Bảng công thức Toán 12 đầy đủ nhất.

CHƯƠNG I : HÀM SỐ 1)Công thức đạo hàm Hàm Hàm hợp (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛 𝑥 𝑛−1 ; (𝐶 ′ ) = ′ 𝑢′ 𝑛 )′ = 𝑛 𝑢 𝑛−1 𝑢 ′ ; ( ) = − (𝑢 ′ 1 𝑢 𝑢2 (𝑘 𝑢)′ = 𝑘 𝑢′ ; ( ) = − ′ 𝑢′ ′ ′ 𝑥 𝑥 √𝑢 = 2√𝑢 ; (𝑠𝑖𝑛𝑢) = 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 ′ ′ (𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑥 = ; = 𝑐𝑜𝑠𝑥 √ (𝑐𝑜𝑠𝑢)′ = −𝑢′ 𝑠𝑖𝑛𝑢 2√𝑥 𝑢′ 𝑢′ (𝑡𝑎𝑛𝑢)′ = ; (𝑐𝑜𝑡𝑢)′ = − (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 ; (𝑡𝑎𝑛𝑥)′ = cos 𝑢 sin 𝑢 cos 𝑥 (sin𝑛 𝑢)′ = 𝑛 u′ sin𝑛−1 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 (𝑐𝑜𝑡𝑥)′ = − (cos𝑛 𝑢)′ = −𝑛 u′ sin𝑛−1 𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑢 sin 𝑥 𝑢 ′ 𝑢′ 𝑣−𝑣 ′ 𝑢 𝑛.𝑢′ tan𝑛−1 𝑢 ′ ′ ′ (𝑢 𝑣) = 𝑢 𝑣 + 𝑣 𝑢 ; ( ) = (tan𝑛 𝑢)′ = 𝑣 𝑣2 cos2 𝑢 (𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 ; (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 (𝑎 𝑢 )′ = 𝑢′ 𝑎𝑢 𝑙𝑛𝑎 ; (𝑒 𝑢 )′ = 𝑢′ 𝑒 𝑢 1 𝑢′ 𝑢′ (𝑙𝑛𝑥)′ = ; (log 𝑎 𝑥)′ = (𝑙𝑛𝑢)′ = ; (log 𝑎 𝑢)′ = 𝑥 𝑥.𝑙𝑛𝑎 𝑢 2)Sự biến thiên đồ thị hàm số Hàm bậc 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑦 ′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐 ; ∆′ = 𝑏 ′2 − 𝑎𝑐 Đơn điệu Cực trị Tiệm cận GTLN GTNN Tiếp tuyến (tt) Đồng biến R (tính y’) 𝑎>0 { ( xét TH a = 0) ∆≤0 Nghịch biến R (tính y’) 𝑎 ∆≤ Khơng có cực trị [ 𝑎=0 Định lý viét 𝑏 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 { 𝑐 𝑥1 𝑥2 = 𝑎 Một số công thức Oxy ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 ) 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = √𝑥 + 𝑦 Trung điểm M AB 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 𝑀( ; ) 2 Khoảng cách |𝑎 𝑥𝑀 + 𝑏 𝑦𝑀 + 𝑐| 𝑑= √𝑎2 + 𝑏 Đồng biến 𝑦′ ≥ Nghịch biến 𝑦′ ≤ Tìm nghiệm y’=0 từ lập trục xét dấu để đưa kết luận 𝑥2 ( 𝑎 > 0) Có CT: 𝑎 𝑏 ≥ Có CT: 𝑎 𝑏 < Có CĐ khơng có CT 𝑎0 Cực trị lập thành - Tam giác vuông 𝑏 = −2 √𝑎 - Tam giác 𝑏 = −√24𝑎 -Tam giác có S 𝑏 = −2 √𝑆 𝑎3 -Có góc 𝜑 Đồ thị hàm số 𝑎0 𝜑 𝑏 = −2√𝑎 cot ( ) CASIO tìm tiệm cận hàm phức tạp Nhập hàm f(x) chế độ radian (SHIFT MODE ) 𝑉ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 -Tìm tiệm cận đứng: 𝑀ẫ𝑢 = → [ 𝑥 = 𝑥0 𝑥0 + 10^(−5 CALC [ số cực lớn TCĐ 𝑥0 − 10^(−5 -Tìm tiệm cận ngang 999999 CALC [ số TCN −999999 Hàm hữu tỷ 