50 dạng toán phát triển đề minh họa THPT QG 2020 môn toán lần 2

Với mỗi cách chọn đó, chỉ códuy nhất một cách sắp xếp các chữ số theo thứ tự tăng dần.. Tính số hạng thứ năm của dãy số Câu 39... Tính tổng các lập phương của bốn số đó... Ông Nam đã trồ

NĂM 2020

Có 2 cách chọn kiểu mặt đồng hồ, có 3 cách chọn kiểu dây đồng hồ.

Số cách chọn một chiếc đồng hồ có một mặt và một dây theo qui tắc nhân là 2 · 3 = 6

• b được chọn từ tập A \ {a} (có 3 phần tử) nên có 3 cách chọn.

• c được chọn từ tập A \ {a, b} (có 2 phần tử) nên có 2 cách chọn

• d được chọn từ tập A \ {a, b, c} (có 1 phần tử) nên có 1 cách chọn

Câu 14 Một lớp có 30học sinh gồm 20 nam, 10nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3họcsinh sao cho nhóm đó có ít nhất 01 học sinh là nữ?

Trong 4 nữ sinh còn có thể hoán đổi vị trí.

Vậy có: 7! · 4! = 120960 cách xếp thỏa mãn yêu cầu

Loại 1: Hai người đàn ông bắt tay nhau

Một ông bắt tay với 12 ông kia ⇒ có 12 · 13 cái bắt tay

Những mỗi cách bắt tay như vậy được tính 2 lần Vậy ở loại 1 có 1

2 · 12 · 13 cái bắt tay

Loại 2: Một người đàn ông bắt tay một người phụ nữ

Một người đàn ông bắt tay 12 người phụ nữ, trừ vợ ⇒ có 12 · 13 cái bắt tay

Chọn phương án C

Câu 19 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A 4500 B 2296 C 50000 D 2520

Lời giải

Chọn d trong các số 2; 4; 6; 8 có 4 cách.

Chọn a (a 6= 0, a 6= d) có 8 cách

Chọn b, c trong 8 số còn lại có A28 cách

Trong trường hợp này có 4 · 8 · A28 = 1792 số

Vậy có 504 + 1792 = 2296 số tự nhiên chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau

Chọn phương án B

Câu 20 Giải bóng đá AFF-CUP 2018 có tất cả 10 đội bóng tham gia, chia đều làm hai bảng A

và B Ở vòng đấu bảng, mỗi đội bóng thi đấu với mỗi đội bóng cùng bảng 1 trận Hỏi tại vòngbảng các đội thi đấu tổng cộng bao nhiêu trận?

Đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kì sẽ là cạnh hoặc đường chéo của đa giác lồi.

Số đường chéo của đa giác lồi 20 cạnh là C220− 20 = 170.

Chọn 5 học sinh bất kì trong 10 học sinh có C510 cách chọn

Số cách trao 5 phần quà khác nhau cho 5 học sinh đã chọn là P 5 = 5!.

Câu 26 Có 12 học sinh giỏi gồm 3học sinh khối 12, 4 học sinh khối11 và 5 học sinh khối 10 Hỏi

có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?

Số cách chọn ra 6 học sinh không phân biệt khối lớp: C612 = 924

Số cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là 924 − (84 + 28 + 7) = 805

Chọn phương án B

980 + 840 + 560 = 2380.

Chọn phương án A

Câu 28 Đa giác đều nào có 20 đường chéo?

A Ngũ giác đều B Lục giác đều C Bát giác đều D Thập giác đều

Chọn 4 trong 9 cháu chia táo có: C49 (cách)

Chọn 3 trong 5 cháu còn lại chia cam có: C53 (cách)

Chọn 2 trong 2 cháu còn lại chia chuối có: C22 (cách)

Vậy số cách chia khác nhau là C49· C 3

5 · C 2

2 = 1260.Chọn phương án B

Câu 30 Long và Hưng cùng 8 bạn rủ nhau đi xem bóng đá Số cách xếp nhóm bạn trên vào 10chỗ ngồi sắp hàng ngang sao cho Long và Hưng ngồi cạnh nhau là

Ta ghép bộ ba chữ số 1; 5; 4 thành hai bộ số đặc biệt là (1; 5; 4) và (4; 5; 1) có hai cách.

Bài toán trở thành: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho các chữ số khác nhau từngđôi một,trong đó có 1 số đặc biệt?

