Phương pháp giải 7 chuyên đề đạo hàm

Tài liệu gồm 75 trang hướng dẫn phương pháp giải 7 chuyên đề đạo hàm thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 5. Trong mỗi chuyên đề, tài liệu bao gồm các phần: phương pháp giải toán, bài tập mẫu có lời giải chi tiết, bài tập tự giải.

CHUN ĐỀ TÌM SỐ GIA Phương pháp: Để tính số gia hàm số y  f ( x) điểm x0 tương ứng với số gia x cho trước ta áp dụng cơng thức tính sau: y  f  x0  x   f  x0  x gọi số gia đối số điểm x0 x  x  x0 y gọi số gia hàm số tương ứng y  f  x0  x   f  x0  BÀI TẬP MẪU Bài Tìm số gia hàm số y  x  x , tương ứng với biến thiên đối số từ x0  đến x0  x  Hướng dẫn Số gia hàm số y  f  x0  x   f  x0   f    f     52     22    18 Bài Tìm số gia hàm số y  x – 3x  điểm x0  ứng với số gia x , biết x  Hướng dẫn  x   x0  x  Vì   x0  Khi y  f  x0  x   f  x0   f    f     62  3.6     22  3.2    Bài Tính y y hàm số y  x  x x Hướng dẫn Ta có: y  f  x  x   f  x     x  x    x  x     x  x    x  x.x  x  x  x    x  x   x.x  x  x  y x.x  x  x   x  x  x x Bài Tìm số gia hàm số f  x   x x0  , x  Hướng dẫn Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f    f  1  24  14  15 Bài Số gia hàm số f  x   x  x x0  , x  Hướng dẫn Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  1  f     13  1      Bài Tìm số gia hàm số f  x   x3 theo số gia x đối số x x0  Hướng dẫn Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  x   f   Bài  x   3 0   3  x   3 Số gia hàm số f  x   x  x ứng với x0 , x Hướng dẫn Ta có: y  f  x0  x   f  x0    x0  x    x0  x    x0  x0   x  x  x0  1 Bài Tìm số gia hàm số f  x   x  x0  , x  Hướng dẫn Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f    f    2       Bài Số gia hàm số f  x   khi, x0  , x  x 1 Lời giải Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  1  f    1 7    1  18 Bài 10 Tìm số gia hàm số f  x   x  theo số gia x đối số x x0  Hướng dẫn Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  x   f    x  BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 11 Tìm số gia hàm số y  x  3x  , tương ứng với biến thiên đối số: a) Từ x0  đến x0  x  b) Từ x0  đến x0  x  0,9 c) Từ x0  đến x   x d) Từ x0  đến x   x Bài 12 Tính y a) y  3x  y hàm số sau theo x x : x b) y  3x  c) y  x  x  d) y  cos x Bài 13 Tìm số gia hàm số y  x –1 điểm x0  ứng với số gia x , biết: a) x  Bài 14 Tính y b) x  –0,1 y hàm số sau theo x x : x a) y   x  x  b) y  x3  x  c) y  x3  x  d) y  x2 x5 f) y  x2 x 1 e) y  1 x 2x  CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐẠO HÀM Phương pháp: Có hai cách để tính đạo hàm: Cách 1: Dùng định nghĩa: y '  lim x 0 f  x  x   f  x  x Cách 2: Dùng bảng công thức : ( bảng thầy đính kèm file đầu tiên) BÀI TẬP MẪU Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau: Bài 1) y  3x  4) y  2x  x 1 2) y  x  x  3) y  x3  3x  5) y  x2  x 6) y  cos  x  3 Hướng dẫn Sử dụng định nghĩa: y '  lim x 0 f  x  x   f  x  x 1) Ta có: y '  lim x 0 f  x  x   f  x   x  x     3x  5 3x  lim  lim 3  x   x  x x x 2) Ta có:  x  x    x  x     x  x  1 f  x  x   f  x   lim y '  lim x 0 x 0 x x 2 x.x  x  4.x  lim  lim  x  x    x  x 0 x 0 x 3) Ta có:  x  x    x  x     x3  3x2  5 