SKKN vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán

Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán A Phần mở đầu Mụn Toỏn mơn học có tính thực tế cao, ảnh hưởng lớn đến đời sống người Các công trình nghiên cứu khoa học cho rằng: Tất mơn khoa học khác có liên quan mật thiết với Toán học Sự phát triển mạnh mẽ tất ngành khoa học ứng dụng vào ngành cơng nghiệp then chốt khơng thể thiếu Tốn học §ỉi míi phơng pháp dạy học yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho phát triển giáo dục Ngày nỊn kinh tÕ trÝ thøc cïng víi sù bïng nổ thông tin, giáo dục đà thay đổi để phù hợp với phát triển khoa học kü tht, sù ph¸t triĨn cđa x· héi Néi dung tri thøc khoa häc cïng víi sù ®å sé vỊ lợng thông tin yêu cầu phải đổi phơng pháp dạy học Trong giai đoạn giáo dục không tạo ngời có tài, có đức mà giáo dục có thiên chức cao quý giáo dục thẩm mỹ, nhân văn, đào tạo ngời có kỹ sống học tập thời đại Mục tiêu giáo dục thay đổi kéo theo yêu cầu phải đổi phơng pháp dạy học cách phù hợp Nhằm giúp cho giáo viên tháo gỡ khó khăn trình đổi phơng pháp dạy học, đà có nhiều giáo s tiến sỹ, nhà khoa học chuyên tâm nghiên cứu, thí điểm triển khai đại trà đổi phơng pháp dạy học Một yêu cầu đặt cải cách phải đổi phơng pháp dạy học theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, dới tổ chức hớng dẫn giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát giải nhiƯm vơ nhËn thøc vµ cã ý thøc vËn dơng linh hoạt, sáng tạo kiến thức đà học vào tập thực tiễn Trong có đổi dạy học môn toán, Trong trờng phổ thông, dạy toán dạy hoạt động toán học Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh Giang Trêng THCS KiÕn VËn dơng ph¬ng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Đối với học sinh xem việc giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Quá trình giải toán đặc biệt giải toán hình học trình rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp tìm tòi vận dụng kiến thức vào thực tế Thông qua việc giải toán thực chất hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện đợc kĩ môn toán Từ rút đợc nhiều phơng pháp dạy học hay, tiết lên lớp có hiệu nhằm ph¸t huy høng thó häc tËp cđa häc sinh, gãp phần nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS có nhiều mảng kiến thức sách giáo khoa đề cập đến nhng trình học lại gặp nhiều, học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa nhng gặp dạng toán lúng túng Vì với phạm vi đề tài muốn đề cập đến vấn đề mà không - ngời thầy trăn trở băn khoăn, Phơng pháp chứng minh quy nạp vận dụng phơng pháp để giải dạng toán khác nh Thật chơng trình toán phổ thông phơng pháp chứng minh quy nạp mảng kiến thức khó mà ứng dụng lại rộng rÃi, có mặt phân môn số học mà đóng góp vai trò quan trọng phân môn đại số, không dừng lại chơng trình THCS mà phần quan trọng chơng trình THPT Vì phơng pháp chứng minh quy nạp phần gây cho học sinh, học sinh giỏi nhiều khó khăn bối rối, nhiên phần quyến rũ học sinh say mê môn toán học giỏi toán đòi hỏi phải t lôgic, tìm tòi sáng tạo Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu qua thực tế bồi dỡng học sinh giỏi môn toán trờng THCS, đà rút đợc vài kinh nghiệm Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh Giang Trêng THCS Kiến Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán dạng toán nhằm tìm biện pháp hay giúp cho công tác dạy học nói chung công tác bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng đạt kết cao B Phần Nội dung I Cở sở lý luận: Trong hoạt động dạy học theo phơng pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chun tõ thãi quen thơ ®éng sang thãi quen chủ động Muốn giáo viên cần cho học sinh cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại điều đà quên, biết cách tìm tòi để phát kiến thức Các phơng pháp thờng quy tắc, quy trình nói chung phơng pháp có tính chất thuật toán Tuy nhiên cần coi trọng phơng pháp có tính chất tìm đoán Học sinh cần đợc rèn luyện thao tác t nh phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tơng tự, quy lạ quen Việc nắm vững phơng pháp nói tạo điều kiện cho học sinh đọc hiểu đợc tài liệu, tự làm đợc Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh Giang Trờng THCS Kiến Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy đợc tiềm sáng tạo thân từ học sinh thấy đợc niềm vui học tập Trong trình dạy học, ngời giáo viên phải bám sát chơng trình sách giáo khoa, xem nh định hớng cho trình dạy học Tuy nhiên việc truyền thụ kiến thức cho học sinh không dừng lại sách giáo khoa mà ngời giáo viên phải có phơng pháp để từ kiến thức phát triển tìm kiến thức giúp học sinh lĩnh hội cách chủ động có hệ thống Trong việc dạy học toán việc tìm phơng pháp