Phát triển đề minh họa THPT quốc gia 2020 môn toán

Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Sáng tác LATEX Toanmath.com Phát triển đề minh họa THPT Quốc Gia 2020 Thời gian làm 90 phút không kể thời gian phát đề Thành viên tham gia Nguyễn Thế Bình, Tơ Huỳnh Cường, Lê Hồng An, Nguyễn Minh Tuấn Nội dung Đề thi gồm 50 câu với cấu trúc đề khó đề minh họa 25%, hầu hết phát triển sáng tác thành viên nhóm toanmath, câu hỏi hướng tới tính chất biến đổi không đề nặng tính tốn phức tạp đòi hỏi nhanh nhạy để giải điểm mấu chốt ath co m tốn Mọi ý kiến đóng góp vui lòng gửi fanpage, trân trọng cảm ơn Đề Câu Tìm số hạng tổng quát khai triển (1 − 3x)2020 ? k A C2020 (−1)2020−k 3k xk k B C2020 (−1)k x2020−k 3k k C −C2020 xk 3k k D C2020 xk 3k Câu Cho cấp số nhân (un ) với u1 = cơng bội q = 3, tìm giá trị u5 ? A 162 B 54 C 18 D 486 Câu Thể tích hình trụ có chiều cao h = diện tích đáy S = bao nhiêu? A 12 B C 24 D 16 Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ toa nm y −2 −1 x O Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng đây? A (−∞; −2) B (−2; −1) C (−1; 0) D (−1; 1) Câu Cho khối √ tứ diện có cạnh √ a Thể tích khối √ tứ diện cho bao √nhiêu? a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 12 Câu Nghiệm phương trình log3 (x + 1) + = log3 (4x + 1) là? A x = B x = −3 LATEX by Toanmath.com C x = D x = Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Câu Nếu f (x) dx = f (x) dx = A 11 f (x) dx = B 18 Câu Cho hàm số y = A f (x) dx bao nhiêu? C D 12 x+1 , hàm số có điểm cực trị? x−2 B C D Câu Đồ thị đồ thị hàm số ath co m y x O A y = sin x C y = x2 B y = cos x D y = x4 − 2x2 + Câu 10 Với a số thực dương tùy ý, log√e a2 A ln a B ln a C ln a D ln a Câu 11 Cho số phức z = + 4i Kết phép toán z · z¯ A B + 16i A ln x + C nm Câu 12 Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = B ln(−|x|) + C C 25 D với x < x C ln(−x) + C D Câu 13 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 1; 2) Gọi A hình chiếu vng góc A lên trục Ox, A hình chiếu A lên mặt phẳng Oxy, tọa độ điểm A A (1; 0; 0) B (0; 0; 0) C (0; 1; 0) d A (2; −3; 3) toa Câu 14 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : D (0; 0; 2) x+3 1−y z+7 = = , vector phương −3 C (−3; 1; −7) B (2; 3; 3) D (−3; −1; 7) Câu 15 Trong không gian Oxyz, đường thẳng d qua điểm A(1; 1; 1) vng góc với mặt phẳng (P ) : 2x + 3z − y + = có phương trình tham số A d : x−1 y−1 z−1 = = −1 C d : x−1 y−1 z−1 = = −1 LATEX by Toanmath.com    x = + 2t    B d : y = + 3t     z = − t    x = + 2t    D d : y = − t     z = + 3t Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Câu 16 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : 3x2 + 3y + 3z − 6x − 12y − 36z − = Tọa độ tâm mặt cầu (S) B (−3; −6; −18) A (3; 6; 18) D (−1; −2; −6) C (1; 2; 6) Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAD vuông S năm ftrong mặt phẳng vng góc với đáy AB = a, SA = 2SD Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60◦ Thể tích hình chóp S.ABCD