Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 49 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
49
Dung lượng
492,73 KB
Nội dung
Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của các thầy cơ giáo và các bạn sinh viên, khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cơ giáo trong khoa Tốn, các thầy cơ trong tổ Đại số đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian em làm khóa luận. Đặc biệt em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo, Thạc sĩ Đỗ Văn Kiên – người đã giúp đỡ em tận tình trong q trình chuẩn bị và hồn thành khóa luận. Do lần đầu tiên làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học. Hơn nữa do thời gian và năng lực bản thân cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hồn thiện hơn.Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đàm Thị Thu Dung Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em được hồn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo, Thạc sĩ Đỗ Văn Kiên. Trong q trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó khơng trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đàm Thị Thu Dung Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU 1 1. Lí do chọn đề tài . 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu . 1 5. Phương pháp nghiên cứu 1 6. Cấu trúc của khóa luận . 1 7. Kế hoạch triển khai 2 B. NỘI DUNG . 3 CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 3 1.1. Môđun và đồng cấu môđun 3 1.2 Bài tập 16 CHƯƠNG 2 : PHẠM TRÙ MÔĐUN 17 2.1. Phạm trù môđun 17 2.2 Tổng trực tiếp . 19 2.3 Tích trực tiếp 21 2.4. Dãy khớp. 24 2.5. Môđun tự do 34 2.6. Bài tập 40 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 42 KẾT LUẬN 45 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Ngày nay, người ta coi đối tượng chủ yếu của Đại số là cấu trúc đại số như : nhóm, vành, trường, mơđun…trong đó mơđun là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Đại số hiện đại, có ứng dụng trong nhiều ngành tốn học như : phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số… Trên cơ sở những kiến thức đã học của Đại số đại cương,với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về một số vấn đề của Đại số hiện đại cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Đỗ Văn Kiên, em mạnh dạn thực hiện khóa luận tốt nghiệp với tiêu đề : “ PHẠM TRÙ MƠĐUN ”. Mục đích nghiên cứu Cung cấp các kiến thức về phạm trù Môđun. Đối tượng phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về phạm trù môđun, đồng cấu môđun, dãy khớp và môđun tự do. +) Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số môđun. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lí thuyết về phạm trù mơđun. Phương pháp nghiên cứu +) Phân tích tài liệu có liên quan. +) Tổng hợp kinh nghiệm của bản thân. Cấu trúc khóa luận Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Phạm trù mô đun. Chương 3: Bài tập ứng dụng. Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 1 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun Kế hoạch triển khai Tháng 11-12: Nhận đề tài và hồn thành đề cương. Tháng 12-2/2013: Tìm hiểu kiến thức liên quan tới đề tài. Tháng 5/2013: Hồn thành đề tài nghiên cứu và bảo vệ. Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 2 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun B NỘI DUNG CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa môđun) Cho M nhóm cộng giao hốn, R vành có đơn vị 1R M gọi mơđun trái vành R có phép tốn gọi nhân ngồi hay nhân với vơ hướng RM M (r,x) r.x thỏa mãn điều kiện sau với r,s R ; x,y M : i) r(x y) rx ry ii) (r s).x rx sx iii) (r.s)x r.