f  x  x   f  x   lim y '  lim x 0 x 0 x x x3  3x x  3x.x  x3  3x  x.x  3x   x3  3x  x 0 x  lim 3x x  3x.x  x3  x.x  3x  lim  3x  3x.x  x  x  3x   3x  x x 0 x 0 x  lim 4) Ta có:  x  x   x   f  x  x   f  x  x  x   x 1   lim y '  lim x 0   x x x  x  2x  3 x  1   x  3 x  x  1 x  2x  x    x  x  1 x  1 x   lim  lim x  x  x 0 x 0 x x x  x  x.x  2.x  3x   x  x.x  x  3x  3.x  x 0 x  x  x  1 x  1  lim 5.x 5  lim   x  x  x  x  1 x  1  x  x  1 x  1  x  12  lim x 0 5) Ta có: f  x  x   f  x   lim y '  lim x 0 x 0 x x 0 x  lim x 0 x  lim x 0 x 0 x2  x x x  x.x  x  x  x  x  x x  lim  lim  x  x    x  x   x    x.x  x  x  x    x  x  x  x.x  x  x  x  x  x x.x  x  x x  x.x  x  x  x  x  x x  x   x  x.x  x  x  x  x  x     2x 1 x2  x 6) Ta có: y '  lim x 0 cos   x  x   3  cos  x  3 f  x  x   f  x   lim x 0 x x 2sin  x   x  sin  x  sin  x   lim 2sin  x   x   2sin  x  3 x 0 x0 x x  lim Bài Sử dụng công thức, tính đạo hàm hàm số sau: 1) y  3x  4) y  2x  x 1 2) y  x  x  3) y  x3  3x  5) y  x2  x 6) y  cos  x  3 Hướng dẫn Các em tra bảng cơng thức để tính 1) Ta có: y  3x   y '   3x     3x        2) Ta có: y  x  x   y   x  x  1   x    x   1  x    x  3) Ta có: y  x3  3x   y   x3  3x    3x  x   3x  x  u  u.v  u.v 4) (Sử dụng cơng thức    v2 v Ta có: x  3  x  1   x  3  x  1  x  1   x  3  2x  5  y y    2 x 1  x  1  x  1  x  1 5) (Sử dụng công thức  u   2uu ) Ta có: y x x  x  y'   x  x2  x  2x 1 x2  x 6) (Sử dụng công thức  cos u   u.sin u ) y  cos  x  3  y    x  3 sin  x  3  2.sin  x  3 Bài Sử dụng cơng thức, tính đạo hàm hàm số sau: y   x  1 x  x  1 Hướng dẫn Sử dụng công thức  u.v   u.v  u.v y   x  1 x  x  1  y   x  1  x  x  1   x  1  x  x  1  x3  x  x  1   x  1  x  1  x  x  x  x  Bài Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  x3  3x  x  d) y  2 x4  x  b) y   x3  3x  e) y  2x 1 x 3 c) y  x4  x2  f) y  x2  x  x 1 Hướng dẫn a) Ta có: y    x3  3x  1  3x  x  b) Ta có: y    x3  3x  1  3x   x4  c) Ta có: y    x  1  x3  x     d) Ta có: y   2 x  x  1  8 x3  3x   e) Ta có: y  (2 x  1)( x  3)  ( x  3)(2 x  1) 7  ( x  3) ( x  3)2 f) Ta có: y  ( x  x  2)( x  1)  ( x  x  2)( x  1) ( x  1)2  Bài (2 x  2)( x  1)  ( x  x  2) x  x   ( x  1)2  x  1 Tìm đạo hàm hàm số sau : 1) y  x x  x  2020 với x  2) y  x  với x  ; x2 Hướng dẫn      x  2020  x  2020  x 4x 1)  x x    x  x   x x    x     3 3        2)  x  12    23  x  x x TÍNH ĐẠO HÀM HÀM HỢP Phương pháp: Ta sử dụng định lý sau: Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm x ux hàm số y  f  u  có đạo hàm u yu hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm x yx  yu ux Từ đó, ta có cơng thức đạo hàm hàm hợp thường gặp: với u  u  x   u   n.u n n 1 u   n     u   2uu u      u u BÀI TẬP MẪU Sử dụng cơng thức, tính đạo hàm hàm hợp hàm số sau: Bài  1) y  x  x 3) y   x7  x   2016 2) y  2 4) y  x x 3   x  1 Hướng dẫn 1) Sử dụng công thức:  u    u .u 1 Ta có:  y  x2  x  2016     y  2016 x  x x  x  2015     2016  x   2x  x x  2) Chú ý em phải chuyển đổi: y 2 x 3    x   y '  5 x    20.2  4   x 4   5  2015     1  u       u.u u u      4  x   x   x 3   20 x 3 x    4 1 5 3) Sử dụng công thức  u    u .u 1 y   x  x   y   x  x   x  x    