Chuyen de mu va logarit

Chuyên đề : Phơng trình mũ và phơng trình lôgarít A. Ph ơng trình mũ. I. Các dạng phơng trình cơ bản thờng gặp 1. Phơng trình dạng a f(x) = b ( 1) ( 0 < a 1 ) - Nếu b 0 phơng trình vô nghiệm - Nếu b > 0 (1) f(x) = log a b VD 1 : Giải phơng trình : 3 2x -1 = 6 ( 1) Giải: (1) 2x -1 = log 3 6 2x = 1 + log 3 6 x = 1 + 2 1 log 3 2 2. Phơng trình dạng a f(x) = a g(x) (2) ( 0 < a 1) (2) f(x) = g(x) VD 2 : GPT 5 1 2 x = ( 125 1 ) x -1 (1) Giải :( 1) 5 1 2 x = 5 -3x + 3 x 2 -1 = -3x + 3 x 2 + 3x - 4 = 0 = = 4 1 x x 3. Phơng trình dạng : [ f(x) ] g(x) = [ f(x)] h(x) (3) (3) > = 0)( 0)]()(].[1)([ xf xhxgxf VD 3 : Giải các phơng trình: a, x x + 1 = x x 1 2 b, ( ) 2 2 2 + x x x = ( x -2) 11x - 20 c, 3 1 198 2 + x x x x = ( x -3) 2 d, (-4x 2 + 2x +1) 1 -x = ( ) 124 2 1 ++ x x x 4. Phơng trình dạng: a f(x) = b g(x) (4) ( 0< a, b 1) (4) f(x) = g(x)log a b VD 4 : GPT 2 2 x = 3 x - 1 II. Các ph ơng pháp giải ph ơng trình mũ 1. Ph ơng pháp biến đổi đ a về các PT cơ bản Bài tập: Giải các phơng trình sau 1. )(2 3535 211 2222 + = xxxx 3. 816 5 5 10 10 .125,0 + + = x x x x 2. 18 2x .2 -2x .3 x+1 = 3 x 1 4. + = 7 1 5 2 2314 xx 2.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn. Bài Tập: Giải các phơng trình sau: 1. ( 2 + 3 ) x + ( 2 - 3 ) x = 4 ( ĐHTH.HCM- 94) 2. 125 x + 50 x = 2 3x + 1 ( ĐHQGB-98) 3. 25 x + 10 x = 2 2x + 1 ( HVNH-98) 4. 8 x + 18 x = 2.27 x ( ĐHQG-97) 5. ( 5 - 21 ) x + ( 5 + 21 ) x = 2 x + 3 ( ĐHQG-D-97) 6. ( 2 + 3 ) x + ( 7 + 4 3 ).( 2 - 3 ) x = 4.( 2 + 3 ) ( ĐHNNHN-98) 1 7. 1 444 7325623 222 +=+ +++++ xxx xxx (HVQHQT-D-99) 8. 4 3 + 2cosx - 7.4 1 + cosx - 2 = 0 9. ( 347 + ) cosx + ( 347 ) cosx = 4 (ĐHLuật-99) 10. 6.4 x - 13.6 x + 6.9 x = 0 (ĐHBD-A-2001) 11. 3 2x + 1 = 3 x + 2 + 33 22 .61 + + xx 12. (cos72 o ) x + (cos36 o ) x = 3.2 -x 13. 2 3x - 6.2 x - 2 )1(3 1 x + 2 12 x = 1 (ĐHYH N-2000) 14. Cho phơng trình : 4 x - 4m( 2 x -1) = 0 a. Giải PT với m = 1. b. Với giá trị nào của m thì PT có nghiệm. (ĐHNN-97) 15. Cho phơng trình: 4 x - m.2 x + 1 + 2m = 0 a. Giải PT khi m = 2 b. Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho x 1 + x 2 = 3 16.(ĐH Ngoại thơng-98). Tìm m để PT sau có bốn nghiệm phân biệt: 1 24 34 5 1 2 += + mm x x 17.(ĐHNN-2000) . Tìm m để PT sau có hai nghiệm trái dấu: (m + 3).16 x + ( 2m -1).4 x + m + 1 = 0 18.(ĐHĐL-99) . Cho PT: ( 5 + 1) x + a.( 5 - 1) x = 2 x a. Giải PT khi a = 4 1 b. Tìm mọi giá trị của a để PT có đúng một nghiệm. 19.