60 bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số điển hình phạm văn bình

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Nếu hệ có hai phương trình ta dưa dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T ta khảo sát hàm số đặc trưng : y=f(t) T Nếu f(t) đơn điệu để f(x)=f(y) xảy x=y Trong phương pháp khó em phải xác định tập giá trị x y , tập giá trị chúng khác em khơng dùng phương pháp mà phải chuyển chúng dạng tích : f(x)-f(y)=0 hay : (x-y).A(x;y)=0 Khi ta xét trường hợp : x=y , trường hợp A(x,y)=0 Sau số mà em tham khảo 2 x y  y  x  x Bài Giải hệ phương trình sau :   x   y    x  1 - Phương trình (1) x=0 y=0 không nghiệm ( không thỏa mãn (2) )  y  y - Chia vế phương trình (1) cho x   1        x  x3  x  x - Xét hàm số : f  t   2t  t  f '  t    3t  0t  R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình có nghiệm xảy :  x  2 y  x  y  x -thay vào (2) : x x2    x2   x   t   x  2 t  x   t  2; t  x   x2    x2   x     x   x  x   Do hệ có hai nghiệm : (x;y)=  3;3 ,  3;3 x  2  y  y  x  y Bài Giải hệ phương trình sau :   x  x  y  x  3y   Giải    x   x  2y  2y  x  y  3y  2  y  y  x  y x  y  y x  y  y       x  x  y  x  3y   x  x  y  x  y   x  x  y  x  y   y  x  y  2 y   x  y  y Thay vào (2)  x  y  y  y   2 y  y  y   y  y   - Trường hợp 1: - Trường hợp : y  y  x  y  3y     *  2 x  y  y x  y  y Thay vào (2) :  y  y  y  y  y  y   y  y  y  y    y  1  x     t  y  y   t  2    9y  5y     16 264 88  y      y  y     t  t    91 9  88  Vậy hệ có nghiệm :  x; y    7; 1 ,  ;   9 xy  2 x  y  x  y  Bài Giải hệ phương trình sau :   x  y  x2  y  Giải xy  2  x  y  x  y  11 a  Từ (2) viết lại :  x  y  x2  y  2  x  y  x  y  x2  x   x y   x  y  x2  x Ta xét hàm số f(t)= t  t  t    f '  t   2t    t  Chứng tỏ f(t) hàm số đồng biến , x  y  x  y  x  x (*) ta có : x  x2  x  2 xy 2   x   x  x  1   x  1  Thay vào (1) :  x  y    x   x  x   x x  x 1   x 1  x    x  1  x   x  x  1        **  x  1  x  1  x  x  3  x  x  x   2  x  1; y    x; y   1;  , 1;0  Thay vào (*) :  y  x  x    x  1; y   x2 1 y  12 3 y  x 2  Bài Giải hệ phương trinh :   2 x  y   x  y   2  x2 1 y   y  x 1 4 2   x 2 y  Từ  - Điều kiện : x, y  - Từ (1) :  2.2  x  2.2 3 y  2 x  y   x  y   2  2 - Xét hàm số : f (t )  2.t  3t  t    f '(t )  8t   Chứng tỏ f(t) đồng biến      Do để phương trình (1) có nghiệm : x  y  x  y  - Thay vào (2) :   *  4 3 Xét hàm số : f(t)= 2t  t  f '(t )  4t   2   y   x  y 4 1    x; y    ;  - Nhận xét : f(1)=2+  Suy t=1 nghiệm   2 5 5  y   x   5y  5y      x   x2 y   y   Bài Giải hệ phương trình sau :   x x  xy   xy  x          x   x y   y   x   x   y     y 2   Từ :  ( nhân liên hợp )    x x  xy   xy  x    x x  xy   xy  x   Xét hàm số : f (t )  