Sự hội tụ yếu và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền trƣờng đại học sƣ phạm hà nội khoa toán ************* nguyễn thị tuyền hội tụ yếu ứng dụng khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS Trần văn Hà Nội - 2008 LỜI CẢM ƠN Bản khoá luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần Văn Bằng, giúp em hồn thành khố luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện để em hồn thành khố luận Xn Hoà tháng năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tuyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đề tài: ‘‘Sự hội tụ yếu ứng dụng ’’ đảm bảo tính xác, khách quan, khoa học, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Xn Hồ tháng năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tuyền MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu ………………………………… Chương 1: Kiến thức chuẩn bị……………………………………… 1.1 Các định nghĩa ………………………………………… 1.1.1 Không gian tô pô ………………………………… 1.1.2 Độ đo ……………………………………………… 1.1.3 Không gian metric ………………………………… 1.1.4 Khơng gian tuyến tính …………………………… 10 1.1.5 Khơng gian tuyến tính định chuẩn ………………… 12 1.1.6 Không gian Hilbert ………………………………… 14 1.1.7 Các định nghĩa khác ……………………………… 15 1.2 Các định lí ……………………………………………… 18 1.2.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 18 1.2.2 Không gian Hilbert 18 1.2.3 Đối ngẫu khơng gian tuyến tính định chuẩn 20 1.3 Kiến thức liên quan khác 21 Chương 2: Sự hội tụ yếu …………………………………………… 22 2.1 Định nghĩa ……………………………………………… 22 2.2 Tính bị chặn dãy hội tụ yếu …………………… 27 2.3 Tính liên tục compact yếu ……………………………… 33 2.4 Sự hội tụ yếu* ………………………………………… 36 Chương 3: Ứng dụng hội tụ yếu ……………………………… 40 3.1 Xấp xỉ hàm bởi hàm liên tục ………………… 40 3.2 Sự phân kì chuỗi Fourier …………………………… 42 3.3 Cầu phương xấp xỉ ……………………………………… 44 3.4 Tính giải tích yếu, giải tích mạnh hàm giá trị vectơ ………………………………………………………… 45 3.5 Sự tồn nghiệm phương trình đạo hàm riêng …… 47 3.6 Sự biểu diễn hàm giải tích với phần thực dương …… 51 Kết luận……………………………………………………………… 55 Tài liệu tham khảo …………………………………………………… 57 MỞ ĐẦU Lý thuyết hàm giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt toán học ứng dụng vào chuyên ngành khác nhƣ giải tích phức, lý thuyết xấp xỉ, phƣơng trình đạo hàm riêng, nói giải tích hàm sở hầu hết môn học Sự xâm nhập ấy, mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành tốn học nói trên, mặt khác đề cho ngành giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để trừng mực đề kết Trong lý thuyết giải tích hàm hội tụ yếu giữ vị trí quan trọng, từ niềm say mê thân giúp đỡ tận tình thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng, em mạnh dạn thực luận văn với đề tài: “Sự hội tụ yếu ứng dụng” Bài khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Sự hội tụ yếu Chƣơng 3: Ứng dụng hội tụ yếu Do thời gian có hạn làm quen với việc nghiên cứu khoa học, vấn đề đƣợc trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp thầy bạn đọc, để đề tài đƣợc hoàn thiện Qua em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng, tận tình hƣớng dẫn em thầy khoa Tốn tạo điều kiện có ý kiến giúp cho khóa luận đƣợc hồn thành Cuối em xin chúc thầy cô gia đình ln mạnh khỏe, thành cơng sống CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Không gian tô pô Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tô pô) Cho tập X , là họ tập X Họ đƣợc gọi tô pô X họ thoả mãn điều kiện sau: i) X ,  ii) (Gα )αM   ii)    m  m  N τ (G j )1   G   M (    G j *) Cặp  X,  gọi không gian tô pô Định nghĩa 1.1.2 (Tập mở)  m j1 Cho không gian tô pô  X,  , tập G  đƣợc gọi tập mở Định nghĩa 1.1.3 (Tập đóng) Tập hợp F không gian tô pô X, X \ Flà tập mở đƣợc gọi tập hợp