Hai phương pháp giải phương trình Hàm trong đề thi HSG Quốc tế

GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai HAI PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM I PHƢƠNG PHÁP THẾ THEO HẰNG ĐẲNG THỨC Phƣơng pháp giải + Sử dụng biểu thức thích hợp để tính biểu thức theo hai cách khác dựa theo giả thiết + Từ phương trình thứ ta suy hàm cần tìm.Hoặc suy giá trị cần tìm Các bƣớc thực + Chỉ hàm số cộng tính + Thế cách thích hợp theo hai hướng Một số ví dụ Bài 1: Tìm hàm f :  thỏa mãn: f  x  y   xf  x   f  y  x, y  Giải Giả sử hàm f(x) hàm thỏa mãn đề Thay x= y = ta có f(0) = x  Thay y= ta có: f  x2   xf  x  Suy ra: f  x2  y   f  x2   f  y  x, y  Cho x= ta có: f   y    f  y  y  nên f hàm lẻ Thay y –y nên ta có f  x2  y   f  x   f  y  x, y  Do hàm hàm lẻ nên ta được: f  x  y   f  x   f  y  Ta xét: f ( x  1 )   x  1 f  x  1   x  1 f  ( x)  f (1)  x, y  x  Mặt khác: f ( x  1 )  f ( x2  x  1)  f ( x )  f (2 x)  f (1)  xf  x   f  x   f (1) x  Suy ra:  x  1 f  ( x)  f (1)   xf  x   f  x   f (1) Khai triển rút gọn ta được: f  x   f 1 x x  x  x  Đặt a= f(1) f  x   a.x Thử lại thấy thỏa mãn Bài 2: Tìm hàm f :  thỏa mãn: f  x3  y   x f  x   y f  y  x, y  Giải (Giống 1) Chỉ f(kx) = k.f(x) x  , k  3 Thay x x+1 y x-1 tính f  x  1   x  1 theo hai cách   Tìm f(x) = f(1).x Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai Bài 3: Tìm hàm f :  f(x+1) =f(x)+1 f(x2) = [f(x)]2 thỏa mãn: (1) x  (2) x  Giải Giả sử f hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Thay x= vào (2) ta được: f(0 )= f(0) = Nếu f(0) =1 thì: Thay x= vào (1) ta f(1) = Lại thay x=1 vào (2) f(1) = f(1) = 1.mâu thuẫn Vậy f(0) = Từ (1) suy ra: f(n) = n n  Với n  , r  ta có f(n+r) =f(1+n-1+r)=1+f(n-1+r) =2+f(n-2+r) =n+ f(r) Suy ra: f(n+r) = n+ f(r) n  , n  , r  Ta phải tính f(r) r  Gọi r    p xét f (r  q)2  f  (r  q)    q  f  r    q  2qf  r   f  r  q Mật khác: f  (r  q)2   f  r  2r.q  q   f  r   p  q   f  r    p  q 2 Từ suy ra:  f  r    p  q  q  2qf  r   f  r  p  r , r q Vậy f(x) = x , x  Hay: f  r   Thử lại thấy thỏa mãn Nhận xét: + Mấu chốt phương pháp phải hàm số cộng tính R + Trong nhiều trường hợp khơng cộng tính mà phải cộng tính tập tập R sau suy cộng tính R Bài 4: Tìm hàm f :RR f  x  y   xf  x   yf  y  , x, y  R (1) Giải: Cho x = , y = suy : f  x2   xf  x  ; f  y   yf  y  , x, y  R Do phương trình trở thành: f  x  y   f  x   f  y2  , x, y  R Suy ra: f(x+y) = f(x)+ f(y) , x, y  Thay y - y vào ta (1) có f  x2  y   xf  x  -yf  -y  , x, y  R Suy – y f(-y) = y f(y) Chuyên đề Học sinh giỏi (2) Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai Suy f( -x) =- f(x) nên hàm số hàm số lẻ Nên x  0; y  ta có f f  x  y   f  x  ( y)   f ( x)  f ( y)  f ( x)  f ( y) Hay f(x) = f(x-y) +f(y) Hay f(x-y +y) =f(x- y) +f(y) nên f(x+ y) = f(x) +f(y) , x  0; y  Với x  0; y  ta có: f ( x  y)   f ( x  y)  ( f ( x)  f ( y))  ( f ( x)  f ( y))  f ( x)  f ( y) Do f(x +y) =f(x)+ f(y) x, y  R  Từ tính f  x  1  theo hai cách