(sx) iv) 1R.x x Tương tự ta có khái niệm R - mơđun phải. Chú ý 1.1.1 1) Một mơđun trái trên vành R gọi là R - mơđun trái 2) Nếu M giao hốn thì hai khái niệm R - mơđun phải và R - môđun trái là giống nhau. Từ nay trở đi một R - môđun trái được gọi chung là R - môđun. 3) Nếu 0M , 0N tương ứng là các phần tử trung hịa của M và R thì ta có thể dễ dàng suy ra từ định nghĩa rằng (với mọi m,m ' M , với mọi r,r ' R ) : 0Mr M , m0R 0M m.r) = ( m)r = m( r) Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 3 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun Có thế nói rằng khái niệm mơđun là mở rộng của khái niệm nhóm aben và khái niệm khơng gian véctơ. Ví dụ 1.1.1. Cho R là một vành giao hốn có đơn vị khi đó R là R - mơđun. Ví dụ 1.1.2. Z là vành có đơn vị 1, M là một nhóm cộng aben bất kì thì M là Z - mơđun. Ví dụ 1.1.3. Cho V là K - khơng gian véctơ thì V là K - mơđun. Ví dụ 1.1.4. Tập S , R - mơđun M S, M f : S M : f - ánh xạ S, M là R - mơđun. Tính chất 1.1.1 Cho M R - mơđun.Khi , R ; x, y M ta có: i) R.x M M ii) x x x iii) x x x x y x y Chứng minh : i) 1.x M 1.x 1 R x 1.x R.x R x M M M M M M M M M M M ii) x x Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 4 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun = x = R.x = M x x Tương tự có x x iii) x x = x x = x x x x Tương tự có : x y x y Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa môđun con) Cho M R - môđun, N tập ổn định M với hai phép toán N gọi môđun M N R -môđun phép toán M thu hẹp vào N Định lí 1.1.1 (Điều kiện tương đương với định nghĩa môđun con) Cho M R - môđun, N M Khi điều kiện sau tương đương : i) N R - môđun M ii) R , x, y N ta có x y N x N iii) , R , x, y N x y N Ví dụ 1.1.5. a) Một R - mơđun M bao giờ cũng có ít nhất hai mơđun con là M và tập hợp 0 Gọi là hai môđun con tầm thường. Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 5 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun b) Cho N là iđean trái của R Nếu vành R được xem như là R - mơđun thì N là môđun con của R Mệnh đề 1.1.1 Giao họ mơđun R - mơđun M mơđun M Ví dụ 1.1.6. 1) 2 3 2) pZ với P là tập tất cả các số nguyên tố. pP Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A, B hai môđun R - mơđun M Thế A B môđun M A B a b / a A, b B Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tổng môđun) Giả sử A i / i I họ tùy ý môđun R - môđun M Khi mơđun sinh tập S A i gọi tổng môđun A i , I kí hiệu A i I Mệnh đề 1.1.3 Cho A i / i I họ tùy ý mơđun M Khi A i = / a i A i , i J I, J hữu hạn I J Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa môđun sinh tập) Giả sử M R - môđun, S M , tồn môđun M chứa S chẳng hạn M Gọi N i iI họ môđun M chứa S Đặt S N i theo mệnh đề 1.2, S R - môđun M I Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 6 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun Ta gọi S môđun M sinh S Ta thấy S S S N i , i I , S môđun ‘‘ bé nhất’’ M chứa S Đặc biệt : +) Nếu S M thì ta nói S là tập sinh của M +) Nếu M và S là tập hữu hạn thì ta nói : M là một mơđun hữu hạn sinh hay có kiểu hữu hạn. +) Nếu x M : x M thì M gọi là một môđun xyclic và x là một phần tử sinh của M +) Nếu S thì ta có S - mơđun khơng. +) Nếu S là mơđun con của M thì S S n +) Nếu S thì S i x i \ i R, x i S; i 0,n i0 Định nghĩa 1.1.5 (Định nghĩa môđun thương) Cho M R - môđun, M R - mơđun M Do N nhóm nhóm aben M nên tồn nhóm thương M / N x N / x M với phép toán cộng x N y M x y N nhóm cộng aben Trên nhóm ta xác định tích vơ hướng RM / N M / N (x, x N) rx N Khi nhóm aben