Khi cắt khối nón có chiều cao 4m và đường kính đáy 6m bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón, ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần bằng với giá trị nào sau đ[r]
(1)toanmath.com
Phát triển đề minh họa THPT Quốc Gia 2020
Sáng tác LATEX Toanmath.com
Thời gian làm 90 phút không kể thời gian phát đề
Thành viên tham gia Nguyễn Thế Bình, Tơ Huỳnh Cường, Lê Hồng An, Nguyễn Minh Tuấn
Nội dung Đề thi gồm 50 câu với cấu trúc đề khó đề minh họa 25%, hầu hết phát triển sáng tác thành viên nhóm toanmath, câu hỏi hướng tới tính chất biến đổi khơng q đề nặng tính tốn phức tạp địi hỏi nhanh nhạy để giải điểm mấu chốt toán Mọi ý kiến đóng góp vui lịng gửi fanpage, trân trọng cảm ơn
Đề bài
Câu Tìm số hạng tổng quát khai triển (1 − 3x)2020?
A C2020k (−1)2020−k.3k.xk B C2020k (−1)kx2020−k.3k
C −C2020k xk.3k D C2020k xk.3k
Câu Cho cấp số nhân (un) với u1= công bội q = 3, tìm giá trị u5?
A 162 B 54 C 18 D 486
Câu Thể tích hình trụ có chiều cao h = diện tích đáy S = bao nhiêu?
A 12 B C 24 D 16
Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ
x y
−2 −1
2
O
Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng đây?
A (−∞; −2) B (−2; −1) C (−1; 0) D (−1; 1)
Câu Cho khối tứ diện có cạnh a Thể tích khối tứ diện cho bao nhiêu? A V = a
3√2
12 B V =
a3√2
6 C V =
a3√3
4 D V =
a3√3
12 Câu Nghiệm phương trình log3(x + 1) + = log3(4x + 1) là?
(2)toanmath.com
Câu Nếu
2
Z
1
f (x) dx =
3
Z
2
f (x) dx =
4
Z
3
f (x) dx =
4
Z
1
f (x) dx bao nhiêu?
A 11 B 18 C D 12
Câu Cho hàm số y = x +
x − 2, hàm số có điểm cực trị?
A B C D
Câu Đồ thị đồ thị hàm số
x y
O
A y = sin x B y = cos x C y = x2 D y = x4− 2x2+ 1.
Câu 10 Với a số thực dương tùy ý, log√
ea2
A ln a B ln a C ln a D
4ln a Câu 11 Cho số phức z = + 4i Kết phép toán z · ¯z
A B + 16i C 25 D
Câu 12 Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) =
x với x <
A ln x + C B ln(−|x|) + C C ln(−x) + C D
Câu 13 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 1; 2) Gọi A0 hình chiếu vng góc A lên trục Ox, A00 hình chiếu A0 lên mặt phẳng Oxy, tọa độ điểm A00
A (1; 0; 0) B (0; 0; 0) C (0; 1; 0) D (0; 0; 2)
Câu 14 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x +
2 =
1 − y
−3 =
z +
3 , vector phương d
A (2; −3; 3) B (2; 3; 3) C (−3; 1; −7) D (−3; −1; 7)
Câu 15 Trong không gian Oxyz, đường thẳng d qua điểm A(1; 1; 1) vng góc với mặt phẳng (P ) : 2x + 3z − y + = có phương trình tham số
A d : x −
2 =
y −
3 =
z −
−1 B d :
x = + 2t y = + 3t z = − t
C d : x −
2 =
y −
−1 =
z −
3 D d :
x = + 2t y = − t z = + 3t
(3)toanmath.com
Câu 16 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : 3x2+ 3y2+ 3z2− 6x − 12y − 36z − = Tọa độ tâm mặt cầu (S)
A (3; 6; 18) B (−3; −6; −18) C (1; 2; 6) D (−1; −2; −6)
Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAD vuông S năm ftrong mặt phẳng vng góc với đáy AB = a, SA = 2SD Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60◦ Thể tích hình chóp S.ABCD là?
A 4a
2
5 B
5a3
2 C 3a
2. D 4a3.
Câu 18 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên: x
f0(x)
f (x)
−∞ +∞
− + −
+∞ +∞
9
18 18
−∞ −∞
Khẳng định sau khẳng định
A Hàm số đạt cực đại x = B Hàm số có giá trị cực đại C Hàm số đạt cực tiểu x = D Hàm số có giá trị cực tiểu Câu 19 Tập nghiệm bất phương trình log1
3(x − 1) + log3(12 − 3x) ≥ là?