dạy học giải tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc, hệ thống tập, sử dụng phơng pháp dạy học để góp phần hình thành phát triển t học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng, rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác t để giải tập toán có tập chứng minh quy nạp toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính t duy, trí tuệ cho học sinh, phát quy luật đẹp Toán học II Cở sở thực tiễn: Trong chơng trình toán phổ thông, áp dụng phơng pháp chứng minh quy nạp chiếm mảng lớn chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Do phơng pháp chứng minh quy nạp góp phần vào việc thực chơng trình dạy học theo phơng pháp lấy học sinh làm trung tâm Đồng thời giúp ngời giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tạo sở vững để phục vụ cho công tác bồi dỡng học sinh giỏi đạt kết tốt, góp phần vào mục tiêu đào tạo bồi dỡng nhân tài Qua kết khảo sát, kiểm tra trớc áp dụng đề tài với 26 học sinh thấy kết tiếp thu phơng pháp chứng minh quy nạp nh sau: Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh Giang Trờng THCS Kiến Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Điểm dới SL 11 % 42,3 % §iĨm - SL 08 §iĨm - % 30,8 % SL % 19,2 05 % §iĨm 10 SL 02 % 7,7 % Nguyên nhân thực tế trên: Đây dạng toán tơng đối lạ khó với học sinh, học sinh cha đợc trang bị phơng pháp giải, nên việc suy luận hạn chế nhiều lối thoát dẫn đến kết thấp đặc biệt học sinh trung bình em khó giải Để giúp học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh quy nạp, đà nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trang bị cho học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phơng pháp quy nạp ®Ĩ chøng minh quan hƯ chia hÕt, chøng minh ®¼ng thức, chứng minh bất đẳng thức Đồng thời nêu lên mét sè vÝ dơ minh häa gióp häc sinh hiĨu nắm kiến thức, biết áp dụng vào giải toán Từ yêu cầu học sinh giải tập tơng ứng từ dễ đến khó, học sinh đợc rèn luyện nắm kiến thức, phơng pháp giải, áp dụng thành thạo chất lợng giải toán đợc nâng cao III Mục đích nghiên cứu: a Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b §èi víi häc sinh: - Gióp häc sinh häc tập môn toán nói chung việc giải tập áp dụng phơng pháp chứng minh quy nạp nói riêng Trang bị Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh Giang Trờng THCS Kiến Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học môn toán giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan - Gây đợc hứng thú cho học sinh làm tập sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải đợc số tập - Thông qua việc giải toán áp dụng quy nạp (để chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, BĐT) gióp häc sinh thÊy râ mơc ®Ých cđa viƯc häc toán IV Phơng pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo học sinh giáo viên - Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp V Một số kiến thức ph ơng pháp chứng minh quy nạp: 1, phép quy nạp hoàn toàn phép quy nạp không hoàn toàn: Ví dụ Quan sát kết sau: 13 - chia hÕt cho 23 - chia hÕt cho 33 - chia hÕt cho 43 - chia hÕt cho  H·y ®a mét dù ®o¸n råi chøng minh dù ®o¸n đó? Giải: Dự đoán: a3 - a chia hết cho với số nguyên dơng a Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1) Xét ba khả xảy ra: a) NÕu a = 3k (k ∈ N) th× A chia hÕt cho Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh Giang Trờng THCS Kiến Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán b) Nếu a = 3k + (k ∈ N) th× a - chia hÕt cho 3, ®ã A chia hÕt cho c) NÕu a = 3k +2 (k ∈ N) th× a + chia hÕt cho 3, ®ã A chia hÕt cho VËy a3 - a chia hết cho với số nguyên dơng a Ví dụ Quan sát kết sau: 23 - chia hÕt cho 25 - chia hÕt cho 27 - chia hÕt cho Dự đoán sau hay sai? 2n - chia hết cho n với số lẻ n? Giải: Dự đoán sai Chẳng hạn 29 - = 510 kh«ng chia hÕt cho NhËn xÐt: Trong hai ví dụ trên, ta đà thực phép suy luận sau: 1, Xét giá trị a b»ng 1, 2, 3, 4, ®Ĩ kÕt ln r»ng a - a chia hÕt cho víi mäi sè nguyên dơng a 2, Xét giá trị a b»ng 3k, 3k +1, 3k + (k ∈ N) ®Ó kÕt luËn r»ng a3 - a chia hÕt cho với số nguyên dơng a 3, Xét giá trị n 3, 5, để kết luËn r»ng n - chia hÕt cho n với số tự nhiên lẻ n Ba phép suy luận đợc gọi phép quy nạp, phép suy luận từ trờng hợp riêng biệt tới kết luận tổng quát Phép quy nạp gọi hoàn toàn ta xét tất trờng hợp riêng, chẳng hạn phép suy luận ta đà xét khả xảy chia sè tù nhiªn a cho (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k + 2) Phép quy nạp gọi không hoàn toàn ta xét số trờng hợp riêng cha xét đầy đủ trờng hợp riêng Chẳng hạn phÐp suy luËn ta míi xÐt a b»ng 1, 2, 3, ®Ĩ kÕt ln Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh Giang Trêng THCS KiÕn VËn dơng