Luận văn sư phạm Sự hội tụ yếu và ứng dụng

Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n tr ng đ i h c s ph m hƠ n i khoa toán ************* nguy n th n s h i t y u vƠ ng d ng khoá lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Gi i tích Ng ih ng d n khoa h c TS Tr n v n b ng Hà N i - 2008 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n L IC M N B n khoá lu n t t nghi p b c u khoa h c Tr c đ u tiên đ em làm quen v i vi c nghiên c s b ng g p nhi u khó kh n m i b t đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c, em nh n đ giáo b n sinh viên khoa Toán c s giúp đ đ ng viên c a th y cô c bi t em xin g i l i c m n sâu s c đ n Ti n s Tr n V n B ng, giúp em hồn thành khố lu n Em c ng xin chân thành c m n ban ch nhi m khoa Toán t o u ki n đ em hồn thành đ c khố lu n Xn Hồ tháng n m 2008 Sinh viên Nguy n Th Thanh Tuy n Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n L I CAM OAN Tôi xin cam đoan k t qu c a đ tài: ‘‘S h i t y u ng d ng ’’ đ m b o tính xác, khách quan, khoa h c, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai tơi xin hồn tồn ch u trách nhi m Xuân Hoà tháng n m 2008 Sinh viên Nguy n Th Thanh Tuy n Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n M CL C Trang L ic m n L i cam đoan M đ u ầầầầầầầầầầầầầ Ch ng 1: Ki n th c chu n b ầầầầầầầầầầầầầầầ 1.1 Các đ nh ngh a ầầầầầầầầầầầầầầầầ 1.1.1 Không gian tô pô ầầầầầầầầầầầầầ 1.1.2 đo ầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 1.1.3 Không gian metric ầầầầầầầầầầầầầ 1.1.4 Khơng gian n tính ầầầầầầầầầầầ 10 1.1.5 Khơng gian n tính đ nh chu n ầầầầầầầ 12 1.1.6 Không gian Hilbert ầầầầầầầầầầầầầ 14 1.1.7 Các đ nh ngh a khác ầầầầầầầầầầầầ 15 1.2 Các đ nh lí ầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 1.2.1 Khơng gian n tính đ nh chu n 18 1.2.2 Không gian Hilbert 18 1.2.3 Ch i ng u c a không gian n tính đ nh chu n 20 1.3 Ki n th c liên quan khác 21 ng 2: S h i t y u ầầầầầầầầầầầầầầầầầ 22 2.1 Ch 18 nh ngh a ầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 22 2.2 Tính b ch n đ u c a dãy h i t y u ầầầầầầầầ 27 2.3 Tính liên t c compact y u ầầầầầầầầầầầầ 33 2.4 S h i t y u* ầầầầầầầầầầầầầầầầ 36 ng 3: ng d ng c a s h i t y u ầầầầầầầầầầầầ 3.1 X p x hàm  40 b i nh ng hàm liên t c ầầầầầầầ 40 3.2 S phân kì c a chu i Fourier ầầầầầầầầầầầ 42 3.3 C u ph 44 ng x p x ầầầầầầầầầầầầầầầ 3.4 Tính gi i tích y u, gi i tích m nh hàm giá tr vect ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 45 Khóa lu n t t nghi p 3.5 S t n t i nghi m c a ph Sv Nguy n Th Thanh Tuy n ng trình đ o hàm riêng ầầ 3.6 S bi u di n hàm gi i tích v i ph n th c d ng ầầ 47 51 K t lu nầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 55 Tài li u tham kh o ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 57 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n U M Lý thuy t hàm gi i tích hàm có t m quan tr ng đ c bi t đ i v i toán h c c b n ng d ng vào chuyên ngành khác nh gi i tích ph c, lý thuy t x p x , ph ng trình đ o hàm riêng, có th nói gi i tích hàm c s c a h u h t môn h c S xâm nh p y, m t m t đƣ m nh ng chân