A1, B B1 Rõ ràng tam giác cầu APB A1PB1 133 Khi quay vật (S) quanh trục OP ta đưa cung AB đến chồng khít lên cung A1B1 Nói khác dịch chuyển vật (S) từ vị trí (I) đến vị trí (II) thực phép quay quanh trục OP Định lý Đalămbe - Ơle chứng minh 5.1.3 Trục quay tức thời, mặt lăn, mặt Chuyển động vật rắn có điểm có định coi dãy dịch chuyển vơ bé liên tiếp từ vị trí sang vị trí lân cận Mỗi dịch chuyển vơ bé lại thực nhờ phép quay xung quanh trục qua điểm cố dịnh Trục quay mà vật thực phép quay vô bé gọi trục quay tức thời thời điểm Khi vật rắn chuyển động, quỹ tích trục quay O tức thời hệ quy chiếu cố định Ox1y1z1 mặt nón gọi mặt (hay ắc-xơ-ít cố định) Mặt Mặt lăn Hình 5-4 Khi vật rắn chuyển động, quỹ tích trục quay tức thời hệ quy chiếu động Oxyz mặt nón gọi mặt lăn (hay ắc-xơ-ít động) Hai mặt nón cố định động có đỉnh chung điểm cố định O Tại thời điểm cho trước, trục quay tức thời đường sinh chung mặt lăn mặt Như vậy, vật chuyển động mặt lăn lăn khơng trượt mặt (hình 5-4) Chẳng hạn, hình nón lăn không trượt mặt phẳng quanh điểm cố định O (hình 5-1c) mặt nón mặt lăn, mặt phẳng mặt Tại thời điểm khảo sát đường thẳng tiếp xúc hai mặt trục quay tức thời 5.1.4 Vận tốc góc gia tốc góc vật rắn chuyển động quay quanh điểm cố định Vật rắn chuyển động có điểm cố định, thời điểm coi quay quanh trục quay tức thời Nên để đặc trưng cho chuyển động quay tức thời ta đưa vào khái niệm vận tốc góc gia tốc góc định nghĩa sau: a Vận tốc góc Vận tốc góc vật rắn chuyển động có điểm cố định quay quanh trục quay r tức thời đại lượng véctơ, ký hiệu ω thoả mãn yếu tố sau: 134 r r Phương ω trùng với trục quay tức thời, cịn chiều véctơ ω cho nhìn từ r véctơ ω xuống thấy vật rắn quay ngược chiều kim đồng hồ r Độ lớn véctơ ω : r | ∆ϕ * | | ω |= lim ∆t →0 ∆t Trong ∆ϕ* góc quay vật quanh trục quay tức thời khoảng thời gian ∆t (từ thời điểm t đến (C) thời điểm t + ∆t) r rN dω ur r = VN ε Điểm đặt: Véctơ ω đặt điểm trục quay dt r tức thời Để thuận tiện ta đặt điểm cố định O (hình ω O 5-5) r Khi vật rắn chuyển động véctơ vận tốc góc ω biến Hình 5-5 đổi hướng lẫn độ lớn Cho nên lấy gốc O r véctơ vận tốc góc ω vẽ lên đường cong liên tục â hệ quy chiếu cố định Đường cong (C) gọi Hô-đô-gráp véctơ vận r tốc góc ω b Gia tốc góc Gia tốc góc vật chuyển động có điểm cố định quay quanh trục quay tức r thời đại lượng véctơ, ký hiệu ε , thoả mãn điều kiện sau: r r dω ε= dt r Từ định nghĩa ta suy quy tắc xác định gia tốc góc ε sau: • ur r r r uuur r uuur Theo định