ph¬ng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán cho số nguyên dơng a, phép suy luËn ta míi xÐt n b»ng 3, 5, để kết luận cho số tự nhiên lẻ n Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có dự đoán tính chất toán học đó, sở để tới phát minh Phép quy nạp cho khẳng định đúng, kết luận đà đợc chứng minh phép quy nạp (quy nạp hoàn toàn) Phép quy nạp cho mét kÕt luËn sai, ta b¸c bá nã phản ví dụ Nh phép quy nạp hoàn toàn phép chứng minh chặt chẽ, phép quy nạp không hoàn toàn dẫn tới sai lầm, nhà toán học có tên tuổi dới đây: - Nhà toán học Pháp Fecma nhËn xÐt r»ng c«ng thøc n + cho ta số nguyên tố với n 20, 21, 22, 23, 24 (thËt vËy 21+ = 3; 22 + = 5; + = 17; 28 + = 257; 216 + = 65537; tất số nguyên tố ) Với n = 25 = 32 th× 2n + = 232 + = 4294967297, Fecma không phân tích đợc thừa số nguyên tố, ông cho số nguyên tố đa giả thuyết tổng quát công thức 2n + với n luỹ thừa cho ta số nguyên tố - Một kỉ sau, năm 1732, Ơle bác bỏ giả thuyết cách 232 + hợp số, chia hết cho 641 Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhng lại với số lớn trờng hợp đầu tiên: - Nhà toán học Gravơ đa dự đoán: Với số nguyên tố p ta cã: 2p-1 - kh«ng chia hÕt cho p Dự đoán với số nguyên tố nhỏ 1000, nhng chẳng sau ngời ta tồn số nguyên tố 1093 mà 21093 - chia hết cho 10932 - Một dự đoán khác: Số 911n2+ không số phơng với số nguyên dơng n Số n nhỏ để mệnh đề sai n = 12055735790331359447442538767 (có 29 ch÷ sè) Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh Giang Trờng THCS Kiến Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn giúp nhà toán học tìm phơng pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp khẳng định đắn số tự nhiên, phơng pháp quy nạp toán học 2, Nội dung phơng pháp quy nạp Toán học: Trong toán học, phép quy nạp hoàn toàn đợc áp dụng hạn chế Nhiều mệnh đề Toán học đáng ý bao gồm số vô hạn trờng hợp riêng, nhng ngời kiểm tra đợc tất trờng hợp riêng Phép quy nạp hoàn toàn, nh đà biết thờng dẫn tới kết luận sai lầm Trong nhiều trờng hợp để tránh khó khăn nh ngời ta áp dụng phơng pháp suy luận đặc biệt, đợc gọi phơng pháp quy nạp Toán học * Nội dung phơng pháp quy nạp Toán học đợc trình bày nh sau: Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n đợc xem đà đợc chứng minh hai điều kiện sau đợc thỏa mÃn: 1, Mệnh đề ®óng víi n = 2, Tõ gi¶ thiÕt mƯnh ®Ị ®óng víi n = k (k ∈ N) suy đợc mệnh đề với n = k + Nh vËy ®Ĩ chøng minh mét mƯnh ®Ị với số nguyên dơng n phơng pháp quy nạp Toán học, ta phải tiến hành ba bớc sau: Bíc 1: KiĨm tra mƯnh ®Ị ®óng víi n = Bớc 2: Giả sử mệnh đề với n = k (ta gọi giả thiết quy nạp), råi chøng minh mƯnh ®Ị ®óng víi n = k +1 Bíc 3: KÕt ln mƯnh ®Ị ®óng víi mäi số nguyên dơng n Trong phạm vi nghiên cứu mình, đề cập đến việc vận dụng phơng pháp chứng minh quy nạp Toán học để giải ba dạng toán là: Chứng minh chia hết, chứng minh đẳng Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh Giang Trờng THCS Kiến Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán thức chứng minh bất đẳng thức Hy vọng với số kinh nghiệm nhỏ góp phần vào phơng pháp dạy học, đặc biệt công tác bồi dỡng học sinh giỏi, giúp học sinh rèn luyện đợc kỹ giải toán t giải toán có hiệu 3, Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học vào chøng minh: 3.1, D¹ng Chøng minh quan hƯ chia hết: Bài 1: Chứng minh tổng lập phơng ba số nguyên dơng liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi ba số nguyên dơng liên tiếp ®ã lµ: n; n +1 vµ n + Ta ph¶i chøng minh: [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3]  (1) + Víi n =1, ta cã: 13 + 23 + 33 = + + 27 = 36  VËy (1) ®óng víi n = + Giả sử (1) với n = k (k ∈ N) tøc lµ: [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] 9 Ta ph¶i chøng minh r»ng (1) cịng ®óng víi n = k + 1, tức phải chứng minh: [(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]  ThËt vËy ta cã: (k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 9k2 +27k + 27 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 + = [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9(k2 + 3k + 3) Theo giả thiết quy nạp: k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3  cßn 9(k3 + 3k + 3)  víi ∀ k Do ®ã [(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]  + KÕt luËn: Mệnh đề (1) với số nguyên dơng n Vậy tổng lập phơng ba số nguyên dơng liên tiếp chia hết cho Bài 2: Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng thì: A(n) = 7n + + 82n +  19 Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 10 Trêng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Giải: + Với n = th× A(1) = 73 + 83 = 343 + 512 = 19.45 ⇒ A(1)  19 VËy A(n) ®óng víi n = + Giả sử A(n) với n = k Ta cã: A(k) = 7k + + 82k +  19 Ta ph¶i chøng minh A(n) ®óng víi n = k + A(k + 1) = 7k + + 82k + = 7.7k + + 64.82k + 1 = 7.7k + + 82.82k + = 7.7k + + 7.82k + + 57.82k + = 7.