A 36360 B 63360 C 66033 D 33066

Lời giải

Đầu tiên ta xếp 5 học sinh lớp 12A thành một hàng có 5! = 120 cách

Giữa 5 học sinh này có 4 khoảng trống và 2 khoảng trống ở hai đầu mút, ta đánh số vị trí cáckhoảng trống từ trái sang phải là 1; 2; 3; 4; 5; 6 như hình dưới

1 − A − 2 − A − 3 − A − 4 − A − 5 − A − 6

Thứ tự tăng dần: a < b < c < d < e Lúc này a 6= 0nên a, b, c, d, e ∈ {1, 2, 9}.

Số cách chọn ra 5 chữ số khác nhau từ {1, 2, 9} là C59 cách Với mỗi cách chọn đó, chỉ códuy nhất một cách sắp xếp các chữ số theo thứ tự tăng dần Do đó, có C59 số thỏa yêu cầu.Thứ tự giảm dần: a > b > c > d > e Lập luận tương tự, nhưng chú ý rằng lúc này các chữ số

a, b, c, d, e ∈ {0, 1, 2, 9} do đó có C510 số thỏa yêu cầu

Vậy có tất cả C59+ C510= 378 số thỏa yêu cầu

Chọn phương án C

Câu 37 Vòng bảng giải bóng đá cúp C1 Châu Âu (Champions League) 2017 – 2018 do Liên đoànbóng đá Châu Âu (UEFA) tổ chức gồm 32 đội được chia thành 8 bảng đấu (mỗi bảng gồm 4đội).Mỗi đội phải đá vòng tròn 2 lượt (lượt đi và lượt về) Trung bình mỗi trận đấu vòng bảng, UEFA

có tổng doanh thu 18 triệu Euro Hỏi doanh thu từ vòng bảng cúp C1 của UEFA là bao nhiêutiền? (Tính theo đơn vị: tỷ Euro)

A 1,404 B 1,152 C 2,808 D 1,728

Lời giải

Số đội bóng có trong mỗi bảng đấu (32 đội chia ra thành 8 bảng): 4 đội

Số trận đấu của mỗi bảng đấu là A24 = 12 trận (do mỗi cặp - 2 đội đấu với nhau 2 trận)

Vậy số trận đấu của bòng bảng là 8 × 12 = 96 trận

Doanh thu từ vòng bảng của giải đấu là 96 × 18 (triệu Euro) = 1,728 (tỷ Euro)

x − 1 ≥ 1, y − 1 ≥ 1, z − 1 ≥ 1, t − 1 ≥ 1

.

Khi đó số nghiệm nguyên của phương trình là C315.

Chọn phương án D

Câu 5 Dãy số nào trong các dãy số sau là cấp số nhân?

1 =

1 4 1 2

6=

1 16 1 4

nên dãy số ở phương án D không là cấp số nhân

Câu 13 Cho cấp số nhân(un)có số hạng đầu tiênu1= 1

2, công bộiq = 2 Giá trị củau25bằng

A 226 B 223 C 224 D 225

Lời giải

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta có u25 = u1· q 24 = 1

2 · 2 24 = 223.Chọn phương án B

Câu 14 Cho cấp số nhân (un) có u1= 3 và q = −2 Tính tổng 10số hạng đầu liên tiếp của cấp sốnhân?

Câu 15 Cho cấp số cộng (un) biết u1 = 3, u2= −1 Tìm u3

Câu 17 Cho cấp số cộng(u n )có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; Tìm số hạng tổng quát

Câu 20 Cho cấp số nhân (un), với u1= −9, u4 = 1

3 Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

3Chọn phương án D

B MỨC ĐỘ 2

Câu 21 Cho cấp số cộng(un)vớiu1 = 2,d = 9 Khi đó số2018là số hạng thứ mấy trong dãy?

A 223 B 225 C 224 D 226

Câu 23 Cho dãy số hữu hạn (un) được xác định như sau: u1 = −2; u2 = 0; u3 = 2; u4 = 4; u5 = 6.Biết u 1 là số hạng đầu và u 5 là số hạng cuối Số hạng tổng quát của dãy số trên là

Câu 25 Cho cấp số cộng (un) biết un = 3 − 5n Tìm công sai d của cấp số cộng (un)

A d = 3 B d = −5 C d = −3 D d = 5

Lời giải

Theo giả thiết suy ra u n+1 = 3 − 5(n + 1) = −2 − 5n ⇒ u n+1 − u n = −5, ∀n ≥ 1.

