Số phức và các phép toán về số phức – Diệp Tuân

Tài liệu gồm 80 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Diệp Tuân, hướng dẫn giải các dạng toán số phức và các phép toán về số phức trong chương trình Giải tích 12 chương 4 bài số 1.

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán SỐ PHỨC KHÁI NIỆM SỐ PHỨC §BÀI A-LÝ THUYẾT I Định nghĩa Mỗi biểu thức có dạng a  bi với a, b  , i  1 gọi số phức Trong đó: Gọi a phần thực, b phần ảo số phức z Số i mà i  1 gọi đơn vị ảo Tập số phức z  a  bi kí hiệu  {a  bi | a, b  ; i  1} Tập số thực  Ví dụ Số phức z   2i có phần thực … phần ảo Đặc biệt: Khi phần ảo b   z  a   z số thực Khi phần thực a   z  bi  z số ảo Số   0i vừa số thực, vừa số ảo II Hai số phức Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng Tức a  c a  bi  c  di   với a, b, c, d  b  d Ví dụ a) Tìm số thực x, y , biết (2 x  1)  (3 y  2)i  ( x  2)  ( y  4)i b) Tìm số thực x, y , cho z  z ' biết z   3x    3i, z '  12   y   i; c) Tìm số thực x, y , biết ( x  y  i )   i   y  x  11  i   26  14i Lời giải III Biểu diễn hình học số phức Điểm M (a; b) hệ trục tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z  a  bi Ví dụ Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta có: Điểm A biểu diễn cho số phức: ……………… Điểm B biểu diễn cho số phức: ……………… Điểm C biểu diễn cho số phức: ……………… Điểm D biểu diễn cho số phức: ……………… Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Tốn Ví dụ Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D điểm biểu diễn số phức z1  1  i , z2   2i , z3   i , z4  3i Gọi S diện tích tứ giác ABCD Tính S Lời giải IV Môđun số phức Giả sử số phức z  a  bi biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ Độ dài véctơ OM gọi môđun số phức z kí hiệu z Khi đó: z  OM  a  bi  a  b2 Kết quả: z  ta có: z  0, z   z  0, z  z z1.z2  z1 z2 , z.z  z , z  z , z z1   z2 z2 Ví dụ Tìm mơđun số phức sau: z   i z   2i Lời giải V Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z  a  bi, (a, b  ) Ta gọi a  bi số phức liên hợp z kí hiệu z  a  bi y b O -b Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân z = a + bi a x z = a - bi Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Ví dụ Cho số phức sau z1  3  2i, z2   3i Hãy tìm số phức liên hợp số phức Lời giải Tính chất Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn z z đối xứng với qua trục Ox Từ định nghĩa, ta có kết sau:  z  z  z  z;  z1  z2  z1  z2  z1.z2  z1.z2 z  z      z2  z2  z số thực  z  z Ví dụ Cho z   2a  1   3b  5 i, a, b   z số ảo  z   z Tìm số a, b để a) z số thực b) z số ảo Lời giải Ví dụ Tìm m  R để số phức z   1  mi   1  mi  số ảo Lời giải VI Cộng, trừ, nhân, chia số phức Cho hai số phức z1  a  bi z2  c  di Phép cộng phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức Phép cộng: z1  z2  (a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i Phép trừ: z1  z2  (a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i Số phức đối số phức z  a  bi  z  a  bi Do z  ( z )  ( z )  z  Ví dụ Cho hai số phức z1   2i z2   7i Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức w  z1  z2 số phức w  z2  z1 Lời giải Phép nhân số phức thực theo quy tắc nhân đa thức, thay i  1 kết nhận Cụ thể z1.z2  (ab  bd )  (ad  bc)i Ví dụ 10 Cho hai số phức: z1   2i z2   3i Hãy tính: z1.z2 , z1 , z1.z2 z2 Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Phép chia: z1 z1.z2 z1.z2 ac  bd bc  ad      i, (z2  0) z2 z2 z2 c  d c2  d z2 Số phức nghịch đảo z  a  bi  z z    z z a  b2 Ví dụ 11 Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức sau:  4i 1) z  i   i   i  2) z  3) 1  i  1  i  z   i  1  2i  z 4i Lời giải Ví dụ 12 Tìm