( 7k + + 82k + 1) + 19.3.82k + = A(k) + 19.3.82k + V× A(k)  19 (Theo giả thiết quy nạp) A(k) 19 19 19 ⇒ 19.3.82k +  19 ⇒ A(k + 1) 19 Theo nguyên lí quy nạp A(n) 19 Với n nguyên dơng Vậy A(n) = 7k + + 82k +  19 Víi n nguyên dơng + Kết luận: Vậy A(n) với số nguyên dơng Bài 3: Chứng minh rằng: 16n - 15n -  225; n ∈ N Giải: Đặt A(n) = 16n - 15n - + Víi n = 1, ta cã: A(1) = 16 - 15 - =  225 ⇒ A(1)  225 + Giả sử A(n) với n = k Ta cã: A(k) = 16k - 15k -  225 Ta phải chứng minh A(n) với n = k + ThËt vËy: A(k + 1) = 16k + - 15(k + 1) - = 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1) = A(k) + 15(16k - 1) Theo giả thiết quy nạp có A(k) 225 Ta cã: 16k - 16 - ⇔ 16k - 15 ⇒ 15(16k - 1) 15.15 ⇒ 15(16k - 1)  225 ⇒ A(k + 1)  225 Theo nguyên lí quy nạp A(n) 225 với n ∈ N + KÕt luËn: VËy 16n - 15 -  225 víi ∀ n ∈ N Bµi 4: Chứng minh với số nguyên dơng n th×: Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 11 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán a) Sn = (n + 1).(n + 2).(n + 3) (n + n) chia hÕt cho 2n b) 33n + + 5.23n + chia hÕt cho 19 c) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hÕt 24 Gi¶i: a) Víi n = th× S1 = (1 + 1).(1 + 2) (1 + n) = 2.3 (1 + 1)  2n VËy Sn ®óng víi n = Giả sử Sn với n = k, tức là: Sk = (k + 1).(k + 2) (k + k) 2n Ta phải chứng minh Sn với n = k + Tøc lµ Sk + = (k + 2).(k + 3) (k +1 + k + 1) = (k + 2).(k + 3) (2k + 2)  2n ThËt vËy: Sk + = (k + 2).(k + 3).(k + 4) (k + k + 2) = (k + 1).(k + 2).(k + 3) (k + k).2.(2k + 1) = Sk.2.(2k + 1) Theo giả thiết quy nạp có Sk 2n Do ®ã: Sk.2.(2k + 1)  2n ⇒ Sk +  2n VËy Sn  2n ®óng víi n = k + + KÕt luËn: VËy víi số nguyên dơng n Sn 2n b) Víi n = th× A (n) = 33n + + 5.23n + = 35 +5.24 =243 + 80 = 323 chia hÕt cho 19 ⇒ A(n) ®óng víi n = + Gi¶ sư A(n)  19 ®óng víi n = k, tøc lµ: A(k) = 33k + + 5.23k +  19 Ta ph¶i ®i chøng minh A(n)  19 ®óng víi n = k + Tøc lµ: A(k + 1) = 33(k + 1) + + 5.23(k + 1) + A(k + 1) = 33k + + 5.23k +  19 ThËt vËy: A(k + 1) = 33k + + 5.23k + = 33k + 2.33 + 5.23k + 1.23 = 27(33k + + 5.23k + 1) - 19.33k + = 27.Ak - 19.33k + Theo giả thiết quy nạp có: Ak 19 ⇒ 27Ak  19 +1 L¹i cã: 19  19 ⇒ 19.33k +  19 Do ®ã A(k + 1) = 27.Ak - 19.33k  19 VËy A(n)  19 ®óng víi n = k + + Kết luận: Vậy với số nguyên dơng n A(n)  19 Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 12 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán c) Chứng minh: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24 + Víi n = th× A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = + + 11 + = 24  24 VËy A  24 với n = + Giả sử A 24 với n = k Tức là: A(k) = k4 + 6k3 + 11k2 + 6k  24 Ta phải chứng minh A(n) 24 với n = k + Tøc lµ: A(k + 1) = (k+1)4 + 6(k + 1)3 + 11(k + 1)2 + 6(k + 1)  24 ThËt vËy: A(k + 1) = k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + + 6k3 + 18k2 + 18k + + 11k2 + 22k + 11 + 6k + A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k) DÔ thÊy: k4 + 6k3 + 11k2 + 6k  24 (Theo giả thiết quy nạp) Và 24(k2 + 1) 24 L¹i cã (k3 + 11k)  víi ∀ k ∈ N ThËt vËy: víi k = th× k3 + 11k = 12 (đúng) Giả sử víi k = m th× m3 + 11m  (m N) Ta phải chứng minh k3 + 11k  ®óng víi k = m +1 ThËt vËy: (m + 1)3 + 11(m + 1) = m3 + 3m2 + 3m + + 11m + 11 = (m3 + 11m) + (3m2 + 3m + 12)  Do ®ã k3 + 11k  ⇒ 4(k3 + 11k)  24 VËy A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k)  24 VËy A(n)  24 ®óng víi n = k + + KÕt luận: Với số nguyên dơng n có: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24 * Một số tập giải tơng tự: Bài 1: Chứng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a: a) a2 - a chia hÕt cho b) a3 - a chia hÕt cho Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 13 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán c) a5 - a chia hÕt cho d) a7 - a chia hÕt cho Bµi 2: Chøng minh r»ng víi số nguyên dơng n thì: a) 32n + + 40n - 67 chia hÕt cho 64 b) 2n + 2.3n + 5n - chia hÕt cho 25 c) 7n + + 82n + chia hÕt cho 57 d) 10n + 72n - chia hÕt cho 81 Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng n số gồm 3n chữ số chia hÕt cho 3n? HD: MƯnh ®Ị ®óng víi n = Vì số 111 Giả sử số 11 chia hÕt cho 3, ta cã sè: 3k 11 11 11 11 11 100 100 01 = = chia hÕt cho 3k+1 3k 3k 3k 3k 3k 3k Vậy với số nguyên dơng n gồm 3n chữ số chia hết cho 3n Bài 4: Chøng minh r»ng A chia hÕt cho B víi: a) A = 13 + 23 + 33 + + 993 + 1003; B = + + + + 99 + 100 b) A = 13 + 23 + 33 + + 993; B = + + + + 99 Bµi 5: Chứng minh n lập phơng số tự nhiên (n - 1).n.