(ĐHGTVT-95). CMR không có giá trị nào của tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu: m.4 x + (2m +3).2 x - 3m + 5 = 0. 20.(ĐHBK-90) .Xác định tất cả các giá trị của tham số a để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 1 2 2 3 1 2 ++= a x a x . 3. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn: - Thờng đợc áp dụng đối với PT vừa có ẩn ở hàm số mũ và vừa chứa ẩn ở hệ số VD 1 : Giải PT : 9 x + 2(x- 2).3 x + 2x - 5 = 0 (1) (ĐH Thơng mại- 95) Giải : Đặt t = 3 x ( t >0) ta đợc PT : t 2 + 2(x - 2).t + 2x - 5 = 0 (2) Coi PT(2) là PT bậc hai ẩn t có , = (x -3) 2 = = xt loait 25 )(1 - Với t = 5 -2x ta có 3 x = 5 - 2x (3) .Ta thấy VT(3) là hàm đồng biến trên R còn VP(3) là hàm nghịch biến trên R , do đó PT(3) có không quá 1 nghiệm.Mặt khác ta thấy x = 1 là nghiệm của (3).Vậy (3) có nghiệm duy nhất x = 1 do đó PT(1) có nghiệm duy nhất là x = 1. Bài tập: Giải các PT sau: 1. 25 x -2.(3 - x).5 x + 2x - 7 = 0 ( ĐHTCKT 97) 2. 4 x + (2x - 5).2 x + 6x - 24 = 0 4. Ph ơng pháp biến đổi đ a về ph ơng trình tích . VD: Giải phơng trình: 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x (1) (ĐHQG-D-2000) Giải: (1) 8(3 x - 3) - 2 x .(3 x - 3) = 0 (3 x - 3).(8 - 2 x ) = 0 = = 8 3 2 3 x x = = 3 1 x x 2 Bài tập: Giải các PT sau: 1. 12.3 x + 3.15 x - 5 x +1 = 20 (ĐH Huế-D-2001) 2. x 2 .2 x +1 + 2 23 + x = x 2 .2 43 + x + 2 x 1 3. 5 2x +1 + 7 x +1 - 175 x - 35 = 0 5. Các ph ơng pháp không mẫu mực - Sử dụng 2 phơng pháp chính sau: +) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số +) Đánh giá cả hai vế - Ta sử dụng các kết quả sau: Xét PT f(x) = a (1) có tập xác định là D ( a là hằng số). Nếu trên D mà f(x) đơn điệu thì nếu (1) có nghiệm trên D thì nghiệm đó là duy nhất . Xét PT f(x) = g(x) (2) có tập xác định là D. Nếu f(x) và g(x) có tính đơn điệu ngợc nhau ở trên D thì PT(2) nếu có nghiệm trên D thì nghiệm đó là duy nhất trên D. Bài tập: Giải các phơng trình sau: 1. 3 x = -x + 4 2. 2 x = 1 + 3 2 x ( ĐH Kiến trúc TP.HCM-95) 3. ( 23 ) x + ( 23 + ) x = ( 5 ) x (HVQHQT-97) 4. 3 x + 4 x = 5 x 5. x x x x x 2 22 4 3 2 2 2 2 +=++ 6. 2 x + 2 -x +2 = 4x -x 2 7. ( ) 1 22 2 1 2 =+ x xx x 8. 