M / N với phép nhân vô hướng xác định R - môđun M / N gọi môđun thương R - môđun M theo môđun N Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 7 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun Bây giờ ta hãy xét phần tử b f(a) của mơđun B Do tính giao hốn của hình vng trái, ta có b f(a) (b) f(a) (b) f ' (a) b ' b ' Điều này kéo theo rằng phần tử b f(a) bị chứa trong Ker() Mặt khác, ta cũng có g b f(a) g(b) g f(a) c c Điều này kéo theo c g Ker() Vì c là một phần tử tùy ý của Ker( ) , nên ta được g Ker() Ker( ) Điều này hoàn thành phép chứng minh của (b) Điều khẳng định cuối cùng trong định lí là một hệ quả trực tiếp của (a) và (b) Kiểu chứng minh này thường gọi là “cuộc săn trên biểu đồ”. Để nêu lên những hệ quả tức khắc của định lí 2.4.3 ta có hai hệ quả sau. Hệ 2.4.7 (Bổ đề 5) Nếu biểu đồ sau đồng cấu môđun R g f A B h C A' C' g' E D B' f' k D' h' E' k' hai dịng khớp, bốn hình vng giao hoán,và đồng cấu , , , đẳng cấu, đồng cấu phải đẳng cấu Hệ 2.4.8 (Bổ đề ngắn) Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 32 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun Nếu biểu đồ sau đồng cấu môđun R g f A B C A' B' C' g' f' hai dịng khớp hai hình vng giao hốn, hai phát biểu sau : (a) Nếu đơn cấu, (b) Nếu tồn cấu, Do đó, đồng cấu đẳng cấu Định lí 2.4.4 Cho dãy khớp ngắn : A B C Khi dãy sau dãy khớp: * * 1) Hom(M,A) Hom(M, B) Hom(M,C) 2) * * Hom(C, M) Hom(B, M) Hom(A, M) Trong M R -môđun tùy ý, * Hom(id M , ) * Hom(, id M ) t¬ng tù víi * , * Chứng minh : 1) Trước hết ta chứng minh * đơn cấu. Ta có : Ker(* ) u : M A / u 0 Do đơn cấu nên u Vậy Ker(* ) Bây giờ ta chứng minh Im(* ) Ker(* ) ** Hom(id M , ).Hom(id M , ) Hom(id M , ) Hom(id M , 0) Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 33 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun Bởi vậy Im(* ) Ker(* ) Bây giờ lấy u Ker(* ) , khi đó u : M B và u Theo định lí, giả sử : A B là đồng cấu môđun và : A C là tồn cấu, ngồi ra Ker() Ker() Khi đó tồn tại đồng cấu : C B sao cho i) ii) Im() Im() iii) đơn cấu Ker() Ker() u phân tích qua , tức v:M A:u=v ,nghĩa là u Im(* ) bởi vậy Ker(* ) Im(* ) 2) Ker(* ) u : C M / u 0 Do toàn cấu nên u Vậy đơn cấu. Bây giờ ta chứng minh Im(* ) Ker(* ) Ta có : * * (như trên) nên : Im(* ) Ker(* ) Lấy u Ker(* ) , u : B M vµ u=0 Lại theo định lí trên, u được phân tích qua , tức là tồn tại v : C M sao cho u v , nghĩa là u Im( * ) Bởi vậy Ker(* ) Im(* ) 2.5 Môđun tự Định nghĩa 2.5.1 (Định nghĩa môđun tự qua sở ) Giả sử U a i / i I tập R - mơđun A Ta nói U độc lập tuyến tính với tập hữu hạn J I , a r i i , ri 0,i J ri víi mäi i J Giả sử A R - môđun, U tập A Ta nói U sở A U hệ sinh độc lập tuyến tính A Khi A gọi R - mơđun tự với sở U Ta nói U tập sinh tự A Ví dụ 2.5.1. Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 34 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun a) là R - môđun tự do với cơ sở rỗng. b) Bản thân vành R là R - mơđun tự do với cơ sở 1 c) Giả sử I là tập hợp nào đó. Khi đó R( I ) ( R i , R i R, i I) I là R - mô đun tự do với cơ sở U ei / i I trong đó 1 nÕu j=i ei (ij ) jI ij = ij nÕu j i U được gọi là cơ sở chính tắc của R ( I ) d) Mỗi Z - mơđun tự do được gọi là nhóm aben tự do. Mọi nhóm xyclic cấp vơ hạn là aben tự do với cơ sở gồm một phần tử sinh, và đều đẳng cấu với Z e) Nhóm cộng các số hữu tỉ Q khơng là nhóm aben tự do. Thật vậy, hệ gồm một phần tử là độc lập tuyến tính, cịn hệ , là phụ thuộc tuyến tính với mọi , Do đó nếu Q có cơ sở thì cơ sở chỉ gồm 1 phần tử, nhưng hệ như vậy khơng thể sinh ra Q Mệnh đề 2.5.1 (Xây dựng