(n + 1) chia hÕt cho 504 Bµi 6: Chøng minh r»ng: NÕu a b không chia hết cho a - b6 chia hÕt cho Bµi 7: a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hÕt cho Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 14 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán b) Chứng minh hiệu bình phơng hai số lẻ chia hết cho Bài 8: Chứng minh với số n nguyên dơng: a) (n + 1).(n + 2).(n + 3) (2n) chia hÕt cho n b) (n + 1).(n + 2).(n + 3) (3n) chia hÕt cho n Bµi 9: CM r»ng: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chia hÕt cho 5040 với số tự nhiên n 3.2, Dạng Chứng minh đẳng thức: Bài 1: Chứng minh với số nguyên dơng n thì: n(n + 1)  Sn = + + + + n =     3 3 (1) Gi¶i: + Víi n = 1, vế trái (1) 13 = 1; vế phải cña (1) b»ng 1(1+ 1)    =1   ⇒ VT = VP VËy (1) ®óng với n = + Giả sử (1) với n = k (k ∈ N & k ≠ 1)  (k + 1)(k + 2)  Tøc lµ: SK = + + + + k =     3 3 Ta phải chứng minh (1) với n = k +1 Tøc lµ: SK +  (k + 1)(k + 2)  =1 + + + + (k + 1) =     3 3 ThËt VËy: SK + = 13 + 23 + 33 + + (k + 1)3 = 13 + 23 + 33 + + k3 + (k + 1)3 = SK + (k + 1)3  (k(k + 1)  Theo gi¶ thiÕt quy nạp Sk = 2 Do ®ã: Sk +  k2 (k + 1)   (k(k + 1)  =  + (k + 1) =  + (k + 1)3       (k + 1)2 k2 + 4(k + 1) (k + 1)2.( k2 + 4k + 1) = = = (k + 1)2.( k + 2) 4  (k + 1).(k + 1)     =  Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 15 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán SK +  (k + 1).(k + 1)  =   ®óng VËy (1) ®óng víi n = k +   + KÕt luËn: MÖnh đề (1) với số nguyên dơng n Bài Chứng minh số nguyên dơng n thì: Sn = 12 + 22 + 32 + + n2 = Giải: + Với n = 1, vế trái cđa (1) b»ng 12 = vÕ ph¶i cđa (1) b»ng n(n + 1).(2n + 1) (1) 1(1+ 1).(2.1+ 1) =1 VËy VT = VP VËy (1) ®óng với n = + Giả sử (1) với n = k (k ∈ N & k ≠ 1), tøc lµ: Sk = 12 + 22 + 32 + + k2 = k(k + 1).(2k + 1) Ta phải chứng minh đẳng thức (1) với n = k + 1, tøc lµ: Sk + = 12 + 22 + 32 + + (k + 1)2 = (k + 1).(k + 2).(2k + 3) ThËt vËy: Sk + = 12 + 22 + 32 + + k2 + (k + 1)2 = Sk + (k + 1)2 (Do giả thiết quy nạp Sn = 12 + 22 + 32 + + k2) k(k + 1).(2k + 1) ®ã ta cã: k(k + 1).(2k + 1) Sk + = + (k + 1)2 (k + 1).k(2k + 1) + 6k + 6 k(k + 1).(2k + 1) + 6(k + 1)2 = = 6 (k + 1) 2k + k + 6k + 6 (k + 1).(2k2 + 7k + 6) = = = 6 (k + 1).(k + 2).(2k + 3) (k + 1).(k + 2).(2k + 3) ⇒ Sk + = Vậy đẳng thức (1) với n = Mặt khác Sk = k+1 + Kết luận: Vậy với số nguyên dơng n tổng bình phơng n số tự nhiên liên tiếp n(n + 1).(2n + 1) Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên dơng n thì: 1 1 n + + + + = 1.4 4.7 7.10 (3n − 2).(3n + 1) 3n + Gi¶i: Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 16 Trêng THCS VËn dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán + Với n = 1, đẳng thức VT = VP = + Giả sử đẳng thức với n = k Tức là: (k ∈ N, k ≠ 1) 1 1 k + + + + = 1.4 4.7 7.10 (3k − 2).(3k + 1) 3k + Ta ph¶i chứng minh đẳng thức với n = k + Tøc lµ: 1 1 k +1 + + + + = 1.4 4.7 7.10 (3k + 1).(3k + 4) 3k + ThËt vËy: Sk + 1 1 1 + + + + + 1.4 4.7 7.10 (3k − 2).(3k + 1) (3k + 1).(3k + 4) = (3k + 1).(3k + 4) k Theo giả thiết quy nạp Sk = 3k + k 3k2 + 4k + + Do ®ã: Sk + = = 3k + (3k + 1).(3k + 4) (3k + 1) (3k + 1).(k + 1) k +1 Sk + = = (3k + 1).(3k + 4) 3k + = Sk + VËy Sn ®óng víi n = k + + Kết luận: Vậy với số nguyên dơng n đẳng thức (1) xảy Bài 4: Chứng minh với số nguyên dơng n thì: 12 22 32 n2 n(n + 1) + + + + = Sn = 1.3 3.5 5.7 (2n − 1).(2n + 1) 2(2n + 1) Gi¶i: 12 = (2.1− 1).(2.1+ 1) 1(1+ 1) vÕ tr¸i cđa đẳng thức = 2(2.1+ 1) VT = VP = Vậy đẳng thức với n = + Víi n = 1, vÕ phải đẳng thức + Giả sử Sn ®óng víi n = k (k ∈ N, k ≠ 1) Tøc lµ: Sk = 12 22 32 k2 k(k + 1) + + + + = 1.3 3.5 5.7 (2k − 1).(2k + 1) 2(2k + 1) Ta phải chứng minh đẳng thức Sn với n = k + 12 22 32 (k + 1)2 (k + 1).(k + 2) + + + + = Tøc lµ: Sk + 1.3 3.5 5.7 (2k + 1).(2k + 3) 2(2k + 3) 2 2 k (k + 1)2 + + + + + ThËt vËy: Sk + = 1.3 3.5 5.7 (2k − 1).(2k + 1) (2k + 1).(2k + 3) = Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh Kiến Giang 17 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán 12 22 32 k2 k(k + 1) + + + + = Theo giả thiết quy nạp: 1.3 3.5 5.7 (2k − 1).(2k + 1) (2k + 1)2 k +1 (k + 1) k +1 k k +1  + =  + Do ®ã: Sk + = 2(2k + 1) (2k + 1).(2k + 3) 2k +  2k +  k + k(2k + 3) + 2(k + 1) k + 2k2 + 5k + = = 2k + 2k(2k + 3) 2k + 2(2k + 3) k + (2k + 2).(2k + 1) (k + 1).(k + 2) = = 2k + 2(2k + 3) 2(2k + 3) (k + 1).(k + 2) ⇒ Sk + = VËy Sn ®óng víi n = k + (k ∈ N, k ≠ 2(2k + 3) 1) + KÕt luËn: VËy víi số nguyên dơng n đẳng thức Sn ®óng Bµi 5: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiên thì: 1  1   1− ÷. 1− ÷.1− ÷.1− ÷ 1− a + 1÷ = a +           (1) Gi¶i: + Víi a = 1, VT = 1− 1 1 ⇒ VT = VP = = ; VP = 2 2 Vậy đẳng thức (1) với a = + Giả sử a = k, đẳng thức (1) đúng, tức lµ 1  1    1  1   1− ÷. 