là? 4a2 5a3 A B C 3a2 D 4a3 −∞ x ath co m Câu 18 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên: − f (x) +∞ f (x) + 0 +∞ − 18 −∞ Khẳng định sau khẳng định A Hàm số đạt cực đại x = C Hàm số đạt cực tiểu x = B Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số có giá trị cực tiểu nm Câu 19 Tập nghiệm bất phương trình log (x − 1) + log3 (12 − 3x) ≥ là? Å ò 13 A 1; B (4; +∞) C (−∞; 1) D (1; 4) Câu 20 Hàm số y = (x3 − 3x)e có điểm cực trị? A B C D Câu 21 Bất phương trình log16 (x − 3x2 ) > log4 (9 + x) có nghiệm nguyên ? B C toa A D Câu 22 Cho hình trụ có diện tích tồn phần 4π có thiết diện cắt mặt phẳng qua trục hình vng √ Tính thể tích khối trụ? √ 4π A B 2π √ 2π C √ 4π D Câu 23 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x − 1)2 (x − 5)(3x + 2) Số điểm cực trị hàm số f (x) bằng? A B C Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = x + sin x là? x2 x2 A + cos x + C B − cos x + 2C C x2 − cos x + C D D x2 + cos x + 3C Câu 25 Anh Bình có niềm đam mê coi hài từ nhỏ, ngày anh gửi 10 triệu vào ngân hàng với lãi suất 0.8% tháng Từ đầu tháng anh Bình lại gửi thêm 10 triệu Cuối quý thứ 12 LATEX by Toanmath.com Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 anh Bình muốn tổ chức liveshow hài kịch cho toàn thành viên toanmath, anh muốn rút tiền từ tài khoản Hỏi anh Bình có tiền ngân hàng ? A 419 triệu B 256 triệu C 500 triệu D tỷ √ Câu 26 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = a, AD = 2a, AC = 6a Thể tích khối hộp ABCD.A B C D bằng? A 3a3 B 2a2 C 3a4 D 2a3 Câu 27 Gọi a tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang hàm số y = 5x2 + 4x − , lúc x2 + x − 4x − có tọa độ (b, a) Xác định giá trị b? mx − B C −1 D A −2 ath co m điểm đối xứng đồ thị y = Câu 28 Cho hàm số y = ax3 − bx − cx2 + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? y x O nm A a > 0, b < 0, c > 0, d > B a > 0, b < 0, c < 0, d > C a > 0, b > 0, c > 0, d > D a > 0, b > 0, c < 0, d > toa Câu 29 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) liên tục R Đồ thị f (x) cho hình vẽ y S2 −2 O x S1 Biết diện tích hình S1 , S2 3, f (1) = Tính giá trị S = B S = 2e − C S = 4e − ex f (x) dx? e f (x) dx + A S = e − x D S = 5e − Câu 30 Cho số phức z1 = + i, z2 = − 2i, mặt phẳng tọa độ Descartes, điểm biểu diễn số phức w = z1 z2 (z1 + z2 ) điểm đây? LATEX by Toanmath.com Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 B N (12; −4) A M (12; 4) D Q(−12; −4) C P (−12; 4) Câu 31 Cho số phức z1 = + i z2 = −1 − 2i, tính module số phức w = z1 + z2 ? √ √ √ B |w| = C |w| = D |w| = A |w| = Câu 32 Cho tứ diện A.BCD cạnh a, khoảng cách đường thẳng AB CD là? a a a A √ B C D a Câu 33 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (C1 ) : x2 + y + z + 4x − 2y + 8z + = (C2 ) : (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = Mặt phẳng chứa giao tuyến (C1 ) (C2 ) có phương trình ath co m là? A 2y + 4z + = B 2x + 4y + = C 2x + 4z + = D Không xác định Câu 34 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 