x  1  x  x  4) Sử dụng công thức y x  x  1     1  u       u.u u u     x  x  1 5 6 6  y  5  x  x  1  x  x  1  5  x  1  x  x  1 Bài Tính đạo hàm hàm số sau: a) y   x7  x  b) y  1  x3  5   c) y   x   x   Hướng dẫn a) Ta có: y   x  x   x  x    x  x  x  1 b) Ta có: y  1  x3  1  x3   15 x 1  x3  4 2 5   10  5   c) Ta có: y   x    x       x   x   x  x  x    Bài Tính đạo hàm hàm số sau: b) y  x3  3x  a) y   x  x Hướng dẫn 1  x  x  a) Ta có: y  1 2x  x x b) Ta có: y    3x    x  3x  Bài a) y  1 x  x  x2 3x  x x  3x  Tính đạo hàm hàm số sau:  x  5 b) y  x  x  1 Hướng dẫn   x        12  x     12 a) Ta có: y   4  x  5  x  5  x  5   5  x  x  1  x  x  1  x  1 b) Ta có: y      x  x  1  x  x  1  x  x 1   x 2 Bài  x  1 5 2 10 Tính đạo hàm hàm số sau: 2x 1  a) y     x 1  b) y   5x2  x  1  x  3 Hướng dẫn 2  x  1 3  x    x    2x 1    a) Ta có: y        3     x 1   x 1   x    x  1  x  1  5  b) Ta có: y   x  x  1   x  3   x  3   x  x  1     y   5x2  x  1 10 x  4 x  3   x  3 5x2  x  1 4 y   x  x  1  x  3  10 x   x  3  35  x  x  1 y   5x2  x  1  x  3  455x2  132 x  83 Bài a) y  Tính đạo hàm hàm số sau: x b) y  với a tham số a2  x2  x  2 Hướng dẫn x2 a x  a) Ta có: y  a x a2  x2     x  2   b) Ta có: y    x  2 Bài 3 x  2 a  x  2 x Cho hàm số y  a2 4 x  x  x2 , tính y    Hướng dẫn x  x2  x Ta có: y  Bài   x2 Cho hàm số y   x2    4  x2 3x  x  3x3  x   Suy y    , tính y   Hướng dẫn Ta có: y   3x  6x  2 y      x  1 x  x    x  x  1 x  x  2 3x3  x  x3  x    x  x  1  3x3  x    x2  x 3x3  x  Từ viết y  4 x  ; y  4 x  ) Bài Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị y   x3  x  3x  biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất Bài Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị y  x3  3x  biết tiếp tuyến song song trục hồnh Bài Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị y  x  3x  biết tiếp tuyến hợp với trục hồnh góc 450 Bài Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị y   x  x  biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  2019 Dạng Phương trình tiếp tuyến qua điểm A  x1; y1  Phương pháp: Cách 1: Bước 1: Tính f '  x  Bước 2: Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm suy phương trình tiếp tuyến là: y  f '  x0   x  x0   y0 (1) Bước 3: Vì tiếp tuyến qua A  x1; y1  nên thay x  x1; y  y1 vào phương trình (1) để tìm x0  y0 Bước 4: Thay x0 , y0 vào (1) để viết lại phương trình tiếp tuyến Cách 2:  Đường thẳng  d  qua điểm A  x1 ; y1  có hệ số góc k có dạng : y  k  x  x1   y1  f  x   k  x  x1   y1 Giải hệ x0  y0  tiếp  f ' x   k  Để  d  tiếp tuyến hệ:  tuyến BÀI TẬP MẪU Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y  x3  3x  biết tiếp tuyến qua A  1;3  Hướng dẫn Ta có: y '  3x  x Cách 1: Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm suy hệ số góc tiếp tuyến : k  y '  x0   3x02  x0 Phương trình tiếp tuyến là: y   3x02  x0   x  x0   x03  3x02  (1) (Các em ý y0  x03  3x02  ) Vì tiếp tuyến qua A  1;3  nên thay x  1; y  vào (1) ta được:  x0   k  9; y0  3   3x02  x0    x0   x03  3x02      x0  2  k  0; y0  Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  x  6; y3 Cách 2: Đường thẳng  d  qua điểm A  1;3  