A Å
1;13
ò
B (4; +∞) C (−∞; 1) D (1; 4)
Câu 20 Hàm số y = (x3− 3x)e có điểm cực trị?
A B C D
Câu 21 Bất phương trình log16(x − 3x2) > log4(9 + x) có nghiệm nguyên ?
A B C D
Câu 22 Cho hình trụ có diện tích tồn phần 4π có thiết diện cắt mặt phẳng qua trục hình vng Tính thể tích khối trụ?
A 4π √
6
9 B 2π
√
3 C 2π
√
3 D
4π√6
3
Câu 23 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f0(x) = (x − 1)2(x − 5)(3x + 2) Số điểm cực trị hàm số f (x) bằng?
A B C D
Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = x + sin x là? A x
2
3 + cos x + C B x2
2 − cos x + 2C C x
2− cos x + C. D x2+ cos x + 3C.
(4)toanmath.com
anh Bình muốn tổ chức liveshow hài kịch cho toàn thành viên toanmath, anh muốn rút tiền từ tài khoản Hỏi anh Bình có tiền ngân hàng ?
A 419 triệu B 256 triệu C 500 triệu D tỷ
Câu 26 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AD = 2a, AC0 =√6a Thể tích khối hộp ABCD.A0B0C0D0 bằng?
A 3a3 B 2a2 C 3a4 D 2a3
Câu 27 Gọi a tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang hàm số y = 5x
2+ 4x − 9
x2+ x − 2 , lúc
điểm đối xứng đồ thị y = 4x −
mx − có tọa độ (b, a) Xác định giá trị b?
A −2 B C −1 D
Câu 28 Cho hàm số y = ax3− bx − cx2+ d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đây
là đúng?
x y
O
A a > 0, b < 0, c > 0, d > B a > 0, b < 0, c < 0, d > C a > 0, b > 0, c > 0, d > D a > 0, b > 0, c < 0, d >
Câu 29 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f0(x) liên tục R Đồ thị f0(x) cho hình vẽ
x y
S1
S2
O
−2
Biết diện tích hình S1, S2 3, f (1) = Tính giá trị S =
Z
0
exf (x) dx +
1
Z
0
exf0(x) dx?
A S = e − B S = 2e − C S = 4e − D S = 5e −
Câu 30 Cho số phức z1 = + i, z2 = − 2i, mặt phẳng tọa độ Descartes, điểm biểu diễn số
(5)toanmath.com
A M (12; 4) B N (12; −4) C P (−12; 4) D Q(−12; −4)
Câu 31 Cho số phức z1 = + i z2 = −1 − 2i, tính module số phức w = z1+ z2?
A |w| =√5 B |w| =√7 C |w| =√3 D |w| =
Câu 32 Cho tứ diện A.BCD cạnh a, khoảng cách đường thẳng AB CD là? A √a
2 B
a
4 C
a
3 D a
Câu 33 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (C1) : x2 + y2 + z2 + 4x − 2y + 8z + =
(C2) : (x + 1)2+ (y − 1)2+ (z + 2)2 = Mặt phẳng chứa giao tuyến (C1) (C2) có phương trình
là?
A 2y + 4z + = B 2x + 4y + =
C 2x + 4z + = D Không xác định
Câu 34 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 0), B(2; 0; 2), C(2; 1; 3), D(1; 1; 3) Đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABD) có phương trình
A
x = −2 − 4t y = −2 − 3t z = − t
B
x = + 4t y = −1 + 3t z = − t
C
x = −2 + 4t y = −4 + 3t z = + t
D
x = + 2t y = − t z = + 3t
Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : x −
3 =
y −
2 =
z mặt phẳng (P ) : x + y − z + = Tính khoảng cách từ điểm A
Å −3
2; 0; −
ã
đến đường thằng (d0) (d0) hình chiếu vng góc (d) mặt phẳng (P )
A B √9
122 C
√
3 D Khác
Câu 36 Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn bằng?