0), B(2; 0; 2), C(2; 1; 3), D(1; 1; 3) Đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABD) có phương trình       x = −2 − 4t x = + 4t x = −2 + 4t       A B C y = −2 − 3t y = −1 + 3t y = −4 + 3t          z =2−t z =3−t z =2+t D   x = + 2t   y =3−t    z = + 3t nm x−1 y−2 z Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : = = Å ã 3 mặt phẳng (P ) : x + y − z + = Tính khoảng cách từ điểm A − ; 0; − đến đường thằng (d ) 2 (d ) hình chiếu vng góc (d) mặt phẳng (P ) √ C A B √ D Khác 122 Câu 36 Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn bằng? 14 13 A B 27 27 C D 365 729 Câu 37 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; −2); B(−1; 3; 2); C(−6; 3; 6) Gọi điểm D1 toa điểm mà tứ giác ABCD1 hình thang cân với đáy AB CD1 D2 điểm mà tứ giác ABCD2 hình bình hành với ba điểm C, D1 , D2 thẳng hàng Khi tính tích vô hướng # »# » OD1 OD2 bằng? A −27 B 27 Câu 38 Cho f (x) g (x) thỏa mãn 5 g (x) dx = 1; f (x + 1)2 g (x) dx = Tính P = 10 − 12 ln 10 C − ln + 12 ln Å C −3 D ã Å ã x−1 x−2 x−3 = g x + + x + Biết x+1 (x + 2) f (x) dx + 2 f (x) dx 7 10 + 12 ln 10 D − ln − 12 ln A + ln B + ln Câu 39 Khi cắt khối nón có chiều cao 4m đường kính đáy 6m mặt phẳng song song với đường sinh hình nón, ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trị sau đây? LATEX by Toanmath.com Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 A 11 B 12 C 13 D 24 Câu 40 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài 1? B m = C m = D m = A m = Câu 41 Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện   log x2 y + 2log x + = 3  log x2 y + 4log y + = m m , với phân số tối giản m, n > Tính S = m + n? n n A 135 B 136 C 137 D 138 ä Ä √ Câu 42 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x 2020 + 2021 − x2 ath co m Biết x3 + y + = tập xác định Tính log2 M − m (làm tròn đến số hàng chục)? A 16 B 27 C 26 D 28 Câu 43 Cho hàm số y = 4x4 − 4x3 + m , có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện max y = 2020? [2;4] A B C √ D π a b b − với a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn c d d tối giản đồng thời c < Tính giá trị P = a2 − b2 + c2 − d? Câu 44 Biết I = A P = 10 x ln x3 + dx = B P = 11 C P = D P = nm Câu 45 Cho hàm đa thức bậc ba f (x) có đồ thị hình vẽ Biết f (x) = có nghiệm Tìm (x − 1)2 (x2 − 3) số tiệm cận đứng hàm số g(x) = f (x) − 3f (x) y = f (x) toa y O x −1 A B C D Câu 46 Cho hàm số f (x) có đồ thị hình vẽ, số nghiệm phương trình f (tan x) = khoảng xác định (−2π; 4π) LATEX by Toanmath.com Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 y x A B ath co m O C D ã Å f π 10 (x) − 10−f (x) π Câu 47 Với − < x < , ta đặt f (x) = log tan x + g (x) = Tìm tất 2 cos x giá trị tham số m để bất phương trình g g (x + α) + g (x − α) g (m) nghiệm với x, với α số? A m ≤ tan2 α B m ≥ tan2 α C m ≤ tan2 α D m ≥ tan2 α Câu 48 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện cos xf (x) + 4f (|x|) = (cos x + 1) x2 + sin2 x cos x 3π Biết tích