Suy ra (un) là cấp số cộng, công sai d = −5.

u1 = 3

d = 2 .Chọn phương án D

Câu 28 Cho cấp số cộng (u n ), biết u 1 = 5, u 2 = 9 Tính tổng 10 số hạng đầu tiên

Câu 30 (HK1, Phan Bội Châu Đắk Lắk, 2018)

Cho cấp số nhân (un), biết

Câu 31 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u n ), biết

®

u1 = 36

d = −13.Chọn phương án C

Câu 32 Cho cấp số nhân (un), biết u1= 2, q = 1

3 Tìm u10?

Câu 33 Tính tổng sau S = 1 + 5 + 9 + · · · + 397 ta được.

là một CSN có d = 1

3 ⇒ un = u1qn−1 = 2

1 3

n−1

.Vậy u100= 2 · 1

Câu 37 Người ta trồng 1275 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ

2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây, . hàng thứ k có k cây (k ≥ 1) Hỏi có bao nhiêu hàng?

Câu 38 Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = √

n + 11 Tính số hạng thứ năm của dãy số

Câu 39 Cho cấp số cộng có u1 = 1 và công sai d = −4 Giá trị của số hạng thứ 17 bằng baonhiêu?

®

u1− 2d = 7 2u1+ 10d = −14 ⇔

Trường hợp 1: Số cạnh của đa giác là 3.

Gọi độ dài các cạnh là a, b, c với a ≥ b ≥ c Theo đề suy ra a = 44, b = 41, c = 38 Suy ra chu vitam giác là a + b + c = 123 (không thỏa mãn)

Trường hợp 2: Số cạnh của đa giác là 4

Gọi độ dài các cạnh là a, b, c, d với a ≥ b ≥ c ≥ d Theo đề suy ra a = 44, b = 41, c = 38, d = 35.Suy ra chu vi tứ giác là a + b + c + d = 158 (thỏa mãn)

Thay vào phương trình (1) ta được u 1 = 2

2 + 2

99 − 1 = 2 99 − 1

2.Chọn phương án D

Câu 49 Cho (un) là cấp số cộng với công sai d Biết u5= 16, u7 = 22 Tính u1.

Câu 52 Bốn số lập thành một cấp số cộng Tổng của chúng bằng 22, tổng các bình phương củachúng bằng 166 Tính tổng các lập phương của bốn số đó

Câu 56 Ông Nam đã trồng cây ca cao trên mảnh đất của mình có dạng hình tam giác, ông trồng

ở hàng đầu tiên 3 cây ca cao, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây ca cao phải trồng ở mỗi hàng nhiềuhơn 5 cây so với số cây ở hàng trước đó và ở hàng cuối cùng ông đã trồng2018 cây ca cao Số cây

ca cao mà ông Nam đã trồng trên mảnh đất của mình là

A 408.242 cây B 407.231 cây C 407.232 cây D 408.422 cây

Lời giải

Số cây ông Nam trồng trên mỗi hàng từ hàng 1đến hàng cuối cùng tương ứng tạo thành một cấp

số cộng với u1 = 3 và công sai d = 5

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có

Câu 59 Số tự nhiên n thỏa mãn đẳng thức 1 + 4 + 7 + · · · + (3n + 1) = 4187 là

Câu 60 Cho ba số a, b, c là ba số liên tiếp của một cấp số cộng có công sai là 2. Nếu tăng số thứnhất thêm 1,tăng số thứ hai thêm 1và tăng số thứ ba thêm 3thì được ba số mới là ba số liên tiếpcủa một cấp số nhân Tính (a + b + c)

Do a, b, c là ba số liên tiếp của một cấp số cộng có công sai là 2 nên b = a + 2, c = a + 4.

a + 1, a + 3, a + 7 là ba số liên tiếp của một cấp số nhân ⇔ (a + 1)(a + 7) = (a + 3) 2 ⇔ a = 1

Với a = 1, ta có

®

b = 3

c = 5.Suy ra a + b + c = 9

Theo giả thiết suy ra un+1− 1 = 3(un− 1) ⇒ vn+1 = 3vn, ∀n ≥ 1.

Suy ra (vn) là cấp số nhân có cộng bội q = 3 và số hạng đầu v1= u1− 1 = 3 − 1 = 2.