suy f(x) = ax Bài 5(USAMO -2000) Tìm tất hàm số f : R ->R thỏa mãn f  x  y   xf  x  - yf  y  , x, y  R Giải: Cho x = , y = suy : f  x2   xf  x  ; f   y    yf  y  , x, y  R Do phương trình trở thành: f  x  y   f  x   f  -y2  , x, y  R Suy ra: f(x+y) = f(x)+ f(y) , x  0, y  (3) Thay x - y vào ta (3) có  f  0  f   y  +f  y  , y  (2) Suy f(-y) = f (y), y Giải: Cho m = n = suy f(0) = Cho m =1; n = ta f(1) = f(1) > Cho m = 0; n = ta được: f  3  f 1  Hơn với n  ta có:  n  2  3n2   n  1   n  1 Nên: ( f  n    f (n))  f 2  n  2  3n  2  f ( n  1   n  1 ) 2  ( f ( n  1)  3( f  n  1) , n  Từ cho n = ta được:  f  3    f 1    f      f    suy f(2) = Do f(n) = n với n = 0, 1,2, Dùng phương pháp quy nạp ta có f(n) = n với n 2 2 Bài 13( Hàn Quốc): Tìm tất hàm số f :  thỏa: f  x3  y   y  f  x   y   f  y  f  x   , x, y  Giải: Thay y  x3 vào (1) ta có f  0  x3  f  x   x6   f  x3  f  x   , x  Thay y =-f(x) vào (1) ta có: f  x3  f ( x)   f  x  3 f  x   f  x    f  0 , Suy ra: f  x3  f  x    f  x   f  0 Từ (1) (2) ta có: x  f    x3  f  x   x   f  x   f   (2) x  Suy ra:  f  x   x3   (4 f  x   f  x).x3  x6    x   x3  15 Vì f  x   f  x  x  x   f  x     x6   16  x  Suy f  x   x3 Chuyên đề Học sinh giỏi x  Phƣơng trình hàm (1) GV: Đặng Ngọc Cƣờng Thử lại thấy thỏa mãn Bài 14 1.Cho hàm f :  thỏa: f  m2  n   f  n   f  m  Trƣờng THPT chuyên Lào Cai TTHV 2017-2018 m, n  Tính f(10) Thực tƣơng tự Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai II PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH-TỒN ÁNHSONG ÁNH CỦA HÀM SỐ ,Phƣơng pháp giải Để sử dụng phương pháp cần nắm vững số khái niệm sau: - Nếu f : A  B đơn ánh từ f  x   f  y  suy ra: x  y - Nếu f : A  B tồn ánh với y  , tồn x  để f  x   y - Nếu f : A  B song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Lưu ý thêm: - Nếu hàm số đơn ánh thường dùng kỹ thuật tác động f vào hai vế - Nếu hàm số tồn ánh thường dùng kỹ thuật tồn a cho f  a   2, Một số ví dụ Bài Chứng minh không tồn song ánh f : *  thỏa mãn điều kiện: f  mn   f  m   f  n   f  m  f  n  m, n  * Giải Giả sử tồn hàm f thỏa mãn yêu cầu toán - Cho m  ta được: f  n   f  n   f 1  f 1 f  n  Nếu f 1  f  n   , vô lý Vậy phải có: f 1  Vì f song ánh nên f  n   n  - Suy n hợp số f  n   Cũng f song ánh nên có p, q, r  * cho f  p   1, f  q   3, f  r   Chú ý p, q số nguyên tố phân biệt Khi đó: f  q   f  pr   33  q  pr , vô lý Vậy không tồn hàm số Bài Tìm tất hàm f :  f  f  n    f  n   3n  ,n  thỏa mãn điều kiện: Giải - Chứng minh f đơn ánh Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai - Thay n  ta có: f  f  0   f  0   f  0  Thử giá trị f   0,1, 2,3, ta thấy f    thỏa mãn Từ f  2  f  f  0    f  0  Bằng quy nạp chứng minh được: f  2n   2n  2, n  - Thay n  có f  f 1   f 1  11  f 1  Thử giá trị f 1 0,1, 2,3, 4,5 ta thấy f 1  thỏa mãn Từ f  3  quy nạp chứng minh được: f  2n  1  2n  n  Vậy f  n   n  2, n  Bài (Balkan 1997) Tìm tất hàm f :  thỏa mãn điều kiện: f  xf  x   f  y    f  x   y, x, y  