Phát triển đề minh họa môn toán kỳ thi tốt nghiệp THPT 2020

PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI TỐT NGHỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 2020 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Mơn: Tốn 12 Câu 1.1 Một nhóm học sinh gồm học sinh nam x học sinh nữ Biết có 15 cách chọn học sinh từ nhóm học sinh trên, giá trị x A 24 B C 12 D 225 Lời giải Để chọn học sinh ta có phương án thực hiện: • Phương án 1: Chọn học sinh nam, có cách chọn • Phương án 2: Chọn học sinh nữ, có x cách chọn Theo quy tắc cộng, ta có: + x cách chọn học sinh Theo ra, ta có: + x = 15 ⇔ x = Chọn phương án B Câu 1.2 Cần chọn người công tác từ tổ có 30 người, số cách chọn A A330 B 330 C 10 D C330 Lời giải Chọn người 30 người tổ hợp chập 30 phần tử, nên có C330 cách chọn Chọn phương án D Câu 1.3 Cho tập hợp M có 10 phần tử Số tập hợp gồm phần tử M A A810 B A210 C C210 D 102 Lời giải Số tập hợp gồm phần tử tập hợp 10 phần tử C210 Chọn phương án C Câu 1.4 Trong buổi khiêu vũ có 20 nam 18 nữ Hỏi có cách chọn đơi nam nữ để khiêu vũ? C C220 · C118 D C120 · C118 A C238 B A238 Lời giải Chọn nam 20 nam có C120 cách Chọn nữ 18 nữ có C118 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn đôi nam nữ để khiêu vũ C120 · C118 cách KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 CÂU Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, có cách chọn học sinh? A 14 B 48 C D Lời giải Cách Tổng số học sinh nhóm là: + = 14 Chọn học sinh, ta có: C114 = 14 (cách) Cách Để chọn học sinh, ta có: cách chọn học sinh nam cách chọn học sinh nữ Vậy có: + = 14 (cách) Chọn phương án A Chọn phương án D https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro #» Câu 1.5 Số vec-tơ khác có điểm đầu, điểm cuối hai đỉnh lục giác A P6 B C26 C A26 D 36 Lời giải Chọn hai điểm đỉnh lục giác vào vị trí điểm đầu, điểm cuối vec-tơ chỉnh hợp chập phần tử, nên có A26 cách Chọn phương án C Câu 1.6 Có cách xếp học sinh thành hàng dọc? A 55 B 5! C 4! Lời giải Sắp học sinh vào vị trí hàng dọc có 5! cách Chọn phương án B D Câu 1.7 Số cách xếp học sinh ngồi vào 10 ghế hàng ngang A 610 B 6! C A610 D C610 Lời giải Chọn vị trí 10 vị trí hàng ghế để học sinh vào chỉnh hợp chập 10 phần tử, nên có A610 cách Chọn phương án C Câu 1.8 Có 14 người gồm nam nữ Số cách chọn người có nữ A 1078 B 1414 C 1050 D 1386 Lời giải Chọn nữ nữ có C26 cách Chọn nam nam có C48 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn người, có nữ C26 · C48 = 1050 cách Chọn phương án C Câu 1.9 Cho hai đường thẳng song song Trên đường thẳng thứ có 10 điểm phân biệt, đường thẳng thứ hai có 15 điểm phân biệt, có tam giác tạo thành từ điểm cho? A 1725 B 1050 C 675 D 1275 Lời giải Trường hợp 1: Số tam giác tạo thành từ hai điểm đường thẳng thứ điểm đường thẳng thứ hai C210 · C115 = 675 Trường hai 2: Số tam giác tạo thành từ điểm đường thẳng thứ hai điểm đường thẳng thứ hai C110 · C215 = 1050 Vậy có 675 + 1050 = 1725 tam giác tạo thành từ điểm cho Chọn phương án A Câu 1.10 Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, có cách chọn học sinh có nam nữ? A 120 B 168 C 288 D 364 Lời giải • Phương án 1: Chọn