1− ÷.1− ÷.1− ÷ 1− k + 1÷ = k +         Ta phải chứng minh đẳng thức (1) ®óng víi a = k + (k ∈ N, k ≠ 1) Tøc lµ: ThËt vËy: 1      1  1  1− ÷.1− ÷ 1− ÷ 1− k + 1÷.1− k + ÷ = k +           1      1  1   1− ÷. 1− ÷.1− ÷  1− k + 1÷. 1− k + ÷               k + − 1    =  1− =  = ÷ ÷ ÷ ÷  k + 1  k +   k + 1  k +  k + VËy ®¼ng thøc (1) ®óng víi a = k + + KÕt ln: VËy víi mäi sè tù nhiªn a th×: 1  1    1  1  1− ÷.1− ÷ 1− ÷ 1− ÷ 1− a + 1÷ = a +        * Một số tập giải tơng tự: Bài Chứng minh với số nguyên dơng n thì: Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh Kiến Giang 18 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán n(n + 1).(n + 2) a, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) = b, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(3n + 1) = n(n + 1)2 c, Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1).(n+2) = n(n + 1).(n + 2).(n + 3) Bài Chứng minh với số nguyên dơng n th×: 1 1 n + + +L + = víi n ≥ 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n(n + 1) 1 1 n = + + + + = 1.5 5.9 9.13 (4n − 3).(4n + 1) 4n + 1 1 n = + + + + = 1.6 6.11 11.16 (5n − 4).(5n + 1) 5n + 1 1 n = + + + + = 1.7 7.13 13.19 (n − 5).(6n + 1) 6n + 1 1 n = + + + + = 1.8 8.15 15.22 (7n − 6).(7n + 1) 7n + Sn = Sn Sn Sn Sn Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi số tự nhiên n N thì: a, Sn = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + + n(n + 3) = n(n + 1).(n + 5) b, Sn = 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n.(3n - 1) = n2.(n + 1) c) Sn = 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n.(3n + 1) = n.(n + 1)2 Bµi 4: a, Chøng minh tổng n số tự nhiên liên tiếp là: S = + + + + + n = n(n + 1) b, Chứng minh tổng n số chẵn liên tiếp là: S = + + + + + 2n = n(2n + 2) = n(n + 1) c, Chøng minh tổng n số lẻ liên tiếp lµ: S = + + + + + (2n - 1) = n2 3.3, D¹ng Chứng minh bất đẳng thức: Bài 1: Chứng minh với số nguyên dơng n thì: 2n > 2n + (1) Gi¶i: + Víi n = th× VT = 23 = 8; VP = 2n + = 2.3 + = ⇒ VT > VP Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 19 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Vậy (1) ®óng víi n = + Gi¶ sư (1) ®óng víi n = k (k ∈ N, k ≠ 3), tức 2k > 2k + Ta phải chứng minh (1) ®óng víi n = k + 1, tøc lµ: 2k + 2k + > (2) ThËt vËy: 2k + = 2k.2 Theo gi¶ thiÕt quy nạp 2k > 2k + Do đó: 2k + > 2(2k + 1) = (2k + 3).(2k - 1) > 2k + (V× 2k - > víi k ≥ 3) VËy (2) ®óng víi ∀ k ≥ + KÕt luËn: 2n > 2n + với số nguyên dơng n Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi với n số không âm a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an víi a1, a2, , an n CM: + Hiển nhiên mệnh đề với n = 2, tức + Giả sử mệnh đề với n = k, tức là: a1 + a2 n ≥ a1a2 a1 + a2 + + ak k ≥ a1a2 ak k Ta ®i chøng minh mƯnh ®Ị ®óng víi n = k + Gi¶ sư a1 ≤ a2 ≤ ≤ ak ak + Thì ak + Đặt a1 + a2 + + ak k a1 + a2 + + ak = x th× x ≥ k ak + = x + y víi y ≠ vµ kx = a1, a2, , ak (Do giả thiết quy nạp) a + a + + ak + ak+1  Ta cã:   k +1   k+1 y   = x+ k + 1÷   ≥ xk+1 + (k + 1) k+1 k+1  kx + x + y  = ÷ =  k+1  k x = xk+1 + xk + y = xk (x + y) ≥ a1a2 akak+1 k+1  a + a2 + + ak + ak+1  k+1 ⇒  ≥ a1a2a3 ak+1 k +   VËy mƯnh ®Ị ®óng víi mäi sè tù nhiªn n ≠ Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 20 Trêng THCS VËn dơng ph¬ng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Xảy đẳng thức khi: a1 = a2 = = an Bµi 3: Chøng minh với số nguyên dơng n ta có: n  1  1+ n ÷ <   Giải: + Với n = đẳng thức vì: VT = 1+ ữ = 2; VP =  1 + VíÝ n = 2, theo khai triĨn Niu t¬n ta cã: n n(n − 1) n(n − 1).(n − 2) n(n − 1) (n − 2) 1  1 1 + + n < 1+ 1+  + + + ÷  1+ n ÷ = 1+ n n + 2! n2 + 3!n n! n n!    2! 3! Do: 1 1 1  1  1  1 + + + ≤ + + + =  1− ÷ +  − ÷ + +  − ÷ = 1− < 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n     n  n− n Do đó: 1+ ữ < 1+ 1+ = Với n số nguyên dơng n Bài 4: CMR với số nguyên dơng n th×: 1 1 + + + + >1 n+1 n+ n+ 3n + Gi¶i: + Với n = 1, vế trái bất đẳng thức lµ: 1 13 + + = >1 12 Vậy bất đẳng thức với n = + Giả sử bất đẳng thức với n = k, tøc lµ: 1 1 + + + + >1 k +1 k + k + 3k + Ta ph¶i chøng minh bất đẳng thức (1) với n = k + 1, tøc lµ: 1 1 + + + + >1 k+ k+ k+ 3k + ThËt vËy: Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh Kiến Giang 21 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán 1 1 1 1 1 + + + + = + + + + + + + k+2 k+3 k+ 3k + k + k + k + k + 3k + 3k + 1 1 1   + + − = + + + + + >1  3k + 3k + k +  k + k + k + 3k + 1 3(k + 1).(3k + 2).