Chuyên đề mũ và logarit đặng việt đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Mũ – Lôgarit Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit MỤC LỤC C.ĐỀ 1 1 C.ĐỀ 2 2 C.ĐỀ 3 3 C.ĐỀ 4 4 MÃ CĐ [DS12.C2.1.D01] [DS12.C2.1.D02] [DS12.C2.1.D03] [DS12.C2.1.D04] MÃ CĐ [DS12.C2.2.D01] [DS12.C2.2.D02] [DS12.C2.2.D03] [DS12.C2.2.D04] MÃ CĐ [DS12.C2.3.D01] [DS12.C2.3.D02] [DS12.C2.3.D03] [DS12.C2.3.D04] MÃ CĐ [DS12.C2.4.D01] [DS12.C2.4.D02] [DS12.C2.4.D03] [DS12.C2.4.D04] [DS12.C2.4.D05] [DS12.C2.4.D06] [DS12.C2.4.D07] 4 C.ĐỀ 5 5 C.ĐỀ 6 6 C.ĐỀ 7 7 C.ĐỀ 8 8 C.ĐỀ 9 [DS12.C2.4.D08] [DS12.C2.4.D09] MÃ CĐ [DS12.C2.5.D01] [DS12.C2.5.D02] [DS12.C2.5.D03] [DS12.C2.5.D04] [DS12.C2.5.D05] MÃ CĐ [DS12.C2.6.D01] [DS12.C2.6.D02] [DS12.C2.6.D03] [DS12.C2.6.D04] [DS12.C2.6.D05] MÃ CĐ [DS12.C2.7.D01] [DS12.C2.7.D02] [DS12.C2.7.D03] [DS12.C2.7.D04] [DS12.C2.7.D05] MÃ CĐ [DS12.C2.8.D01] [DS12.C2.8.D02] [DS12.C2.8.D03] [DS12.C2.8.D04] [DS12.C2.8.D05] MÃ CĐ [DS12.C2.9.D01] [DS12.C2.9.D02] MŨ - LŨY THỪA Tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa Biến đổi, rút gọn, biểu diễn biểu thức chứa lũy thừa So sánh lũy thừa Tính chất lũy thừa HÀM SỐ LŨY THỪA Tập xác định hàm số chứa hàm lũy thừa Đạo hàm hàm số lũy thừa Khảo sát biến thiên đồ thị hàm số lũy thừa Tính giá trị hàm số LOGARIT Tính giá trị biểu thức chứa lơ-ga-rít Biến đổi, rút gọn, biểu diễn biểu thức chứa lơ-ga-rít So sánh biểu thức lơ-ga-rít Min, max biểu thức chứa lôgarit HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Tập xác định hàm số mũ, hàm số lơgarit Tính đạo hàm hàm số mũ, hàm số lơgarit Tính đơn diệu, tiệm cận, cực trị Tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit Đồ thị hàm số mũ, hàm số lơgarit tốn liên quan Tính giá trị hàm số mũ, hàm số lơgarit Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa hàm mũ, hàm lơgarit biến số Các tốn lãi suất – trả góp Các tốn thực tế liên mơn PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương trình Phương pháp đưa số Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp lơgarit hóa, mũ hóa Phương pháp hàm số, đánh giá PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Phương trình Phương pháp đưa số Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp lơgarit hóa, mũ hóa Phương pháp hàm số, đánh giá BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bất phương trình Phương pháp đưa số Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp lơgarít hóa, mũ hóa Phương pháp hàm số, đánh giá BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Bất phương trình Phương pháp đưa số Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp lơgarít hóa, mũ hóa Phương pháp hàm số, đánh giá MIN, MAX MŨ – LÔGARIT NHIỀU BIẾN Phương pháp hàm đặc trưng Phương pháp khác File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Trang 40 Trang 54 Trang 127 Trang 259 Trang 324 Trang 395 Trang 424 Trang 476 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit CHUYÊN ĐỀ 1: LŨY THỪA A – KIẾN THỨC CHUNG Định nghĩa lũy thừa  Cho số thực b số nguyên dương n  n   Số a gọi bậc n số b an  b  Chú ý:  Với n lẻ b   : Có bậc n b, ký hiệu n b  Với n chẵn: b  : Không tồn bậc n b b  : Có bậc n b b  : Có hai bậc n a hai số đối nhau, có giá trị dương ký hiệu n b , có giá trị âm ký hiệu - n b Số mũ  Cơ số a Lũy thừa a   n * a a  an  a.a a (n