học sinh nam học sinh nữ, có C62 · C81 = 120 cách thực • Phương án 2: Chọn học sinh nam học sinh nữ, có C61 · C82 = 168 cách thực Theo quy tắc cộng, ta có: 120 + 168 = 288 cách chọn học sinh có nam nữ Chọn phương án C Câu 1.11 Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn nhóm học sinh cho nhóm có học sinh nữ? A 1140 B 2920 C 1900 D 900 Lời giải • Cách 1: Để chọn học sinh có học sinh nữ ta có phương án sau: · C2 cách thực – Phương án 1: Chọn học sinh nữ học sinh nam, có C10 20 · C1 cách thực – Phương án 2: Chọn học sinh nữ học sinh nam, có C10 20 · C2 + C2 · C1 + C3 = 2920 cách chọn nhóm học sinh Theo quy tắc cộng, ta có: C10 20 20 20 10 cho nhóm có học sinh nữ • Cách 2: cách chọn học sinh từ 30 học sinh, có C3 cách chọn học sinh, khơng Có C30 20 có học sinh nữ − C = 2920 cách chọn nhóm học sinh cho nhóm có Suy có C30 20 học sinh nữ Chọn phương án B CÂU Cho cấp số nhân (un ) với u1 = u2 = Công bội cấp số cho A B −4 C D 13 Lời giải Trong cấp số nhân, ta có: u2 = u1 q =⇒ q = uu21 = 62 = Chọn phương án A Câu 2.1 Cho cấp số nhân (un ) với u1 = cơng bội q = Tìm số hạng thứ cấp số nhân A 24 B 54 C 162 D 48 Lời giải Số hạng thứ cấp số nhân u4 = u1 · q3 = · 33 = 54 Chọn phương án B Câu 2.2 Cho cấp số nhân (un ) với u1 = u2 = Công bội cấp số nhân cho A B −4 C D Lời giải Áp dụng công thức un = u1 · qn−1 u2 Khi đó, u2 = u1 · q ⇔ q = = = u1 Chọn phương án B KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 cách thực – Phương án 3: Chọn học sinh nữ, có C10 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro Câu 2.3 Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 = u2 = Công bội cấu số nhân cho √ A q = 21 B q = ±4 C q = D q = 2 Lời giải u2 = = Áp dụng công thức un = u1 · qn−1 , ta có u2 = u1 · q ⇒ q = u1 Chọn phương án C Câu 2.4 Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 = u4 = 64 Công bội q cấp số nhân cho √ A q = 21 B q = ±4 C q = D q = 2 Lời giải √ 64 u = 64 ⇒ q = 64 = Áp dụng công thức un = u1 · qn−1 , ta có u4 = u1 · q3 ⇒ q3 = = u1 Chọn phương án C Câu 2.5 Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 = u2 = Giá trị u4 125 625 512 512 B C D A 25 512 512 125 Lời giải u2 Áp dụng công thức un = u1 · qn−1 , ta có u2 = u1 · q ⇒ q = = u1 512 Vậy u4 = u1 · q3 = · = 25 Chọn phương án A Câu 2.6 Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = u8 = 26 Tìm cơng sai d 11 10 3 A d = B d = C d = D d = 3 10 11 Lời giải 26 − u8 − u1 = 11 = Áp dụng công thức un = u1 + (n − 1)d, ta có u8 = u1 + 7d ⇒ d = 7 Chọn phương án A Câu 2.7 Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = 11 công sai d = Giá trị u99 A 401 B 403 C 402 D 404 Lời giải Theo công thức số hạng tổng quát cấp số cộng, ta có un = u1 + (n − 1)d ⇒ u99 = u1 + 98d = 11 + 98 · = 403 Chọn phương án B Câu 2.8 Biết bốn số 5, x, 15, y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị 3x + 2y A 50 B 70 C 30 D 80 Lời giải + 15 = 2x x = 10 Bốn số 5, x, 15, y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có ⇔ x + y = · 15 y = 20 Vậy 3x + 2y = 70 Chọn phương án B Câu 2.9 Cho ba số x, 5, 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số x, 4, 