có hệ số góc k có dạng : y  k  x     f  x   k  x  1  1 Để  d  tiếp tuyến đồ thị hệ phương trình  có nghiệm  k  f '  x   3x  x   Thay   vào 1 ta được: x3  3x    3x  x   x     x  3x   3x  3x  x  x  x 1  x3  x      x  2 x 1  k  9; y  Với  suy phương trình tiếp tuyến là: y  x  6;   x  2  k  0; y  y3 Bài Cho đồ thị hàm số  C  : y  f  x   x3  3x  Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết tiếp tuyến qua điểm  19  A ;   12  Hướng dẫn  19  Gọi k hệ số góc tiếp tuyến qua A  ;  tới  C   12   19  Phương trình tiếp tuyến    là: y  k  x     12    19  2 x  3x   k  x    1 có nghiệm    tiếp xúc với  C     12   6x  6x  k  2  19   Thay k từ   vào 1 ta được: x3  3x    x  x   x    12    x3  x  19 x    x  x  12 x  19    x 1   8x3  25x  19 x     x   x   Với x   k   phương trình tiếp tuyến là: y  19   Với x   k  12  phương trình tiếp tuyến là: y  12  x     y  12 x  15 12   21 21  19  21 645 Với x   k    phương trình tiếp tuyến là: y    x     y   x  32  12  32 128 32  19  Vậy từ điểm A  ;  kẻ tiếp tuyến tới  C   12  Bài Có hai tiếp tuyến đồ thị hàm số y  3x  C  qua điểm A  9;0  Tính tích hệ số x 1 góc hai tiếp tuyến đó? Hướng dẫn \ 1 TXĐ: y  1  x  1 Đường thẳng d qua điểm A  9;0  với hệ số góc k có phương trình y  k  x   Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị  C  hệ phương trình sau có nghiệm  3x   x   k  x   1   1  k  2   x  1 Thế   vào 1 , ta có: 3x  1   x     3x   x  1   x x   x  12  x  1  3x  x     x   7 Do tích hệ số góc hai tiếp tuyến y  1 y      64 Bài Tìm điểm đường thẳng y  x  để từ kẻ đến đồ thị  C  hàm số y x3 tiếp tuyến? x 1 Hướng dẫn TXĐ: D  \ 1 Gọi A  a; 2a  1  d : y  x  Gọi k hệ số góc đường thẳng d  qua A  a; 2a  1 Suy phương trình d  : y  k  x  a   2a  x3  x   k  x  a   2a   Xét hệ phương trình:  1 4   k   x  1   x3 4 x   x  a   2a     x   x  1  2ax   2a   x  6a    2 Để từ A  a; 2a  1 kẻ tiếp tuyến đến  C   phương trình 1 có nghiệm  phương trình   có nghiệm khác Có trường hợp sau: Trường hợp 1: phương trình   phương trình bậc nhất có nghiệm x  a    x  ( T/m) Suy A  0;1 thỏa mãn 8 x   Trường hợp 2: phương trình   phương trình bậc hai có nghiệm kép x   a   a   a  1       a    a  a      a   8a  8a  16    x1  x2  2a   2a   A  1; 1 Suy có điểm thỏa mãn   A  2;5  Trường hợp 3: phương trình   phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x  a       2a    2a  6a     a  Suy A 1;3 thỏa mãn   2a   2a    6a   Vậycó điểm thỏa mãn yêu cầu đầu Bài Tìm số tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x3  x  , biết tiếp tuyến qua điểm M  1; 9  Hướng dẫn TXĐ: R Ta có: y  12 x  12 x Phương trình đường thẳngđi qua M  1; 9  có dạng:    : y  k  x  1   tiếp tuyến đồ thị hệ phương trình sau có nghiệm:  4 x3  x   k  x  1  x   x  x  12 x  10     k  12 x  12 x  x  1 Với x  1  k  24  phương trình tiếp tuyến y  24  x  1   y  24 x  15 Với x  15 15 15 21  k   phương trình tiếp tuyến y   x  1   y  x  4 4 Có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu Bài Cho hàm số y  x3  3x có đồ thị  C  điểm M  m;0  cho từ M vẽ ba tiếp tuyến đến đồthị  C  , có hai tiếp tuyến vng góc với Tìm giá trị m ? Hướng dẫn TXĐ: R Ta có y  3x  x Đường