thừa số a)  0 a0 a  a0     n,  n   *  a0  m ,  m  , n  *  n   limrn ,  rn  , n   *  a  a  n  an m a0 a  a n  n a m , a0  n a  b  a  bn  1  m  2 Một số tính chất lũy thừa  Giả thiết biểu thức xét có nghĩa:    a a  a    a a  a   a ;   a    ;  a   a   ;  ab   a  b ;     ;   a b b b   b   a  Nếu a>1 a  a      ; Nếu 0<  0 Mệnh đề đúng? 3 10 A P  x B P  x 13 10 C P  x D P  x Câu 52: Cho biểu thức P  x x2 x3 , với x  Mệnh đề đúng? A P  x 13 B P  x 24 C P  x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D P  x Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit m Câu 53: Viết biểu thức A 15 b3a a ,  a, b   dạng lũy thừa   ta m  ? a b b 2 B C D 15 15 2 Câu 54: Cho a  ; b  Viết biểu thức a a dạng a m biểu thức b : b dạng bn Ta có mn? 1 B 1 C D Câu 55: Biểu thức Q  x x x với  x   viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ A A Q  x B Q  x C Q  x D Q  x Câu 56: Cho số thực dương phân biệt a b Biểu thức thu gọn biểu thức a b 4a  16ab P  có dạng P  m a  n b Khi biểu thức liên hệ m 4 a b a b n là: A m  n   B m  n   C m  n  D m  3n  1 Câu 57: Cho số thực dương a b Biểu thức thu gọn biểu thức P   2a  3b    2a 4  3b    4a 2   9b có dạng P  xa  yb Tính x  y ? A x  y  97 B x  y  65 C x  y  56 D y  x  97 1 Câu 58: Cho ax3  by  cz    Khẳng định sau đúng: x y z A ax  by  cz  a  b  c B ax  by  cz  a  b  c C ax  by  cz  a  b  c D ax  by  cz  a  b  c   1   2 a 2 a   a 1 Câu 59: Biểu thức thu gọn biểu thức P     , (a  0, a  1), có dạng 1  a 1  2 a  a  2a   m P  Khi biểu thức liên hệ m n là: an A m  3n  1 B m  n   C m  n  D m  n  x  2 x   Câu 60: Cho x  Rút gọn biểu thức x x 1 1 2   x x 1 22  22 x 1 4x A B C D  2x  2x  22 x  4x 1  12  32 12 2 x y x y  x y 2y Câu 61: Rút gọn biểu thức    kết là: 1   x y x y 2 2   xy  x y xy  x y  A x  y B x  y C D xy 1   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit  ab  3 3   ab : a  b Câu 62: Cho số thực dương a b Rút gọn biểu thức P     a b  kết là: A 1 B C D  Câu 63: Cho x  ; y  Viết biểu thức x x y n Ta có m  n  ? 11 A  Câu 64: Rút gon biểu thức K  11 x  x 1 B   a b số mũ hữu tỉ có dạng x , với  x  x 1 B x  x 1 Câu 65: Cho số thực dương x Biểu thức x ; dạng x C A x 1 là: A a  b  509 m biểu thức y : y y ; dạng 8 D  5 x  x  ta được:  C x  x 1 x x x x x x x x D x2 1 viết dạng lũy thừa với a phân số tối giản Khi đó, biểu thức liên hệ a b b B a  2b  767 C a  b  709 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 3a  b  510 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Hướng dẫn giải Chọn C Từ điều kiện ta có: log  a  b  c   log  a  b  c    a  b2  c   a  b  c   log   a  b  c     a  b  c   log  a  b  c    a  b  c  2 2   a  b  c   a  b  c    a     b     c    10 Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: P   a     b     c    12  1  2  22  32   a     b     c     12  12  35 a  b  c     Dấu “=” đạt  a  2b  3c  12   Câu 17: [DS12.C2.9.D01.d] Cho số thực a, b, c thỏa mãn a bc log 2 2  a  a    b  b    c  c   tìm giá trị lớn biểu thức a b c 2 a  2b  3c P a bc A 12  30 B  30  30 Hướng dẫn giải C D  30 Chọn D Từ điều kiện ta có: log  a  b  c   log  a  b  c    a  b2  c   a  b  c   log   a  b  c     a  b  c   log  a  b  c    a  b  c  2 2   a  b  c   a  b  c    a     b     c    10 Và biến đổi: P  a  b  c   a  2b  3c   P  1 a   P   b   P   c    P  1 a     P   b     P   c    6 P  12 Sử