A 13
27 B
14
27 C
1
2 D
365 729
Câu 37 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; −2); B(−1; 3; 2); C(−6; 3; 6) Gọi điểm D1 điểm mà tứ giác ABCD1 hình thang cân với đáy AB CD1 D2 điểm mà tứ
giác ABCD2 hình bình hành với ba điểm C, D1, D2 thẳng hàng Khi tính tích vơ hướng
# »
OD1.OD# »2 bằng?
A −27 B 27 C −3 D
Câu 38 Cho f (x) g (x) thỏa mãn (x + 1)2f
Å x − x +
ã
=
(x + 2)2 g
Å x − x +
ã
+ x −
x + Biết Z
3
1
g (x) dx = 1; Z
9
1
g (x) dx = Tính P = Z
5
1
f (x) dx + Z
4
5
f (x) dx A + ln7
6− 12 ln 10
9 B + ln
7
6+ 12 ln 10
9 C − ln7
6+ 12 ln 10
9 D − ln
7
6− 12 ln 10
9
(6)toanmath.com
A 11 B 12 C 13 D 24
Câu 40 Tìm m để hàm số y = x3+ 3x2+ mx + m nghịch biến đoạn có độ dài 1? A m =
2 B m =
2
7 C m =
9
4 D m =
Câu 41 Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện
log2 x2y4+ 2log3x + 1 = log2 x2y4+ 4log3y + 3 = Biết x3+ y + = m
n, với m
n phân số tối giản m, n > Tính S = m + n?
A 135 B 136 C 137 D 138
Câu 42 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = xÄ2020 +√2021 − x2ä
trên tập xác định Tính log2M − m (làm tròn đến số hàng chục)?
A 16 B 27 C 26 D 28
Câu 43 Cho hàm số y = 4x4− 4x3+ m
, có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện max
[2;4] y = 2020?
A B C D
Câu 44 Biết I = Z
0
x ln x3+ 1 dx = π √
a
c −
b
d với a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn b d tối giản đồng thời c < Tính giá trị P = a2− b2+ c2− d?
A P = 10 B P = 11 C P = D P =
Câu 45 Cho hàm đa thức bậc ba f (x) có đồ thị hình vẽ Biết f0(x) = có nghiệm Tìm số tiệm cận đứng hàm số g(x) = (x − 1)
2(x2− 3)
f3(x) − 3f (x)
x y y = f (x)
O
−1
A B C D
(7)toanmath.com
x y
O
A B C D
Câu 47 Với −π
2 < x < π
2, ta đặt f (x) = log Å
tan x + cos x
ã
và g (x) = 10
f (x)− 10−f (x)
2 Tìm tất
cả giá trị tham số m để bất phương trình g g2(x + α) + g2(x − α) > g (m) nghiệm với x, với α số?
A m ≤ tan2α. B m ≥ tan2α. C m ≤ tan2α. D m ≥ tan2α.
Câu 48 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện
4 cos xf (x) + 4f (|x|) = (cos x + 1) x2+ sin2x cos x
Biết tích phân
3π
Z
−3π
f (x) + f0(x)
x f (x) + f0(x) + f (x) dx = aπ
Å 9π2
b −
1 c√d
ã2
, với a, b, c, d
là số nguyên dương, c, d số nguyên tố Tính giá trị biểu thức S = a + b + c + d?
A 22 B 23 C 24 D 25
Câu 49 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A với AB = 1; tam giác SCA vng C, góc [SBA = π
3 góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) π
3 Thể tích khối chóp S.ABC gần với giá trị sau nhất?
A V =
12 B V =
1
9 C V =
1
8 D V =
1
Câu 50 Cho hàm số f (x) = x3− 4x2+ m, có giá trị nguyên tham số m ∈ [−5; 5] để
phương trình f (f (x)) − 2f (x)
f2(x) − 2f (x) = có nghiệm phân biệt?
(8)toanmath.com
Đáp án
1 A A A C A D A A B 10 A
11 C 12 C 13 A 14 B 15 D 16 C 17 B 18 D 19 A 20 A
21 B 22 A 23 C 24 B 25 A 26 D 27 D 28 D 29 D 30 B
31 A 32 A 33 C 34 A 35 B 36 A 37 A 38 C 39 C 40 C
41 B 42 A 43 B 44 A 45 D 46 B 47 A 48 B 49 A 50 B
Lời giải số câu khó.
J Trong đề có số câu có chút lỗi đáp án kiện, ởtrong file có chỉnh sửa số câu thế.