tr i r ng l n cho ngành toán h c nói trên, m t khác đ cho ngành gi i tích hàm ph i đúc k t nh ng k t qu c a nh ng ngành toán h c riêng r đ tr ng m c đ nh ng k t qu c a Trong lý thuy t gi i tích hàm s h i t y u gi m t v trí quan tr ng, t ni m say mê c a b n thân s giúp đ t n tình c a th y giáo - Ti n s Tr n V n B ng, em đƣ m nh d n th c hi n lu n v n v i đ tài: “S h i t y u ng d ng” Bài khóa lu n g m ch ng: Ch ng 1: Ki n th c chu n b Ch ng 2: S h i t y u Ch ng 3: ng d ng c a s h i t y u Do th i gian có h n m i làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, nh ng v n đ đ c trình bày b n khóa lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y em r t mong nh n đ th y cô b n đ c, đ đ tài đ c nhi u ý ki n đóng góp c a c hoàn thi n h n Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n Qua đơy em xin bày t lòng c m n sâu s c t i th y giáo - Ti n s Tr n V n B ng, t n tình h ng d n em th y khoa Tốn đƣ t o u ki n có nh ng ý ki n giúp cho b n khóa lu n đ c hoàn thành Cu i em xin chúc th y gia đình ln m nh kh e, thành công cu c s ng Khóa lu n t t nghi p CH Sv Nguy n Th Thanh Tuy n NG M TS 1.1 CÁC KI N TH C CHU N B NH NGH A 1.1.1 Không gian tô pô nh ngh a 1.1.1 (Không gian tô pô) Cho t p X ,  m t h t p c a X H  đ c g i tô pô X n u  h tho mãn u ki n sau: i) X  ,  ii) (G ) ii) (G j )1m  ( m N*)   Gj   M       G   M m j 1 C p  X,  g i không gian tô pô nh ngh a 1.1.2 (T p m ) Cho không gian tô pô  X,  , m i t p G   đ c g i m t t p m nh ngh a 1.1.3 (T p đóng) T p h p F không gian tô pô  X,  đ X \ F t p m c g i t p h p đóng n u Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n nh ngh a 1.1.4 (Lân c n) Cho không gian tô pô  X,  , x  X T p V  X đ c g i lân c n c a m x không gian  X,  n u t n t i t p m G cho: x  G  V nh ngh a 1.1.5 (Ph n trong) Cho không gian tô pô  X,  , A  X Ta g i ph n c a t p A h p c a t t c t p m ch a A Kí hi u: intA ho c A nh ngh a 1.1.6 (Bao đóng c a m t t p) Cho không gian tô pô  X,  , A  X Ta g i bao đóng c a t p A giao c a t t c t p h p đóng ch a A  Kí hi u : A nh ngh a 1.1.7 (T p trù m t) Cho không gian tôpô  X,  , A  X T p A đ c g i trù m t n u:  A = X nh ngh a 1.1.8 (Không gian tách đ Không gian tô pô tách đ c) c khơng gian có ch a m t t p đ m đ trù m t c Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n đo 1.1.2 nh ngh a 1.1.9 ( is ) M t h M nh ng t p c a m t t p h p X g i m t đ i s nh ng t p c a X n u: i) X M ; A  M,X \ A  M ii) V i m i h h u h n tu ý A1,A2,…,An  M,  A i  M n i 1 nh ngh a 1.1.10 ( _đ i s ) M g i _đ i s nh ng t p h p c a X n u tho mãn: i) X M, A  M,X \ A  M ii) V im th đ mđ  c b t kì A1, A2,…  M,  A i  M i 1 nh ngh a 1.1.11 (Không gian đo đ c) C p (X,M) M m t _đ i s nh ng t p c a X g i không gian đo đ c M i t p A M g i m t t p h p đo đ nh ngh a 1.1.12 (Hàm đo đ Cho m t không gian đo đ Hàm s f : A ฀ g i đo đ c c) c (X,M) A M c A n u m i a ฀ , t p h p {x A : f(x) < a} M 10 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n S d ng cơng th c tính t ng c a chu i hình h c h u h n, d dàng nh n đ c, v i   0, sin(N  ) 2k N ()   sin (10’) Nh