dụng bất đẳng thức Cauchuy – Schwarz ta có:  P 1   P     P  3   a  2  b     c  2   30  30   6 P  12   10   P  1   P     P  3   P 3  6P  12 2  2 2 2 2 Câu 18: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x y log  x  x  3  y  y    xy Tìm giá trị lớn biểu thức x  y  xy  x  2y  P x  2y  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 491 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 69  249 94 B 43  249 37  249 C 94 21 Hướng dẫn giải Mũ – Lôgarit D 43  249 94 Chọn A Từ giả thiết ta có biến đổi: log  x  y   log  x  y  xy    x  y  xy   x  y   log 3 x  y   3 x  y   log x  y  xy    x  y  xy  2 y  y2 y  3y     x  y   x  y  xy    x     3 x    20 2 2   2 2 y 3  3  2   x      y    a  b  2  2   y 2b Trong a  x   , b  1 2 Khi đó: b 2b   P  x  y  6  x  y   P  a   8  a  6 3     P  1 a   P  3  8P   Điều kiện để đường trịn đường thẳng có điểm chung 8P  69  249 69  249 d  O, d   R  P 1  94 94 2  P  1   P  3 Câu 19: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x y 3  1  xy   xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x  y   x  y  log  xy P  x  3y A  15 B  15 C 15  D 15  Hướng dẫn giải Chọn C Từ điều kiện toán ta có: 3  x  y   x  y  log  x  y    1  xy    1  xy   log  1  xy    f  x  y   f  1  xy    x  y  1  xy   y  x  1   x    x  2y ; 2 x 2x 1 Trong f  t   t  t  log t đồng biến khoảng  0;   y Khi P  f  x   x   15   3  x  f  x   f    15   0;2  2x    File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 492 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP KHÁC VẬN DỤNG Câu 20: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn y log   y  y  x   x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  100 y 1 x A 2499 B 2501 C 2500 Hướng dẫn giải D 2490 Chọn B Từ điều kiện tốn ta có: log y  y  y  log  x  1  x    x y   x Khi P  x  100 x     x   50  2501  2501 Dấu đạt x  2499 , y  50 Câu 21: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn log  ab  2ab  a  b  Tìm ab giá trị nhỏ biểu thức P  a  2b A 10  B 10  10  C 2 Hướng dẫn giải D 10  Chọn A Theo giả thiết, ta có 1  ab  log   ab  1  a  b  log  1  ab    1  ab   log  a  b    a  b  a b 2a  1  ab   a  b   a  b  2a  1  b   0  a  2a   10   10  2  a Do P  f  a   a   f  a   f     0;2  2a    Câu 22: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn xy  4, x  , y  Gọi M , m 2 giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  log x   log y  1 Tính S  M  2m A S  B S  11 C S  21 D S  11 Hướng dẫn giải Chọn A   x    x   t   1; 2 x 2  2  Khi P  log x   log  1  log 22 x  1  log x   f  t   t  1  t  x   1 M  max f  t   f  1  f    5, m  f  t   f    1;2  1;2 2 Ta có y  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 493 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lơgarit Do S    VẬN DỤNG CAO: Câu 23: [DS12.C2.9.D04.d] Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa mãn ln  x2  x   2x  y  ln  y  x   2x B A  x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y  xy  8x D 3 C Hướng dẫn giải Chọn A Từ điều kiện tốn ta có y  x2   P  f  x   x  x  x   0;  f  x   f   4 Câu 24: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x2  xy 3 y 11x  20 y  40   Gọi a, b giá trị lớn giá trị nhỏ S  B a  b  14 A a  b  10 C a  b  y Tính a  b x 11 D a  b  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có log x2  xy 3 y 11x  20 y  40    x  xy  y  11x  