Câu 29 Lời giải
Trước tiên biến đối giải thiết, ta có
1
Z
0
exf (x) dx +
1
Z
0
exf0(x) dx =
1
Z
0
[exf (x)]0dx = exf (x)|10 = e.f (1) − 1.f (0) (1)
Diện tích hình phẳng S1, S2 3,2 nên ta suy
Z
0
f0(x) dx = f (x)|10= f (1) − f (0) ⇒ f (0) = − =
Thay vào (1) ta e.f (1) − f (0) = 5e − Vậy
1
Z
0
exf (x) dx +
1
Z
0
exf0(x) dx = 5e −
Câu 35 Lời giải
Gọi mặt phẳng chứa d vng góc với (P ) (Q) Ta có (d) :
Vector phương #»ud(3; 2; 1)
Điểm qua B(1; 2; 0)
Mặt phẳng (P ) có vector pháp tuyến #»nP(1; 1; −2), suy mặt phẳng (Q) qua B(1; 2; 0) có vector
pháp tuyến #»n = [ #»ud, #»nP] = (−5; 4; 1) Như phương trình (Q) : −5(x − 1) + 4(y − 2) + z =
⇔ −5x + + 4y − + z = ⇔ −5x + 4y + z − = Tìm điểm thuộc d0, cách cho y = Ta có hệ phương trình
−5x + z − = x − z + =
⇔
x = −1 y = z =
⇒ C Å
−1 2; 0;
1
(9)toanmath.com
Đường thẳng d0 qua C Å
−1 2; 0;
1
ã
và có vector phương #»
ud0 = [ #»nP, #»nQ] = (−5; −4; −9)
Suy phương trình tham số d0 d0 :
x = −5t − y = −4t z =
2 − 9t
Ta có C Å
−1 2; 0;
1
ã
∈ d0 ⇒AC(1; 0; 2) Vector phương d# » : #»ud0(−5; −4; −9) Vậy
d(A; d0) =
ỵ# » AC, #»ud0
ó | #»ud0| =
»
82+ (−1)2+ (−4)2
»
(−5)2+ (−4)2+ (−9)2 = √9
122
Bài toán giải
Câu 37 Lời giải
Phương trình đường thẳng d qua C(−6; 3; 6) song song với đường thẳng AB d : x +
−2 =
y −
1 =
z −
Vì C, D1, D2 thẳng hàng nên D1, D2 thuộc d, nên ta gọi D1(−6 − 25; + t; + 2t)
Vì tứ giác ABCD1 hình thang cân nên ta có
|AD# »1| = |BC| ⇔ t# » 2+ 8t + 12 = ⇔
t = −2 t = −6 • Với t = −2 ⇒ D(−2; 1; 2) tứ giác hình bình hành ⇒ D2(−2; 1; 2)
• Với t = −6 ⇒ D(6; −3; −6) thỏa mãn hình thang cân ABCD1
Suy D1(6; −3; −6) Như ta có
# »
OD1·OD# »2 = (−2) · + · (−3) + (2) · (−6) = −12 + (−3) + (−12) = −27
Bài toán giải
Câu 38 Lời giải
Lấy tích phân cận từ tới ta Z
3
fÅ x − x +
ã
2dx
(x − 1)2 = Z
3
gÅ x − x +
ã
4dx
(x + 2)2 + Z
3
x − x + 3dx Từ suy
Z 35
1
f (x) dx = Z 13
1
g (x) dx + Z
3
x −
x + 3dx = + Z
3
x −
(10)toanmath.com
Tiếp tục lấy tích phân từ tới ta Z
6
fÅ x − x +
ã
2dx
(x − 1)2 = Z
6
gÅ x − x +
ã
4dx
(x + 2)2 + Z
6
x − x + 3dx Từ suy
Z
4
5
f (x) dx = Z
9
1
g (x) dx + Z
6
x −
x + 3dx = + Z
6
x −
x + 3dx (2)
Từ (1) (2) ta
P = + Z
3
x − x + 3dx +
Ç +
Z
6
x − x + 3dx
å
= + (x − ln |x + 3|)|43+ (x − ln |x + 3|)|76 = − ln7
6 − 12 ln 10
9
Bài toán giải
Câu 39 Lời giải
Xét dây cung chứa đoạn KH hình vẽ, suy tồn đường kính AB ⊥ KH, tam giác SAB, KE k SA, E ∈ SB, suy parabol nhận KE làm trục hình vẽ thiết diện thỏa mãn yêu cầu toán (k SA) Đặt BK = x (0 < x < 6)
Trong tam giác ABH có
HK2 = BK · AK = x(b − x) Trong tam giác SAB có
KE
SA =
BK
BA ⇔ KE =
BK
BA · SA ⇒ KE =
x · Thiết diện parabol có diện tích S =
3KH · KE, suy S2 = 16
9 KH
2· KE2= 16
9 x(6 − x) 25x2
36 =
100 81 (6x
3− x4) ⇒ S = 10
9 p
6x3− x4
Đặt f (x) = 6x3− x4 với < x < 6.