Giải - Cho x  ta được: f  f  y    f  0  y, y  - Chứng minh f đơn ánh? - Vế phải điều kiện toán hàm bậc y nên có tập giá trị Do đó: f song ánh Vì f tồn ánh nên tồn a  để f  a   Thay x  y  a vào điều kiện ta được: f  af  a   f  a    f  a   a  f    a Do f song ánh nên a  tức f    Suy ra: f  f  x    x, x  Trong điều kiện cho y  ta được: f  xf  x    f  x  , x  Từ đây, thay x   f  x  ta được: f f  x  f  f  x     f  f  x    , x  Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng  f  f  x  x   x , x  Trƣờng THPT chuyên Lào Cai  f  x   x, x    f  x    x, x   f  x   x , x  Thử lại thấy Bai ( Vietnam TST 2002) Tìm tất hàm f :  thỏa mãn: f  f  x   y   x  f  f  y   x  , x, y  Giải Thay y   f  x  ta f  f   f  x    x   f  0  x, x  Do vế phải hàm bậc x nên f có tập xác định  f tồn ánh Vì f tồn ánh nên tồn a cho f  a   Thay x  a vào điều kiện tốn f  y   a  f  f  y   a   a Vì f toàn ánh nên f  x   x  a , a số Thử lại thấy Bài Tìm tất hàm f :  thỏa mãn điều kiện: f  f  n    n  2; f  f  n  1  1  n  4; f    n  Giải - Chứng minh f đơn ánh? - Ta có: f  f  n  2   n   f  f  n  1  1  f  n  2  f  n  1  hay f  n   f  0  n  n  n  ( thỏa mãn) Bài Tồn hay không hàm f :  f  x  f  y    f  x   y x, y  thỏa mãn điều kiện: ? Giải - Chứng minh f đơn ánh ? - Cho x  y  ta được: f  f  0   f  0  f  0  - Cho x  ta được: f  f  y     y y  Chuyên đề Học sinh giỏi (*) Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai - Thay f  y  y vào điều kiện toán cho ý đến (*) ta có: f  x  y  f  x  f  y Do đó: y  kx x  Thay vào điều kiện toán cho ta suy được: k  1 , vô lý Vậy không tồn hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Bài Cho f : *  * thỏa mãn điều kiện: f  m2 f  n    mnf  m  m, n  * Chứng minh f  2003  a a số nguyên tố Giải - Chứng minh f đơn ánh f 1  ? - Dễ thấy f  f  n    n n    Thay n f  n  có:  f m2 f  f  n    mf  n  f  m   f  m2n   mf  m  f  n  Vậy f  m2   mf  m  m f  m2 n2   mf  m  f  n2   f  m2  f  n2  , nghĩa f nhân tính tập hợp số phương Giả sử f  2003  a với a hợp số, nghĩa a  mn với m  n  Khi đó: f  f  2003   f  a   f  m2n2   2003  f  m2  f  n2  Vô lý 2003 số nguyên tố Bài ( Việt Nam TST 1988) Xác định hàm số f :  f  f  n   f  m    n  m n, m  thỏa mãn điều kiện: Giải Giả sử tồn hàm f thỏa mãn yêu cầu toán - Chứng minh f đơn ánh ? - n  * ta có: f  f  n   f  n    n  n  2n   n  1   n  1  f  f  n  1  f  n  1   f  n   f  n   f  n  1  f  n  1  f  n  1  f  n   f  n   f  n  1 n  Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai  f hàm tuyến tính tức f có dạng: f  n   an  b Thử lại ta có: a  an  b    am  b   b  m  n   a  1, b  Suy ra: f  n   n Bài Tìm tất hàm f :  thỏa mãn điều kiện: (i) f  f  n    f  n  (ii) f  f  m   f  n    f  m  n  (iii) f nhận vô số giá trị Giải Giả sử tồn m1  m2 mà f  m1   f  m2  Ta xem m2  m1 Khi với n ta có: f  f  m1   f  n    f  f  m2   f  n    f  m1  n   f  m2  n  Đặt d  m2  m1   m2  m1  d   Khi đó: f n  m1   f n  m1   d hay f  n   f  n  d  Như f hàm tuần hoàn nhận hữu