(3k + 4) Do giả thiết quy nạp: 1 1 + + + + >1 k +1 k + k + 3k + Vậy bất đẳng thức víi n = k + + KÕt luËn: Víi số nguyên dơng n ta có bất đẳng thøc: 1 1 + + + + >1 n+1 n+ n+ 3n + Bµi 1+ 5: CMR với số nguyên dơng n thì: 1 1 n + + + + n > −1 Gi¶i: + Víi n = 1, ta cã: VT = 1; VP = ⇒ VT > VP VËy bÊt đẳng thức (1) với n = + Giả sử bđt với n = k, tức là: S k = 1+ 1 1 k + + + + k > (k ∈ Z+ , k ≥ 1) −1 Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + Tøc lµ Sk+1 = 1+ 1 1 k +1 + + + + k + + k > −1 −1 ThËt vËy: Sk+1 = Sk + Víi A = 1 1 + k + k + + k+1 = Sk + A k 2 +1 + 2 −1 (∗) 1 + k + + k+1 k 2 +1 −1 Ta nhËn thÊy A lµ tỉng 22 phân thức mà phân thức lớn 2k+1 Do đó: A > 1 1 = + + … + = 2k+1 2k+1 2k+1 2k+1 Tõ ( ∗ ) vµ ( ∗ ∗ ) suy Sk + = Sk + A > Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang (∗ ∗) 1 ⇒ Sk + > 2 22 Trêng THCS VËn dông phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Lại có: k+1 > (với k Z+ , k 1) Vậy bất đẳng thức ®óng víi n 2 =k+1 + KÕt ln: VËy với số nguyên dơng n bất đẳng thức sau đúng: 1+ 1 1 n + + + + n > 2 Bài 6: Tìm số nguyên dơng n cho: 2n > 5n Gi¶i: + Víi n = 1; 2; 3; vế trái nhỏ vế phải + Víi n = th× 25 = 32 > 25 = 5.5 Vậy bất đẳng thức n=5 + Giả sử bất đẳng thức với n = k (Víi k ∈ N , k ≥ 5); Tøc là: 2k > 5k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1; Tức là: k +1 > 5(k + 1) ThËt vËy: 2k + = 2k.2 mà 2k > 5k (Theo giả thiết quy nạp) Nên 2k.2 > 2.5k = 10k = 5k + 5k theo điều kiện k nên 5k > V× vËy: 2k + > 5k + = 5(k + 1) + KÕt luËn: VËy với số nguyên dơng n, n ta có 2n > 5n *Một số tập giải tơng tự: Bài Chứng minh với số nguyên dơng n thì: 1 1 13 + + + + > n+1 n+ n+ 2n 24 (n ≥ 2) Bµi Chøng minh r»ng với số tự nhiên n > thì: a 1 1 + + + + < 2 n b 1 1 < + + + < n+1 n+ n+ n Bµi Chứng minh với n số tự nhiên n tổng: S= 1 1 + + + + Không phải số tự nhiên 2 n Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 23 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Bài Chứng minh r»ng: 1 n−1 + + + < 2 n n Bµi Cho S víi n ∈ N* vµ: S = 3 3 + + + + 1.4 4.7 7.10 n(n + 3) Chøng minh r»ng S < Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ®Ịu cã: n< 1 + + + + + n n+1 n+ 2n c 2n − 1 + < 2n n 2n Bµi Chøng minh bất đẳng thức sau: 1 1 + + + + < víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 2 n a) b) 1 1 + + + + < 2 (2n) víi mäi sè tù nhiªn n ≥ Bµi Chøng minh r»ng víi n số tự nhiên ta có: 1 1 + + + + < 13 25 n + (n +1) VI Mét số giải pháp vận dụng phơng pháp quy nạp để giải toán: 1, Đối với giáo viên: - Trớc hết ngời giáo viên phải xây dựng đợc sở lí thuyết phơng pháp quy nạp toán học việc vận dụng để giải dạng toán cụ thể Nội dung phải chuyển tải đến học sinh, với dạng toán giáo viên đa ví dụ mẫu, hớng dẫn học sinh dựa sở lý thuyết để tìm cách giải, giáo viên chốt lại giải mẫu Sau yêu cầu học sinh giải tËp ¸p dơng Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 24 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán - Phân loại tập từ dễ đến khó phù hợp với đối tợng học sinh, tạo điều kiện cho đối tợng học sinh đợc làm việc, chủ động nắm đợc kiến thức sở phơng pháp giải - Rèn luyện nâng cao khả t sáng tạo học sinh thông qua qua việc tìm tòi chọn lọc, tham khảo kiến thức nghiên cứu, giải toán - Trong trình giảng dạy, phải ý tìm vớng mắc, sai sót mà học sinh hay mắc phải làm tập phải có biện pháp hớng dẫn sửa sai kịp thời - Động viên, khuyến khích học sinh nghiên cứu tìm cách giải cho toán Qua giúp học sinh nhớ lâu, nắm toán đà giải 2, Đối với học sinh: - Đây dạng toán liên quan đến hầu hết kiến thức cấp học, học sinh cần phải trang bị cho kiến thức bản, toàn diện chơng trình THCS Đồng thời nắm sở lý thuyết dạng toán mà giáo viên cung cấp để hiểu đợc chất phơng pháp quy nạp toán học Từ vận dụng để giải đợc dạng toán chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức - Với tập cần nhận dạng đợc dạng toán để từ vận dụng phơng pháp hợp lý dạng vào giải toán - Phát huy khả t sáng tạo giải toán, biết suy luận từ dễ đên khó với cách giải hay hơn, tìm đợc nhiều cách giải cho toán VII Kết thu đợc: Qua qua trình triển khai áp dụng nội dung phơng pháp đà nêu trên, nhận thấy học sinh có hứng thú học tập, học sinh đà nắm đợc chất phơng pháp quy nạp toán học, cách vận dụng vào giải toán đà rèn luyện đợc kỹ trình bày giải theo phơng pháp quy nạp Sau học xong chuyên đề vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán, tiến hành kiểm tra khảo s¸t Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 25 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán mức độ hiểu, nắm kiến thức vận dụng 26 học sinh đà khảo sát ban đầu Kết thu đợc nh sau: §iĨm díi §iĨm - §iĨm - §iĨm 10 SL % SL % SL % SL % 02 7,7% 06 23,1 % 10 38,4 % 08 30,8 % Trên số nội dung việc vận dụng phơng pháp quy nạp toán học đẻ giải số dạng toán mà đà áp dụng giảng dạy thực tế trờng THCS cho học sinh đại trà nh trình ôn luyện, bồi dỡng học