t   t  f '(t )   t  1 t2  t 1 t2 t2 1 Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) :  t t 1 t2  0t  R  x  x   3x x  25  x x  x   4 x  x    x  x     x  2   x  x   2 x x  x    x  1; y  1 * Trường hợp : x  x   x   2 2 x  x   x 7 x  x   x  x   * Trường hợp : x  x   2 x    2 2 x  x   x 2 x  x    11 3  11  11 3  11 x ; ;y Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( ) 2 2  x  1 x   y  3  y  Bài Giải hệ phwpng trình :  4 x  y   x  Giải  x  1 x   y  3  y  1 Từ :  (KA-2011) 2  2 4 x  y   x    t2  t3  t  t2    3 t  - PT(1): x3  x    y  3  y  3 Đặt t   y  y  2   t3  t   2x   2x  t  t - Xét hàm số : f(u)= u  u  f '(u )  3u   0u suy f(u) đồng biến Do để f(x)=f(t) xảy - Khi (2) : x3  x  : 2x=t  x   y  x   y  y   x     x2   3 - Thay vào (2) : g ( x)  x      x   : x  0;  Ta thấy x=0 x= không  4   4 5   3  x  x  3   0x   0;  nghiệm g'(x)= x  x   x    4x  4x 2   4 1 - Mặt khác : g     x  nghiệm nhấy , thay vào (4) tìm y=2 2 1  - Vậy hệ có nghiệm :  x; y    ;  2  2  x  13  x    y  3 y  Bài Giải hệ phương trình :   x   y   Giải : 2  x  1  x    y  3 y  1 Từ :   2  x   y   - Điều kiện : y  2; x   * - Đặt : Từ (2) : x  y   36  x  y  15  x   16  y y   t  y  t   y    t     2t  - Từ (1):Đặt : - Cho nên vế phải (1) :   2t  1 t  2t  t  1 :  x  1   x  1  2t  t - Xét hàm số : f  u   2u  u  f '  u   2u   0u  R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(t) xảy : x=t  31  53 y  2 x  y  2 x  y   y 15       31  53  y  31y  227  15  y  y  2 x  y  15  15 y    53  31  53  - Vậy hệ có nghiệm :  x; y      ;   2  x3  x  y  1  x  y  11  Bài 8Giải hệ phương trình :   y  x   ln  y  x     2  x3  x  y  1  x  y  11  Từ :   y  x   ln  y  x     - Điều kiện : y  x  0(*) - Phương trình (1) :   x3  x    y  1  x  y  1  x  x     y  1  x   - Do : x    x  y  1(**) - Thay vào (2) : y   y  1   ln  y  y  1   f  y   y  y   ln  y  y  1  y 1  Chứng tỏ hàm số đồng biến y  y 1 - Mặt khác : f(-1)=0 , phương trình có nghiệm : (x;y)=(0;-1)   x  3 x   y  y  Bài Giải hệ phương trình :   4 x  x  y  y  y   -Ta có : f '  y   y   Giải  x  3 x   y  y  1 Từ :  4 x  x  y  y  y     - Điều kiện : x  - Từ (1) : 8x  3 x   y  y *     - Đặt : t  x   x  t   8x  3 x   4 t   3 t  4t  t  4t  t - Do (*) : 4t  t  y  y - Xét hàm số : f(u)= 4u  u  f '  u   12u   0u  R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : f(t)=f(y)  x 1  y  x  y  1(**)     - Thay vào (2) : y   y   y3  y  y    y  y3  y  y   y  y  y  y     y  y  1  y  y     y  y  1 y   y  1  y  y  y 1    y    x ; y  ;0 ,    x; y   1;1 - Vậy :         2   2 x  y   x  2 x  y   x    y  2  y  1  y  2 y   5     x; y   1;0  ,      x; y    ; 2  2 2  2 x  y   x  2 x  y   x    1 x2 2 x  y   xy  Bài 10 Giải hệ phương trình :   x2 y  x  x2 y   x    Giải :  2 x  y   xy  1 Từ :   x2 y  2x  2x2 y   x      1 x - Từ (2) :  x2 y  x    x y  x      x y  x   1   x y  x   x y   x 2 1 2x  y   * 1 x 1 x  2  1 2x  1 x2 - Hay :  , thay vào (1) : x  x        (3)  x  2 x  xy   x  x  x  x2 x2  x 1 1 - Nhận xét :    1  2   2 x x x x 2 x 1 x 1 2x 1 1 Gọi : a  , b   b  a     x x 2 x a b - Cho nên (3)     b  a   2a  2a  2b  2b - Xét hàm số : f(t)= 2t  2t  f '  t   2t ln   0t  R Hàm số đồng biến , phương trình có nghiệm : a=b , tức b-a=0 , hay : 1    x  Thay vào (*) ta tìm x 3  y=    x; y    2;   4   x  y 1  Bài 11 Giải hệ phương trình :     x   x  y y   Giai Đ/K : x  2; y      Từ (2) 1    x    x  1   y  1  y y    x   x  y   y  Ta xét hàm số : f (t )  t  t  f '(t )  3t   0t  R Chứng tỏ hàm số đồng biến R 2 y   x Do đẻ f  x  f y  , xảy :  x  y    x   2y    3  Thay vào (1)  x3    x     x  x     x  1  x  x     x  1; y    Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)  x y  x  y  y   Bài 12 Giải hệ phương trình :  2 2  y   x  y  xy  x  x  xy  y   y Giải Đ/K : x  y  0; y   x  y  Từ (2) : y   x  y  y   y  xy  x  y2 1  y  y2    x  y 1  x  y   x  y Xét hàm số : f (t )  t   t  t 1 t  0  1  y  f '(t )  t t2 1     2t  t   2  0 2 t  t 1  t 1   với t>0 ) t2 1 t2 1 Như hệ có nghiệm xảy : y  x  y hay x=2y ( Vì : t2 1     x  y Thay vào (1) :  y  y   y   y  y    y  10 y  y   2   y    y  y  1   y  : y  y   vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 ) 2  x   x    y Bài 13 Giải hệ phương trình sau :   x   y   y  x  x  Giải Điều kiện : y  2; x  6 Từ (2) :  x   y   y  x  x    y  1    x    Xét hàm số y 1  x  2 y2 y 1  f (t )   x  2    x  2  t 1 t t  0  y2  y 1  x  2   x  2  1 f '(t )     '    t  2t  t Chứng tỏ hàm số nghịch biến 2 Để f  x    f  y  1 xảy : y    x   Thay vào (1) ta phương trình : 1   x  2 t  x   t  x       x  2 x       t  2t t   2t t    t   0  t  x    0  t  x   0  t  x      4  3 2 2 t  4t  46t  49  4t  t      t   t  1  t  3t  49t  49   +/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0) +/ Trường hợp : f (t )  t  3t  49t  49   f '(t )  3t  6t  49  t  1  52  0t  0;    Hàm số nghịch biến f(o)= -491 đạt GTLN t=1 Cho nên ta phải sử dụng phương pháp " Phương trình tích "  Nếu thay vào (2)  x=2y  x=2y  x=2y  x=2y       1 y     y  y   :  y ,   e ln  y  e ln 1  y   ln 1  y   y  y      y  1  y     1 y   Xét hàm số : f ( y )   1  e y  f '( y )    e y có nghiemj : y=0 1 y 1  y   x  10 y   x; y    0;0  Tương tự ta có nghiệm y=0 Nếu :  x  y  x3  3x  y  y   Bài Giải hệ phương trình sau :   x2  y 1  log y  y    log x  x     x  3      Giải 3  x  3x  y  y  1   1  x3  3x  3x   y  y  3x    x2  y 1    log x  log y     x  3    x2  y 1     x  1  y  y   x  1   x  