4 sinx - 2 1 + sinx .cos(xy) + 2 y = 0 B: Phơng trình lôgarit. I. Các ph ơng trình cơ bản 1. Phơng trình dạng : log a f(x) = b (1) (1) f(x) = a b 2. Phơng trình dạng : log a f(x) = log a g(x) ( 2) (0< a 1) (2) = > )()( 0)( xgxf xf hoặc = > )()( 0)( xgxf xg 3.Phơng trình dạng: log f(x) g(x) = log f(x) h(x) (3) (3) = > < )()( 0)( 1)(0 xhxg xg xf hoặc = > < )()( 0)( 1)(0 xhxg xh xf 4.Phơng trình dạng: log a f(x) = log b g(x) (0 < a 1 b ) - Cách giải: Đặt t = log a f(x) = = b a t t xg xf )( )( phơng trình ẩn t Bài tập : Giải các phơng trình sau: 1. log 3 (x 2 + 4x + 3) = 1 2. log 3 ( x 2 - 5x +6) - log 3 (x - 3) = 0 3. log 3 (3 x - 8) = 2 - x 4. log 2 (152 + x 3 ) = 3log 2 ( x + 2) 3 5. log 2x - 1 12 2 4 + + x x = 1 6. log x +1 (x 2 + x - 6) 2 = 4 7. log x + 3 + x x 2 213 = 2 1 8. log 2 ( 1 + x ) = log 3 x 9. log 2 (1 + 3 x ) = log 7 x II. Các ph ơng pháp giải PT lôgarit. 1. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ . VD: Giải phơng trình: log 2 (4 x + 1 + 4).log 2 (4 x + 1) = 8 1 log 2 1 (1 Giải: (1) log 2 4(4 x + 1) . log 2 (4 x + 1) = 3 [ 2 + log 2 (4 x + 1) ].log 2 (4 x + 1) = 3 Đặt t = log 2 (4 x + 1), ta có PT: (t + 2).t = 3 t 2 + 2t - 3 = 0 = = 3 1 t t - Với t = 1 log 2 (4 x + 1 ) = 1 4 x + 1 = 2 4 x = 1 0 = x - Với t = -3 log 2 (4 x + 1) = -3 4 x + 1 = 8 1 (vô nghiệm) 2. Ph ơng pháp lôgarit hoá. VD: Giải các phơng trình sau: 1. x x 2 log 4 = 2 )1(3 log 4 x 2. x lgx = 1000x 2 3. 11 1 11 1 2 lg 3lg 3 2 ++ + = ++ xx x x x 4. 11 3lg 2 2 lg = xx xx 3. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn . VD: Giải các phơng trình sau: 1. (x + 2) 016)1()1(4)1( loglog 3 2 3 =++++ xxx 2. 062)1( loglog 2 2 2 =++ xxxx 4 .Ph ơng pháp không mẫu mực. VD: Giải các phơng trình sau: 1. log 2 (2 - x 2 ) + log 3 (3 - x 2 ) + log 4 (4 - x 2 ) = x 2 - 4x +7 2. 2 2x +1 + 2 3 - 2x = )444( 4 2 3 log + xx 3. log 3 (x 2 + x +1) - log 3 x = 2x - x 2 4. lg(x 2 - x - 12) + x = lg(x + 3) + 5 Bài tập tổng hợp Giải các ph ơng trình sau: 1. log 5 x + log 3 x = log 5 3.log 9 225 (ĐHYHN-1999) 4 2. 2lg(x - 1) = 2 1 .lgx 5 - lg x (§H-1970) 3. 2 )112(. logloglog 33 2 9 −+= xxx (§HXD –1998) 4. log x +3 (3 - x x 2 21 +− ) = 2 1 ( §HQG-96) 5. log 2 (x 2 + 3x + 2) + log 2 (x 2 + 7x + 12) = 3 + log 2 3 (§HQG-A-98) 6. log 5 (5 x -1).log 25 (5 x + 1 - 5) = 1 ( §HSP Hµ Néi 2 -98) 7. log a (ax).log x (ax) = ) 1 ( log 2 a a (§HSP Vinh-98) 8. log 4 (x + 1) 2 + 2 = x − 4 log 2 + log 8 (4 + x) 3 (§HBK-2000) 9. log 2 (x 2 - x + 1) + log 2 (x 2 + x + 1) = log 2 (x 4 + x 2 + 1) + log 2 (x 4 - x 2 + 1) (HVQHQT-D-2000) 10. lg 4 (x - 1) 2 + lg 2 (x - 1) 3 = 25 (§H Y Hµ Néi –2000) 11. log 4 (log 2 x) + log 2 (log 4 x) = 2 (§H Ngo¹i Ng÷-2000) 12. log 27 (x 2 - 5x + 6) 3 = 2 1 2 1 log 3 − x + log 9 (x - 3) 2 (HVCTQG-2001) 13. 2). 