v y s h i t c a chu i Fourier c a m i hàm liên t c t ng c đ nh ngh a b i (10) x p x  hàm Theo đ nh lí 3.1.1 v i dãy {kn} đ tr ng đ ng h p u ki n (2), (3), (4) đ r ng u ki n (4) không tho mãn c tho mãn Bây gi s ch th y u s d ng b t đ ng th c sin    , ngh a là: sin    S d ng (10’) m t s phép tính đ n gi n, ta nh n đ     k n ()d  1 d sin(N  )       (N  )   sin  c: d  Tích phân cu i này, d th y l n h n ho c b ng const.lgN Nh v y u ki n (4) khơng tho mãn, v y theo h qu 3.1.1, v i m i hàm f, chu i Fourier c a f phân kì t i  = Bài t p Ch r ng t n t i m t hàm tu n hoàn liên t c mà chu i Fourier phân kì t i n m tu ý 48 Khóa lu n t t nghi p 3.3 C u ph Sv Nguy n Th Thanh Tuy n ng x p x M t công th c c u ph ng x p x m t x p x đ i v i tích phân c a m t hàm liên t c f [-1;1] L y N m tj [-1;1] g i m nút N s wj g i tr ng, đ nh ngh a q(f) b i: N q(f )   w j f (t j ) (11) 1  f (t)dt (11’) Gi s qN m t dãy nh ng cơng th c c u ph ng có d ng (11) tho mãn Chúng ta quan tâm t i q nh m t x p x t i 1 nh lí 3.3.1 u ki n sau: i) V i m i s nguyên không âm k, lim qN (t )   t dt k k N  ii) (12) 1 V i m i N, N  w (N)  C , (13) j C m t h ng s Khi đó: lim qN (f )   t dt , N  v i m i hàm liên t c f Ng (13) c ng đ k (14) 1 c l i, n u (14) v i m i f liên t c (12), c tho mãn 49 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n Ch ng minh T (12) suy (14) v i m i đa th c f B t đ ng th c (13) kh ng đ nh r ng phi m hàm n tính qN C[-1;1] có chu n b ch n đ u Vì đa th c trù m t C[-1;1] nên ta có (14) v i m i hàm liên t c f i u ng cl iđ c suy t đ nh lí 2.2.3 Bài t p Ch ng minh r ng n u nh ng tr ng s wj d ng t (12) suy (13) 3.4 Tính gi i tích y u gi i tích m nh c a hàm giá tr vect Gi s f m t hàm đ c xác đ nh m t mi n G c a m t ph ng ph c  , mà giá tr n m m t khơng gian Banach ph c X nh ngh a 3.4.1 f(C) gi i tích m nh G n u gi i h n: f (  h)  f () h0 h lim t n t i theo tô pô chu n t i m i m c a G nh ngh a 3.4.2 f(  ) gi i tích y u G n u m i phi m hàm n tính b ch n l l(f(  )) m t hàm gi i tích c a  theo ngh a c n N Dunford đƣ ch ng minh đ c k t qu sau: nh lí 3.4.1 M t hàm gi i tích y u gi i tích m nh 50 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n Ch ng minh N u l(f(  )) gi i tích G, có th thay th b i t ng tích phân Cauchy: l(f ()) d , C  l(f ())   d  Cđ (15) d 2i  c u ch nh xung quanh  T ng t t ng v n  thay đ i thành  +h  +k, h k đ nh Gi s r ng k  0, h  0, h  k; có th bi u th t sai phân c a t sai phân nh sau:  l(f (  h))  l(f ()) l(f (  k))  l(f ())     h k  h k    l(f ()) C d (    h)(    k)(  ) (16) Cho l c đ nh h , k đ nh , v ph i c a (16) b ch n b i h ng s M không ph thu c vào h k Chúng ta có th vi t l i v trái b i l(xh,k) đó: x h,k   f (  h)  f () f (  k)  f ()     h k  h k  Nh v y gi i tích y u có ngh a v i m i l m i h, k đ nh : l(x h,k )  M(l) 51 (17) Khóa lu n t t nghi p Chúng ta s Sv Nguy n Th Thanh Tuy n d ng nguyên lí b ch n đ u, đ nh lí 2.2.4 ta có x h,k  C, h, k đ nh T đ nh ngh a (17) c a xh,k u có ngh a chu n t ng đ ng: f (  h)  f () f (  k)  f ()   C h  k h k (18) Vì X đ y đ suy r ng t sai phân c a