nghĩa ε = ω& Nhưng ω = ON , nên suy ω& = ON = V N , nghĩa r ur vận tốc điểm N đường Hô-đô-gráp (C) Từ O vẽ véctơ ε = V N ta véctơ gia tốc góc vật rắn Vậy, véctơ gia tốc góc vật rắn chuyển động quay quanh điểm cố định vận tốc điểm đầu mút N véctơ vận tốc góc đường Hơ-đơ-gráp (hình 5-5) r ur (5-2) ε =V N 135 5.2 Khảo sát chuyển động điểm thuộc vật 5.2.1 Phương trình động học Ơ-le Theo kết trên, chuyển động vật rắn có điểm cố định thực đồng thời ba chuyển động quay theo ba góc Ơle Ta gọi vận tốc góc tương ứng chuyển động quay r r r& thành phần ψ& , ϕ& , θ đặt trục quay z z1 ϕ& y θ (hình 5-6) Mặt khác theo định lý Đalămbe – Ơle, dịch chuyển vật rắn lại coi nhưu quay x1 r quanh trục quay tức thời ∆ với vận tốc góc ω θ& r r r r & Ta có: ω = ψ& + ϕ& + θ Chiếu hệ thức lên trục toạ độ động Oxyz, cố định O1x1y1z1 ta có (hình 5-6): & ψ O ψ ϕ E y1 ϕ 900 - ϕ N x Hình 5-6 ω x = ψ& sin θ sin ϕ + θ& cos ϕ ω y = ψ& sin θ cos ϕ − θ& sin ϕ (5-3) ω z = ψ& cos θ + ϕ& Hay: ω x = ϕ& sin θ sinψ + θ& cosψ ω y = −ϕ& sin θ cosψ + θ& sinψ (5-4) ω z = ϕ& cos θ + ψ& Những hệ thức (5-3) (5-4) phương trình động học ơle, xác định vận tốc góc vật rắn tuyệt đối quay quanh điểm có định theo thơng số định vị 5.2.2 Vận tốc gia tốc (dài) điểm thuộc vật a Theo công thức Ơ-le, vận tốc điểm (M) thuộc vật xác định hệ thức: r r r r r r v = ω ∧ r ; | v |=| ω ∧ r |= ω.MH (5-5) r MH khoảng cách vng góc hạ từ M đến trục quay tức thời ∆ Véctơ v hướng vng góc với MH theo chiều quay ω quanh trục ∆ (hình 5-7) 136 ∆ ∆ ω r v (Γ) ω M r H r r N vN r ω r O (Γ) uur Wh H N M r r r ω r ε = vN O H1 uur Wq r r ε = vN Hình 5-7 b Gia tốc điểm (M) xác định: uur dvr d r r W= = (ω ∧ r ) dt dt uur r r uur r r Thực đạo hàm đặt: W q = ε ∧ r ; W q = ε ∧ r = ε MH1 , MH1 khoảng r uur cách vng góc hạ từ M đến trục chứa véc tơ ε ; W q gọi gia tốc điểm M thành phần quay uur uuuur uur uuuur uur W h = ω MH ; M h = ω MH = ω MH ; W h gọi gia tốc điểm M thành phần hướng (hướng vào trục quay tức thời ∆) uur uur uur uuuur r r Vậy: W = W q + W h = ε ∧ r + ω MH uur uur Ở đây: W q ⊥ W h , nên ta có: uur uur uur W = Wq + Wh = ε ( MH1 ) + ω ( MH ) (8-6) (8-7) Nhận xét: Ưu điểm hệ toạ độ Ơ-le: Đơn giản, dễ nhìn hệ thức Ơ-le (5-3) dễ tính Nhược điểm hệ toạ độ Ơ-le là: Nếu ϕ& đường nút OK thay đổi nhanh nên vị trí vật rắn khó xác định xác Với ϕ& ≈ 102 − 103 (v / p ) dùng toạ độ Ơ-le thích hợp Hơn ϕ& θ& nên dẫn tới ϕ, ψ thay đổi nhiều Với ϕ& ≈ 104 − 108 (v / p) khơng nên dùng góc Ơ-le Trong trường