1   x  1  y  y * 3 Đặt : x-1=t suy (*) trở thành : t  y   t  y     t  y   t  ty  y  3  +/ Trường hợp : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1  x2 1 y 1 Thay vào (2) ta có : log y  log x   x  3   x  3   x  Do nghiệm hệ phương trình : (x;y)=(3;2) +/ Trường hợp : t  ty  y     x   1   x   1 y  y   2   x      y  x    y  y   2 x y  y  x  x Bài Giải hệ phương trình sau :   x   y    x  1 Giải 2 2  x  y  x   y   x 3  2 x y  y  x  x   y  x  x  y  yx  x      2  x   y    x  1  x   y    x  1  x   y    x  1   -Trường hợp 1: y= x , thay vào (2) :  x  2 x2   x2   x  t   x  2 t  x   t  2; t  x  x2    x2   x     x   x  x  -Trường hợp : x  y  yx  x   y  yx   x  x     y  x   x  x   3x  x   x  R   y   f (, y )  x  y  yx  x   x, y Phương trình vơ nghiệm   Do hệ có hai nghiệm : (x;y)=  3;3 ,  3;3 * Chú ý : Ta cịn có cách giải khác - Phương trình (1) x=0 y=0 khơng nghiệm ( không thỏa mãn (2) )  y  y - Chia vế phương trình (1) cho x   1        x  x3  x  x - Xét hàm số : f  t   2t  t  f '  t    3t  0t  R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình y  x  y  x Đến ta giải phần x x   y   x  2y  y Bài Giải hệ phương trình sau :   x  x  y  x  3y   có nghiệm xảy : Giải    x   x  2y  2y  x  y  3y  2  y  y  x  y x  y  y x  y  y         x  x  y  x  3y   x  x  y  x  y   x  x  y  x  y   y  x  y  2 y   x  y  y Thay vào (2)  x  y  y  y   2 y  y  y   y  y   - Trường hợp 1: - Trường hợp : y  y  x  y  3y     * 2 x  y  y x  y  y Thay vào (2) :  y  y  y  y  y  y   y  y  y  y    y  1  x     t  y  y   t  2    9y  5y     16 264 88  y  9       9y  5y  t  t    91 9  88  Vậy hệ có nghiệm :  x; y    7; 1 ,  ;   9 xy  2 x  y  x  y  Bài Giải hệ phương trình sau :   x  y  x2  y  Giải xy  2  x  y  x  y  11 a  Từ (2) viết lại :  x  y  x2  y  2  x  y  x  y  x2  x   x y   x  y  x2  x Ta xét hàm số f(t)= t  t  t    f '  t   2t    t  Chứng tỏ f(t) hàm số đồng biến , ta có : x  y  x  y  x  x (*) x  x2  x  2 xy 2   x   x  x  1   x  1  Thay vào (1) :  x  y    x   x  x   x x  x 1   x 1  x    x  1  x   x  x  1         x  1**  x  x  x    x  1  x  x  3   x  1; y    x; y   1;  , 1;0  Thay vào (*) :  y  x  x    x  1; y  Chú ý : Các em có nhận xét khơng tơi giải Bây nêu thêm hai cách để em kiểm nghiệm : Cách 2 xy xy Đặt : x  y  u; xy  v  1  x  y     x  y   xy  1 x y x y 2v  u  2v    u  u  2uv  2v   u u  1  2v u  1   u  1 u u  1  2v   u x  y  u     x  y    x  y   xy  u  u  2v  * Nếu x+y=1 thay vào (2) ta : x   y   x  1  x   x  x       x; y   1;0  ,  2;3  x  2  y  2 +/ Với  x  y    x  y   xy   x  y  x  y  vơ nghiệm  x  y  0; x  y    x2 1 y  12 3 y  x 2  Bài Giải hệ phương trinh :   2 x  y   x  y   2 Giải  x2 1 y   y  x 1 2  Từ  - Điều kiện : x, y  x  y   2  x y   