20 y  40  Khi y  Sx x2  Sx2  3S x2  11x  20Sx  40    S   x   20S  11 x  40   x   20 S  11  160  S     240 S  440 S  199  Do a  b  440 11  240 Câu 25: [DS12.C2.9.D02.d] Xét số thực x, y thỏa x  1, y   log xy 81   log y log x Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  x  y A F  27 B F  12 C F  Hướng dẫn giải D F  12 Chọn A Ta có  log xy 81   log y log x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 494 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  log x  Mũ – Lôgarit   log y log81 xy  log x  log y  40 log x  log y   log x  log y    log x  log y     log x  log y   log xy   xy   y  Suy F  x  x 54 x 54  x  27  Ta có F   x     x  x x2 Bảng biến thiên x F     27 F Vậy F  27 Câu 26: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log x   log y   log z  A 29 B 23 C 26 Hướng dẫn giải D 27 Chọn C Để ý y, z đối xứng nên ta sử dụng bất đẳng thức a  b2  m2  n2   a  m  b  n Ta có P  log x    log y  log z       log x   log  yz   16  log x   log  log x   1  log x   16  10  16 x 1  log x  log x   1  4  26 log x   log x   x  10, y  z  10  log x Cách 2: điều kiện để mặt phẳng  P  1 a   P   b   P  3 c  mặt cầu Dấu xảy  2  a     b  2   c    10 có điểm chung d  I ,     R   P  1   P     P  3 2  P  1   P     P  3  10   30  30 P 3 Câu 27: [DS12.C2.9.D02.d] Tìm số tự nhiên m lớn để bất đẳng thức m    2log  sin   log      với x   0;    x  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 495 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A m  B m  Mũ – Lôgarit C m  Hướng dẫn giải D m  Bất đẳng thức tương đương với m 1 m 1      log      log      m       ,  x   0;  *   sin x x  sin x sin x  x x  2     Xét hàm số f  x        khoảng  0;  ta có: sin x  x  2 cos x   2cos x    2 f  x        2      0, x   0;  sin x   x  sin x sin x   2     Do f  x   f    4, x   0;  2  2 Vậy  *  m  Chọn D Câu 28: [DS12.C2.9.D02.d] Tìm tất giá trị thực tham số m để tồn cặp số thực  x; y  thỏa mãn log x2  y2   x  y  4  x  y  x  y   m  A   10  B   10  C 10  D 10  Hướng dẫn giải Chọn A 2 Biến đổi giả thiết ta có x  y   x  y    x     y    Đây hình trịn  C1  có tâm I1  2;  , bán kính R1  2 Và  x  1   y  1  m  m  đường trịn  C2  có tâm I  1;1 , R2  m Ta cần tìm điều kiện m để  C1  ,  C2  có điểm chung Do  C1  ,  C2  tiếp xúc với Vậy có điều kiện I1 I  R1  R2  10  m  m   10  Câu 29: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x  y    Giá trị lớn biểu thức S  3x  y    x  y  1 27 x  y   x  y  số nguyên dương C T  148 Hướng dẫn giải Chọn D Chú ý với hai thức ta có đánh giá sau: a  b  a  b  a với a, b b D T  151 a  b   a  b  x  y 1  x   y   x  y 1    x  y 1  x   y   2  x  y  1  x  y   Vậy theo giả thiết,ta có x  y   Và x  y    a tối giản Tính a  b b B T  141 A T  x2 y3    x  9476 Nếu x  y     S  243  y  3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 496 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nếu t  x  y   3;7  ,ta có x  x  x   ;  y  1   y  y   x  y   x  y   Vì S  3x  y    x  y  1 27  x y   x  y   Xét hàm số f  t   3t    t  1 27 t  6t  đoạn  3;  ta có: f '  t   3t 4 ln  27 t   t  1 27 t ln  f ''  t   3t  ln  27 t ln   27 t   t  1 27 t ln  ln  3t 4 ln   t  1 ln  2 27 t ln  0, t  3;7 Mặt khác f '  3 f '     f '  t   có nghiệm t0   3;  Vậy ta lập bảng biến thiên hàm số f  t  đây: Suy max S  max f  t   f  3  3;7 148 Dấu đạt x  