f(  ) h i t t i m t gi i h n theo ngh a m nh, hay f(  ) gi i tích m nh G 3.5 S t n t i nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng Chúng ta kí hi u L m t toán vi phân t c p có d ng sau, đ c hình thành nh ng hàm giá tr vect : m L  A j  B, (19) j 1 đơy Aj B nh ng hàm giá tr ma tr n vuông c a nh ng bi n s đ c l p sj, Aj(s) kh vi, B(s) liên t c và: j   sj đ n gi n gi s Aj B c ng gi ng nh nh ng hàm mà L tác đ ng đ n, tu n hoàn v i m i bi n s chúng hàm giá tr th c Thơng th ng ta kí hi u tốn t liên h p c a L L*: L*    j A Tj  BT , (19’) đơy AT, BT kí hi u ma tr n chuy n v Phép l y tích phân t ng ph n cho th y r ng v i m i c p b t kì nh ng hàm tu n hoàn giá tr vect v i u v c a C1, 52 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n (v,Lu) =(L*v,u) , đơy d u ngo c bi u th tích vơ h ng L2 hình l p ph (20) ng chu kì Gi s r ng m i Aj đ i x ng: AjT = Aj Khi so sánh (19) (19’) đ c: L*  L   A j,j  B  BT , đơy Aj,j bi u th ph n đ o hàm riêng c a Aj theo sj Thay vào (20) ch n v = u, ta có: 2(u,Lu) =((L+L*)u,u) = (  A j,j  B  BT  u,u ) (20’) S d ng ngôn ng c a phân b , ta phát bi u: nh lí 3.5.1 Gi s v ph i (20’) xác đ nh d ng:  A j,j  B  BT  k.I , k> Khi m i hàm bình ph ng kh tích tu n hồn f ph (21) ng trình: Ly = f, s có m t nghi m y theo ngh a phân b m t hàm bình ph (22) ng kh tích tu n hồn Ch ng minh T (20’) (21) m i C1 hàm tu n hoàn tho mãn b t đ ng th c: (u.Lu)  k u , 53 (21’) Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n u kí hi u chu n c a L2(F) Kí hi u không gian Hilbert L2(F) H Gi s Y không gian h u h n chi u c a H g m nh ng C1 hàm tu n hồn Kí hi u ph n bù tr c giao c a Y H Y  Xét ph ng trình: Ly = f Y  , v i y  Y ơy m t ph ng trình n n tính v i m i y  Y , N = dimY Theo đ i s n tính, m i m t h ph m t nghi m v i m i f t (22N) ng đ ng ph ng trình n tính đ u có ng trình thu n nh t: Lz  Y, z  Y, ch x y z = L y tích vơ h (23) ng c a (23) v i z s d ng (21), ta có:  (z.Lz)  k z , u suy z = Vì v y (22N) có nghi m nh t y L y tích vơ h ng c a (22N) v i y; s d ng (21’) b t đ ng th c Schwarz, ta có: k y  (y,Ly)  (y,f )  y f i u có ngh a là: y  f k (24) Bây gi gi s YN m t dãy t ng c a không gian c a C1 hàm mà h p c a chúng trù m t H Kí hi u yN nghi m c a (22N) Theo (24) y N m t dãy b ch n đ u B i v y, t H không gian ph n x , theo đ nh lí 2.3.1, ta có m t dãy c a {yN}, c ng đ c kí hi u b i {yN}, h i t y u t i y: 54 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n W – limyN = y Gi s v YN ; m i YN bao g m hàm kh vi nên v c ng kh vi, gi s thu c m t YM Cho y N  YN , LyN – f  YN L y tích vơ h ng c a v i v; v i N > M ta có: (v,LyN) – (v,f) = Vì v kh vi, nên có th vi t l i (20) d i d ng: (L*v, yN) – (v, f) = Do dãy yN h i t y u t i y, k t lu n v i m i v YN , (L*v, y) – (v, f) = (25) Ta có th ch n khơng gian YN cho h p c a chúng không ch trù m t H mà cịn trù m t H1, khơng gian c a t t c L2 hàm tu n hồn mà có đ o hàm b c nh t thu c L2 i u có ngh a cho b t k v thu c C1 hàm tu n hồn, có dãy {vk} c a hàm thu c YN tho mãn vk h i t t i v không gian đ nh chu n L2, đ o hàm b c nh t c a vk h