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân | x − 2y| A B C D 10 Lời giải Ba số x, 5, 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số x, 4, 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân, ta có   x=8      y=1 x + 2y = · x = 10 − 2y x = 10 − 2y ⇔ ⇔ ⇔  x · 2y = 42 (10 − 2y)y = y2 − 5y + = x=2      y = Câu 2.10 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn u2 + u8 + u9 + u15 = 100 Tổng 16 số hạng A 100 B 200 C 400 D 300 Lời giải Ta có u2 + u8 + u9 + u15 = 100 ⇔ (u1 + d) + (u1 + 7d) + (u1 + 8d) + (u1 + 14d) = 100 ⇔ 2u1 + 15 = 50 16 [2u1 + (16 − 1)d] = (2u1 + 15d) = · 50 = 400 Chọn phương án C Vậy S16 = Câu 2.11 Cho cấp số nhân (un ) với u3 = u6 = 243 Công bội cấp số nhân cho A B 27 C D 126 27 Lời giải u3 = u1 · q2 u Gọi q công bội cấp số nhân cho, ta có: ⇒ q3 = = 27 ⇒ q = u3 u6 = u1 · q Chọn phương án A Câu 2.12 Dãy số (un ) với un = 2n cấp số nhân với A Công bội số hạng B Công bội số hạng C Công bội số hạng D Công bội số hạng Lời giải   u1 = Cấp số nhân cho là: 2; 4; 8; 16; ⇒ u q = = u1 Chọn phương án B CÂU Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính đáy r A 4πrl B 2πrl C πrl D 31 πrl Lời giải KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 Với x = 8, y = suy | x − 2y| = Với x = 2, y = suy | x − 2y| = Chọn phương án C https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính đáy r là: Sxq = πrl Chọn phương án C Câu 3.1 Cho hình nón có diện tích xung quanh 6πa2 đường kính đáy 2a Tính độ dài đường sinh hình nón cho √ A 3a B 2a C 6a D a Lời giải 2a Bán kính đáy r = = a Diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl = π · a · l = 6πa2 ⇒ l = 6a Chọn phương án C Câu 3.2 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a Diện tích xung quanh hình nón A 2πa2 B 8πa2 C 4πa2 D πa2 Lời giải Vì thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh S l = 2a l = 2a 2a nên ⇔ 2r = 2a r=a Diện tích xung quanh hình nón cho Sxq = πrl = π · a · 2a = 2πa2 B O A Chọn phương án A Câu 3.3 Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh bán kính đáy r A 4πr B 2πr C πr D πr Lời giải Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh bán kính đáy r πr Chọn phương án C Câu 3.4 Gọi , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Cơng thức sau mối liên hệ chúng A = h2 + R2 B h2 = R2 + C R2 = h2 + D = hR Lời giải Theo định lý Pi-ta-go ta có = h2 + R2 S h r A O B Chọn phương án A = Diện tích xung quanh √ D 3π Câu 3.6 Cho hình nón có bán kính đáy 4a chiều cao 3a Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón A Sxq = 24πa2 B Sxq = 40πa2 C Sxq = 20πa2 D Sxq = 12πa2 Lời giải √ Theo định lí Pi-ta-go ta có = r2 + h2 = (4a)2 + (3a)2 = 5a Diện tích xung quanh hình nón Sxq = πr = π · 4a · 5a = 20πa2 S 3a 4a A O Chọn phương án C 8π Câu 3.7 Một khối cầu tích bán kính √ B C A 3 Lời giải Ta có V = πr3 suy r = Chọn phương án D 3V = 4π D √ √ · 8π = 4π Câu 3.8 Cho khối cầu (S) tích 36π cm3 Diện tích mặt cầu (S) A 64π cm2 B 18π cm2 C 36π cm2 D 27π cm2 Lời giải 3V · 36π Ta có V = πr3 suy r = = = (cm) 4π 4π Diện tích mặt cầu (S) S = 4πr2 = 4π · 32 = 36π cm2 Chọn phương án C B KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 √ Câu 3.5 Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh hình nón cho √ √ C 39π A 12π B 3π Lời giải √ √ Diện tích xung quanh hình nón Sxq = πr = π · · = 3π Chọn phương án B https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro Câu 3.9 Một hình trụ có bán kính đáy r = 50 cm có chiều cao h = 50 cm Tính diện tích xung quanh Sxq hình trụ A Sxq = 2500π cm2 B Sxq = 2500 cm2 C Sxq = 5000 cm2 D Sxq = 5000π cm2 Lời giải Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πr = 2πrh = 2π · 50 · 50 = 5000π cm2 Chọn phương án D √ Câu 3.10 Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy r = chiều cao h = √ √ A V = 128π B V = 64 2π C V = 32π D V = 32 2π Lời giải √ √ Thể tích khối trụ V = πr2 h = π · 42 · = 64 2π Chọn phương án B Câu 3.11 Cho khối nón ( N ) có bán kính đáy diện tích xung quanh 15π Thể tích khối ( N ) A 12π B 20π C 36π D 60π Lời giải Sxq 15π = = πr 3π √ √ − r2 = Áp sụng định lí Pi-ta-go ta có h = 52 − 32 = 1 Vậy thể tích khối nón ( N ) V = πr2 h = · π · 32 · = 12π 3 Ta có Sxq = πr ⇒ = S h A O B Chọn phương án A Câu 3.12 Cho hình nón có bán kính đáy R, góc đỉnh 2α với 45o < α < 90o Tính diện tích xung quanh hình nón theo R α 4πR2 2πR2 πR2 πR2 A B C D sin α sin α sin α sin α Lời giải OM R Ta có: l = SM = = S sin α sin α Diện tích xung quanh hình nón R πR2 Sxq = πrl = π · R · = sin α sin α N Chọn phương án C O M CÂU Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau x y −∞ −1 + 0 − +∞ + − y −∞ −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng ? A (1; +∞) B (−1; 0) C (−1 ; 1) D (0 ; 1) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số cho đồng biến khoảng (−∞ ; −1) (0 ; 1) Chọn phương án D x −∞ f (x) −2 + − +∞ + − f (x) −∞ −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (1; +∞) B (1; 3) C (3; +∞) Lời giải Hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; −2) (1; 3) Chọn phương án B D (−∞; 0) Câu 4.2 Cho hàm số f ( x )có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) −3 + − +∞ + − f (x) −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−∞; −4) B (−3; 5) C (2; +∞) Lời giải Hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; −3) (2; 5) Do hàm số đồng biến khoảng (−∞; −4) Chọn phương án A Câu 4.3 Cho hàm số f ( x )có bảng biến thiên sau −∞ D (−∞; 4) KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 Câu 4.1 Cho hàm số f ( x )có bảng biến thiên sau −∞ x −3 − f (x) + 0 +∞ +∞ − + +∞ f (x) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro 2 Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−∞; 2) B (−3; 2) C (2; 3) Lời giải Hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; −3) (2; 5) Do hàm số đồng biến khoảng (2; 3) Chọn phương án C D (2; 6) Câu 4.4 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) −1 + 0 − + +∞ − f (x) −∞ −∞ Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (1; +∞) B (−1; 0) C (−1; 1) D (0; 1) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( x ) > khoảng (−∞; −1) (0; 1) Do hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (0; 1) Chọn phương án D Câu 4.5 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số đồng biến khoảng ? A (−2; +∞) B (−2; 