nghịch đảo số phức sau: a) z   4i; b) z  3  2i; c) z  1 i ;  2i   d) z   i Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Nhận xét: Quá trình thực trên, thực ta dùng cơng thức sau: z.z  z  z  z z VII Lũy thừa đơn vị ảo i n 1 i  n Ta có: i  1, i  i, i  1, i  i  i  i, quy nạp ta có i   1 i Do đó: i n  {1;1; i; i}, n  n  4k n  4k  n  4k  n  4k  * 1 1  1 i  Ví dụ 13 Tính A   i   , B    2i  i   1 i  2015   7i  , C     3i  2026 , D 1  i    2i  Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA DẠNG CÁC PHÉP TỐN VỀ SỐ PHỨC VÀ TÌM THUỘC TÍNH CỦA NĨ Nhóm tốn Tính tốn cộng trừ, nhân chia số phức Phương pháp  Áp dụng công thức cộng, trừ, nhân, chia lũy thừa số phức  Số phức thuộc tính  Tìm phần thực phần ảo: z  a  bi , suy phần thực a , phần ảo b  Biểu diễn hình học số phức: n  4k 1 i n  4k    Lũy thừa đơn vị ảo: i n   1 n  4k  i n  4k  Bài tập minh họa Bài tập Thực phép tính sau: 5  6i a) A  b) B   3i 1  i   3i  c) C  1  i 2 100 98 96   7i  e) E   f) F  1  i   4i 1  i   1  i     3i  Lời giải  2i d) D  i 2026 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Bài tập Viết số phức sau dạng a  bi,  a, b  R  : a) z    i   1  2i     i   i  ; b) z    i  1  i  ; z 1  i   1  i  2  i z 1  2i  c)  i  i  2i   ; 1 i  i 1 i d) Lời giải Câu hỏi trắc nghiệm Mức độ Nhận biết Câu 1.(Đặng Thành Nam) Số phức z  a  bi  a, b  A a  , b  B a  , b   số ảo C a  D b  Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 2.(Đặng Thành Nam) Với số phức z Mệnh đề sau sai ? A z số thực B z số phức C z số thực dương D z số thực không âm Lời giải Câu 3.(THPT Kim Liên 2017)Mệnh đề đúng? A z  , z  z số thực C z  , z  z số ảo z số thực z D z  , z.z số thực không âm B z  , Lời giải Câu 4.(Sở GD Đào Tạo Hưng Yên) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho z số ảo A Hai đường thẳng y  x y   x B Trục Ox C Hai đường thẳng y  x y   x , bỏ điểm O  0;0  D Trục Oy Lời giải Câu 5.(THPT Ngơ Quyền Hà Nội 2019) Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A Số phức z  a  bi có mơđun a  b2 B Số phức z  a  bi có số phức đối z  a  bi a  C Số phức z  a  bi   b  D Số phức z  a  bi biểu diễn điểm M  a; b  mặt phẳng phức Oxy Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 6.(THPT Kim Liên 2017) Cho hai số phức z  a  bi z  a  bi , (a, b, a, b  ), z  Khẳng định sau đúng? z (a  bi )( a - b i) z (a  bi )( a  b i) A  B  2 z a b z' a2  b2 z (a  bi )( a  b i) z (a  bi )( a  b i) C  D  2 z a  b z a2  b2 Lời giải Câu 7.(Sở GD ĐT Quảng Nam 2019) Số phức liên hợp số phức z   3i A z   2i B z   2i C z   3i D z  2  3i Lời giải Câu 8.(Sở GD ĐT Đà Nẵng 2019) Phần ảo số phức z  7  6i A 6 B 6i C D 6i Lời giải Câu 9.(Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội) Môđun số phức z   2i A 29 B C D 29 Lời giải Câu 10.(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị) Cho số phức z  1  2i  Tính mơ đun số phức A B C 25 D z Lời giải Câu 11.(THPT Thăng Long 2019) Cho số phức z có phần thực phần ảo 3 Môđun số phức  iz A 10 B 10 C 22 D Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 12.(THPT Kim Liên 2017) Cho số phức z   7i Hãy xác định phần thực phần ảo số phức z A Phần thực phần ảo 7i B Phần thực phần ảo 7 C Phần thực phần ảo D Phần thực phần ảo 7i Lời giải Câu 13.(THPT Cẩm Giàng) Cho số phức z   4i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực  phần ảo 3i B Phần thực phần ảo  C Phần thực  phần ảo D Phần thực phần ảo  4i Lời giải Câu 14.(THPT Yên Dũng 2019) Cho số phức z có số phức liên hợp z   2i Tổng phần thực phần ảo số phức z A B 1 C 5 D Lời giải Câu 15.(THPT Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z   2i Tìm tổng phần thực phần ảo số phức w  z  z A B C D Lời giải Câu 16.