Chuyên đề: Giải phương trình Hàm bằng phương pháp thế

Chuyên đề GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Phần MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Bài tốn phương trình hàm tốn thường xun có đề thi học sinh giỏi Trong chương trình dạy học tốn đội tuyển học sinh giỏi , phương trình hàm thường xuất với nhiều dạng toán khác nhau, phương pháp giải khác Có phương pháp có dấu hiệu áp dụng, có phương pháp phải dựa vào kinh nghiệm người giải Trong đó, phương pháp phương pháp khó để định hướng Trong chun đề này, tơi tập trung khai khác sử dụng phương pháp để giải số tốn phương trình hàm theo dạng tốn cụ thể nhằm giúp học sinh có thêm công cụ ,một phương pháp sử dụng giải dạng tốn Mục đích nghiên cứu: Chun đề nhằm hệ thống kiến thức hàm phương trình hàm, đặc biệt dùng phương pháp vào việc giải số dạng toán phương trình hàm Chun đề khơng có tính chất liệt kê mà mục đích muốn tìm hiểu sâu phương pháp có so sánh ưu điểm việc sử phương pháp áp dụng vào toán cụ thể cho hợp lý Chuyên đề tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia giúp học sinh có kiến thức tảng có thêm định hướng cho dạng tốn phương trình hàm Phần NỘI DUNG A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT I Các khái niệm hàm số I.1 Định nghĩa hàm số ≠φ ⊂ Cho D , D R , hàm số xác định D qui tắc cho tương ứng ∈ với phần tử x D số thực y D gọi tập xác định (hay miền xác định ) hàm số f ∈ Phần tử x D – gọi biến số độc lập hay biến số, hay đối số Số thực y tương ứng với biến số x gọi giá trị hàm số f, kí hiệu f(x) Khi ta viết : → f: D R  x y = f(x) Tập xác định (TXĐ) hàm số y= f(x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f(x) có nghĩa Tập giá trị (TGT), hay miền giá trị (MGT) hàm số y = f(x) tập hợp tất ∈ giá trị f(x), x D { f (x) | x ∈ D} Vậy T = gọi tập giá trị hàm số y= f(x) I.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn I.2.1.Hàm số chẵn 1).Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định D ∀ ∈ Hàm số y = f(x) gọi hàm số chẵn D với x D ta có: − x ∈ D  f (−x) = f (x),∀x ∈ D 2).Đồ thị : Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng I.2.2 Hàm số lẻ 1).Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định D ∀ ∈ Hàm số y=f(x) gọi hàm số lẻ D với x D ta có: − x ∈ D  f (−x) = −f (x),∀x ∈ D 2).Đồ thị : Đồ thị hàm số chẵn nhận gốc O làm tâm đối xứng I.2.3 Hàm số tuần hoàn 1).Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định D Hàm số y=f(x) gọi hàm số tuần hoàn D với chu kỳ T, x ± T ∈ D  f (x + T ) = f (x),∀x ∈ D ∀ x ∈ D ta có: 2).