môđun tự qua sở) R - mô đun A tự với sở U phần tử A viết cách dạng : a a 1r1 a r2 a m rm , a i U , ri R Chứng minh : Dễ dàng suy ra từ định nghĩa. Mệnh đề 2.5.2 Các điều kiện sau tương đương : (a) A R - môđun tự (b) A A i , A i R , i I , với tập số I Chứng minh : Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 35 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun Trước hết ta thấy rằng (a) và (b) được thỏa mãn với A (khi đó cơ sở A là tập và tập I ). Vì vậy ta giả thiết A (a) (b) Giả sử U u i / i I là cơ sở của A Khi đó ánh xạ i : R u i R, x u i x là tồn ánh. Từ tính chất của cơ sở suy ra rằng u i x kéo theo x , nghĩa là i đẳng cấu. Ta khẳng định rằng A u i R Vì U là hệ sinh nên hiển nhiên A u i R Giả sử với u j U ta có I a u j R u i R I Khi đó a u j x j u i x i , x i R Từ đó suy ra i j u i x i u j x j i j Do tính chất của hệ độc lập tuyến tính ta suy ra x i với mọi hệ tử có mặt trong hệ thức trên, nghĩa là u j R u i R i j Bởi vậy theo định nghĩa 2.2.3 ta có A u i R I (b) (a) Giả sử i : R A i là các đẳng cấu nói trong mệnh đề. Ta khẳng định rằng tập hợp i (1) / i I là một cơ sở của A Thật vậy, do A i i R i (1)R nên A A i i (1)R I I Điều này chứng tỏ i (1) / i I là hệ sinh của A Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 36 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun Nếu J I , J hữu hạn và i (1)x i i x i với mọi i J J Do i đẳng cấu nên x i với mọi i I Vậy i (1) / i I là độc lập tuyến tính và do đó là cơ sở của A Mệnh đề 2.5.3 (Xây dựng mô đun tự vật phổ dụng phạm trù (hay qua toán phổ dụng)) Cho F là R - môđun tự do với cơ sở U ei / i I và A là R - mơđun. Khi đó mọi ánh xạ f : U A đều mở rộng một cách duy nhất thành một đồng cấu : F A Chứng minh: Đồng cấu : F A được xác định bởi hệ thức : ( ei xi ) f (ei ) xi Bây giờ nếu : F A là một đồng cấu mở rộng của f thì : (ei ) f(e i ),i I ei x i (e i )x i f(ei )x i ( e i x i ) Điều này chứng tỏ □. Định lí dưới đây chứng tỏ tính chất phổ dụng là một đặc trưng của mơđun tự do. Định lí 2.5.1 Giả sử U tập R - môđun F , U F có tính chất : ánh xạ f từ U đến R - mơđun Y mở rộng thành đồng cấu : F Y Khi F tự với sở U Chứng minh : Trước hết ta chứng minh U là hệ sinh. Gọi X là môđun con của F sinh bởi tập U Khi đó đơn cấu chính tắc i : U X mở rộng thành đồng cấu duy nhất g : F X Xét đơn cấu chính tắc h : X F Khi đó Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 37 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun hg : F F là mở rộng của i Đồng thời đồng cấu đồng nhất id F : F F cũng là một mở rộng của i Bởi vậy hg id F Điều này chứng tỏ h phải là toàn cấu, tức là X F Bây giờ ta chứng minh tập U là độc lập tuyến tính. Giả sử U b i / i I Xét mơđun tự do R ( I ) với cơ sở chính tắc e i / i I Xét ánh xạ f : U R( I ) , b i e i Khi đó f được mở rộng thành đồng cấu duy nhất g : F R( I ) Giả sử b i ri , ri R và bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn. Thế thì I g b i ri g(b i )ri e i ri ri 0, I I I với mọi i I Điều này chứng tỏ b i / i I là hệ độc lập tuyến tính Định lí 2.5.2 Giả sử R vành Khi môđun R - môđun tự tự Chứng minh : Phép chứng minh có sử dụng hai bổ đề sau : (a) Mọi tập hợp E đều có thể trang bị một thứ tự tốt (tức là mọi tập con khác rỗng của E đều có phần tử tối tiểu). (b) Nguyên lí quy nạp siêu hạn : Giả sử E là tập hợp sắp thứ tự tốt và là một tính chất đối với các phần tử của E sao cho '' y x,y có tính chất x có tính chất '' Khi đó mọi phần tử của E có tính chất Giả sử F là R - môđun tự do với cơ sở u i / i I Khi đó F R ( I ) Bởi vậy ta chứng minh định lí cho F