Ta có f0(x) = 18x2− 4x3, f0(x) = ⇔
x = x =
(11)toanmath.com
x f0(x)
f (x)
0
2
+ −
2187 16 2187
16
Như ta suy ⇒ S = 10
… 2187
16 ≈ 13m
2.
Câu 40 Lời giải
Ta có: y = x3 + 3x2 + mx + m Do hệ số a > ⇒ để hàm số nghịch biến đoạn [x1, x2] có độ
dài x2− x1 = 1, từ suy y0 = 3x2+ 6x + m, hay y0 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn
x2− x1= Điều tương đương với ∆0 = − 3m > ⇒ m < Ta có
x2− x1 = ⇒ (x2− x1)2= ⇒ x22− 2x2x1+ x21 = ⇒ (x1+ x2)2− 4x1x2 =
⇒ −
3m = ⇒ m =
Bài toán giải
Câu 41 Lời giải
Điều kiện x, y > 0, x2y4+ 2log3x + > 0, x2y4+ 4log3y + > Biến đổi hệ phương trình ta
log2 x2y4+ 2log3x + 1 = log2 x2y4+ 4log3y + 3 = ⇔
x2y4+ log3x2+ = x2y4+ log3y4+ = 16
Cộng vế theo vế hệ ta 2x2y4+ log3 x2y4 = 20 (∗)
Đặt t = x2y4, t > 0, phương trình (∗) trở thành 2t + log
3t = 20
Xét hàm số f (t) = 2t + log3t ⇒ f0(t) = +
t ln > 0, ∀t > 0, suy f (t) đồng biến (0; +∞), phương trình f (t) = 20 có tối đa nghiệm Mặt khác f (9) = 20 t = nghiệm phương trình Như ta tìm x2y4 = 9, vào phương trình đầu hệ ta giải x =
3, y = 3, suy x
3+ y + = 109
27
Câu 42 Lời giải
Tập xác định 2021 − x2≥ ⇒ x2≤ 2021 ⇒ −√2021 ≤ x ≤√2021.
Ta có
y0 = 2020 +p2021 − x2− x
√
2021 − x2 = ⇔
2020√2021 − x2+ 2021 − 2x2
√
2021 − x2 =
Đặt t =√2021 − x2, t ≥ 0, phương trình trở thành
2020t + 2021 + 2t2− 2.2021 = ⇒ 2t2+ 2020t − 2021 = ⇒
t = t = −2022
(12)toanmath.com
⇒ t =p2021 − x2 = ⇒
x = 2√505 x = −2√505
⇒
f (2√505) = 90832, 65 f (−2√505) = −90832, 65 f (√2021) = 90810, 17 f (−√2021) = −90810, 17
Như ta log2M − 3m= 16, 47
Câu 43 Lời giải
Xét u = 4x4− 4x3+ m [2; 4] có u0= 16x3− 12x2 = ⇒
x =
4 x =
Ta có
A = max
[2;4] u = max
ß
u (2) , uÅ
ã
, u(0), u(4) ™
= max ß
m + 32, m −27
64, m, m + 768 ™
= m + 768 a =
[2;4]u =
ß
u (2) , uÅ ã
, u(0), u(4) ™
= ß
m + 32, m −27
64, m, m + 768 ™
= m − 27 64 Từ ta suy
max
[2;4] y = max
ß
|m + 768| ;
m − 27 64 ™ = 2020 Như ta giải giá trị m để max
[2;4] y = 2020
Câu 44 Lời giải Ta có I = Z
x ln x3+ 1 dx = 2ln −
1
Z
0
x2 3x
2
x3+ 1dx
= 2ln −
3
Z
0
x
x3+ 1 − 1
x3+ 1 dx
= 2ln −
3
Z
0
xdx +3
Z
0
x + x2 − x2 x3+ 1 dx
= 2ln −
3 x 0+ ÇZ xdx x2− x + 1−
Z
0
x2dx x3+ 1
å
= 2ln −
3 4+ Z
(2x − 1) + x2− x + 1 dx −
1
Z
d x3+ 1 x3+ 1
= 2ln −
3 4−
1 2ln
x3+ 0+ Z