phân f (x) + f (x) − 3π aπ x f (x) + f (x) + f (x) dx = Å 9π − √ b c d ã2 , với a, b, c, d A 22 nm số nguyên dương, c, d số nguyên tố Tính giá trị biểu thức S = a + b + c + d? B 23 C 24 D 25 toa Câu 49 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A với AB = 1; tam giác SCA π π vuông C, góc SBA = góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) Thể tích khối chóp 3 S.ABC gần với giá trị sau nhất? 1 1 A V = B V = C V = D V = 12 Câu 50 Cho hàm số f (x) = x3 − 4x2 + m, có giá trị nguyên tham số m ∈ [−5; 5] để f (f (x)) − 2f (x) phương trình = có nghiệm phân biệt? f (x) − 2f (x) A B C D LATEX by Toanmath.com Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Đáp án A A A C A D A A B 10 A 11 C 12 C 13 A 14 B 15 D 16 C 17 B 18 D 19 A 20 A 21 B 22 A 23 C 24 B 25 A 26 D 27 D 28 D 29 D 30 B 31 A 32 A 33 C 34 A 35 B 36 A 37 A 38 C 39 C 40 C 41 B 42 A 43 B 44 A 45 D 46 B 47 A 48 B 49 A 50 B ath co m Lời giải số câu khó Trong đề có số câu có chút lỗi đáp án kiện, file có chỉnh sửa số câu Câu 29 Lời giải Trước tiên biến đối giải thiết, ta có 1 x e f (x) dx + x [ex f (x)] dx = ex f (x)|10 = e.f (1) − 1.f (0) e f (x) dx = (1) Diện tích hình phẳng S1 , S2 3,2 nên ta suy f (x) dx = f (x)|10 = f (1) − f (0) ⇒ f (0) = − = nm Thay vào (1) ta e.f (1) − f (0) = 5e − 1 ex f (x) dx + Vậy ex f (x) dx = 5e − Lời giải toa Câu 35 Gọi mặt phẳng chứa d vng góc với (P ) (Q) Ta có (d) :   Vector phương #» u d (3; 2; 1)  Điểm qua B(1; 2; 0) Mặt phẳng (P ) có vector pháp tuyến #» n P (1; 1; −2), suy mặt phẳng (Q) qua B(1; 2; 0) có vector pháp tuyến #» n = [ #» u d , #» n P ] = (−5; 4; 1) Như phương trình (Q) : −5(x − 1) + 4(y − 2) + z = ⇔ −5x + + 4y − + z = ⇔ −5x + 4y + z − = Tìm điểm thuộc d , cách cho y = Ta có hệ phương trình     x=−    Å ã −5x + z − =  1 ⇒ C − ; 0; ∈ (d ) ⇔ y=0   2 x − z + =    z = LATEX by Toanmath.com Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Å ã 1 Đường thẳng d qua C − ; 0; có vector phương 2 #» u d = [ #» n P , #» n Q ] = (−5; −4; −9) Bài toán giải Câu 37 Lời giải ath co m    x = −5t −    Suy phương trình tham số d d : y = −4t     z = − 9t ã Å 1 # » ∈ d ⇒ AC(1; 0; 2) Vector phương d : #» u d (−5; −4; −9) Vậy Ta có C − ; 0; 2 ó ỵ# » » AC, #» ud 82 + (−1)2 + (−4)2 » d(A; d ) = =√ = #» |ud | 122 (−5)2 + (−4)2 + (−9)2 Phương trình đường thẳng d qua C(−6; 3; 6) song song với đường thẳng AB d: y−3 z−6 x+6 = = −2 Vì C, D1 , D2 thẳng hàng nên D1 , D2 thuộc d, nên ta gọi D1 (−6 − 25; + t; + 2t) Vì tứ giác ABCD1 hình thang cân nên ta có  nm t = −2 # » # » |AD1 | = |BC| ⇔ t2 + 8t + 12 = ⇔  t = −6 • Với t = −2 ⇒ D(−2; 1; 2) tứ giác hình bình hành ⇒ D2 (−2; 1; 2) • Với t = −6 ⇒ D(6; −3; −6) thỏa mãn hình thang cân ABCD1 toa Suy D1 (6; −3; −6) Như ta có # » # » OD1 · OD2 = (−2) · + · (−3) + (2) · (−6) = −12 + (−3) + (−12) = −27 Bài toán giải Câu 38 Lời giải Lấy tích phân cận từ tới ta ã Å x−1 2dx = f x + (x − 1)2 4 ã x−2 4dx + g x + (x + 2)2 Å x−3 dx x+3 Từ suy f (x) dx = LATEX by Toanmath.com