2; y  Do T  148   151 *Chú ý Hướng dẫn giải trình bày phía tư tự luận xử lí bất đẳng thức Để làm nhanh với thi trắc nghiệm,kinh nghiệm làm bất đẳng thức có điều kiện biên,cụ thể x   0; y   dấu thường đạt biên tức x   y   Do với x  thay vào điều kiện có y   y   y  3; y  Với y  3 thay vào điều kiện có x   x   x  2; x  Do ta thử giá trị S cặp điểm  2; 3 ,  2;1 ,  6; 3  nhận kết mà S đạt giá trị lớn Câu 30: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực a, b, c  số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn 16 16 a x  b y  c z  abc Tìm giá trị lớn biểu thức P    z x y A 20 B 20  3 C 24 D 24  3 Hướng dẫn giải Theo giả thiết tốn, ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 497 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit  x  log t  a  log t a   y  log b t   log t b  a x  b y  c z   abc   t    z  log t  c  logt c  1   log t   abc  logt abc logt a  logt b  log t c 1 1 16 Do đó:       P  f  z   32   z  f    20 111 x y z z x y z Chọn A Câu 31: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực a, b, c thỏa mãn c  b  a  c c 6log 2a b  logb2 c  log a  2log b  Đặt T  logb c  2log a b Mệnh đề b b đúng? A T   3; 1 B T   1;  C T   2;5  Hướng dẫn giải D T   5;10  Chọn B Ta có c c  2log b   log 2a b  log 2b c  log a c  log a b  log b c  b b  log 2a b  log b2 c  log a b log b c  log a b  log b c  6log 2a b  logb2 c  log a  6log 2a b  log a b  log b c  1   log b c  1  log 2a b  logb c  1  log a b 1   logb c  1 1  log a b  1  log b c   log a b  log a b  6 1       log a b  logb c   log b c   log c      b TH1: 1  3log a b   log b c  log b c   3log a b Vậy T   5log a b Ta có log a b  log a a   T   5log a a  4 TH2:    log a b  log b c   log b c  log a b  Vậy T  Câu 32: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn 20171 x  y  giá trị nhỏ biểu thức S   x  y  y  3x   25 xy nguyên dương x  2018 Biết y  y  2019 a với a, b số b a tối giản Tính T  a  b b File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 498 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A T  27 B T  17 Mũ – Lôgarit C T  195 Hướng dẫn giải D T  207 Chọn D Theo điều kiện đề ta có  x  2018  2017 x  1  y   2018 20171 y  x   y     Khi S   x  1  x   1  x   x  25 x 1  x   16  x  x    x  x   12 1 1  b    191  g  t   16t  2t  12  g     g     , t  x  x   x      2 4  2a   16  16  Do T  191  16  207 Câu 33: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương x, y thoả mãn log x  log  x  y    log y x y Biết giá trị lớn biểu thức S  x  xy  y  2x  y x  2y số nguyên dương b phân số tối giản Tính P  a  b  c c A P  30 B P  15 a C P  17 Hướng dẫn giải b với a, b, c c D P  10 Chọn D x x Theo giả thiết ta có log  x  3xy   log y  x  3xy  y        y  y x   t  1 y t 1 2t  Khi S  f  t    ,  t  t t  t  2  3t Ta có f   t    t  t  2   t  2  2 23 2  t  2  2   0 2  t  2 2  t   Dó max S  max f  t   f 1    a  2, b  5, c   P  10  0;1 Câu 34: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực a, b, c thỏa mãn 3a  5b  15 c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c   a  b  c  B 4 A 3  log C 2  Hướng dẫn giải D 2  log Chọn B Ta có 3a  5b  15 c  a  b log   c log 15  c 1  log   log   ab  bc  ac  P  a  b  c   a  b  c    a  b  c    ab  bc  ac    a  b  c     a  b  c      4 a c  b bc Câu 35: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x  log