d x2− x + 1 x2− x + 1 +
3 Z dx Å
x − ã2 + Ç √ å2
= −3 4+
3 4ln
x2− x + 0+ √ arctan
2x − √ = π √ −
Như ta tính P = 10
Câu 45 Lời giải
(13)toanmath.com
kép 1, f0(x) = a(x − 1)2 Do f (x) =
Z
a(x − 1)2dx = a
3(x − 1)
3+ C Mà
f (1) = f (0) = −1
⇒
C = a = ⇒ f (x) = (x − 1)3
Rút gọn hàm g(x)
g(x) = (x − 1)
2(x2− 3)
f (x)(f2(x) − 3) =
x2− (x − 1)[(x − 1)6− 3]
Như g(x) có tiệm cận đứng x = 1, x = ±√63
Câu 46 Lời giải
Đặt t = tan x, ta có f (tan x) = ⇔ f (t) = 1, dựa vào đồ thị f (x) đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số f (x) điểm (0; 1) nên
f (t) = ⇔ t = ⇔ tan x = ⇔ −2π < x = kπ < 4π ⇔ −2 < k <
Như có giá trị nguyên k thỏa
Câu 47 Lời giải
Ta có f (x) = log Å
tan x + cos x
ã
= logÅ sin x + cos x
ã
, từ ta suy
g (x) = 10
f (x)− 10−f (x)
2 =
sin x +
cos x −
cos x sin x +
= sin
2x + sin x − cos2x + 1
2 cos x (sin x + 1) =
2sin2x + sin x cos x (sin x + 1) = sin x (sin x + 1)
2 cos x (sin x + 1) = tan x Mặt khác với −π
2 < x < π
2 g(x) = tan x hàm đồng biến, bất phương trình g g2(x + α) + g2(x − α) > g (m) ⇔ g2(x + α) + g2(x − α) > m
⇔ tan2(x + α) + tan2(x − α) > m Ta có
y = [tan(x + α) + tan(x − α)]2− tan(x + α) tan(x − α) > −2 tan(x + α) tan(x − α) = −2 · sin(x + α) sin(x − α)
cos(x + α) cos(x − α) = ·cos 2x − cos 2α
cos 2x + cos 2α Giá trị nhỏ y tồn
(14)toanmath.com
Do y > ·1 − cos 2α
1 + cos 2α = 2tan
2
α ⇒ m 2tan2α
Như với m 2tan2α bất phương trình nghiệm với x
Câu 48 Lời giải
Trước tiên ta xét dạng tích phân sau
Bài tốn Xét dạng tích phân I =
a
Z
−a
u + u0
v + v0 dx, u hàm chẵn, v hàm lẻ
Ta có ý Xét hàm f (x) liên tục xác định tập D, • Nếu f (x) hàm chẵn f0(x) hàm lẻ
• Nếu f (x) hàm lẻ f0(x) hàm chẵn Ta có tính chất hàm chẵn hàm lẻ Nếu f (x) hàm chẵn
i) Z
−a
f (x) dx = Z a
0
f (x) dx
ii) Z a
−a
f (x) dx = Z a
0
f (x) dx = Z
−a
f (x) dx Nếu f (x) hàm lẻ
i) Z
−a
f (x) dx = − Z a
0
f (x) dx
ii) Z a
−a
f (x) dx =
Ngồi ta nhận xét u(x) hàm chẵn v(x) hàm lẻ u(x).v(x) hàm lẻ Quay lại với tích phân đầu, ta có biến đổi
I =
a
Z
−a
uv + uv0+ u0v + u0v0 dx =
a
Z
−a
uv0+ u0v dx = [uv]|a
−a= [uv]| a
Trở lại với toán Từ giả thiết ta thay x −x ta
4 cos xf (−x) + 4f (|x|) = (cos x + 1) x2+ sin2x cos x Từ suy ta f (x) = x2+ sin2x cos x hàm chẵn.