thẳng d qua M  m;0  có hệ số góc k có phương trình : y  k  x  m  d tiếp tuyến  C  hệ phương trình sau có nghiệm:  k  x  m   x  3x   x  m   3x  x   x3  3x  x3   m  1 x  6mx    k  x  x x   2 x  m  x  m       Khi x  ta có phương trình tiếp tuyến y  Đối với đồ thị hàm số khơng có tiếp tuyến vng góc với y  nên u cầu tốn tương đương phương trình 1 có hai nghiệm x1 x2 khác thỏa y  x1  y  x2   1   3x12  x1  3x22  x2   1  x1.x2  x1.x2   x1  x2        3m   3m   m  1      27m    m  Thay m  Vậy m  vào 1 thử lại có nghiệm phân biệt khác 27 thỏa mãn yêu cầu toán 27 27 Bài Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  C  Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết tiếp tuyến qua điểm A  0;  ? Hướng dẫn TXĐ: R Ta có: y  x3  x Đường thẳng d qua điểm A  0;  có hệ số góc k có dạng: y  kx  Để đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị  C  hệ phương trình sau có nghiệm:  x    x  x   kx   4  x  x    x  x  x   3x  x    x   3 4 x  x  k   x    Với x   k   phương trình tiếp tuyến là: y  Với x  6 k   phương trình tiếp tuyến là: y   x2 9 Với x   6 k   phương trình tiếp tuyến là: y  x2 9 Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x3  3x  (C ) biết tiếp tuyến qua điểm A(3;19) Hướng dẫn Giả sử tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm điểm M ( x0 ; y0 ) ta có phương trình tiếp tuyến y  (3x02  3)( x  x0 )  x03  3x0  ( d ) d qua điểm A(3;19) nên ta có: 19  (3x02  3)(3  x0 )  x03  3x0  Giải phương trình ta x0  x0   Với x0  phương trình tiếp tuyến cần tìm y  24 x  53 Với x0   15 31 phương trình tiếp tuyến y  x  4 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán y  24 x  53 y  15 31 x 4 Bài Từ điểm A(1;3) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y  2x 1 x 1 Hướng dẫn Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  2x 1 2x 1 3 M là: y  ( x  x0 )  ( x0  1) x0  x 1 Tiếp tuyến qua A(1;3) nên ta có  ( x0  1) 2x 1 3 (1  x0 )  ( x0  1) x0  ( x0  1)  x0  Vậy qua điểm A kẻ nhất tiếp tuyến đến đồ thị hàm số./ Bài 10 Cho hàm số y  x2 có đồ thị (C ) điểm A(0; a) Tìm a để từ điểm A kẻ x 1 hai tiếp tuyến đến đồ thị (C ) cho tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh Hướng dẫn Giả sử điểm M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Ta có phương trình tiếp tuyến M y x 2 3 ( x  x0 )  ( x0  1) x0   x0  1 3x0 x 2  ( x0  1) x0  ( x0  1)  ( x0  2)( x0  1)  a( x0  1)  x0  ( x0  1) Tiếp tuyến qua điểm A nên ta có : a   (1  a) x02  (2a  4) x0  a   (*) 2a    x1  x2  a  Theo định lý viet ta có :  Với x1 ; x2 hai nghiệm (*) a   x x   a  Để tiếp điểm hai tiếp tuyến nằm hai phía trục hồnh y1 y2  a2 2a   2 4 x1  x2  x1 x2  2( x1  x2 )  a   a  a   0 0  0 a  2a  x1  x2  x1 x2  ( x1  x2 )    1 a  a 1 a 1 Vậy với điểm A(0; a) thỏa mã a   ; a  ta kẻ hai tiếp tuyến thỏa mãn đề Bài 11 Cho hàm số y  x  có đồ thị (C ) Tìm tập hợp điểm mà từ kẻ hai tiếp x tuyến đến đồ thị (C ) hai tiếp tuyến ấy vng góc với Hướng dẫn Gọi M (a; b) điểm bất kì mặt phẳng tọa độ Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là: y  k ( x  a)  b d tiếp tuyến đồ thị (C ) hệ phương trình sau có nghiệm: 1   k ( x  a )  b  x  x kx  x  x  ka  