i t t i đ o hàm b c nh t c a v không gian đ nh chu n L2 T L* toán t c p 1, t L*vk h i t t i L*v không gian đ nh chu n L2 t v = vk (25), ta có th chuy n qua gi i h n k t lu n (25) v n v  C1 M t hàm y tho mãn (25) v i m i C1 hàm v đ c g i tho mãn ph ng trình vi phân (22) theo ngh a y u Rõ ràng, v i m i v nghi m c a (22) theo ngh a phân b t c (25) v i m i C0 hàm v 55 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n Friedrichs đƣ cho th y m t nghi m y u c a (22) m t nghi m m nh theo ngh a sau đơy: Có m t dãy C1 hàm zn h i t t i y theo ngh a L đ ng th i L zn h i t t i f theo ngh a L2 i u r t d th y, s d ng (21’) ph ng trình (22) ch có m t nghi m m nh Theo khơng ch m t dãy mà t t c dãy yN h i t Ph ng pháp đ c mô t m c thu đ c nghi m y c a ph trình (22) nh gi i h n y u c a ngi m yN c a ph ng trình (22N) đ ng cg i ng pháp Galerkin’s Nó m t cơng c mang tính lí thuy t dùng đ ph ch ng minh s t n t i nghi m c a ph ng trình (22) ơy c ng m t ph ng pháp th c hành đ xác đ nh 3.6 S bi u di n hàm gi i tích v i ph n th c d ng Gi s f(  ) m t hàm gi i tích hình trịn đ n v  < Có ph n th c d ng: h(  ) = Ref(  )  ,  < V i m i hàm gi i tích đ nh ngh a bên m t hình trịn liên t c đ n biên có th đ c bi u th ph n o b ng m t h ng s d i d ng ph n th c c a biên b i tích phân Poisson Trên hình trịn bán kính R < Ta có: Cho  < R, 2R f ( )   R  .e i  h(R.ei  )d  iC  i R-.e (26) t  = Ta th y: 2R h(0)   h(R.ei  )d 56 (26’) Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n Gi s R  thông qua dãy Rn  Hàm h(Rnei ) hàm khơng âm c a  có tích phân tồn b vịng trịn xác đ nh b i (26’), b ng h(0) Ta k t h p v i m i Rn phi m hàm n tính: 2R  h(Rn ei  )u()d (27) Trên không gian ฀ hàm liên t c u đ ng tròn S1 T h  l n (u)  (26’), ta có: l n  h(0) Vì ฀ (S1 ) tách đ c, ta s d ng đ nh lí Helly’s, đ nh lí 2.4.2 k t lu n m t dãy c a{ l n } h i t y u* theo gi i h n t i l n u: liml n (u)  l(u) , n (28) v i m i hàm liên t c u T (28) tính b ch n đ u c a l n suy v i dãy un b t kì h i t m nh t i u, ta có: liml n (un )  l(u) n Ta áp d ng u v i: un  Rn  .e i   .e i ; u  Rn  .e i   .e i  s ph c b t kì v i  < 1, s d ng (26), (27), (28), ta có:  .e i f ()  l( )  .e i 57 (28’) Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n Các phi m hàm ln đ nh ngh a b i (27) rõ ràng không âm, b i v y gi i h n c a chúng h i t y u* t i l Theo h qu c a đ nh lí Riesz đ nh lí 1.2.9, v i phi m hàm khơng âm ฀ (S1 ) có th đ đ đo d c bi u di n nh tích phân v i m t ng m Nh v y ta đƣ ch ng minh đ c ph n đ u tiên nh lí 3.6.1 (Herglotz –Riesz) M i hàm gi i tích f hình c u đ n v th đ c bi u di n d  < có ph n th c d i d ng:  .e i f ()   dm  iC ,  .e i m đ đo d Ng ng có (29) ng, C s th c c l i v i m i hàm f đ c u đ n v có ph n th c d c bi u di n nh hàm gi i tích hình ng bi u di n (29) nh t Ch ng minh (29) bi u di n m t hàm gi i tích v i ph n th c d v v i m i đ đo d ng hình c u đ n ng m hi n nhiên ta có cơng th c (30) bên d i D th y s bi u di n nh t ta ý t i ph n th c c a (29) là:  r2 h()   dm,   r.ei   2r.cos(  )  r (30) L y hàm liên t c b t kì u(  ), nhân (30) v i u(  ) l y tích phân theo  S1 Sau hoán v th t phép l y tích phân c a v ph i, ta có: i  h(r.e )u()d   ur ()dm , 58 (31) Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n đó:  r2 ur ()   u()d  2r.cos(  )  r Ta th y h(  )đ c bi u di n b i công th c (30) b ng đ đo khác m m’ Gi s r  (31); t đ nh lí 3.1.1, suy ur  u theo chu n max T v trái c a (31) không ph thu c vào đ đo bi u di n, theo đó:  u()dm   u ()dm' , v i m i hàm liên t c u Ta s d ng tính nh t c a s đo đ c s bi u di n c a đ nh lí Riesz ta có k t lu n m  m’ i u d n t i đ nh lí 3.6.1 đ c ch ng minh T s nh t c a s đo đ c m mà gi i h n (28) không ch t n t i v i m t dãy mà v i m i dãy c a ฀ 59 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n K T LU N Nh đƣ nói ph n m đ u, m c đích c a khóa lu n nghiên c u, tìm hi u sâu h n v s h i t y u ng d ng c a s h i t y u không gian metric, không gian đ nh chu n, không gian Hilbert bao hàm nhi u tính ch t đ c tr ng, t ng quát c a gi i tích hàm hồn thành đ c khóa lu n tơi đƣ ph i đ c tìm hi u k l ng ki n th c c s nh ng ki n th c có liên quan khác Thành cơng c a b n khố lu n đƣ cung c p có tính h th ng v s h i t y u ng d ng c a s h i t y u, nghiên c u tính ch t c a chúng m t s không gian đƣ bi t Qua vi c th c hi n đ tài này, đƣ m r ng t m hi u bi t v gi i tích hàm làm quen v i nghiên c u khoa h c i v i nh ng v n đ đƣ đ c l a ch n cho khố lu n tơi hy v ng r ng nh ng v n đ có th giúp cho vi c nghiên c u đ i t ng khác c a gi i tích hàm, c ng nh ngành khác c a Toán h c lý thuy t Toán h c ng d ng M c dù có nhi u c g ng song khn kh đ tài, th i gian có h n, đơy c ng v n đ m i đ i v i b n thân nên m t s v n đ đ t khoá lu n ch a đ c gi i quy t tri t đ Vì v y, em r t mong nh ng ý ki n đóng góp c a th y b n đ c đ khóa lu n đ Tr c hồn ch nh h n c k t thúc khóa lu n, m t l n n a em xin đ n chân thành sâu s c đ i v i tr ng 60 c bày t lòng c m HSP Hà N i th y Khóa lu n t t nghi p tr Sv Nguy n Th Thanh Tuy n ng, đ c bi t th y TS Tr n V n B ng đƣ cho em m t h phù h p s h ng nghiên c u ng d n nhi t tình hi u qu đ em hồn thành khố lu n 61 Khóa lu n t t nghi p Sv Nguy n Th Thanh Tuy n TÀI LI U THAM KH O [1] Nguy n Ph Hy (2006), Gi i tích hàm, Nxb Khoa h c k thu t [2] Nguy n Ph Hy (2006), Hàm s bi n s ph c, Nxb Khoa h c k thu t [3] Nguy n Xuân Liêm (1994), Tô pô đ i c ng đ đo tích phân, Nxb Giáo d c [4] V Tu n, Phan c Thành (1981), Ngô Xn S n, Gi i tích tốn h c t p 2, Nxb Giáo d c [5] Peter D Lax (2002), Functional Analysis, Nxb John Wiley and Sons, Inc 62 ... Tuy n U M Lý thuy t hàm gi i tích hàm có t m quan tr ng đ c bi t đ i v i toán h c c b n ng d ng vào chuyên ngành khác nh gi i tích ph c, lý thuy t x p x , ph ng trình đ o hàm riêng, có th nói... đôi m t r i i 1 ta đ t: n m(A) =  m(I i ) (* ) i 1 D dàng th l i giá tr m(A) không ph thu c vào cách bi u di n c a A ng th c (*) cho ta m t hàm s m xác đ nh đ i s  Ta th y m m t hàm s c... gian mêtric) Ta g i không gian mêtric m t t p h p X   v i m t ánh x d t tích Descartes X  X vào t p h p s th c R tho mãn tiên đ sau: i) x, y  X : d(x, y)  , d(x,y) =  x = y ii) x, y X