2 2 ().22( 2 22 2 22 loglogloglogloglog =+++ xx x x xx xx (§HTS- 2001) 14. log 2 (log 3 x) = log 3 (log 2 x) (§H Ngo¹i Th¬ng HN-95) 15. log 2 (x - 1 2 − x ).log 3 (x + 1 2 − x ) = log 6 (x - 1 2 − x ) (HVKT MËtM·-99) 16. log 5 x = log 7 (x + 2) (§HQGHN-B-2000) 17. log 7 x = log 3 ( x + 2 ) (§H KiÕn Tróc – 2000) 18. log 2 x + 2log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x (HVNH-2001) 19. log 2 (3x - 1) + 2 1 log )3( + x = 2 + log 2 (x + 1) (§HAN –2001) 20. 3)4(2 loglog 2 2 =+ x x (HVCNBCVT-99) 21. log 3x + 7 (9 + 12x + 4x 2 ) + log 2x + 3 (6x 2 + 23x + 21) = 4 ( §HKTQD-2001) 22. log 4 (x - 1 2 − x ).log 5 (x + 1 2 − x ) = log 20 (x - 1 2 − x ) (§HSP Vinh-2001) 23. log x (x + 1) - lg4,5 = 0 (§HNT-94) 24. 0.40.14 logloglog 4 3 16 2 2 =+− x xx x xx (§HCS –2001) 25. 2)2( loglog 2 2 =++ + xx x x (§H N«ng nghiÖp HN-2001) 26. x. 15.16 22 2 loglog += xx x ( §HQG-B-96) 27. 2 05 log 2 log 82 3 =−+ − xx xx (§HTHHN-94) 28 . x + xx 53 loglog 22 = (§HNT-96) 29. 36 4 )100lg(lg )10lg( 2 .2 xx x =− (§H B¸ch khoa Hµ Néi-99) 30. 2 )3( log 5 + x = log 2 x (§HTL-99) 31. log 2 (4 x + 4) = x - log 2 1 (2 x + 1 - 3 ) (§HC§-2001) 32. log 2 (3.2 x - 1) = 2x + 1 (§H§N-97) 5 33. 30 loglog 3 22 27 =+ x x ( ĐHHP-2001) 34. ( ) ( ) 2 1 log . log 2222 22 xx xx +=+ + (ĐHQG-A-2000) 35. Tìm tích các nghiệm của PT: 0.36 log 5 7)3( 6 = xx x (ĐH Mỏ-ĐC-2001) 36. log 3 (x 2 + x + 1) - log 3 x = 2x - x 2 (ĐHNT-D-2000) 36. xx x log 3 log 62 ) log ( 6 =+ 37. xxx x 329 loglog . log 222 3 = 38. 3.log 3 (1 + 3 xx + ) = 2log 2 x C: Bất phơng trình mũ. I: Các bất phơng trình mũ cơ bản. 1) Bất phơng trình dạng a f(x) > a g(x) (1) ( 0 < a 1) - Nếu a > 1 thì (1) f(x) > g(x) - Nếu 0 < a 1 thì (1) f(x) < g(x) 2) Bất phơng trình dạng a f(x) > b (2) ( 0 < a 1) - Nếu b 0 thì bất phơng trình có tập nghiệm là tập xác định của f(x) - Nếu > > 0 1 b a thì (2) f(x) > log a b - Nếu > << 0 10 b a thì (2) f(x) < log a b II: Bài tập. Giải các bất phơng trình sau: 1. 132 2 +< x x (ĐHNT-95) 2. 2.2 x +3.3 x > 6 x 1 (ĐH Y Hà Nội-99) 3. 2.14 x + 3.49 x - 4 x 0 (ĐHGTVT-96) 4. 222 21212 15.34925 xxxxxx ++ + ( ĐHKT-96) 5. 2 x + 2 x +1 3 x + 3 x-1 (ĐHQG-96) 6. 12 3 1 .3 3 1 1 12 > + + xx (ĐHVH-96) 7. 1 2 3 1 3 2 xx xx (ĐHBK Hà Nội 97) 8. 3 x + 1 2 2x + 1 - 12 2 x < 0 (HVCNBCVT-98) 9. 09.93.83 442 > +++ xxxx (ĐHSP 2000) 10. 1 23 23.2 2 + xx xx (HVHCQG-2001) 11. 23.79 212 22 ++ xxxxxx 12. ( 5 + 2) x-1 ( ) 1 1 25 + x x D: Bất phơng trình lôgarit. I) Các bất phơng trình cơ bản 1) Bất phơng trình dạng 6 7