3) C (3; +∞) D (−∞; −2) x −∞ −2 − y +∞ + +∞ − y −∞ Lời giải Ta có đạo hàm y > 0, ∀ x ∈ (−2; 3) nên hàm số đồng biến khoảng (−2; 3) Chọn phương án B Câu 4.6 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình Khẳng định sai ? A Hàm số đồng biến khoảng (−2; −1) B Hàm số đồng biến khoảng (1; 3) C Hàm số nghịch biến khoảng (−1; 1) D Hàm số đồng biến khoảng (0; 1) 10 • Lấy tích phân hai vế từ −1 đến ta 0 f ( x ) dx + −1 ⇔ https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro ⇔ −1 −1 −1 f (t) dt = 12 f (t) dt = 12 1  −1 3 f (t) dt − f ( x ) dx = −1 12 12 f ( x ) dx − = ⇔ f (t) dt = −1 −1 −1  ⇔ 3 f ( x ) dx − f ( x ) dx − ⇔ (3x5 − 3x3 + x2 + 2x + 1) dx 3x f ( x ) dx = f ( x ) dx + −1 0 11 Câu 48.8 Cho hàm số f ( x ) liên tục R thỏa mãn f ( x ) + f (π − x ) = ( x − 1) cos x, ∀ x ∈ R π Tính tích phân f ( x )dx A Lời giải Ta có B − π π d( π − x ) =− f (π − x ) −1 f (π − x )dx = C − D − π f (t)dt = π f (t)dt = π f ( x )dx Khi từ f ( x ) + f (π − x ) = ( x − 1) cos x, ∀ x ∈ R lấy tích phân hai vế ta π π (2 f ( x ) + f (π − x )) dx = 0 π ⇔ π f ( x )dx = π f (π − x )dx = f ( x )dx + π ⇔ ( x − 1) cos xdx π ( x − 1) cos xdx ( x − 1) cos xdx Ta có π ( x − 1) cos xdx = ( x − 1) sin x π π − sin xdx = ( x − 1) sin x 204 π + cos x π = −2 π Vậy f ( x )dx = − Chọn phương án B Câu 48.9 Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f ( x ) − f (1 − x ) = √ − x2 , ∀ x ∈ f ( x ) dx [0; 1] Tích phân π A Lời giải Xét x ∈ [0; 1] Ta có B π π 12 C D π f ( x ) − f (1 − x ) = − x2 (1) f (1 − x ) − f ( x ) = 2x − x2 (2) Từ (1) (2), suy f (x) = · − x2 + · 2x − x2 · − x2 + · 2x − x2 Vậy 1 f ( x ) dx = 0 dx = π Chọn phương án A Câu 48.10 Cho f ( x ) xác định, liên tục đoạn [0; 4] thỏa mãn f ( x ) + f (4 − x ) = − x2 + 4x Giá trị tích phân I = f ( x ) dx A 32 B 16 32 C Lời giải Trong tích phân I, ta đặt t = − x ⇒ dt = − dx Với x = ⇒ t = 4; với x = ⇒ t = f (4 − t)( −dt) Hay I = Tích phân trở thành I = 16 Chọn phương án B ( f ( x ) + f (4 − x )) dx = f (4 − x ) dx 4 Từ suy I + I = D 16 (− x + 4x ) dx = x3 − + 2x2 = 32 Vậy I = Câu 48.11 Cho hàm số f ( x ) liên tục [0; 1] f ( x ) + f (1 − x ) = I= f ( x ) dx 205 x2 + 2x + , ∀ x ∈ [0; 1] Tính x+1 KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 Thay x − x, ta A I = Lời giải + ln B I = + ln C I = + ln D I = 0 1 [ f ( x ) + f (1 − x )] dx = Do 2I = x2 0 + ln Chọn phương án C f (1 − x ) dx f (1 − t) dt = Đặt t = − x, ta có dt = −dx Đổi cận, ta I = − + ln 2 + 2x + dx = x+1 x2 + x + ln | x + 1| = + ln 2 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro Vậy I = π Câu 48.12 Cho hàm số f ( x ) liên tục R f (− x ) − f ( x ) = tan2 x Tính A − π B π − C + f ( x ) dx π −4 π D − Lời giải Theo đề ta có f (− x ) − f ( x ) = tan2 x Thay x − x ta được: f ( x ) − f (− x ) = tan2 (− x ) = tan2 x Từ (1) (2) suy f ( x ) = tan2 x Khi π π π −4 = −1 cos2 x π tan2 x dx = π −4 π (1) (2) π tan2 x dx = f ( x ) dx = I = π + tan2 x − dx π dx = 2(tan x − x )|04 = − π Chọn phương án D π Câu 48.13 Cho hàm số f ( x ) liên tục R f ( x ) + f (− x ) = cos2 x, ∀ x ∈ R Tính I = f ( x ) dx − π2 A I = Lời giải π + ln 2 B I = π Ta có I = π π f ( x ) dx = C I = f ( x ) dx + f ( x ) dx π Đặt x = −t ⇒ dx = − dt π π Khi x = t = 0, x = − t = 2 − π2 − 206 3π D I = π + ln Do π π I =− f ( x ) dx = f (−t) dt + π π = f (−t) dt + π f (− x ) dx + [ f (− x ) + f ( x )] dx π cos2 x dx x+ + cos 2x dx = = = π = f ( x ) dx π f ( x ) dx π sin 2x π = π Câu 48.14 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục R thỏa mãn f x3 + x − + f − x3 − x − = −6x6 − 12x4 − 6x2 − 2, ∀ x ∈ R Giá trị f ( x ) dx −3 A 32 B C −36 D −20 Lời giải Đặt a = x3 + x − 1, ta có f ( a) + f (− a − 2) = −6 ( a + 1)2 − Hàm số f ( a) liên tục xác định R Từ ⇒ −6 ( a + 1)2 − da f (− a − 2) da = f ( a) da + −3 −3 −3 ⇒ I+ f (− a − 2) da = −40 −3 f (− a − 2) da, đặt t = − a − ⇒ dt = − da Xét −3 −3 f (− a − 2) da = − Ta có −3 Vậy 2I = −40 ⇔ I = −20 Chọn phương án D f (t) dt = f ( a) da = I −3 CÂU 49 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB = a , SBA = SCA = 90◦ , góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC ) 60◦ Thể tích khối chóp cho 3 C a2 D a6 A a3 B a3 Lời giải 207 KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 Chọn phương án B - Gọi I H trung điểm SA BC Theo giả thiết SBA = SCA = 90◦ nên điểm I cách điểm S, A, B, C , suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC - Mặt khác, H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , suy I H trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , I H ⊥ ( ABC ) √ √ a - Ngoài ra, tam giác ABC vuông cân A nên AH ⊥ BC ; AB = a =⇒ BC = a AH = Đặt I H = x, x > √ √ √ - Dựng hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ cho H (0; 0; 0) , A a 2 ; 0; , B 0; a 2 ; , C 0; − a 2 ; https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro , I (0; 0; x ) √ √ √ # » #» Do I trung điểm SA nên ta có S − a 2 ; 0; 2x - Ta có AB = − a 2 ; a 2 ; , AS = √ √ √ # » #» − a 2; 0; 2x , suy vectơ pháp tuyến mặt phẳng (SAB) n#»1 = AB, AS = ax 2; ax 2; a2 √ √ √ √ # » #» -Ta có CA = a 2 ; a 2 ; , CS = − a 2 ; a 2 ; 2x , suy vectơ pháp tuyến mặt phẳng (SAC ) √ √ # » #» n#»2 = CA, CS = ax 2; − ax 2; a2 Theo giả thiết góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC ) 60◦ nên ta có |2a2 x2 −2a√2 x2 +a4 | |n#».n#»2 | √ cos60◦ = |cos (n#»1 , n#»2 )| = |n#»1|.|n#» = 2 2 2 2 | =⇒ = a4 2a2 x2 +2a2 x2 + a4 ⇐⇒ 4a2 x2 2a x +2a x + a 2a x +2a x + a + a4 = 2a4 ⇐⇒ x2 = a4 ⇐⇒ x= a (do x, a > ) a2 Khi d (S, ( ABC )) = 2d ( I, ( ABC )) = 2.I H = 2x = a ; S∆ABC = 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = 31 d (S, ( ABC )) S∆ABC = 13 a a2 = Chọn phương án D a3 (đvtt) Câu 49.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = 5a; SAB = SCB = 90◦ Biết góc hai mặt phẳng (SBC ) (SBA) α với cos α = Thể tích 16 khối chóp S.ABC √ √ 125 7a3 125 7a3 50a3 50a3 B C D A 18 Lời giải Ta có hai tam giác vuông ASB SBC S Kẻ AI ⊥ SB ⇒ CI ⊥ SB góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC ) góc hai đường thẳng AI CI suy ( AI; CI ) = α √ Do AC = 2a, AIC cân I nên ta có: 2AI − AC2 2A2 − AC2 = cos AIC ⇔ = − ⇔ AI = 2 16 2AI 2AI I 16a2 ⇒ AI = 4a D BA ⊥ SA Dựng (SD ) ⊥ ( ABC ) D Ta có ⇒ BA ⊥ AD BA ⊥ SD C A Tương tự BC ⊥ CD Nên tứ giác ABCD hình vng √ cạnh 5a, suy BD = √ √ 2a ⇒ SD = SB2 − BD2 = a √ √ 1 125 7a3 Vậy VS.ABC = SD .BA = 25a = 3 18 Chọn phương án C 208 B Câu 49.