(Sở GD ĐT Kiên Giang 2019) Cho hai số phức z1   3i z2   4i z Môđun số phức w  z2 9 13 10 C w  D w   i 10 25 25 Lời giải A w  10 B w  Câu 17.(THPT Kim Liên 2019) Cho hai số phức z1   3i ; z2   i Tính z1  3z2 A z1  3z2  11 B z1  3z2  11 C z1  3z2  61 D z1  3z2  61 Lời giải 10 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 193.(THPT Chuyên Thái Bình 2019) Số phức z  a  bi , a, b  nghiệm phương trình  z  1 1  iz   i Tổng T  a2  b2 z A B  C  2 z D Lời giải Câu 194.(Đặng Thành Nam) Có số phức z thỏa mãn z  z i   i  ? A B C D Lời giải 66 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 195.(Sở GD Và ĐT Lạng Sơn 2019) Giả sử z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình   i  z z  1  2i  z A M  19   3i z1  z2  Tính M  z1  3z2 B M  19 C M  25 D M  Lời giải Câu 196.(THPT Yên Mơ A 2019) Có số phức z thỏa mãn z  z   i   2i    i  z ? A B C D Lời giải Câu197.(THPT Chuyên Quốc Học Huế 2018) Tìm mơđun số phức z biết z   1  i  z    3z  i A z  B z  C z  D z  Lời giải 67 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu198 (THPT Ngọc Tảo 2018) Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  1   z w zw Khi w bằng: A B C D Lời giải Câu 199.(Đề Chính Thức 2018) Có số phức z thỏa mãn z  z   i   2i    i  z ? A B C D Lời giải Câu 200.(Đề Chính Thức 2018) Có số phức thỏa mãn z  z   i   2i    i  z ? A B C D Lời giải 68 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 201 (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  đúng? A  z  2 B z  C z  10   i Mệnh đề z D  z  2 Lời giải  Trên mặt phẳng tọa độ, gọi d khoảng cách z từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z Mệnh đề sau đúng? 1 A d  B  d  C  d  D  d  4 4 Lời giải Câu 202 Cho số phức z thỏa mãn   4i  z  69 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 203 Tìm mơđun số phức z biết z   1  i  z    3z  i A z  B z  C z  D z  Lời giải Câu 204 Xét số phức z thỏa mãn z  1  i  z  1  i  Mệnh đề sau đúng? A z  B z  C  z  D  z  Lời giải 70 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Nhóm tốn Chuẩn hóa số phức Phương pháp Kỹ thuật chuẩn hóa mơđun thường dùng toán cho nhiều số phức :  z1  z2 z1  z2  z3 z1  z2  Để giải toán ta thường chọn z1  áp dụng tính chất sau : z1.z2  z1 z2 , z  z , z.z  z  z công thức hình bình hành:  z12  z22   z1  z2  z1  z2 2 2 Đặc biệt: Nếu z1  z2  ta chọn số phức sau 2 z  1, z  i, z    i, z    i 2 2 Câu hỏi trắc nghiệm Câu 205.Cho số phức z1  0, z2  thỏa mãn z1  z2  z1  z2 4 z  z  Giá trị biểu thức P        z2   z1  A 1 B C D Lời giải Câu 206 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1 z2 z3  Tính giá trị biểu thức P  z12017  z22017  z32017 A P  2017 B P  6051 C P  D P  Lời giải Câu 207.(Tạp chí THTT 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  z1  z2  Giá trị z1  z2 A 71 B Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân C D giá trị khác Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Lời giải Câu 208.(Sở GD ĐT Hải Dương) Cho số phức z1 , z2 thoả mãn z1  z2  , z1  z2  Tính z1 z2  z1 z2 A z1 z2  z1 z2  B z1 z2  z1 z2  C z1 z2  z1 z2  D z1 z2  z1 z2  1 Lời giải Câu 209 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Tính z1  z2 A B 3 C D Lời giải Câu 210 Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z  i   iz , biết z1  z2  Tính giá trị biểu thức P  z1  z2 A P  B P  C P  D P  Lời giải 72 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 211 Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z1  6, z2  z1  z2  13 Tính giá trị biểu thức P  z1  3z2 A P  1008 C P  36 B P  12 D P  13 Lời giải Câu 212 Cho số phức z thỏa mãn z  A w   z  Tính mơđun số phức w  z  z C w  B w  D w  Lời giải Câu 213 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  3z1  z2  Tính môđun số phức z  z1  z2 A z  B z  C z  D z  Lời giải 73 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 214.