đóng Định nghĩa 1.1.4 (Lân cận) Cho không gian tô pô  X,  , điểm x không gian X, x X Tập V X đƣợc gọi lân cận tồn tập mở G cho: x G V Định nghĩa 1.1.5 (Phần trong) Cho không gian tô pô  X,  , A X Ta gọi phần tập A hợp tất tập mở chứa A Kí hiệu: intA A Định nghĩa 1.1.6 (Bao đóng tập) Cho không gian tô pô  X,  , A X Ta gọi bao đóng tập A giao tất tập hợp đóng chứa A  Kí hiệu : A Định nghĩa 1.1.7 (Tập trù mật) Cho không gian tôpô  X,  , A X Tập A đƣợc gọi trù mật nếu:  A = X Định nghĩa 1.1.8 (Không gian tách được) Không gian tô pô tách khơng gian có chứa tập đếm đƣợc trù mật u , (21’) 2 u kí hiệu chuẩn L (F) Kí hiệu khơng gian Hilbert L (F) H Giả sử Y không gian hữu hạn chiều H gồm C hàm tuần hồn  Kí hiệu phần bù trực giao Y H Y Xét phƣơng trình: Ly = f Y  , (22N) với yY Đây phƣơng trình n tuyến tính y Y , với N = dimY Theo đại số tuyến tính, hệ phƣơng trình tuyến tính có nghiệm với f tƣơng đƣơng phƣơng trình nhất: Lz Y, z Y, (23) xảy z = Lấy tích vơ hƣớng (23) với z sử dụng (21), ta có: k (z.Lz)  2z , điều suy z = Vì (22N) có nghiệm y Lấy tích vơ hƣớng (22N) với y; sử dụng (21’) bất đẳng thức Schwarz, ta có: k y (y,Ly)  (y,f )  Điều có nghĩa là: y  f y.f (24) k Bây giả sử YN dãy tăng không gian C hàm mà hợp chúng trù mật H Kí hiệu yN nghiệm (22N) Theo (24) yN dãy bị chặn Bởi vậy, từ H không gian phản xạ, theo định lí 2.3.1, ta có dãy {yN}, đƣợc kí hiệu {yN}, hội tụ yếu tới y: W – limyN = y Giả sử vYN ; YN bao gồm hàm khả vi nên v khả vi, giả sử thuộc YM Cho yN YN , LyN – f Y N  Lấy tích vơ hƣớng với v; với N > M ta có: (v,LyN) – (v,f) = Vì v khả vi, nên viết lại (20) dƣới dạng: (L*v, yN) – (v, f) = Do dãy yN hội tụ yếu tới y, kết luận với vYN , (L*v, y) – (v, f) = (25) Ta chọn khơng gian YN cho hợp chúng không trù mật H mà trù mật H1, khơng gian tất L hàm tuần hồn mà có đạo hàm bậc thuộc L Điều có nghĩa cho v thuộc C hàm tuần hoàn, có dãy {vk} hàm thuộc YN thoả mãn vk hội tụ tới v không gian định chuẩn L , đạo hàm bậc vk hội tụ tới đạo hàm bậc v không gian định chuẩn L Từ L* tốn tử cấp 1, từ L*vk hội tụ tới L*v không gian định chuẩn L Đặt v = vk (25), ta chuyển qua giới hạn kết luận (25) v C Một hàm y thoả mãn (25) với C hàm v đƣợc gọi thoả mãn phƣơng trình vi phân (22) theo nghĩa yếu Rõ ràng, với v nghiệm (22) theo nghĩa phân bố tức (25) với C0 hàm v  Friedrichs cho thấy nghiệm yếu (22) nghiệm mạnh theo nghĩa sau đây: Có dãy C hàm zn hội tụ tới y theo nghĩa L đồng thời L hội tụ z n tới f theo nghĩa L Điều dễ thấy, sử dụng (21’) phƣơng trình (22) có nghiệm mạnh Theo khơng dãy mà tất dãy yN hội tụ Phƣơng pháp đƣợc mô tả mục thu đƣợc nghiệm y phƣơng trình (22) nhƣ giới hạn yếu ngiệm yN phƣơng trình (22N) đƣợc gọi phƣơng pháp Galerkin’s Nó cơng cụ mang tính lí thuyết dùng để chứng minh tồn nghiệm phƣơng trình (22) Đây phƣơng pháp thực hành để xác định 3.6 Sự biểu diễn hàm giải tích với phần thực dương Giả sử f( ) hàm giải tích hình tròn đơn vị < Có phần thực dƣơng: h( ) = Ref( 0 ,  < ) Với hàm giải tích định nghĩa bên hình tròn liên tục đến biên đƣợc biểu thị phần ảo số dƣới dạng phần thực biên tích phân Poisson Trên hình tròn bán kính R < Ta có: Cho < R, 2R i R f ()  .e i h(R.e )d  R- iC .e Đặt = Ta thấy: i (26) 2R h(0)  h(R.ei )d (26’) Giả sử R 1 thông qua dãy Rn h(R ei ) hàm không âm 1 Hàm n có tích phân tồn vòng tròn xác định (26’), h(0) Ta kết hợp với Rn phiếm hàm tuyến tính: 2R l (u)  h(R ei)u()d n (27) n Trên không gian  hàm liên tục u đƣờng tròn S Từ h 1 (26’), ta có: l n h(0) Vì  (S ) tách đƣợc, ta sử dụng định lí Helly’s, định lí 2.4.2 kết luận dãy của{ l n } hội tụ yếu* theo giới hạn tới l nếu: liml (u) l(u) , (28) với hàm liên tục u Từ (28) tính bị chặn l suy với dãy un bất n n n kì