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SAB = SCB = 90◦ góc hai ◦ mặt phẳng chóp S.ABC √ 603 Thể tích khối √ √ √ 3(SAB) (SCB) 3a 2a 2a3 2a A B C D 24 24 12 Lời giải 209 KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 Câu 49.2 Cho hình chóp S.ABC có BC = 2BA = 4a; ABC = BAS = 90◦ Biết góc hai mặt phẳng (SBC ) (SBA) 60◦ SC = SB Thể tích khối chóp S, ABC 32 8a3 16a3 16a3 A a B C D 3 Lời giải Tam giác SBC cân cạnh đáy BC = 4a Gọi E S trung điểm BC ta có SEB vuông E, BE = 2a = BA Ta có hai tam giác SAB SEB chung cạnh huyền Kẻ AI ⊥ SB ⇒ EI ⊥ SB góc hai mặt phẳng I D (SBA) (SBC ) góc hia mặt phẳng (SBA) C (SBE) góc hai đường thẳng AI EI suy E A ( AI; EI ) = 60◦ B Do CBA = 90◦ ⇒ 180◦ > AIE > 90◦ suy AIE = 120◦ ⇒ cos AIE = − √ Có AE = 2a, AIE cân I, nên ta có: √ 2AI − AE2 8a 2 2AI − AE2 ⇒ AI = √ a = cos AIC ⇔ = − ⇔ AI = 2 2AI 2AI 4a 2a AI 6a = √ ⇒ SB = √ Suy BI = √ ⇒ SI = IB 3 BA ⊥ SA Dựng SD ⊥ ( ABC ) D Ta có: ⇒ BA ⊥ AD Tương tự BE ⊥ ED nên tứ giác ABED BA ⊥ SD √ √ hình vng cạnh 2a Suy BD = 2a ⇒ SD = SB2 − BD2 = 2a 1 8a3 Thể tích VS.ABC = SD BC.BA = 2a.4a2 = 3 Chọn phương án B https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro Gọi M trung điểm SB G trọng tâm ABC Theo giả thiết: SAB = SCB = 90◦ ⇒ MS = MB = MA = MC ⇒ M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp ABC ⇒ MG ⊥ ( ABC ) Do D điểm đối xứng với G qua cạnh AC ⇒ SD ⊥ ( ABC ) Từ giả thiết suy hai tam giác vng SAB SCB Do từ A kể AI ⊥ SB I ∈ SB CI ⊥ SB Nên góc hai mặt phẳng (SAB) (SCB) ( AI; CI ) = 60◦ 2AI − AC2 Do ABC = 60◦ ⇒ AIC = 120◦ ⇒ = − ⇒ AI = 2 2AI √ √ a 2a a √ ⇒ BI = √ ⇒ SB = √ 3 √ √ a Ta có BD = d f rac 32a = √ ⇒ SD = SB2 − BD2 = √ 3 √ √ 1 3 2a a = Thể tích VS.ABC = SD.S ABC = √ 3 24 Chọn phương án B S I M A G D C B √ Câu 49.4 Cho tứ diện ABCD có DAB = CBD = 90◦ ; AB = a; AC = a 5; ABC = 135◦ Biết góc hai mặt phẳng ( ABD ) ( BCD ) 30◦ Thể tích tứ diện ABCD a3 a3 a3 a3 A √ C √ D B √ 3 Lời giải Dựng DH ⊥ ( ABC ) D BA ⊥ DA BC ⊥ DB Ta có ⇒ BA ⊥ AH Tơng tự ⇒ BA ⊥ DH BC ⊥ DH BC ⊥ BH E Tam giác AHB có AB = a, ABH = 45◦ ⇒ H AB vuông cân A ⇒ AH = AB = a F √ Áp dụng định lý cosin, ta có BC = a √ √ √ 1 a2 a Vậy S ABC = BA.BC sin CBA = a.a = C H 2 2 HE ⊥ DA a B A Dựng ⇒ HE ⊥ ( DAB) HF ⊥ ( DBC ) HF ⊥ BD Suy góc ( DBA) ( DBC ) ( HE; HF ) √ = EHF tam giác HEF vuông E ax ax Đặt DH = x, HE = √ , HF = √ 2 a +x 2a2 + x2 √ HE x2 + 2a2 a3 Suy cos EHF = = 4√ ⇒ x = a Vậy VABCD = DH.S ABC = HF = 2x2 + 2a2 Chọn phương án D √ √ Câu 49.5 Cho hình chóp S.ABC có AB = a 2, AC = a, BC = a 3, SBA = SCA = 90◦ , hai mặt phẳng (SAB) (SAC ) tạo với góc α cho cos α = √ Thể tích khối chóp S.ABC 210 √ √ D S K E D 1; 23 C (−2; −1) B C B A CÂU 50 Cho hàm số f ( x ) Hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên Hàm số g ( x ) = f (1 − 2x ) + x2 − x nghịch biến khoảng đây? A 2a3 y 0; 21 −2 D (2; 3) O −2 Lời giải Ta có g ( x ) = −2 f (1 − 2x ) − (1 − 2x ) Đặt u = − 2x ta hàm số h (u) = −2 f (u) + 21 u Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có đồ thị hàm số y = f (u) y = − 12 u hình vẽ  4 − 2x > x