(THPT Chuyên KHTN) z1  z2 Với z1 , z2 hai số phức bất kỳ, giá trị biểu thức a  A a  B a  z1  z2  z1  z2 C a  2 D a  Lời giải Câu 215.(Chuyên ĐH Vinh) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Tính z1  z2 A B C D Lời giải  z1  z2  13 Câu 216.(THPT Nguyễn Huệ 2019) Xét số phức z1 , z2 thỏa  Hãy tính z1  z2  z1  z2  A B C D Lời giải 74 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 217.(THPT chuyên KHTN) Cho z1 , z2 , z3 số phức thõa mãn z1  z2  z3  Khẳng định sau đúng? A z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 C z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 B z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 D z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 Lời giải Câu 218.Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1  , z2  , z1  z2  37 Xét số phức z  A b  3 z1  a  bi Tìm b z2 B b  39 C b  D b  Lời giải 75 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Tốn Câu 219.(THPT Hồng Hoa Thám 2019) Cho số phức z có mođun 2017 w số phức 1 Mođun số phức w là:   z w zw A 2016 B 2017 C D Lời giải thỏa biểu thức Câu 220.(THPT Chuyên Thái Nguyên) Cho số phức z  a  bi  a, b   z  1 1  iz   i Tính a z z A  2  thỏa mãn phương trình  b2 B C  2 D  2 Lời giải Câu 221 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  biểu diễn mặt phẳng phức điểm M , N Biết góc tạo hai vectơ OM ON 300 Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 z1  z2 A A  B A  13 C A  D A  13 Lời giải 76 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 222 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2   z1 z2  Tìm phần ảo a số phức z1  z2  z1 z2 A a  w B a  C a  1 D a  Lời giải Câu 223 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, z2  z1  3z2  Tính giá trị biểu thức M  z1  z2 A M  B M  C M  11 D M  Lời giải Câu 224 Cho số phức z , w khác z  w  z  w Tìm phần thực a số phức u  A a   B a  C a  z w D a  Lời giải 77 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 225 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa z1  0, z2  0, z1  z2  thức P  1   Tính giá trị biểu z1  z2 z1 z2 z1 z2 A P  B P  C P  D P  Lời giải Câu 226 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z1  z2  2 z  z  Tính giá trị biểu thức P        z2   z1  A P   i B P  1  i C P   i D P  1 Lời giải 78 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 227 Cho số phức z  cho z số thực w  Tính giá trị biểu thức P  A P  z 1 z z số thực 1 z2 B P  C P  D P  Lời giải Câu 228 Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  z1  z2  z3  a Tính giá trị biểu thức P  z1 z2  z2 z3  z3 z1 theo a A P  3a B P  3a C P  a D P  a Lời giải 79 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 229 Cho ba số phức z , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z3  z1  z2  z3  Tính giá trị biểu thức A  z12  z22  z32 A A  B A  C A  1 D A  Lời giải 80 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 ... Lớp Toán Thầy? ?Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA DẠNG CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC VÀ TÌM THUỘC... Lớp Toán Thầy? ?Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Câu 28.(THPT Nam Tiền Hải 2019) Cho số phức z  1  i  1  2i  Số phức. .. 2019) Cho số phức z  1  2i Môđun số phức iz  z A B 14 Lớp Toán Thầy? ?Diệp Tuân C D.18 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV–Bài Số Phức Các Phép Toán Lời giải