hội tụ mạnh tới u, ta có: liml (u n ) l(u) n n Ta áp dụng điều với: Rn u  n là số phức với i  .e  i u  .e  i .e Rn ; .e i  < 1, sử dụng (26), (27), (28), ta có: (28’) i  .e f () l( )i. .e Các phiếm hàm ln định nghĩa (27) rõ ràng không âm, giới hạn chúng hội tụ yếu* tới l Theo hệ định lí Riesz định lí 1.2.9, với phiếm hàm khơng âm □ (S1 ) đƣợc biểu diễn nhƣ tích phân với độ đo dƣơng m Nhƣ ta chứng minh đƣợc phần Định lí 3.6.1 (Herglotz –Riesz) Mọi hàm giải tích f hình cầu đơn vị  < có phần thực dương biểu diễn dạng: f ()  1i dm iC , .e  (29)  1 .e i m độ đo dương, C số thực Ngược lại với hàm f biểu diễn hàm giải tích hình cầu đơn vị có phần thực dương biểu diễn (29) Chứng minh (29) biểu diễn hàm giải tích với phần thực dƣơng hình cầu đơn vị với độ đo dƣơng m hiển nhiên ta có cơng thức (30) bên dƣới Dễ thấy biểu diễn ta ý tới phần thực (29) là: h()  1r  2r.cos(  ) r dm  , r.e (30) i Lấy hàm liên tục u( ), nhân (30) với u( ) lấy tích phân theo  S Sau hoán vị thứ tự phép lấy tích phân vế phải, ta có: i  r  h(r.e )u()d  u ()dm, (31) đó: ur ()  1r  2r.cos(  ) r u()d Ta thấy h( )đƣợc biểu diễn công thức (30) độ đo khác m m’ Giả sử r 1 (31); từ định lí 3.1.1, suy ur u theo chuẩn max Từ vế trái (31) không phụ thuộc vào độ đo biểu diễn, theo đó:  u()dm  u ()dm' , với hàm liên tục u Ta sử dụng tính đo đƣợc biểu diễn định lí Riesz ta có kết luận m m’ Điều dẫn tới định lí 3.6.1 đƣợc chứng minh Từ sự đo đƣợc m mà giới hạn (28) không tồn với dãy mà với dãy  KẾT LUẬN Nhƣ nói phần mở đầu, mục đích khóa luận nghiên cứu, tìm hiểu sâu hội tụ yếu ứng dụng hội tụ yếu không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert bao hàm nhiều tính chất đặc trƣng, tổng quát giải tích hàm Để hồn thành đƣợc khóa luận tơi phải đọc tìm hiểu kĩ lƣỡng kiến thức sở kiến thức có liên quan khác Thành cơng khố luận cung cấp có tính hệ thống hội tụ yếu ứng dụng hội tụ yếu, nghiên cứu tính chất chúng số không gian biết Qua việc thực đề tài này, mở rộng tầm hiểu biết giải tích hàm làm quen với nghiên cứu khoa học Đối với vấn đề đƣợc lựa chọn cho khố luận tơi hy vọng vấn đề giúp cho việc nghiên cứu đối tƣợng khác giải tích hàm, nhƣ ngành khác Toán học lý thuyết Toán học ứng dụng Mặc dù có nhiều cố gắng song khn khổ đề tài, thời gian có hạn, vấn đề thân nên số vấn đề đặt khố luận chƣa đƣợc giải triệt để Vì vậy, em mong ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để khóa luận đƣợc hồn chỉnh Trƣớc kết thúc khóa luận, lần em xin đƣợc bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc trƣờng ĐHSP Hà Nội thầy cô trƣờng, đặc biệt thầy TS Trần Văn Bằng cho em hƣớng nghiên cứu phù hợp hƣớng dẫn nhiệt tình hiệu để em hồn thành khoá luận TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật [2] Nguyễn Phụ Hy (2006), Hàm số biến số phức, Nxb Khoa học kĩ thuật [3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tơ pơ đại cương độ đo tích phân, Nxb Giáo dục [4] Vũ Tuấn, Phan Đức Thành (1981), Ngơ Xn Sơn, Giải tích tốn học tập 2, Nxb Giáo dục [5] Peter D Lax (2002), Functional Analysis, Nxb John Wiley and Sons, Inc ... Chương 2: Sự hội tụ yếu …………………………………………… 22 2.1 Định nghĩa ……………………………………………… 22 2.2 Tính bị chặn dãy hội tụ yếu …………………… 27 2.3 Tính liên tục compact yếu ……………………………… 33 2.4 Sự hội tụ yếu* …………………………………………... giải tích hàm hội tụ yếu giữ vị trí quan trọng, từ niềm say mê thân giúp đỡ tận tình thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng, em mạnh dạn thực luận văn với đề tài: Sự hội tụ yếu ứng dụng Bài khóa... ứng dụng Bài khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Sự hội tụ yếu Chƣơng 3: Ứng dụng hội tụ yếu Do thời gian có hạn làm quen với việc nghiên cứu khoa học, vấn đề đƣợc trình