2  2 4  x 2 y  - Từ (1) :  2.2  x  2.2 3 y       - Xét hàm số : f (t )  2.t  3t  t    f '(t )  8t   Chứng tỏ f(t) đồng biến Do để phương trình (1) có nghiệm : x  y  x  y - Thay vào (2) : 2   *  4 3 Xét hàm số : f(t)= 2t  t  f '(t )  4t   2  y  x  y    4 1    x; y    ;  - Nhận xét : f(1)=2+  Suy t=1 nghiệm   2 5 5  y   x    x  y s inx  e  siny    Bài Giải hệ phương trình :   x   0;     3 x    y  y   y   Giải  x  y s inx 1 e  siny   Từ :  : x   0;   4 3 x    y  y   y    et  sin t  cost  e x s inx ex ey et      f (t )   f '(t )   0t   0;  - Từ (1) : y  e siny s inx sin y sin t sin t  4 - Chứng tỏ hàm số f(t) ln đồng biến Phương trình có nghiệm x=y 5y  5y  - Thay vào (2) : x    x  x   x  x    x  x   x   x  3  36  x  x  1  x  1   8x    8x  2 8x   x  x  8x   x2  x  1  x 8 x      2 3 x   x  x    x   2 x  x   1 1 - Với x    x; y    ;  8 8  8x2      - Ta có : với x   0;  suy   8x2   2 x2  x   1    4 2  x      2 2   1 1 - Vậy hệ có nghiệm :  x; y    ;  8 8     x   x2 y   y   Bài 10 Giải hệ phương trình sau :   x x  xy   xy  x  Giải  x   x y   y   x   x   y     y 2   Từ :      x x  xy   xy  x   x x  xy   xy  x        Xét hàm số : f (t )  t   t  f '(t )   t  1 t2  t 1 t2 t2 1 Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) :  t t 1 t2  ( nhân liên hợp )  0t  R  x  x   3x x 25  x x  x   4 x  x    x  x     x  2   x  x   2 x x  x    x  1; y  1 * Trường hợp : x  x   x    2 2 x  x   x 7 x  x   x  x   * Trường hợp : x  x   2 x   2 2 x  x   x 2 x  x    11 3  11  11 3  11 Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( ) ; ;y 2 2  x  x   y  3  y  Bài 11 Giải hệ phwpng trình :  4 x  y   x  x   Giải   x  1 x   y  3  y  1 Từ :  (KA-2011) 2  2  4 x  y   x  - PT(1): x3  x    y  3  y  3 Đặt t   y  y    t2  t3  t  t2    3 t  2   t3  t   2x   2x  t  t - Xét hàm số : f(u)= u  u  f '(u )  3u   0u suy f(u) ln đồng biến Do để f(x)=f(t) xảy - Khi (2) : x3  x  : 2x=t  x   y  x   y  y   x     x2   3 - Thay vào (2) : g ( x)  x      x   : x  0;  Ta thấy x=0 x= không  4   4 5   3 nghiệm g'(x)= x  x   x    x  x  3   0x   0;   4x  4x 2   4 1 - Mặt khác : g     x  nghiệm nhấy , thay vào (4) tìm y=2 2 1  - Vậy hệ có nghiệm :  x; y    ;  2  3  2 y  3xy  Bài 12 Giải hệ phương trình sau :   x y  y  Giải :  2  3x  t 1 - Đặt : t    Lấy (1) +(2) :  x3  3x  t  3t y   x   3.t   - Xét hàm số : y  f  u   u  3u  f '  u   3u   0u  R - Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : x=t   x 2    y x  y x  y  x  y      x3 y  y   y  y   y  y    y  1 y  2      y - Vậy hệ có nghiệm : (2;1);(-1;-2) 2  x  13  x    y  3 y  Bài 13 Giải hệ phương trình :   x   y   Giải :  2  x  1  x    y  3 y  1 Từ :   2   4x   y   - Điều kiện : y  2; x   * - Đặt : Từ (2) : x  