g (x) dx + x−3 dx = + x+3 x−3 dx x+3 (1) Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Tiếp tục lấy tích phân từ tới ta ã Å x−1 2dx f = x + (x − 1)2 Å g ã x−2 4dx + x + (x + 2)2 x−3 dx x+3 Từ suy f (x) dx = 7 g (x) dx + x−3 dx = + x+3 x−3 dx x+3 (2) Từ (1) (2) ta P =1+ Ç x−3 dx + 2 + x+3 x−3 dx x+3 å ath co m = + (x − ln |x + 3|)|43 + (x − ln |x + 3|)|76 = − ln 10 − 12 ln Bài toán giải Câu 39 nm Lời giải Xét dây cung chứa đoạn KH hình vẽ, suy tồn đường kính AB ⊥ KH, tam SA, E ∈ SB, suy parabol nhận KE làm trục hình vẽ thiết diện toa giác SAB, KE thỏa mãn yêu cầu toán ( SA) Đặt BK = x (0 < x < 6) Trong tam giác ABH có HK = BK · AK = x(b − x) Trong tam giác SAB có KE BK BK x = ⇔ KE = · SA ⇒ KE = · SA BA BA Thiết diện parabol có diện tích S = KH · KE, suy S2 = 16 16 25x2 100 10 KH · KE = x(6 − x) = (6x3 − x4 ) ⇒ S = 9 36 81 6x3 − x4 Đặt f (x) = 6x3 − x4 với < x <  Ta có f (x) = 18x2 − 4x3 , f (x) = ⇔  LATEX by Toanmath.com x=0 x= 10 Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 x + f (x) 2187 ≈ 13m2 16 ath co m Lời giải … − 2187 16 f (x) 10 Như ta suy ⇒ S = Câu 40 Ta có: y = x3 + 3x2 + mx + m Do hệ số a > ⇒ để hàm số nghịch biến đoạn [x1 , x2 ] có độ dài x2 − x1 = 1, từ suy y = 3x2 + 6x + m, hay y có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x2 − x1 = Điều tương đương với ∆ = − 3m > ⇒ m < Ta có x2 − x1 = ⇒ (x2 − x1 )2 = ⇒ x22 − 2x2 x1 + x21 = ⇒ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = ⇒4− m=1⇒m= Bài toán giải Câu 41 Lời giải Điều kiện x, y > 0, x2 y + 2log3 x + > 0, x2 y + 4log3 y + > nm Biến đổi hệ phương trình ta    log x2 y + 2log x + =  x2 y + log x2 + = 3 ⇔  log x2 y + 4log y + =  x2 y + log y + = 16 3 Cộng vế theo vế hệ ta 2x2 y + log3 x2 y = 20 (∗) toa Đặt t = x2 y , t > 0, phương trình (∗) trở thành 2t + log3 t = 20 Xét hàm số f (t) = 2t + log3 t ⇒ f (t) = + > 0, ∀t > 0, suy f (t) đồng biến (0; +∞), t ln phương trình f (t) = 20 có tối đa nghiệm Mặt khác f (9) = 20 t = nghiệm phương trình Như ta tìm x2 y = 9, vào phương trình đầu 109 hệ ta giải x = , y = 3, suy x3 + y + = 27 Câu 42 Lời giải √ √ Tập xác định 2021 − x2 ≥ ⇒ x2 ≤ 2021 ⇒ − 2021 ≤ x ≤ 2021 Ta có y = 2020 + Đặt t = √ √ x 2020 2021 − x2 + 2021 − 2x2 √ 2021 − x2 − √ =0⇔ =0 2021 − x2 2021 − x2 2021 − x2 , t ≥ 0, phương trình trở thành  2020t + 2021 + 2t2 − 2.2021 = ⇒ 2t2 + 2020t − 2021 = ⇒  LATEX by Toanmath.com 11 t=1 t=− 2022 (l) Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020   √  x = 505  ⇒ 2021 − x2 = ⇒   √  x = −2 505   ⇒t= √ f (2 505) = 90832, 65 √ f (−2 505) = −90832, 65 √ f ( 2021) = 90810, 17 √ f (− 2021) = −90810, 17 Như ta log2 M − 3m = 16, 47 Câu 43 Lời giải  − 4x3 + m [2; 4] có u = 16x3 − 12x2 =0⇒ Ta có x=0 x= ath co m Xét u = 4x4 ß Å ã ™ ß ™ 27 A = max u = max u (2) , u , u(0), u(4) = max m + 32, m − , m, m + 768 = m + 768 64 [2;4] ™ ß ™ ß Å ã 27 27 , u(0), u(4) = m + 32, m − , m, m + 768 = m − a = u = u (2) , u 64 64 [2;4] Từ ta suy ß ™ 27 max y = max |m + 768| ; m − = 2020 