hợp này, lý thuyết Gyrôxcốp người ta dùng ba 137 góc Krưlốp Các góc đủ để xác định xác vị trí vật rắn quay quanh điểm cố định với tốc độ lớn Ví dụ Hình nón có đỉnh O cố định lăn khơng trượt mặt phẳng Chiều cao CO = 18 cm; góc đỉnh ∠AOB = 900 Điểm C tâm đáy chuyển động quay vị trí ban đầu sau giây Xác định vận tốc điểm B (điểm mút đường kính AB), gia tốc góc nón gia tốc điểm A, B Bài giải: r r a Xác định vB ε : Vì nón lăn khơng trượt mặt phẳng (π), nên OA trục quay r r tức thời Vận tốc góc ω = ωa hướng dọc OA Ta có: VB = ωa OB; ωa = Vc 2π CI = CK CK Thay số vào, ta được: VB = 36π cm / s uur q WB B uur h WB uur WB r vB I r ωe O r εa π C 900 uur WA r vC N r ωa K A ∆ ω Hình 5-8 r r r r Gia tốc góc ε = ε a nón tính vận tốc điểm đầu mút vectơ ω = ωa : r d ωa r εa = = vN dt r r r r Mút vectơ ω = ωa (N) vạch nên vòng trịn quanh OB với vận tốc góc ωe đó: r r r r r r ε a = vN = ωe ∧ ωa ; ωe ⊥ ωa , nên: r r ε = ε a = ωe ∧ ωa = ωe ωa sin 90o = 138 Vc ωa = 4π s −2 CI r r Chiều ε = ε a hướng thẳng góc với OA OB hình vẽ uur uur b Xác định W A W B Do A nằm trục quay tức thời, nên: WAh = Ta có: uur uur q r uuur r W A = W A = ε a ∧ OA, ε a ⊥ OA r uuur WA = ε a ∧ OA = ε a OA.sin 90o = 1000 cm / s nên: uur Chiều W A hướng song song với OB uur uur q uur h r uuur uuur Gia tốc điểm B tính theo hệ thức: W B = W B + W B = ε a ∧ OB + ωa2 BO uur q r uuur Ở đây: WBq = ε a ∧ OB = 1000 cm / s , chiều W B hướng vng góc với OB nằm uuur uur h mặt phẳng OAB WB h = ωa BO = 1000 cm / s , chiều W B hướng từ B O uur q uur h uur Do W B ⊥ W B , ta có: W B = (WBq ) + (WBh ) = 1000 cm / s Ví dụ Nón A lăn 120v/p nón B cố định (hình 5-9) Chiều cao nón OO1 =10cm r r a Xác định vận tốc góc theo ωe nón quanh trục Oz, vận tốc góc tương đối ωr r r nón quanh trục OO1 vận tốc góc tuyệt đối ωa , gia tốc góc tuyệt đối ε a nón b Xác định vận tốc, gia tốc điểm C D Coi nón A lăn khơng trượt nón B z O x D 600 A B O1 y 2α A 900 B C C Hình 5-9 Hình 5-10 139 Đs: a ωe = 4π s-1; ωr = 6,29π s-1; ωa = 8π s-1 hướng theo OC; εa = 27,68π2 s-2 hướng song song trục x b VC = 0; VD = 80π cm/s hướng song song trục x WC = 320π2 cm/s2 hướng thẳng góc với OC mặt phẳng yOz: WDy = -480π2 cm/s2; WDz = −160 3π 2cm / s Ví dụ Tìm vận tốc gia tốc điểm C B bánh nón lăn khơng trượt theo vành tựa ngồi dạng hình nón nằm ngang Bán kính đáy lăn (bánh động): R = 10 2cm ; góc đỉnh 2α = 900; Vận tốc điểm A theo quỹ đạo VA = 20 cm/s (hình 5-10) Đs: VC = 0; WC = 40 cm/s2 VB = 40 cm/s; WB = 40 cm/s2 140