3y − 5

3y

(6y − 3y) = (y − 1)2

u = 1

u = 2m + 3 Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì

®2m + 3 > 0 2m + 3 6= 1

ta có bốn nghiêm của phương trình đã cho là ±1, ±√2m + 3 Giả sử 0 < a < b, khi đó bốn số −b,

−a, a, b lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

⇒ 2m + 3 = 9

⇒ m = 3 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tổng các giá trị của m là −13

9 + 3 =

14

9 Chọn phương án A

A 188π B 263π C 363π D 365π.

Lời giải

Điều kiện của phương trình là cos x 6= 0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với

(2 cos2x − 1) · cos2x − (1 − cos2x) = cos2x − cos3x − 1

⇔ 2 cos4x + cos3x − cos2x = 0

⇔ 2 cos2x + cos x − 1 = 0 ⇔



cos x = −1 cos x = 1

π

3 +

61π 3

+112

5π

3 +

65π 3

Lời giải.

Số cách các xếp học sinh vào ghế là (2n + 3)!.

Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên a, b, c lập thành một cấp số cộng thìa + c = 2b nên a + c là một

số chẵn Như vậy a, c phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Bước 2: xếp chỗ cho 2n học sinh còn lại Bước này có (2n)! cách

Như vậy số cách xếp thỏa yêu cầu này là A2n+1+ A2n+2
.(2n)!

Chọn phương án D

Câu 70 Trong một lớp có (2n + 3) học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác Khi xếptùy ý các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến (2n + 3), mỗi học sinh ngồi mộtghế thì xác suất số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là 17

1155 Số họcsinh của lớp là

Muốn có một cách xếp học sinh sao cho số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp

số cộng ta tiến hành như sau

Bước 1: Chọn 2 ghế có số thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp Bìnhvào vị trí ghế chính giữa An và Chi Bước này có

A2n+1+ A2n+2 cách.

Bước 2: Xếp chỗ cho 2n học sinh còn lại, bước này có (2n)! cách xếp.

Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là (A2n+1+ A2n+2) · (2n)!.

Theo bài ra ta có phương trình

A2n+1+ A2n+2
· (2n)!

(2n + 3)! =

17 1155

⇔ n(n + 1) + (n + 1)(n + 2)(2n + 1)(2n + 2)(2n + 3) =

17 1155

với mọi n ≥ 1 Giá trị nhỏ nhất

2 + 2017d

= 4033

4035.Chọn phương án D

Câu 74 Cho dãy số (un) xác định bởi

®

u1 = 1

un+1 = un+ n3, ∀n ∈N∗ . Tìm số nguyên dương n nhỏnhất sao cho √un− 1 ≥ 2039190

2

4 Thay vào (1) ta được: n(n − 1)

2 ≥ 2039190. Giải bất phương trình ta thu được nghiệm n ≥ 2020.Chọn phương án B

Câu 75 Cho cấp số cộng (u n ) có công sai d = −3 và u22+ u23+ u24 đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng

S100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

Câu 76 Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên Mỗi vận động viên phải chơi haiván với mỗi động viên còn lại Cho biết có 2 vận động viên nữ và số ván các vận động viên chơi

Giả sử số nam vận động viên là n, n ∈N∗.

Trước hết, ta tính số ván cờ mà các vận động viên (VĐV) nam chơi với nhau

VĐV nam thứ nhất chơi cờ với n − 1 vận động viên nam khác, tạo ra 2(n − 1) ván

VĐV nam thứ hai chơi cờ với n − 2 vận động viên nam khác (không tính với VĐV nam thứnhất vì đã tính ở trên), tạo ra 2(n − 2) ván

.

VĐV nam thứ n − 1 chơi cờ với 1 vận động viên khác, tạo ra 2 ván

Suy ra tổng số ván cờ mà các VĐV nam đã chơi với nhau là

S1 = 2((n − 1) + (n − 2) + + 1) = 2

Ån(n + 1)

2 − n

ã

= n2− n.

Tiếp theo, ta tính số ván cờ mà các VĐV nam chơi với các VĐV nữ: mỗi VĐV nữ chơi2nván

cờ với các VĐV nam, do đó tổng số ván cờ mà 2 VĐV nữ chơi với n VĐV nam là S2 = 4n.Cuối cùng, hai VĐV nữ chơi với nhau tổng cộng S3 = 2 ván cờ

Theo giả thiết, ta có S1 = S2+ 84 ⇒ n = 12

Vậy tổng số ván cờ mà các VĐV đã chơi với nhau là S1+ S2+ S3= 182

ã20å

1 − 1q

.