y   log  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  y File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 499 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 10 A B 2 Mũ – Lôgarit 3 30 Hướng dẫn giải C D 1 Chọn B Ta có y log x  log y   log  x  y   10 xy  x  y  y 10 x  1  x   x  10 x 10 x  S  x  3y  x  3x 10 x  Xét hàm f  x  x  số 3x 10 x  1   ;    10  1   f  x   f     10  x ;     10  Câu 36: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực dương x, y thỏa mãn x Biết giá trị lớn biểu thức S  x  y  x  y dương phân số 2x 2  y 1 B T  34 hàm  y 1  log  x  y  1  a với a, b số nguyên b a tối giản Tính giá trị biểu thức T  a  2b b A T  25 Chọn B Nhận xét số D T  41 C T  32 Hướng dẫn giải f  t   2t 1  log  t  1 đồng biến f  2  , từ  log  x  y  1   x  y  2 S  x  y  x3  y  x  y 1  x  y  xy   S   x  y    xy     xy   xy  x2  y 2  nên t   1;1 Xét hàm số g  t     2t   t  512 16   512 g t   g     Do S  nên S  S Vậy T  34  1;1 tmax  1;1 27   27 Câu 37: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy  y  Tìm giá trị nhỏ Ta Đặt t  xy xy  biểu thức S  A 24  ln  x  2y  6y  ln   x  y  B 12  ln  ln Hướng dẫn giải C D  ln Chọn C 1  x x Ta có xy  y            Đặt t  ,  t  y y y y y   x  2y  6 6y S  ln   thành S  t  ln(t  2) Xét hàm số f  t   t  ln  t    0; 4 x  y  f  t   f     ln x 0;4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 500 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Câu 38: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực x, y thỏa mãn log x2  y2 1  x  y   Tính P  x y biểu thức S  x  y  đạt giá trị lớn A B 13 Hướng dẫn giải C D 17 44 Chọn C 2 Ta có log x2  y2 1  x  y    x  y  x  y    x  1   y    2  32   x  1   y         13 x  x 1 y   13   Dấu “=” xảy   Do P  4 x  y    y    Câu 39: [DS12.C2.9.D02.d] Cho x , y số dương thỏa mãn xy  y  Giá trị nhỏ  2x  y  x  2y P  ln a  ln b Giá trị tích ab x y Mặt khác S  x  y    x  1   y     A 45 B 81 4 C 108 Hướng dẫn giải D 115 Chọn B - Ta có:  x, y    x chia ve          2.2     cho y2 y y y y  xy  y  y  1  x          y y  x - Đặt t    t   D   0; 4 y - Biến đổi biểu thức P dạng:  x   21  D 1 t  6t  12  P      ln  t    P '  t      0 t t t2 t (t  2)   x   21  D Lập bảng biến thiên, từ ta thấy rằng, khoảng  0; 4 hàm P(t) nghịch biến 27  27 a  nên P  t   P     ln    a.b  81 b  Chọn B Câu 40: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P   x  y  y  x   xy A Pmax  27 B Pmax  18 C Pmax  27 D Pmax  12 Hướng dẫn giải Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 501 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Ta có  x  y  2 x  y   x  y  x  y  x y Suy xy       Khi P   x  y  y  x   xy   x  y   x y  10 xy 2 P   x  y   x  y   xy    xy   10 xy      xy   x y  10 xy  16  x y  xy  xy  1  18 Vậy Pmax  18 x  y  Câu 41: [DS12.C2.9.D02.d] Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x  y  16 z  x  y  z Tìm giá trị lớn biểu thức P  x 1  y 1  z 1  87 Hướng dẫn giải a, b, c  Đặt a  x , b  y , c  z ta có:  2 a  b  c  a  b  c A  87 B  87 C  87 D 1  1 1     a    3 b     c   2  2 2   2 2  9 1  1  1     P    22  32   a     b     c    2 2  2      Ta cần tìm P  2a  3b  4c  P    9  87    P    29  Pmax  2  Chọn A Câu 42: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn 2   x  y    y  z    z  x   Biết giá trị lớn biểu thức P  x  y  z  ln  x  y  z   