Đồ thị : Để vẽ đồ thị hàm số tuần hoàn ta cần vẽ chu kỳ I.3 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến 1) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) ∀ ∈ Hàm số y = f(x) gọi đồng biến khoảng (a;b) với x1,x2 (a;b) ta có : ⇒ x2 > x1 f(x2) > f(x1) ∀ ∈ Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến khoảng (a;b) với x1,x2 (a;b) ta có : ⇒ x2 < x1 f(x2) < f(x1) 2) Đồ thị: +) Đồ thị hàm số đồng biến đường thẳng lên từ trái sang phải +) Đồ thị hàm số nghịch biến đường thẳng xuống từ trái sang phải I.4 Hàm số hợp Cho tập X, Y, Z tập tập số thực R, hàm số : → → f: X Y g: Y Z  y = f(x) y z = g(y) → Hàm gof : X Z  ⊂ x z = gof(x) với f(X) Y , gọi hàm số hợp hàm số g f Biểu thức g[f(x)] giá trị hàm hợp gof x Vậy (gof)(x) = g[f(x)] Để xác định g[f(x)] ta coi f(x) biến g đâu có biến g ta thay biến f(x) I.5 Hàm số ngược 1).Định nghĩa Hàm số y = f(x) xác định đoạn [a;b], có miền giá trị đoạn α;β ∈ α;β ∈ [ ] , y [ ] ta tìm x [a;b] cho : f(x)=y ta gọi phép tương ứng, x = f-1(y) hàm số ngược hàm số y=f(x) 2).Đồ thị: Đồ thị hàm số ngược x = f-1(y) đồ thị hàm số y = f(x) Nhưng đổi ký hiệu x = f-1(y) thành y= f-1(x) đồ thị đối xứng với đồ thị y = f(x) qua đường phân giác thứ y = x I.6.Hàm số liên tục 1) Các định nghĩa: ∈ Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b) x0 (a;b) lim x  Hàm số y = f(x) gọi liên tục x0 x→ x0 f(x) = f(x0) lim + Hàm số y = f(x) gọi liên tục bên phải x0 x→x0 lim x→x0− f(x) = f(x0) Hàm số y = f(x) gọi liên tục bên trái x0 f(x) = f(x0) Hàm số y = f(x) gọi liên tục khoảng (a;b) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số y = f(x) gọi liên tục đoạn [a;b] liên tục khoảng (a;b) liên tục phải a, liên tục trái b Chú ý: lim lim lim x→ x ⇔ n→∞ n→∞  f(x) = f(x0) Mọi dãy (xn) có xn = x0 f(xn) = f(x0)  Với mối số thực cho trước ln có dãy số hữu tỷ hội tụ số thực đó: → ∈ ∃ ⊂ r R, (qn) Q cho: qn r  Hàm số liên tục đoạn (khoảng đóng) bị chặn đoạn → ∃ ∈ ≤ ∀ ∈ f: [a;b] R liên tục , M R để |f(x)| M, x [a;b] 2).Đồ thị: Đồ thị hàm số liên tục khoảng (a;b) đường liền khoảng I.7 Đạo hàm, nguyên hàm I.7.1.Đạo hàm : Các định nghĩa Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm x0 tồn giới hạn : f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) lim x − x lim x − x x→ x x→ x 0 ký hiệu : f’(xo) = Đạo hàm bên phải điểm x0, ký hiệu : f’(x0+) định nghĩa : f (x) − f (x0 ) lim x − x x→ x + f’(xo )= Đạo hàm bên trái điểm x0, ký hiệu : f’(x0-) định nghĩa : f (x) − f (x0 ) lim x − x x→ x f’(xo )= + Nếu f’(x0 ),f(x0 ) tồn f’(x0+) = f’(x0-) f(x) có đạo hàm x0 lúc đó: f’(x0) = f’(x0+) = f’(x0-) Chú ý: Tại x0 hàm số f- khơng có đạo hàm nếu:  f’(x0+) f’(x0-) không tồn hai tồn khác  f – không liên tục x0 I.7.2.Nguyên hàm Định nghĩa: ∫ f (x)dx Nếu F’(x) = f(x) F(x) gọi nguyên hàm f ký hiệu : F(x) = II ĐẶC TRƯNG HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP Để mơ tả tranh mang tính định hướng , gợi ý dự đốn cơng thức nghiệm toán liên quan xét vài tính chất hàm tiêu biểu số dạng hàm số quen biết II.1 Hàm bậc : f(x) = ax+b có