64 [2;4] Như ta giải giá trị m để max y = 2020 [2;4] Câu 44 Lời giải Ta có 1 ln − = ln − = toa ln − ln − = ln − = 3 nm = 1 3x2 x ln − dx 2 x +1 x x3 + − dx x3 + 1 x + x2 − x2 xdx + dx x3 + Ç å xdx x2 dx x 0+ − x −x+1 x +1 x ln x3 + dx = I= 3 (2x − 1) + 1 d x3 + + dx − 4 x2 − x + x3 + d x2 − x + 3 − ln x3 + + + 4 x −x+1 3 = − + ln x2 − x + 4 √ 2x − + arctan √ 1 dx Å ã2 Ç √ å2 x− + 2 √ π 3 = − Như ta tính P = 10 Câu 45 Lời giải Phương trình f (x) có nghiệm, dựa vào đồ thị f (x) ta thấy f (x) khơng có cực trị mà xung quanh điểm 1, hàm không thay đổi đáng kể giá trị nên ta đốn f (x) = có nghiệm LATEX by Toanmath.com 12 Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 kép 1, f (x) = a(x − 1)2 a(x − 1)2 dx = Do f (x) =   f (1) = a (x − 1)3 + C Mà  f (0) = −1 ⇒   C =  a = ⇒ f (x) = (x − 1)3 Rút gọn hàm g(x) (x − 1)2 (x2 − 3) x2 − = f (x)(f (x) − 3) (x − 1)[(x − 1)6 − 3] √ Như g(x) có tiệm cận đứng x = 1, x = ± Câu 46 Lời giải ath co m g(x) = Đặt t = tan x, ta có f (tan x) = ⇔ f (t) = 1, dựa vào đồ thị f (x) đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số f (x) điểm (0; 1) nên f (t) = ⇔ t = ⇔ tan x = ⇔ −2π < x = kπ < 4π ⇔ −2 < k < Như có giá trị nguyên k thỏa Câu 47 Lời giải Å Ta có f (x) = log tan x + cos x ã Å = log ã sin x + , từ ta suy cos x nm cos x sin x + − 10f (x) − 10−f (x) sin x + g (x) = = cos x 2 2sin2 x + sin x sin2 x + sin x − cos2 x + = = cos x (sin x + 1) cos x (sin x + 1) sin x (sin x + 1) = = tan x cos x (sin x + 1) π π < x < g(x) = tan x hàm đồng biến, bất phương trình 2 toa Mặt khác với − g g (x + α) + g (x − α) Ta có g (m) ⇔ g (x + α) + g (x − α) m ⇔ tan2 (x + α) + tan2 (x − α) m y = [tan(x + α) + tan(x − α)]2 − tan(x + α) tan(x − α) −2 tan(x + α) tan(x − α) = −2 · =2· sin(x + α) sin(x − α) cos(x + α) cos(x − α) cos 2x − cos 2α cos 2x + cos 2α Giá trị nhỏ y tồn tan(x + α) = − tan(x − α) = tan(α − x) ⇔ x = kπ(k ∈ Z) ⇔ cos 2x = LATEX by Toanmath.com 13 Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 − cos 2α = 2tan2 α ⇒ m 2tan2 α + cos 2α Như với m 2tan2 α bất phương trình nghiệm với x 2· Do y Câu 48 Lời giải Trước tiên ta xét dạng tích phân sau a Bài tốn Xét dạng tích phân I = u+u v + v dx, u hàm chẵn, v hàm lẻ ath co m −a Ta có ý Xét hàm f (x) liên tục xác định tập D, • Nếu f (x) hàm chẵn f (x) hàm lẻ • Nếu f (x) hàm lẻ f (x) hàm chẵn Ta có tính chất hàm chẵn hàm lẻ Nếu f (x) hàm chẵn a f (x) dx f (x) dx = i) −a a ii) a f (x) dx = −a f (x) dx = f (x) dx −a Nếu f (x) hàm lẻ a f (x) dx = − −a f (x) dx nm i) a f (x) dx = ii) −a Ngồi ta nhận xét u(x) hàm chẵn v(x) hàm lẻ u(x).v(x) hàm toa lẻ Quay lại với tích phân đầu, ta có biến đổi a I= a uv + u v dx = [uv]|a−a = [uv]|a0 uv + uv + u v + u v dx = −a −a Trở lại với toán Từ giả thiết ta thay x −x ta cos xf (−x) + 4f (|x|) = (cos x + 1) x2 + sin2 x cos x Từ suy ta f (x) = x2 + sin2 x cos x hàm chẵn Áp dụng tính chất ta có 3π I= f (x) + f (x) xf (x) + [xf (x)] dx − 3π = xf (x) LATEX by Toanmath.com 3π − 3π Å ã Å ã2 3π 