a  x  y  z  , với a, b số nguyên dương b a tối giản Tính S  2a  3b b A S  13 B S  42 C S  54 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có:  x  x  ; Tương tự ta có:  x, y , z  D S  71 Và  x  y  z    x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z  Ta có: x  y  z  x  y  z  ln  x  y  z   ln  x  y  z   Xét hàm số f  t   4t  3t  ta có: f '  t   4t ln  3; f '  t    t  log  0;1 ln Lập bảng biến thiên từ suy ra:  f  t   max0;1 f  t   max  f  0 ; f 1 ; f     log4   f    f 1  ln   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 502 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit t x y z Vậy ta có:  3t  1, t  0;1 Áp dụng ta có:     x  y  z   Từ suy ra: P   x  y  z    21 x  y  z  4 Chọn C Câu 43: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực a, b, c   2;3 Biết giá trị lớn S  a  4b  4c  m m  a  b  c  với m, n số nguyên dương tối giản Tính n n P  m  2n A P  257 B P  258 C P  17 Hướng dẫn giải x Ta có:  48 x  80, x   2;3 Dấu đạt x  2;3 Do S  48  a  b  c   240  D P  18  a  b  c   16 Dấu đạt  a; b; c    3;3;2  hoán vị Chọn D Câu 44: [DS12.C2.9.D02.d] Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn x  y  8z  Tìm giá trị x y z nhỏ biểu thức S    6 Hướng dẫn giải Với a, b, c  ta có  a  1 b  1   ab  a  b  A 12 B D  log C Do abc   a  b  1 c  ac  bc  c   a  c  1   b  c  1  c  a  b  c  Áp dụng ta có x.4 y.8 z  x  y  z   Do x  y  z   S  x  y  3z  6 Chọn C Câu 45: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực dương a, b thỏa mãn 4a  2a 1   a  1 sin  2a  b  1   Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  a  2b A  1 B  C   D 3 1 Hướng dẫn giải Biến đổi giả thiết, ta có: a 2   2.2a   2a  1 sin  a  b  1     a  1   a  1 sin  a  b  1        2a   sin  a  b  1   sin  a  b  1   2a   sin  2a  b  1  cos  a  b  1    a cos  a  b  1     b    k   a a 2   sin   b  1  2 a     Do a  1, b        k , k   Do b   b    S     1    2 2  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 503 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Chọn C Câu 46: [DS12.C2.9.D02.d] Cho x , y số dương thỏa mãn xy  y  Giá trị nhỏ  2x  y  x  2y P  ln a  ln b Giá trị tích ab x y A 45 B 81 C 108 Hướng dẫn giải D 115 Chọn B x, y dương ta có: xy  y   xy   y  y    Có P  12  x 4 y x  y  ln    x y  x , điều kiện:  t  y P  f  t   12   ln  t   t Đặt t  t   21 t  6t  12 ; f  t     f t      t t2 t t   t   21 t 04 f  t   P  f t  27  ln Từ BBT suy GTNN  P   27  ln t  27 , b   ab  81 Câu 47: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực a, b thỏa mãn a  ,  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin a biểu thức P  A Pmin   2b  2 a a  ba   2a  2b a 2b a 13 C Pmin  4 Hướng dẫn giải B Pmin  D Pmin  Chọn C  2   b a a 2 a   2 a a 2b    2b 2 b Ta có: P     Đặt t    ,  t  1 a a a a b b    b   2     1  b   t t2 Khi đó: P  g  t     t  1 2  t  1 a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 504 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A g t   t  3t  t  3  t  1 Mũ – Lôgarit , g   t    t  Từ bảng biến thiên ta Pmin  13 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 505 ... trị hàm số LOGARIT Tính giá trị biểu thức chứa lơ-ga-rít Biến đổi, rút gọn, biểu diễn biểu thức chứa lơ-ga-rít So sánh biểu thức lơ-ga-rít Min, max biểu thức chứa lơgarit HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Tập