Câu 78 Cho dãy số (an) xác định bởi a1= 5, an+1 = qan+ 3, ∀n ≥ 1, trong đó q là hằng số, q 6= 0,

q 6= 1 Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết dưới dạng an = αqn−1+ β1 − q

Câu 80 Cho tập X = {6; 7; 8; 9} Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có 2018 chữ số lập từ các chữ

số của tập X Chọn ngẫu nhiên một số trong tập E, tính xác suất để chọn được số chia hết cho

Lời giải

Gọi An là tập hợp các số tự nhiên có n chữ số lập từ các chữ số của X và là số chia hết cho 3; Bn

là tập hợp các số tự nhiên có n chữ số lập từ các chữ số của X và là số không chia hết cho 3

Với mỗi số thuộc An, có hai cách thêm vào cuối một chữ số 6 hoặc chữ số 9 để được số thuộc An+1

và có hai cách để thêm một chữ số 7 hoặc chữ số 8 vào cuối để được số thuộc B n+1

Với mỗi số thuộc Bn có một cách thêm vào cuối một chữ số7 hoặc chữ số 8để được số thuộc An+1

và có ba cách thêm một chữ số 6, 9 hoặc 7 hoặc 8 vào cuối để được số thuộc Bn+1

Như vậy

®n(An+1) = 2n(An) + n(Bn) n(Bn+1) = 2n(An) + 3n(Bn) ⇔

®3n(An+1) − n(Bn+1) = 4n(An) n(An+1) = 2n(An) + n(Bn)

⇒

®n(Bn) = 3n(An) − 4n(An−1) n(An+1) = 2n(An) + n(Bn) ⇒ n(An+1) = 5n(An) − 4n(An−1), (∀n ∈N, n ≥ 2) Suy ra n(An+2) = 5n(An+1) − 4n(An), (∀n ∈N∗)

Hay n(An+2) − n(An+1) = 4 [n(An+1) − n(An)] , (∀n ∈N∗)

Ta có n(A1) = 2, n(B1) = 2, n(A2) = 6, n(B2) = 10, n(A3) = 22

Xét dãy số (un) với un = n(An+1) − n(An), ∀n ∈N∗ Ta có

®

u1= 4

u n+1 = 4u n , ∀n ∈N∗.

Dễ thấy (un) là cấp số nhân với công bội q = 4 nên un = 4n, (∀n ∈N∗)

Ta được n(An+1) − n(An) = 4n ⇔ n(An+1) −4

Câu 2 Tìm nghiệm của phương trình 7 + 4 √

Câu 3 Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình 7x2−5x+9 = 343 Tính x 1 + x 2

™.

Câu 11 Tìm nghiệm của phương trình log3(x − 2) = 2.

o B S = {2} C S =

n−1

2 ;

1 2

o D S =

n−1

2 ; 2

o

2

⇔ x = −1

2 Chọn phương án A

Câu 17 Tìm tập xác định của hàm số y = −x2+ 3x + 4

1 3

=25

x = −2.

Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng −1

2 − 2 = −5

2.

Câu 25 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log3(7 − 3x) = 2 − x

Lời giải

Ta có log3(7 − 3x) = 2 − x ⇔ 7 − 3x= 32−x ⇔ 7 − 3 x = 9

3 x ⇔ (3 x )2− 7 · 3 x + 9 = 0 (∗)Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt thỏa 3x1 + 3x2 = 7; 3x1 · 3 x 2 = 9,

log2x · log4x log8x · log16x = 81

24 ⇔ log2x · log22 x · log23 x · log24 x = 81

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0.

Để logarit có nghĩa thì x2− 4x > 0 ⇔ x < 0 hoặc x > 4

Khi đó log2(x2 − 4x) = 2 ⇔ log2(x2− 4x) = log24 ⇔ x2− 4x − 4 = 0 ⇔ x = 2 + 2√2 > 4 hoặc x =

Chú ý: logax2 = loga|x|

Chọn phương án D

Câu 37 Phương trình 31−x = 2 +

1 9

x

có bao nhiêu nghiệm âm?

= 1

1 3

Câu 39 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ln x2< 0

⇔ x > 0

Phương trình đã cho tương đương với

log3 x2+ 4x
− log3(2x + 3) = 0 ⇔ log3x

2 + 4x 2x + 3 = 0

⇔ x

2 + 4x 2x + 3 = 1

2 − (m − 1) t − 2019 = 0.Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1x2 = 4 khi và chỉ khi

Câu 42 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình(m + 3) 9x+ (2m − 1) 3x+ m + 1 = 0

có hai nghiệm trái dấu