b  (1)  k   kx  x  ; k    x2 x  a k  2(ab  2)k  b   (2) Từ k   ta thấy với k  ln có hai giá trị x trái dấu, hệ (1) có nghiệm x2  (2) có hai nghiệm k1 ; k2  Mặt khác, hai tiếp tuyến vng góc với nên ta có k1.k2  1  k1.k2  1 Yêu cầu tốn  (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn :   k1 ; k2  a  a    b     1  a  b   a a  b   f (1)  Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm O(0;0) , bán kính 2, sau bỏ điểm giao với đường thẳng x  0, y  x Bài 12 x  mx  m Cho hàm số y  có đồ thị (C) Tìm tất giá trị thực tham số m x 1 để từ điểm A(0;1) không kẻ bất kì tiếp tuyến đến đồ thị (C ) Hướng dẫn Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm M ( x0 ; y0 ) x02  x0 x02  mx0  m y ( x  x0 )  ( x0  1) x0  Tiếp tuyến không qua điểm A(0;1) nên phương trình (m  3) x02  2(m  1) x0  m   0, ( x0  1) (*) vơ nghiệm có nghiệm x0  1 TH1: m    m  ta có x0   nên m  không thỏa mãn TH2: m  (*) vô nghiệm   '   m  TH3: (*) có nghiệm x0  1 suy 2  (vô lý ) Vậy m  khơng có tiếp tuyến đồ thị (C ) qua A Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x3  3x  biết tiếp tuyến qua điểm A(2; 1) Hướng dẫn Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm M ( x0 ; y0 ) là: y  (3x02  3)( x  x0 )  x03  3x0  Tiếp tuyến qua điểm A(2; 1) nên ta có: 1  (3x02  3)(2  x0 )  x03  3x0   2 x03  x02    x0   y  1    x0  2  y  x  17 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán y  1 y  x  17 Bài 14 Cho hàm số y  4 x3  3x  có đồ thị (C ) Tìm đường thẳng y  điểm mà kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C ) Hướng dẫn Giả sử A(m;3) điểm đường thẳng y  thỏa mãn từ A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến: y  (12 x02  3)( x  x0 )  x03  3x  Tiếp tuyến qua A nên ta có:  (12 x02  3)(m x0 )  x03  3x  x03  12mx02  3m   Hay 1    x0   (8 x02  (4  12m) x0   6m)  2  Yêu cầu toán  8x03 12mx02  3m 1  có nghiệm phân biệt  (8x02  (4  12m) x0   6m)  có hai nghiệm phân biệt khác   m  1   '  m      m   m   2 1  1  Vậy từ điểm A(m;3) thỏa mãn m  (; 1)   ;   \   kẻ tiếp tuyến đến đồ thị 3  2 (C) Bài 15 Cho đồ thị hàm số y  3x  x3 có đồ thị (C ) Từ điểm M (1;3) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C ) Hướng dẫn Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm M ( x0 ; y0 ) là: y  (3  12 x02 )( x  x0 )  3x0  x03 Tiếp tuyến qua M (1;3) nên ta có:  (3 12 x02 )(1  x0 )  3x0  x03  x0   x  12 x     x0   Vậy qua M kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 16 Cho hàm số y  2x 1 có đồ thị (C) điểm I (1;2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C ) x 1 có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến M vng góc với đường thẳng IM Hướng dẫn  2x 1  Gọi M  x0 ;  thuộc (C) Phương trình tiếp tuyến M x0    y Phương trình đường thẳng MI : y  2x 1 1 ( x  x0 )  ( x0  1) x0  1 ( x  1)  ( x0  1) Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có:   x0  (loai ) 1     ( x0  1) ( x0  1)  x0  Với x0   y0  Vậy điểm M (2;3) Bài 17 Cho hàm số y  x2 có đồ thị  C  điểm A  0; a  Hỏi có tất giá trị x 1 nguyên a đoạn  2018; 2018 để từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến đến  C  cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh? Hướng dẫn TXĐ: \ 1 Ta có : y    x  1 Đường thẳng d qua điểm A  0; a  , hệ số góc k có phương trình: y  kx  a x2  x   kx  a  Để d tiếp tuyến  C  hệ phương trình  3  k   x  1 Thay (**) vào (*) ta được: * ** có nghiệm x2 3x  a x   x  12   a  1 x   a   x  a   với x  1 Do từ A kẻ hai tiếp tuyến đến  C  nên phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác a   a  2      a     a   a   a   a       2  x 2  x2   Khi toạ độ hai tiếp điểm M  x1 ;  N  x2 ;  với x1 , x2 nghiệm 1 x1   x2     x1  x2   a  2 a2 , x1 x2  a 1 a 1 Hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh khi:  x1  x2  0 x1  x2  x1 x2   x1  x2   9a  0a 0  x1 x2   x1  x2   3  a   Kết hợp điều kiện   suy  nên đoạn  2018; 2018 số giá trị nguyên a thỏa  a  yêu cầu toán 2018 Bài 18 Gọi S tập hợp điểm thuộc đường thẳng y  mà qua điểm thuộc S kẻ đượchai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số y  x2 đồng thời hai tiếp tuyến vng x 1 góc với Tính tổng hồnh độ T tất điểm thuộc S Hướng dẫn TXĐ: \ 1 Ta có : y  y x2  x  x  1 x2  x 1 x 1 x 1 Gọi điểm A  a;2    d  : y  Đường thẳng d qua A có dạng y  k  x  a    x2  x 1  k  x  a   2  Điều kiện tiếp xúc:   1  a  k  4k    x  x2  k   x  1  * Để tiếp tuyến vng góc phương trình ( * ) có nghiệm k phân biệt tích hai nghiệm 1  4 1  a  a   1    a  1 Vậy tổng hai hoành độ BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y  x biết tiếp tuyến qua A  0; 1  23 Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y  x3  3x  biết tiếp tuyến qua B  ; 1    Bài Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  , biết tiếp tuyến qua điểm A x  x2 a) y  , với A 1; –  x 1 b) y  x  x , với A  0; –1 c) y  x  3x  , với A 1; –6  x2  x  d) y  , với A  –1;  x 1 e) y  x  x  , với A  0;  Bài Tìm m để đường thẳng y  mx  tiếp xúc y  x3  x  x x2  m Bài Tìm m để đường thẳng y   x tiếp xúc y  x 1 Bài Viết phương trình tiếp tuyến với  P  : y  x , biết tiếp tuyến qua điểm A  ; –1 Bài Cho hàm số y  x3 – 3x  Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến qua A  0; 3 BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài Cho đường cong (C ) : y  x3 hai điểm A 1; 1 B 1  x;1  y  (C ) a) Tính hệ số góc cát tuyến AB với x 0,1 0, 01 b) Tìm hệ số góc tiếp tuyến với (C ) A Bài Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) , biết: x a) tiếp điểm có hồnh độ b) Tiếp điểm có tung độ c) Hệ số góc tiếp tuyến k  –4 d) Tiếp tuyến song song với d : x  y  2017 e) Tiếp tuyến vng góc với d : x  y  2017 f) Tiếp tuyến qua điểm A  8;  Bài Cho Parabol y  x hai điểm A  2;  B(2  x;  y) parabol a) Tính hệ số góc cát tuyến AB biết x ; 0,1 0,001 b) Tính hệ số góc tiếp tuyến parabol cho điểm A Bài Tìm hệ số góc cát tuyến MN với đường cong  C  , biết: a)  C  : y  x  x hoành độ M , N theo thứ tự b) C  : y  xM  2, xN  x2  x  hoành độ M , N theo thứ tự xM  1, xN  x Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x3 , biết: a) Tiếp điểm có hồnh độ – b) Tiếp điểm có tung độ c) Hệ số góc tiếp tuyến Bài Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y  , biết: x 1  a) Tại điểm  ;  2  b) Tiếp điểm có hồnh độ –1 LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 