3π 3π 9π − √ = f = 4 16 2 14 Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Như ta tính S = 23 π , nhiên khơng tự làm khó xíu, đề sửa thành chọn đáp án gần nhé! Câu 49 Xin lỗi người câu giả thiết phải cho SAB = Lời giải z ath co m S A B x y C Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với B(1; 0; 0), C(0; 1; 0) S(x; y; z), ta có tam giác SCA vng C nên CS ⊥ AC, # » # » CS · AC = ⇔ (x; y − 1; z) · (0; 1; 0) = ⇔ y = π nên nm Góc SBA = # » # » π BA · BS (−1; 0; 0) · (x − 1; 1; z) cos = # » # » = √ = (x − 1)2 + + z |BA| · |BS|   z = 3(x − 1)2 − 1−x = ⇔ 2  (x − 1) + + z x < toa Vector pháp tuyến mặt phẳng (SAB) (SAC)  # » # »   #» n = [AS, AB] = [(x; 1; z), (1; 0; 0)] = (0; z; −1) # » # »   #» n = [AS, AC] = [(x; 1; z), (0; 1; 0)] = (−z; 0; x) Góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) cos π nên π | #» n · #» n 2| | − x| √ = #» =√ = #» | n 1| · | n 2| z + x2 + z Hay  x ≈ 0, 35 x2 x2 = ⇔ = ⇔ 2 2 2 (z + 1)(x + z ) (3(x − 1) − + 1)[x + 3(x − 1) − 1] x ≈ 1, 96 (loại) Như vậy, chiều cao hình chóp S.ABC d(S, (ABC)) = |z| = LATEX by Toanmath.com » 3(x − 1)2 − ≈ 0, 52 15 Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Thể tích khối chóp S.ABC V = 1·1 13 1 · d(S, (ABC)) · SABC ≈ · 0, 52 · = ≈ 3 150 12 Câu 50 Lời giải f (f (x)) − 2f (x) = f (x) − 2f (x) f (t) − 2t Đặt f (x) = t, phương trình trở thành = 1, t ∈ {0; 2}, phương trình tương đương t − 2t ath co m Xét phương trình (∗) f (t) = t2 ⇔ t3 − 4t2 + m = t2 ⇔ m = −t3 + 5t2  x=0 Xét g(t) = −t3 + 5t2 , g (t) = −3t2 + 10t, g (t) = ⇔  10 x= Ta có bảng biến thiên −∞ t − g (t) +∞ g(t) 10 0 + +∞ − 500 27 −∞ nm Å ã 500 Để (∗) có nghiệm phương trình m = g(t) phải có nghiệm, suy m ∈ 0; 27 3 Và f (x) = t phải có nghiệm ⇒ x − 4x + m = t ⇔ x − 4x − t = −m Xét h(x) = −x3 + 4x2 + t ⇒ h (x) = −3x2 + 8x, h (x) = ⇔  −∞ toa x h (x) − +∞ x= 8 0 x=0 + (1) +∞ − 256 +t 27 h(x) t −∞ Å ã 256 Để phương trình có nghiệm m ∈ t; +t 27 Å ã 500 Mà ta lại có m ∈ 0; theo (1) m ∈ [−5; 5], suy 27 Å ã Å ã 256 391 m ∈ 0; + ⇔ m ∈ 0; ⇒ m ∈ (0; 5] 27 27 Như có giá trị m thỏa mãn Xét lại điều kiện t ∈ {0; 2} Ta có m = −t3 + 5t2 = −0 + = (thỏa) LATEX by Toanmath.com 16 Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Vì m ∈ (0; 5] m = −t3 + 5t2 = −23 + · 22 = 12 (thỏa) toa nm ath co m Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề LATEX by Toanmath.com 17 Phát triển đề minh họa 2020 ...    x = + 2t    D d : y = − t     z = + 3t Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Câu 16 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : 3x2 + 3y + 3z − 6x − 12y −... Toanmath.com Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Å ã 1 Đường thẳng d qua C − ; 0; có vector phương 2 #» u d = [ #» n P , #» n Q ] = (−5; −4; −9) Bài toán giải Câu... ã Å ã2 3π 3π 3π 9π − √ = f = 4 16 2 14 Phát triển đề minh họa 2020 Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020 Như ta tính S = 23 π , nhiên khơng tự làm khó xíu, đề sửa thành chọn đáp án gần nhé! Câu