BS hệ thức lượng trong tam giác

Bài soạn hình học 10 Giáo viên: Nguyễn Quốc Hoàn Tổ: Toán Tin Trờng: THPT Nguyễn Gia Thiều Ngày soạn: 04 08 2007. Đ3. Các hệ thức lợng trong tam giác và giảI tam giác (PPCT: 23 + 24 + 25 ; dạy tiết 23) I. Mục đích yêu cầu: Kiến thức: Học sinh nắm đợc định lý cosin, định lý sin trong tam giác; biết cách chứng minh các định lý; vận dụng trong làm bài tập; củng cố kiến thức về vectơ. Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng vận dụng các kiến thức đã biết trong việc tiếp thu tri thức mới. T duy: Phát triển năng lực chứng minh Toán học, bồi dỡng và phát triển năng lực vận dụng sáng tạo lý thuyết toán vào việc giải bài tập toán. Trọng tâm: Học sinh nắm đợc nội dung định lý cosin, định lý sin trong tam giác và vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán có liên quan. Thái độ: Cẩn thận, chính xác. Biết quy lạ về quen. II. Phơng pháp, phơng tiện: Phơng pháp: Sử dụng nhóm phơng pháp nhằm tích cực hoá hoạt động của học sinh: đàm thoại, giải quyết vấn đề. Phơng tiện: Kiến thức về vectơ, SGK Hình học 10, SBT Hình học 10, sách giáo viên, giáo án, III. Cấu trúc bài dạy: Bài toán gợi động cơ Định lý cosin Ví dụ áp dụng Bài toán có liên quan Bài toán gợi động cơ Định lý sin Ví dụ áp dụng IV. Tiến trình bài dạy: Thời gian (Phút) Nội dung ghi bảng Hoạt động của thầy và trò 5 7 Đ4. Các hệ thức lợng trong tam giác và giải tam giác Bài toán 1: Cho ABC có AB = 3 cm, AC = 8 cm,  = 60 0 . Tính BC. Giải: GV: ở lớp 8 các em đã đợc học về hệ thức lợng trong tam giác vuông. Bài học hôm nay chúng ta nghiên cứu trờng hợp tổng quát hơn: Hệ thức lợng trong tam giác bất kỳ. GV: Để đi vào bài học hôm nay ta xét bài toán sau GV: ABC không có gì đặc biệt, các em cha học một công thức tổng quát nào để có thể tính trực tiếp BC. Ta phải nghĩ cách khác (BC = BC ). GV: BC biểu diễn qua AC và AB ? HS: BC = AC AB . GV: BC 2 = ? HS: BC 2 = ( AC AB ) 2 H 1 A B C D 10 12 BC 2 = BC 2 = ( AC AB ) 2 = AC 2 + AB 2 2. AC . AB = AC 2 + AB 2 2.AC.AB.cos = 8 2 + 3 2 2.8.3.cos60 0 = 49 Vậy BC = 7 cm. 1. Định lý cosin trong tam giác: Định lý: Với mọi tam giác ABC ta luôn có: a 2 = b 2 + c 2 2.b.c.cosA b 2 = a 2 + c 2 2.a.c.cosB c 2 = a 2 + b 2 2.a.b.cosC. Xem chứng minh trong SGK. cosA = c.b.2 acb 222 + A = 90 0 a 2 = b 2 + c 2 A > 90 0 a 2 > b 2 + c 2 A < 90 0 a 2 < b 2 + c 2 . Ví dụ: ABC ở bài toán 1, lấy D trên cạnh AC sao cho AD = 6 cm. Tính góc D của tam giác ABD, chứng minh tam giác ABD vuông. Giải: BD 2 = AB 2 + AD 2 2.AB.AD.cosA = 9 + 36 2.36. 2 1 = 27 BD = 33 . AB 2 = AD 2 + BD 2 2.AD.BD.cosADB cosADB = BD.AD.2 ABBDAD 222 + = 33.6.2 92736 + = 2 3 . ADB = 30 0 . Rõ ràng: = AC 2 + AB 2 2. AC . AB = AC 2 + AB 2 2. AC . AB .cos( AC ; AB ). Hay BC 2 = AC 2 + AB 2 2.AC.AB.cosÂ. GV: ABC; ký hiệu BC = a, CA = b, AB = c; các góc ở đỉnh A, B, C cũng kí hiệu bởi A, B, C. GV: Từ bài toán 1, BC hay a đợc tính theo công thức nào ? HS: a 2 = b 2 + c 2 2.b.c.cosA GV: Tơng tự b 2 và c 2 đợc tính nh thế nào ? HS: . GV: Đây chính là nội dung định lý cosin trong tam giác. GV: Phát biểu định lý bằng lời và cách ghi nhớ. GV: Tính cosA theo a, b, c ? GV: Xét A = 90 0 , A < 90 0 , A > 90 0 sau đó so sánh a 2 với b 2 + c 2 ? HS: . GV: Tơng tự cho cosB, cosC. So sánh b 2 với a 2 + c 2 , c 2 với a 2 + b 2 làm tơng tự trên. GV: Từ định lý cosin ta có thể tính đợc một cạnh của tam giác nếu biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng. Ngợc lại nếu biết ba cạnh của tam giác thì có thể tính đợc ba góc của tam giác đó. GV: Để tính đợc ADB phải tính đợc cạnh nào ? HS: BD BD 2 = AB 2 + AD 2 2.AB.AD.cosA GV: Em hãy giải tiếp bài toán HS: . H 2 5 10 12 AD 2 = 36 = AB 2 + BD 2 = 9 + 27 = 36, nên ABD vuông tại B. Bài toán 2: Cho ABC, A = 90 0 . Xác định bán kính R của đờng tròn ngoại tiếp ABC và biểu diễn sinA, sinB, sinC theo R và a, b, c. Giải: ABC vuông tại A, nên 2R = a sinB = a b = R2 b sinC = a c = R2 c . 2. Định lý sin trong tam giác: Với mọi ABC, R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác, ta có: Asin a = Bsin b = Csin c = 2R. Chứng minh: Ta chứng minh: Asin a = 2R Giả sử (O ; R) là đờng tròn ngoại tiếp ABC. Kẻ đờng kính CA của (O ; R). Xét tam giác vuông ABC, ta có: GV: Trong tam giác bất kỳ, cosin của các góc và các cạnh đợc liên hệ với nhau bởi Định lý cosin. Vậy thì sin của các góc trong tam giác đợc liên hệ với các cạnh nh thế nào ? Trớc hết ta xét bài toán sau HS: R = 2 1 BC 2R = BC = a SinB = a b = R2 b 2R = Bsin b SinC = a c = R2 c 2R = Csin c GV: Vậy Asin a có bằng 2R không ? HS: sinA = 1, nên Asin a = 2R Vậy ABC vuông, ta có: Asin a = Bsin b = Csin c = 2R. GV: Công thức này có đúng cho mọi tam giác hay không ? Câu trả lời nằm trong định lý sau GV: Ta sẽ chứng minh: Asin a = 2R Bsin b = 2R; Csin c = 2R. Nếu ABC vuông thì theo ví dụ trên là đúng, vậy bây giờ ta xét tam giác không vuông. GV: Hớng dẫn chứng minh: Asin a = 2R sinA = R2 a . Tơng tự bài toán 2 ta tạo ra một tam giác vuông có một cạnh góc vuông là a, cạnh huyền là 2R xuất phát từ C hoặc B kẻ đ- ờng kính của (O ; R), giả sử kẻ đờng kính CA. GV: Góc A và A có mối liên hệ thế nào ? HS: =+ = 0 180'AA 'AA . GV: sinA và sinA có mối liên hệ nh thế H 3 A C B b c a A A B C A O 3 3 SinA = R2 a Mặt khác A và A là hai góc bằng nhau hoặc bù nhau, nên sinA = R2 a hay Asin a = 2R. Các công thức còn lại chứng minh t- ơng tự: Bsin b = 2R; Csin c = 2R. Suy ra: Asin a = Bsin b = Csin c = 2R. Ví dụ: Cho ABC có A = 120 0 , a = 4 3 cm, b = 4 cm. Tính góc B và bán kính R. Giải: áp dụng định lý sin trong ABC, có: Asin a = 2R 2R = 3 34 .2 R = 4 (cm). Bsin b = 2R sinB = R2 b = 4.2 4 = 2 1 B = 30 0 (Vì ABC có A = 120 0 ). nào ? HS: sinA = sinA. GV: Trong tam giác vuông ABC, sinA = ? HS: sinA = 'CA BC = R2 a . GV: Từ đó sinA = R2 a . GV: Từ định lý sin trong tam giác ta thấy: Nếu biết hai cạnh và một trong hai góc đối thì sẽ tính đợc cạnh còn lại và các góc còn lại. Nếu biết hai góc và một trong hai cạnh đối thì tính đợc các cạnh còn lại và các góc còn lại. GV: Nếu biết 2 trong 3 yếu tố: cạnh, góc đối diện và bán kính đờng tròn ngoại tiếp R thì có thể tính đợc các yếu tố còn lại. HS: Củng cố: GV: ở bài này các em cần nắm chắc định lý cosin và định lý sin trong tam giác, biết đợc cách chứng minh định lý và vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán có liên quan. BTVN: Chứng minh các công thức còn lại của các định lý sin và cosin. Làm bài tập trong SGK. Bài tập dự trữ: Cho ABC có b + c = 2a, chứng minh: 2sinA = sinB + sinC. H 4 . đã đợc học về hệ thức lợng trong tam giác vuông. Bài học hôm nay chúng ta nghiên cứu trờng hợp tổng quát hơn: Hệ thức lợng trong tam giác bất kỳ. GV: Để. Các hệ thức lợng trong tam giác và giải tam giác Bài toán 1: Cho ABC có AB = 3 cm, AC = 8 cm,  = 60 0 . Tính BC. Giải: GV: ở lớp 8 các em đã đợc học về hệ