y   36  x  y  15  x   16  y - Từ (1):Đặt : y   t  y  t   y    t     2t    - Cho nên vế phải (1) :  2t  t  2t  t  1 :  x  1   x  1  2t  t - Xét hàm số : f  u   2u  u  f '  u   2u   0u  R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(t) xảy : x=t  31  53 y    x  y  y  15  2 x  y        31  53   y  31y  227   2 x  y  15 15  y  y   15 y    53  31  53  - Vậy hệ có nghiệm :  x; y      ;   2  x3  x  y  1  x  y  11  Bài 14 Giải hệ phương trình :   y  x   ln  y  x     2  x3  x  y  1  x  y  11  Từ :   y  x   ln  y  x     - Điều kiện : y  x  0(*) - Phương trình (1) :   x3  x    y  1  x  y  1  x  x     y  1  x   - Do : x    x  y  1(**) - Thay vào (2) : y   y  1   ln  y  y  1   f  y   y  y   ln  y  y  1  y 1  Chứng tỏ hàm số đồng biến y  y 1 - Mặt khác : f(-1)=0 , phương trình có nghiệm : (x;y)=(0;-1)   x  3 x   y  y  Bài 15 Giải hệ phương trình :   4 x  x  y  y  y   Giải  x  3 x   y  y  1 Từ :  4 x  x  y  y  y     - Điều kiện : x  - Từ (1) : 8x  3 x   y  y * -Ta có : f '  y   y       - Đặt : t  x   x  t   8x  3 x   4 t   3 t  4t  t  4t  t - Do (*) : 4t  t  y  y - Xét hàm số : f(u)= 4u  u  f '  u   12u   0u  R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : f(t)=f(y)  x 1  y  x  y  1(**)     - Thay vào (2) : y   y   y3  y  y    y  y3  y  y   y  y  y  y     y  y  1  y  y     y  y  1 y   y  1  y  y  y 1    y      x; y   1;1 - Vậy :    x; y    ;0  ,  2   2 x  y   x  2 x  y   x    y  2  y  1  y  2 y   5     x; y   1;0  ,      x; y    ; 2  2 2  2 x  y   x  2 x  y   x    1 x2 2 x  y   xy  Bài 16 Giải hệ phương trình :   x2 y  x  x2 y   x    Giải :  2 x  y   xy  1 Từ :   x2 y  2x  2x2 y   x      1 x       - Từ (2) : x2 y  x  x y  x     x y  x  1   x y  x   x y   x 1 2x  1 x 1 x  y  x  *  1 2x  1 x2 x2    - Hay :  , thay vào (1) :     (3)  x x   2 x  xy   x  x  x2 x2  x 1 1 - Nhận xét :    1  2   2 x x x x 2 x  x2 1 2x 1 1 ,b   b  a  2   x x 2 x a b - Cho nên (3)     b  a   2a  2a  2b  2b Gọi : a  - Xét hàm số : f(t)= 2t  2t  f '  t   2t ln   0t  R Hàm số đồng biến , phương trình có nghiệm : a=b , tức b-a=0 , hay : 1    x  Thay vào (*) ta tìm x 3  y=    x; y    2;   4  Bài 17 1  42 x  y  51 x  y   22 x  y 1  Giải hệ phương trình :   y  x   ln  y  x   Giải : 1  42 x  y  51 x  y   22 x  y 1 1  Từ :   y  x   ln  y  x      42 x  y     2.22 x  y   5.4a  5a  2.10a  a  x  y  - Phương trình (1) :  52 x  y  5a  2.10a  54a   f  a   5a  10a  4a   5   - Xét : f '  a   5a ln  10a ln10  4a ln    10a ln10  10a ln10  4a ln  5   - Chứng tỏ hàm số đồng biến Mặt khác : f(1)=0 , nghiệm phương trình - Với a=1 suy 2x-y=1 , hay 2x=y+1 Thay vào (2) :  y   y  1  ln  y  y  1    f  y   y  y   ln  y  y  1   f '  y   y   1  y2  y  y 1  g ' y    - Xét : g  y   2 y  y 1  y  y  1 y 1 (*) y  y 1 1   2 y   2  y  y  1 2   y    f ' y    f '  y   0y  R - Nhận xét :  y    g ' y   g     f ' y          2 - Chứng tỏ f(y) đồng biến Mặt khác f(-1)=0 suy y=-1 nghiệm PT - Kết luận : hệ có nghiệm (x;y)=(0;-1)  x  y 1  Bài 18 Giải hệ phương trình :     x   x  y y   Giai Đ/K : x  2; y      Từ (2) 1    x    x  1   y  1  y y    x   x  y   y  Ta xét hàm số : f (t )  t  t  f '(t )  3t   0t  R Chứng tỏ hàm số đồng biến R 2 y   x Do đẻ f  x  f y  , xảy :  x  y    x   2y    3  Thay vào (1)  x3    x     x  x     x  1  x  x     x  1; y    Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)  x  y 3  xy   x  y   xy   Bài 19 Giải hệ phương trình :  ( Ngơ Trung Hiếu )    x y x  y Giải x  y  x  y     Đ/K :   * x  y  y  x  x  y 3  xy   x  y   xy   x  y 3  xy   x  y   xy    Hệ   2 x  y  x  y    x  x   y  x  x  y x  t  Từ (2) : t  x  y   x  x  t  t  x  t   x  t     x  t  x  t  1    x  t 1  y  x  x +/ Trường hợp : x=t  x  y  x   x      thay vào (1) x6  x2  x x  y 8  x2  x x   x6  8x3  8x2  x2 8  x3  x2   x6  8x3  8x  16 x  x5  x  x6  x5  x  x3  24 x  x   y   2  x  x  x  x  x  24    x  x   x    x  x      x  2  y   x  x   Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;2),(-2;6) x 1   x  1  +/ Trường hợp : x   x  y   x  y    x  1   2 x  y  x  2x 1  y  x  x 1 1   x  y   xy  16  x  y   xy  x  y    x  y    x  y   16  x  y   xy 4   x  y        16  x  y   xy  xy  x  y    Thay vào (1) :  x  1  8x x2  x    x  1 8  x x  x    x  1  8x x2  x    x  1 8  x x2  x        x y  x  y  y   Bài 20 Giải hệ phương trình :  2 2  y   x  y  xy  x  x  xy  y   y Giải Đ/K : x  y  0; y   x  y  Từ (2) : y   x  y  y   y  xy  x  y2 1  y  y2    x  y 1  x  y   x  y Xét hàm số : f (t )  t   t  t t2 1     x  y 1 t  0  1  y  f '(t )  t t2 1     2t  t   2  0 2 t t t    1   với t>0 ) t2 1 t2 1 Như hệ có nghiệm xảy : y  x  y hay x=2y ( Vì : Thay vào (1) :  y  y   y   y  y    y  10 y  y   2   y    y  y  1   y  : y  y   vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )  2  x   x    y Bài 21 Giải hệ phương trình sau :    x   y   y  x  x  Giải Điều kiện : y  2; x  6 Từ (2) :  x   y   y  x  x    y  1    x    Xét hàm số y 1  x  2 y2 y 1  f (t )   x  2    x  2  t 1 t t  0  y2  y 1  x  2   x  2  1 f '(t )     '   0 t  2t  t Chứng tỏ hàm số nghịch biến 2 Để f  x    f  y  1 xảy : y    x   Thay vào (1) ta phương trình : 1   x  2   t  x   t  x     x  2 x         t  2t t   2t t    t 0  t  x    0  t  x   0  t  x        2 2 t  4t  46t  49  4t  t      t   t  1  t  3t  49t  49   +/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0) +/ Trường hợp : f (t )  t  3t  49t  49   f '(t )  3t  6t  49  t  1  52  0t  0;    Hàm số nghịch biến f(o)= -49