R ( I ) với cơ sở chính tắc e i / i I Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 38 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun Giả sử M là môđun con của F Ta sắp I thành tập sắp thứ tự tốt và gọi A i là môđun con sinh bởi tập e j / j i Gọi M i A i M và phép chiếu p i : R( I ) R , (x j ) x i p i (M i ) là iđêan của vành R Do giả thiết về R iđêan này là iđêan chính, chẳng hạn p i (M i ) a i R Khi đó tồn tại b i M i sao cho p i (b i ) a i Nếu a i ta chọn b i và được một họ b i / i I Bây giờ ta lần lượt chứng minh theo các bước sau Bước 1. M i sinh bởi các b j , j i Giả sử M k sinh bởi các b j , j k và điều này xảy ra với mọi k i Lấy phần tử tùy ý x M i Khi đó p i (x) a i r và do đó p i (x b i r) p i (x) p i (b i r) Thành phần thứ i của phần tử x b i r bằng 0 nên x b i r M k với k i Theo giả thiết quy nạp, x b i r biểu thị tuyến tính qua các b j , j k và do đó x biểu thị tuyến tính qua các b j , j i Điều này chứng tỏ M i sinh bởi các b j , j i Bước 2. M sinh bởi mọi b j , j I Lấy phần tử tùy ý x M , khi đó x e i r1 e i r2 e i rm m với giả thiết i1 i2 i m Như vậy x A i và do đó x M i Khi đó x m m biểu thị tuyến tính qua các b j , j i m Bước Hệ b j / b j 0, j I là độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại ta có Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 39 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun b i r1 b i r2 b i rm 0, rm 0, m với i1 i2 i m Xét phép chiếu p i ta có m m p i b i ri a i rm ra rm hoặc a i Điều này vơ lí. j1 m j m m Vậy hệ b j / b j 0 lập thành một cơ sở của M Hệ 2.5.1 Mọi nhóm nhóm aben tự aben tự 2.6 Bài tập Bài tập 2.6.1 Chứng tỏ rằng Zm Zn Zmn nếu và chỉ nếu m, n nguyên tố cùng nhau. Bài tập 2.6.2 Giả sử K và L là hai môđun con của môđun M Chứng tỏ rằng các dãy sau là khớp K L K LK L 0 M / (K L) M / K M / L M / (K L) Bài tập 2.6.3 x Giả sử p là số nguyên tố và Q p n / x Z vµ n N p Chứng minh rằng : Q / Z Q p / Z trong đó là tập hợp tất cả các số nguyên tố p Bài tập 2.6.4 Chứng minh rằng môđun con A của môđun M là hạng tử trực tiếp nếu môđun M / A là tự do. Bài tập 2.6.5 Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 40 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun Giả sử R là một miền nguyên. Phần tử a của môđun M được gọi là xoắn nếu tồn tại r R sao cho ar Môđun M được gọi là không xoắn nếu chỉ có là phần tử xoắn. Chứng minh rằng mọi mơđun tự do R đều là không xoắn. Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 41 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 3.1. Cho M là R - môđun. N là môđun con của M ; M / N và N là các R - môđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng M là R - môđun hữu hạn sinh. Giải : Do N hữu hạn sinh nên tồn tại x1 , x , , x n N thảo mãn : N i Rx i , với mọi i 1,n và N N1 N N n Với mọi a M thì a M / N Do đó tồn tại rn 1 , ,rm sao cho : a rn 1 x n 1 rm x m rn 1x n 1 rm x m Suy ra a (rn 1x n 1 rm x m ) N Do đó tồn tại b N , giả sử b r1x1 rn x n để a (rn 1x n 1 rm x m ) r1x1 rn x n Suy ra a r1x1 rn x n (rn 1x n 1 rm x m ) hay a Rx1 Rx m m Đặt N i Rx i , i=n 1, m thì ta có m N1 N m N i i 1 m m i 1 i 1 Suy ra M N i Do đó M N i hay M là R - môđun hữu hạn sinh. Bài tập 3.2. Cho U là tập con của R - môđun F U, F thỏa mãn : mọi ánh xạ f : U Y , Y là R - môđun, đều mở rộng thành một đồng cấu duy nhất : F Y Chứng minh rằng F là môđun tự do với cơ sở U Giải : Ta chứng minh U là hệ sinh của F và U độc lập tuyến tính. + U là hệ sinh của F Thật vậy : Gọi X là môđun con của F sinh bởi U , X (U) Khi đó ánh xạ i : U X là đơn cấu chính