hạn giá trị Điều mâu thuẫn với (iii) Suy f đơn ánh Từ (i) có f  n   n n  Bài 10 Tìm tất hàm f :  thỏa mãn điều kiện: f  x3  f  y    y  f  x  x, y  Giải - Chứng minh f đơn ánh? - Thay y  f  x  ta có f  x3  y   , nghĩa tồn số a cho f  a   Đặt f    b Tìm cách chứng minh f    ? - Thay y  vào điều kiện toán ta được: f  x3   f  x  x  Từ f 1  f 1  f 1  f 1  1 Nhưng f đơn ánh f    nên xảy hai khả năng: Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai a) TH: f 1  Thay x  y f  y  ta được:   f  f  f  y    f  y   f 1  f  y  1  f  y   hay f  x  1  f  x   x  Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được: f  x   x x  b) TH: f 1  1 Dễ dàng chứng minh f  x    x x  Bài 11 Chứng minh tồn vô số hàm số f : *  * thỏa mãn điều kiện: (i) f  f  n    n n  * (ii) f  n   n n  * Giải - Dễ chứng minh f đơn ánh? - Giả sử f  m   n , f  n   f  f  m    m , từ (ii) ta phải có m  n - Hàm f xây dựng sau: chia tập hợp số tự nhiên phân thành hai tập vô hạn S  m1 , m2 ,  T  n1 , n2 , , ; đặt f  mk   nk f  nk   mk Hiển nhiên có vơ hạn hàm f xây dựng cách Bài 11 (Irish 2002) Tìm tất hàm f :  f  x  f  y    f  x   y , x, y  thỏa mãn điều kiện: Giải - Chứng minh f đơn ánh? - Cho x  ta được: f  f  y    y  f  0 Lại cho y  ta được: f  x  f  0   f  x   x  f  0  x  f  0  Vậy f  f  x    x, x  Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai Thay x f  x  ta được: f  f  x   f  y    f  f  x    y  x  y  f  f  x  y   Do f đơn ánh nên f  x  y   f  x   f  y  , x, y  Bằng phép suy luận ta nhận được: f  x   f 1 x, x  Lại có  f  f 1   f 1 f 1  f 1  f 1  1 Vậy f  x   x, f  x    x, x  Bài 12 (IMO 1992) Tìm tất hàm số f :  thỏa mãn điều kiện: f  x  f  y    f  x   y, x, y  Giải - Chứng minh f song ánh? - Do f song ánh nên tồn a  cho f  a   Thay x  ta được: f  f  y    f  0  y Thay x  y  a vào điều kiện toán ta được:   f  a2   a  f  a   f f  a    f  0  a  f  0  a  Đến đây, ta thu được: f  f  x    x, x  f  x2   f  x  , x  ( thay y  ) Dễ thấy: x  f  x   Hơn f  x    x  Bây lấy x  0, y  f  x  y   f    x  f  f  y     f   x   f  y   f  x  f  y  Thay y   x ta được: f   x    f  x   f hàm lẻ Do x  thì: f  x  y   f     x  y     f   x  y    f   x   f   y   f  x   f  y  , y  , x  Ta thấy f đơn điệu tăng Thật vậy, x  y  x  y   f  x  y   Do đó: f  x   f   x  y   y   f  x  y   f  y   f  y  Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai Hàm f hàm cộng tính đơn điệu tăng nên có dạng: f  x   ax Thay vào điều kiện toán ta thu được: a  Vậy hàm số f cần tìm là: f  x   x, x  Bài 13 ( Vietnam TST 2004) Tìm tất giá trị a cho tồn hàm f :  thỏa mãn điều kiện: f  x2  y  f  y    f  x   ay , x, y  Giải - TH: a  có hai hàm số thỏa mãn là: f  x   0, f  x   , x  - TH: a  + Chứng minh f tồn ánh? Khi tồn b  cho f  b   + Ta thấy: f  x    x  Thay y  b vào điều kiện toán ta được: f  x  b   f  x   ab Thay x  x vào phương trình ta được: f  x2  b   f   x   ab (1) Do đó: f  x   f   x   f  x   f   x  , x  Suy ra: f  b   Lại thay y  b vào điều kiện toán