c) Hệ số góc tiếp tuyến  Bài Cho đường cong  C  : y  x Viết phương trình tiếp tuyến  C  : a) Biết hệ số góc tiếp tuyến b) Biết tiếp tuyến song song với  : x – y   Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a) y  x 1 , biết hoành độ tiếp điểm x0  x 1 b) y  x  , biết tung độ tiếp điểm y0  x2 Bài Cho hai hàm số y  y  Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị mội 2 x hàm số cho giao điểm chúng Tính góc hai tiếp tuyến kể Bài 10 Cho parabol  P  : y  x Gọi M M hai điểm thuộc  P  có hồnh độ x1  –2 x2  Hãy tìm  P  điểm E cho tiếp tuyến E song song với cát tuyến M1M Viết phương trình tiếp tuyến Bài 11 Cho hàm số y  x3  3x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  : 3x – y – 2017  Bài 12 Cho hàm số  Cm  : y  f  x   – x – mx  m  Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến  Cm  A 1;  B  –1;  vng góc với Bài 13 Cho hàm số y  cos x  m sin x ( m tham số) có đồ thị  C  Tìm m trường hợp sau: a) Tiếp tuyến  C  điểm có x   có hệ số góc b) Tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ x    x   song song trùng Bài 14 Tìm giao điểm hai đường cong  P  : y  x  x   H  : y  Chứng minh x 1 hai đường cong có tiếp tuyến chung giao điểm chúng Bài 15 Cho parabol ( P) : y  x Viết phương trình tiếp tuyến với  P  , biết: a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  x  b) Tiếp tuyến qua điểm A  0;  1 Bài 16 Viết phương trình tiếp tuyến của: a) y  x 1 x 1 điểm A  2; 3 b) y  x3  x  điểm có hồnh độ x0  –1 c) y  x  x  điểm có tung độ y0  d) y  x  điểm có hồnh độ x0  e) y  x  x  15 x 3 biết hệ số góc tiếp tuyến f) y  x – x  biết hệ số góc tiếp tuyến 24 g) y  x3  3x  biết tiếp tuyến d  D : x – y –15  h) y  x3  x  điểm có hồnh độ x0  –1 i) y  2x 1 x 1 điểm có hồnh độ x0  Bài 17 Cho  C  : y  f  x   3x  Lập phương trình tiếp tuyến  C  : x 1 a) Tại điểm có hồnh độ b) Tại điểm có tung độ c) d //D : y  – x  25 d) d   : x – y  2017 Bài 18 Gọi  C  đồ thị hàm số y  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến  C  trường hợp sau: a) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  –3x  b) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  : x – y  2017 c) Biết tiếp tuyến qua điểm A  0;  Bài 19 Gọi  C  đồ thị hàm số y  x3  x  Viết phương trình tiếp tuyến  C  trường hợp sau: a) Biết tung độ tiếp điểm b) Biết tiếp tuyến song song với trục hoành c) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x  y  2017 d) Biết tiếp tuyến qua điểm A  0; –  ...  x  x x TÍNH ĐẠO HÀM HÀM HỢP Phương pháp: Ta sử dụng định lý sau: Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm x ux hàm số y  f  u  có đạo hàm u yu hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm x yx  yu... đạo hàm 3x  điểm Bài 25 Chứng minh hàm số y  x liên tục x  khơng có đạo hàm x  CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM  ; : Quy tắc LÔPITAN  I Sử dụng đạo hàm. ..  cos x  sin x CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM HÀM KÉP – ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI ĐẠO HÀM  f1  x  x  x0 I Tính đạo hàm hàm số f  x     f  x  x  x0 Phương pháp: f x Bước 1: Kiểm tra hàm số có liên tục