tắc được mở rộng duy nhất thành Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 42 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun u i u i đồng cấu g : F X Xét đơn cấu chính tắc h : X F x x Khi đó hg : F F là mở rộng của i Mặt khác id F : F F là mở rộng của i Nên hg id F hay h là tồn cấu. Do đó : h(X) X F tức U là hệ sinh của F + U độc lập tuyến tính. Thật vậy : Giả sử U bi / i I Xét mơđun tự do với cơ sở chính tắc ei / i I Khi đó mọi ánh xạ f : U R I được mở rộng duy nhất thành đồng cấu : F R I Giả sử bi x i 0, x i hầu hết trừ một số hữu hạn x i thì iI bi x i (bi )x i ei x i x i tức U độc lập tuyến tính. iI iI iI Vậy F là môđun tự do với cơ sở U Bài tập 3.3 Cho M là R - môđun, A là môđun con của M Chứng minh rằng : A là hạng tử trực tiếp của M nếu M / A là môđun tự do. Giải : +) Do M / A là mơđun tự do nên M / A có một cơ sở là U u i / i I với u i x A , x i M, i I +) Với mọi x M ta có : x A M / A , tồn tại duy nhất ri I, i I sao cho x A ri x i ri (x i A) ri x i A Tức là x ri x i A iI iI iI Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 43 iI GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun Từ đó suy ra tồn tại a A sao cho x ri x i a hay x ri x i a iI Đặt B (x i , i I) iI r ' x / r ' R là môđun con của M iI i i i Ta thấy B vì x i B, với mọi i I x i b a, b B, a A Do đó M A B (*) Ta chứng minh A B 0 y A Với mọi y A B thì nên y A A y B Với y B , tồm tại i R (i I) sao cho y i x i iI thì y A i x i A mà y A A nên iI x iI i i A i (x i A) A i Từ đó suy ra y hay A B 0 iI Vậy M A B hay A là hạng tử trực tiếp của M Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 44 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun KẾT LUẬN Đề tài khơng chỉ có ý nghĩa về mặt lí thuyết mà cịn có ý nghĩa về mặt thực tiễn. Nó cung cấp một phần lý thuyết quan trọng về mơđun đó là phạm trù mơđun. Qua đó, chúng ta có những ứng dụng của Đại số hiện đại vào phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số … Tuy nhiên, do thời gian có hạn và trình độ của em cịn hạn chế nên đề tài này khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cơ giáo cùng các bạn sinh viên để đề tài này ngày càng được hoàn thiện hơn. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cơ giáo trong tổ Đại số đặc biệt là thầy giáo Đỗ Văn Kiên - người đã tận tình giúp đỡ em trong việc hồn thành khóa luận này. Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 45 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Nguyễn Tự Cường (2007), Giáo trình Đại số hiện đại, NXB ĐHQGHN. 2) Nguyễn Hữu Việt Hưng (1988), Đại số đại cương, NXB GD. 3) Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyết vành và mơđun, NXB GD. 4) SZE-TSENHU (1975), Nhập mơn đại số đồng điều. 5) Nguyễn Thị Hằng (2008), Một số lớp mơđun đặc biệt, ĐHSPHN2 6) Trần Thị Phương Thùy (2004), Dãy khớp, ĐHSPHN2. Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 46 GVHD: Đỗ Văn Kiên ... bản về phạm? ? trù? ? môđun, đồng cấu môđun, dãy khớp và? ?môđun? ?tự do. +) Phạm vi: Nội dung kiến thức trong? ?phạm? ?vi của đại số? ?môđun. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lí thuyết về? ?phạm? ?trù? ?mơđun. ... Z -? ?môđun? ? Z Z Z4 Z2 Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 16 GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun CHƯƠNG : PHẠM TRÙ MƠĐUN 2.1 Phạm trù mơđun... Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun e) Lớp các R- mơđun kí hiệu R Mod (hay Mod) lập thành một? ?phạm? ?trù? ?với các vật là các? ?môđun? ?và các cấu xạ là các đồng cấu? ?môđun? ?gọi là? ?phạm? ?