tính chất : x+ y 2 ∀ ∈ f( ) = [f(x)+f(y)], x,y R ≠ II.2 Hàm tuyến tính : f(x) = ax (a 0) có tính chất : ∀ ∈ f(x+y) = f(x)+f(y), x,y R ≠ II.3 Hàm mũ : f(x) = ax ( 0< a 1) có tính chất : ∀ ∈ f(x+y) = f(x)f(y), x,y R ≠ II.4 Hàm logrit: f(x) = loga|x| ( 0< a 1) có tính chất : ∀ ∈ f(x.y) = f(x)+f(y), x,y R \ {0} 0 + − α II.5 Hàm luỹ thừa : f(x) = |x| có tính chất : ∀ ∈ f(x.y) = f(x)f(y) , x,y R \ {0} II.6 Hàm lượng giác: ∀ ∈ II.6.1 Hàm f(x) = sinx có tính chất : f(3x) = 3f(x) - 4[f(x)]3 , x R ∀ ∈ II.6.2 Hàm f(x) = cosx có tính chất : 1) f (2x) = 2[f(x)]2 – , x R ∀ ∈ 2).f(3x) = 4[f(x)]3 - 3f(x), x R ∀ ∈ 3) f(x+y)+f(x-y) = 2f(x).f(y), x,y R II.6.3.Mối quan hệ hai hàm số : f(x) = sinx; g(x) = cosx f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x),∀x, y ∈ R  g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y),∀x, y ∈ R II.6.4 Hàm số f(x) = tanx có tính chất : 2f (x) π + kπ / 2 1− [f (x)] ∀ ≠ ∈ 1) f(2x) = , x (k Z) f (x) + f (y) π + kπ 1− f (x)f (y) ∀ ≠ ∈ 2) f(x+y) = , x+y (k Z) II.6.5 Hàm số f(x) = cotx có tính chất : 1− [f (x)]2 π k 2f (x) ∀ ≠ ∈ 1) f(2x) = , x (k Z) f (x) + f (y) 1− f (x)f (y) ∀ ≠ kπ ∈ 2) f(x+y) = , x+y (k Z) II.7 Hàm số lương giác ngược II.7.1 Hàm f(x) = arcsinx có tính chất 1− y2 1− x2 ∀ ∈ f(x) +f(y) = f(x +y ), x,y [-1;1] II.7.2 Hàm g(x) = arccosx có tính chất 1− x2 1− y ∀ ∈ g(x) +g(y) = g(xy), x,y [-1;1] II.7.3 Hàm h(x) = arctanx có tính chất x+ y 1− xy ∀ ≠ h(x) +h(y) = h( ) x,y : xy II.7.4 Hàm p(x) = arccotx có tính chất 1− xy x+ y ∀ ≠ p(x) +p(y) = p( ) x,y : x+y B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Trước nghiên cứu phương pháp để giải phương trình hàm ta vào xem xét số toán thường gặp liên quan đến hàm số, tiêu biểu toán liên quan đến hàm số hợp số tốn đẳng thức hàm ≥ Ví dụ 1: 1-x x Cho f(x) = x2 –3 g(x)= x+1 x < Tìm g[f(x)] f[g(x)] Giải: Cách 1: 1- f(x) f(x) ≥ Ta có : g[f(x)]= f(x) +1 f(x) < 1-x2+3 x2-3 ≥ = x2-3+1 x2 –3< 4-x2 x ∪ ∞ ∈ ∞ (- ;- ] [ ;+ ) = x -2 x ∈ (- 3 ; Ta có : f[g(x)] = (g(x))2-3 (1-x)2 –3 x ≥ = (1+x)2-3 x < x2-2x –2 x ≥ ) = x2+2x-2 x < Cách 2: Viết g(x) =1-|x| f[g(x)] = [g(x)]2 –3 =(1-|x|)2 –3 = x2-2|x| - g[f(x)] = 1-|f(x)|= 1- |x2-3| [(x + x2 − 1) n + (x − x2 − 1) n ] Ví dụ 2: Cho hàm số : fn(x) = xác định ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ x 1,n số tự nhiên ,n với x 1, m, n số tự nhiên.m 1, n Chứng minh rằng: ≥ a) fn(x) b).fmn(x) = fm(fn(x)) (Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 12 – Lào Cai) Giải: Cách 1: (x + x2 − 1) n vµ(x − x2 − 1) n a) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số không âm ta có: (x + x2 − 1) n + (x − x2 − 1) n ≥ (x + x2 − 1) n (x − x2 − 1) n = [(x + x2 − 1)(x − x2 − 1)]n [(x + x2 − 1) n + (x − x2 − 1) n ] ≥ =2 Từ suy fn(x) = (đpcm) b) Sử dụng khai triển hàm hợp bình thường ta có đpcm (nhưng cách dài) Ta sử dụng cách thứ 2: Cách 2: x + x2 − ≥ ≥ a) Đặt t = theo giả thiết x => t 1 2 x + x −1 x − x −1 x− x −1 t Nhận thấy ( )( ) =1 suy : = n 1 (t + n ) t ≥ tn ≥ n fn(x) = , với n => t Áp dụng BĐT Cơsi ta có : tn ≥ ≥ n t + suy fn(x) (đpcm) dấu “=” xảy  t =1  x=1 [(f n (x) + [f n (x)]2 − 1)m + (f n (x) − [f n (x)]2 − 1) m ] b)Ta có fm[fn(x)] = 1 n 1 1 1 [( (t + n )) + [ (t n + n )]2 − 1)]m + ( (tn + n ) − [ (tn + n )]2 − 1))m ] 2 t t t t = = 1 n 1 2n 1 1 2n [( (t + n ) + (t + 2n + 2) − 1)]m + ( (tn + n ) − (t + 2n + 2) − 1))m ] 2 t t t t = 1 n 1 2n 1 1 2n [( (t + n )) + (t + 2n − 2)]m + ( (t n + n ) − (t + 2n − 2)) m ] 2 t t t t Vì t2n + t2n fm[fn(x)]= tn -2 =(tn – )2 : 1 n 1 1 1 [( t + n + t n − n )m + ( tn + n − tn + n ) m ] 2 2t 2t 2t 2t mn (t + mn ] t = = fmn(x) = [(x + x2 − 1) mn + (x − x2 − 1)mn] x 1+ x x 1− x Ví dụ 3: Cho f(x) = g(x) = Xác định f[g(x)] g[f(x)] Giải x 1− x g(x) 1+ g(x) Ta có :  Nếu x ≥ *) f[g(x)] = 1+ = từ (1) ta có: : f[g(x)] = x 1− x (1) x 1− x x 1+ 1− x (2) x 1− x x x x x = 1+ 1− x 1− x 1− x 1− x + x ≤  Nếu x1 x 1− x x x x 1− 1− x 1− x − x 1− 2x từ (2) ta có : f[g(x)] = = = (4) x 1+ x x 1+ 1+ x  Nếu x0 b) f(x) = g(x) = x2 –6 ≤ 2003x+2 x c) f(x) = x2 +1, |x | ≠ x x g(x) = -1 x = Bài Cho f(n) tổng n số hạng cấp số cộng Chứng minh : f(n+3) – f(n+2)+3f(n+1)-f(n) = Bài 3: a) Cho f(x) = ax CMR xn tạo thành cấp số cộng yn=f(xn) lập thành cấp số nhân ngược lại b).Cho f(x) = lgx.CMR x=x n dương tạo thành cấp số nhân y n tạo thành cấp số cộng Bài 4: a).Cho f(x) = ax2+bx+c.Tìm a, b, c biết f(0) = 6, f(1)=5, f(2)=10 ≡ b).Cho f(x) = ax2+bx+5 Tìm a, biết f(x+1) –f(x) 8x+3 ≡ c).Cho f(x) = acos(bx+c) Tìm a, b, c f(x+1) –f(x) sinx xy x+ y x Bài 5: a) Cho f(x) = CMR f(x)+f(y) = f( ) x+ y 1+ x 1+ xy 1− x b) Cho g(x) = ln CMR g(x)+g(y) = g( ) x+ y 1− xy c) Cho h(x) = arctgx(|x| < 1) CMR h(x)+h(y) = h( ) 50 kπ f (sin2 ) ∑ k =1 100 Bài 6: Cho f(x) = (1+21-2x)-1 Tính S = Bài 7: Cho f(x) hàm số liên tục [0;1] thoả mãn điều kiện f(0) = f(1) 2003 Chứng minh : Luôn tồn c thuộc [0;1] cho: f(c) = f(c+ ) Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết : 1) a) f(x+1) = x2-3x+2 x b) f( ) =x + c) f(x+ 3x 1+ x ) = x2+ ( x>0) 9x2 ≠ ,x Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết : f( 3x − x+ a x 2003 x + 2002 x − 2001 ≠ ≠ )= ,x -2 x 2001 Bài 10: Tìm hàm số f(x) thỏa mãn: f(x- ) = x2+ a2 x2 , ∀ x ≠ Bài 11 CMR hàm số xác định R Đều viết dạng hiệu hàm số chẵn hàm số lẻ xác định R Bài 12 CMR đạo hàm hàm số chẵn hàm số lẻ Đạo hàm hàm số lẻ hàm số chẵn Bài 13 Cho đồ thị hàm số : y= x3+ax2+bx+c Một đường thẳng cắt đồ thị nói điểm A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) thoả mãn |AB| =|BC| CMR: f(x2-x)+f(x2+x)=2y2 , ∀ x ∈ R Bài 14 Tìm hàm số biết: 2f(x)+3f(-x) =5x x Bài 15 Tìm hàm