ta được: f  x2  b   f  x   ab (2) Từ (1) (2) ta nhận được: f  x2  b   f  x2  b   2ab, x  Thay x  vào đẳng thức ta thu được: 2ab  f  b   f  b    b  Do đó: f  x    x  Với a  Từ điều kiện toán cho y  f  x2   f  x  , x  Từ cho x  ta được: f 1  f 1  f 1  ( f 1  ) Cũng từ điều kiện toán cho y  ta được: f  x    f  x   a  f  x   a Thay x  vào đẳng thức ta a  f   Khi đó: a  f    f  22   f    f       f    a  2a  a  ( a  )   Với a  ta có phương trình hàm: f  x2  y  f  y    f  x   y , x, y  Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm (*) GV: Đặng Ngọc Cƣờng Thay y   f  x Trƣờng THPT chuyên Lào Cai  f  x  vào (*) ta được: f  x      f  x  f    0, x      f  x  f  x Vì tính chất hàm f f  x    x  nên f   , x    x    Lại từ (*) sử dụng kết ta được: f  x  y   f  x   f  y   f  x   f  y  , x, y  Từ đẳng thức cho x  ta được: f   y    f  y  Suy ra: f hàm lẻ Quan hệ viết lại dạng: f  x  y   f  x   f  y  , x, y  Áp dụng f  x   f  x2  , x    ta được: f  x  y   f  x  y  Khai triển sử dụng tính chất cộng tính suy ra: f  xy   f  x  f  y  , x, y  Hàm f vừa cộng tính vừa nhân tính nên f  x   x, x  Thử lại thấy Một số tập tƣơng tự Bài (IMO Shortlist 2002) Tìm tất hàm số f :  f  f  x   y   x  f  f  y   x  , x, y  thỏa mãn: Bài (Indonesia TST 2010) Xác định tất số thực a cho có hàm số thỏa mãn: x  f  y   a f  y  f  x   , với x, y  Bài (MEMO 2009) Tìm tất hàm số f :  thỏa mãn đẳng thức: f  xf  y    f  f  x   f  y    yf  x   f  x  f  y   , với x, y  Bài (Journal of Mathematical and youth 5/ 2011) Tìm tất hàm số f xác định tập , lấy giá trị thỏa mãn phương trình: f  x  y  f  y    f  f  x    y , với x, y  Bài (Iran TST 2011) Tìm tất song ánh f :  cho: f  x  f  x   f  y    f  x   f  y  ,với x, y  Bài Xét tất hàm đơn ánh f :  thỏa mãn điều kiện: f  x  f  x   2x , với x  Chứng minh hàm số f  x   x song ánh Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai Bài Xét tất hàm f , g , h :  cho f đơn ánh h song ánh thỏa mãn điều kiện f  g  x    h  x  , với x  Chứng minh g  x  hàm song ánh Bài Xét tất hàm f :  0  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: (i) f  x  y   f  x   f  y  , với x, y   0 (ii) Số phần tử tập hợp x f  x   0, x   0 hữu hạn Chứng minh f hàm đơn ánh Bài Tìm tất hàm số f :  0;     0;   thỏa mãn:     xyy , x, y   0;   f xf y Bài (OLP miền Nam 2006) Hãy tìm tất hàm số f :      x  xy  y, x, y  f x  f y  xf y Chuyên đề Học sinh giỏi  Phƣơng trình hàm thỏa mãn: ... Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai II PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH-TOÀN ÁNHSONG ÁNH CỦA HÀM SỐ ,Phƣơng pháp giải Để sử dụng phương pháp. .. vô lý Vậy không tồn hàm số Bài Tìm tất hàm f :  f  f  n    f  n   3n  ,n  thỏa mãn điều kiện: Giải - Chứng minh f đơn ánh Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng... Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai Hàm f hàm cộng tính đơn điệu tăng nên có dạng: f  x   ax Thay vào điều kiện toán ta thu được: a  Vậy hàm