sinh giỏi Tôi đồng nghiệp đà thu đợc kết sau: + Học sinh tiếp thu nhanh, dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập yêu thích môn toán Học sinh vận dụng để giải đợc số toán nâng cao dành cho hoc sinh giỏi + Học sinh tránh đợc sai sót bản, có kĩ vận dụng thành thạo nh phát huy đợc tính tích cực học sinh Kỹ trình bày giải theo phơng pháp quy nạp tốt Tuy nhiên để đạt đợc kết nh mong muốn, đòi hỏi ngời giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Ngời thầy cần phát huy tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh từ em có nhìn nhận bao quát, toàn diện định hớng giải toán đắn Làm đợc nh đà góp phần nâng cao chất lợng giáo dục nhà trờng Ngời thực hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 26 Trêng THCS VËn dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Phần III: Kết luận Toán học kho tàng kiến thức vô tận, việc nghiên cứu tìm phơng pháp giải toán công việc mà ngời dạy toán phải thờng xuyên làm Một mặt để nâng cao lực chuyên môn nghiệp vụ thân, đồng thời giúp cho tìm phơng pháp giảng dạy hay, cã hiƯu qu¶, gióp häc sinh cã høng thó học tập, rèn luyện đợc kỹ giải toán Việc đổi phơng pháp dạy học phụ thuộc nhiều vào trình độ chuyên môn nghiệp vụ, lực s phạm giáo viên Nhng bên cạnh đó, hứng thú môn học học sinh quan träng Theo t«i viƯc høng thó víi m«n häc có đợc em có tự tin, tự giải đợc số toán, dạng toán Do trình dạy học, ngời giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh hệ thống phơng pháp học tập nh phơng pháp giải toán, học sinh nắm đợc hệ thống kiến thức phơng pháp em míi cã thĨ cã ®đ sù tù tin, tù tìm tòi, nghiên cứu từ em thấy hứng thú môn học Trong khuôn khổ sáng kiến đề cập đến việc vận dụng phơng pháp quy nạp Toán học để giải dạng toán: Chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên, thực tế phơng pháp quy nạp Toán học đợc vận dụng để giải nhiều dạng toán khác đa dạng Theo phơng pháp có nhiều hiệu vận dụng vào công tác bồi dỡng học sinh giỏi, đào tạo nhân tài Ngời thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 27 Trêng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Hy vọng với nội dung nghiên cứu góp phần nhỏ vào trình giảng dạy giáo viên học tập học sinh, giúp học sinh nắm đợc kiến thức phơng pháp học tập, từ có hứng thú học tập môn Toán Xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán - NXB Giáo Dục năm 2003 Đại số sơ cấp thực hành giải toán - Hoàng Kỳ - Hoàng Thanh Hà NXB Đại học s phạm năm 2005 Nâng cao phát triển Toán - Vũ Hữu Bình NXB Giáo Dục năm 2007 Nâng cao phát triển Toán - Vũ Hữu Bình NXB Giáo Dục năm 2004 Toán nâng cao chuyên đề Đại Số - Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Việt Hải - Vũ Dơng Thụy NXB Giáo Dục năm 1997 To¸n båi dìng häc sinh líp - Vũ Hữu Bình - Đỗ Thân - Đỗ Quang Thiều NXB Giáo Dục năm 1999 Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh Kiến Giang 28 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Mục lục a phần mở đầu B PhÇn Néi dung .3 I Cë së lý luËn: II Cë së thùc tiÔn: III Môc ®Ých nghiªn cøu: IV Phơng pháp nghiên cứu: .5 V Một số kiến thức phơng pháp chứng minh quy nạp: 1, Phép quy nạp hoàn toàn phép quy nạp không hoàn toàn 2, Néi dung cđa ph¬ng ph¸p quy nap to¸m häc: .7 Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 29 Trêng THCS VËn dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán 3, Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học vào chứng minh: 3.1, Dạng 1: Chứng minh quan hƯ chia hÕt: .8 3.2, D¹ng 2: Chứng minh đẳng thức: 12 3.3, Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức: .16 VI Một số giải pháp vận dụng phơng pháp quy nạp để giải toán: 20 1, §èi víi giáo viên: .20 2, §èi víi häc sinh: .20 VII Kết thu đợc: 20 C PhÇn KÕt luËn 22 Tài liệu tham khảo 23 NhËn xÐt cđa héi ®ång khoa häc nhµ trêng Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 30 Trêng THCS VËn dơng ph¬ng pháp quy nạp toán học để giải số dạng to¸n Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh KiÕn Giang 31 Trêng THCS ... tài: Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để gi¶i mét sè Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh Giang Trờng THCS Kiến Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán dạng toán nhằm tìm biện pháp. . .Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán Đối với học sinh xem việc giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Quá trình giải toán đặc biệt giải toán hình học trình... 29 Trờng THCS Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải số dạng toán 3, Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học vào chứng minh: 3.1, D¹ng 1: Chøng minh quan hƯ chia hÕt: .8 3.2, Dạng 2: Chứng