số biết: (x-1)f(x)+f( )= mx− n x ≠ 0;x ≠ m/n , m,n = const Bài 16 Tìm hàm số biết: 2f( 1/2, x ≠ ± x x −1 3x − 21 2003 x − 2004 2x + 1999 x2 − 2001 ≠ ≠ )-3 f( )= x 1, x - 2001 1999 Bài 17 Tìm hàm số biết: f(x)+f( a2 a− x ) =kx, a ≠ ≠ 0, x a k= const Bài 18 Tìm hàm số biết: mf(x-1)+nf(1-x) = px Bài 19 Tìm hàm số f(x), g(x) xác định hệ sau đây: a) f(x+1) +2002xg(x+1) = 2003x f( 8x + x−1 )+g( x+1 x −1 ) = 2004x-1 b) f(3x-1)+g(6x-1) = mx f(x+1)+x2(2x+3) = nx2+p c) f(2x-1)+g(1-x) = px+q (trong a, n, p = const) f( x x+1 ) +2g( 2x + ) = mx2+n (m, n, p, q = const) d) f(x+6)+2g(2x+15) = f( x+ 2 px3 − qx )+g(x+5) = hx+k ( p, q, k, h = const) Bài 20: Tìm hàm số f(x) xác định R thoả mãn : f(x)f(y)- xy= f(x) +f(y) –1 Bài 21: Tìm hàm số f(x) biết : f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)cos2003y , ∀ x,y ∈ R Bài 22: Cho hàm số f(x) xác định R không đồng thời thoả mãn: f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R  f (xy) = f (x).f (y) Chứng minh rằng: a) f(1) = b) f(x) = x ∀ ∈ x Q c) f(x) >0 với ∀ ∈ x R d) f – hàm số tăng ∞ → ∞ Bài 23: Cho hàm số f: (0;+ ) (0;+ ) Chứng minh hai khẳng định sau tương đương: a) f(xf(y)) = yf(x) , ∀ x,y > b) f(xy) = f(x).f(y) f(f(x)) = x ∞ → ∞ Bài 24: Xác định hàm số f: [0;+ ] [0;+ ] thoả mãn điều kiện sau: a) f(xf(y)).f(y) = f(x+y) b) f(2) = c) f(x) ≠ với ≤ x < (Đề thi vơ địch tốn quốc tế 1980) Bài 25: Tìm hàm số Bài 26: Tìm hàm số Bài 27: Chứng f :R→R f :R→R minh  f ( x ) ≥ e x   f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) , ∀x, y ∈ R thỏa: thỏa không f ( x ) f ( y ) − f ( x + y ) = sin x.sin y, ∀x, y ∈ R tồn hàm số f: ( 0; +∞ ) → ( 0; +∞ ) thỏa: f ( x ) ≥ f ( x + y ) ( f ( x ) + y ) , ∀x, y > Kết luận : Phương trình hàm dạng tốn thường gặp kỳ thi Olympiad Toán Học Quốc tế, Olympiad tốn học nước, đề thi vơ địch tốn thường xun có mặt đề thi học sinh giỏi cấp Điều chứng tỏ mảng kiến thức quan trọng, đòi hỏi học sinh thi thầy cô giáo luyện thi học sinh giỏi, học sinh đội tuyển phải nắm vững Trên nêu định hướng vấn đề giải phương trình hàm, thời gian cịn hạn chế, mong nhận ý kiến góp ý Thầy giáo em học sinh đọc tài liệu Tôi xin chân thành cảm ơn ... xét phương pháp tốn giải phương trình hàm, biết với phương trình, hệ phương trình đại số, khơng phải phương trình ta giải tìm nghiệm được, phương pháp phương pháp cách tiếp cận tìm nghiệm phương. .. trình hay giải hệ phương trình, phương trình hàm mà nghiệm hàm số phương pháp đóng vai trị quan trọng, giải phải vào giả thiết tốn để tìm hướng tiếp cận phải trả lời câu hỏi lại dùng phương pháp. .. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Trước nghiên cứu phương pháp để giải phương trình hàm ta vào xem xét số toán thường gặp liên quan đến hàm số, tiêu biểu toán liên quan đến hàm số hợp số tốn đẳng thức hàm ≥ Ví