Áp dụng tính chất ta có
I =
3π
Z
−3π
f (x) + f0(x)
xf (x) + [xf (x)]0 dx
= xf2(x)
3π −3π
4
= 23π f
2Å 3π
4 ã
= 3π
Å 9π2
16 − 2√2
(15)toanmath.com
Như ta tính S = 23
Câu 49 Xin lỗi người câu giả thiết phải cho [SAB = π
3, nhiên không tự làm khó xíu, đề sửa thành chọn đáp án gần nhé!
Lời giải
B
C S
A
x
y z
Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với B(1; 0; 0), C(0; 1; 0) S(x; y; z), ta có tam giác SCA vng C nên CS ⊥ AC,
# »
CS ·AC = ⇔ (x; y − 1; z) · (0; 1; 0) = ⇔ y = 1# » Góc [SBA = π
3 nên
cosπ =
# » BA ·BS# » |BA| · |# » BS|# » =
(−1; 0; 0) · (x − 1; 1; z) √
1p(x − 1)2+ + z2 =
1 − x
p(x − 1)2+ + z2 =
1
2 ⇔
z2 = 3(x − 1)2− 1
x < Vector pháp tuyến mặt phẳng (SAB) (SAC)
#»
n1 = [AS,# » AB] = [(x; 1; z), (1; 0; 0)] = (0; z; −1)# »
#»
n2 = [AS,# » AC] = [(x; 1; z), (0; 1; 0)] = (−z; 0; x)# »
Góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) π nên cosπ
3 =
| #»n1· #»n2|
| #»n1| · | #»n2|
= √ | − x|
z2+ 1√x2+ z2 =
1 Hay
x2
(z2+ 1)(x2+ z2) =
1
4 ⇔
x2
(3(x − 1)2− + 1)[x2+ 3(x − 1)2− 1] =
1
4 ⇔
x ≈ 0, 35 x ≈ 1, 96 (loại) Như vậy, chiều cao hình chóp S.ABC
(16)toanmath.com
Thể tích khối chóp S.ABC V =
3· d(S, (ABC)) · SABC ≈
3 · 0, 52 · ·
2 =
13 150 ≈
1 12
Câu 50
Lời giải
Xét phương trình f (f (x)) − 2f (x)
f2(x) − 2f (x) = (∗)
Đặt f (x) = t, phương trình trở thành f (t) − 2t
t2− 2t = 1, t 6∈ {0; 2}, phương trình tương đương
f (t) = t2 ⇔ t3− 4t2+ m = t2 ⇔ m = −t3+ 5t2
Xét g(t) = −t3+ 5t2, g0(t) = −3t2+ 10t, g0(t) = ⇔
x = x = 10
3 Ta có bảng biến thiên
t g0(t)
g(t)
−∞ 10
3 +∞
− + −
+∞ +∞
0
500 27 500
27
−∞ −∞
Để (∗) có nghiệm phương trình m = g(t) phải có nghiệm, suy m ∈ Å
0;500 27
ã
(1) Và f (x) = t phải có nghiệm ⇒ x3− 4x2+ m = t ⇔ x3− 4x2− t = −m.
Xét h(x) = −x3+ 4x2+ t ⇒ h0(x) = −3x2+ 8x, h0(x) = ⇔
x = x = 83
x h0(x)
h(x)
−∞
3 +∞
− + −
+∞ +∞
tt
256 27 + t 256
27 + t
−∞ −∞
Để phương trình có nghiệm m ∈ Å
t;256 27 + t
ã Mà ta lại có m ∈
Å 0;500
27 ã
theo (1) m ∈ [−5; 5], suy
m ∈ Å
0;256 27 +
ã
⇔ m ∈ Å
0;391 27
ã
⇒ m ∈ (0; 5] Như có giá trị m thỏa mãn
Xét lại điều kiện t 6∈ {0; 2} Ta có
(17)toanmath.com
Vì m ∈ (0; 5] m = −t3+ 5t2 = −23+ · 22 = 12 (thỏa)
... −√2021 ≤ x ≤√2021.Ta có
y0 = 2020 +p2021 − x2− x
√
2021 − x2 = ⇔
2020? ??2021 − x2+ 2021 − 2x2
√
2021... =
Đặt t =√2021 − x2, t ≥ 0, phương trình trở thành
2020t + 2021 + 2t2− 2.2021 = ⇒ 2t2+ 2020t − 2021 = ⇒
t = t = −2022
(12)