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦= 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑦′ = (𝑐𝑥 + 𝑑)2 Luôn đồng biến nghịch biến TXĐ 𝑦 ′ > 𝑦′ < Tức 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 > 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 < Khơng có cực trị Lưu ý Cách tìm cực trị Cho hàm bậc bậc 𝑥 = 𝑥0 𝑙à 𝐶𝑇 𝑓 ′ (𝑥0 ) = ⟹{ 𝑓"(𝑥0 ) > 𝑥 = 𝑥0 𝑙à 𝐶Đ 𝑓 ′ (𝑥0 ) = ⟹{ 𝑓"(𝑥0 ) < Điểm uốn 𝑦" = ⇔ 𝑥 = 𝑥0 y” đổi dấu qua nghiệm 𝑥 = 𝑥0 Tiệm cận đứng 𝑑 𝑥=− 𝑐 Tiệm cận ngang 𝑎 𝑦= 𝑐 Tâm đối xứng 𝑑 𝑎 𝐼 (− ; ) 𝑐 𝑐 Nhập hàm f(x) chế độ radian (SHIFT MODE ) Máy Vn plus Vinacal ấn SHIFT MODE ↓ MODE ( TABLE) Nhập hàm f(X) -Nếu đề cho đoạn [a;b] tự tìm theo TXĐ Start ? : a End ? : b Step ? : (End –Start) : 20 -Nếu đề không cho khoảng đoạn Start ? : -9 End ? : Step ? : -Nếu đề hàm lượng giác không cho khoảng đoạn Start ? : End ? : 2.𝜋 Step ? : 𝜋: 10 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 ) 𝑉ớ𝑖 ∶ tan(𝜑) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) hệ số góc tt Tiếp tuyến // (d): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑎 Nếu tt ⊥ (𝑑): 𝑓 ′ (𝑥0 ) = − 𝑎 -Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nằm điểm uốn -Các trường hợp đặc biệt thường có 𝑓 ′ (𝑥0 ) = ±1 (tt cắt TCĐ TCN A,B cho AB nhỏ nhất) Xét phương trình hồnh độ giao điểm 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) -Giản đồ hoocne ( rơi đầu –nhân ngang – cộng chéo) -Pt 𝑔(𝑥) = nghiệm 𝑥0 𝑔(𝑥0 ) ≠ -Nghiệm pt 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = có nghiệm lập CSC 10 Sự 𝑏 = ± √𝑎 𝑐 tương -Biện luận theo m số nghiệm pt ( dựa vào hình dáng đồ thị) giao -Hàm mang dấu giá trị tuyệt đối hai đồ 𝑦 = |𝑓(𝑥)| Lấy đối xứng bên ox lên xóa phần ox thị 𝑦 = 𝑓(|𝑥|).Xóa phần trái oy lấy đối xứng phần bên phải oy sang bên trái oy 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) -Điều kiện tiếp xúc đường cong { ′ 𝑓 (𝑥) = 𝑔′ (𝑥) 𝑆 ′ (𝑡) = 𝑉(𝑡); 𝑉 ′ (𝑡) = 𝑎(𝑡) Với S quãng đường, V Toán vận tốc a gia tốc thực tế 𝑉 = 𝑉0 + 𝑎 𝑡 ; 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0 𝑡 + 𝑎 𝑡 2 Sử dụng casio xét tình đồng biến nghịch biến hàm số khoảng đoạn (a;b) MODE (TABLE) Start ? a End ? b Step ? (b-a):20 Nếu cột F(x) tăng hàm số đồng biến giảm nghịch biến CHƯƠNG II : HÀM SỐ MŨ -LOGARIT 1)Công thức hàm mũ a)Công thức hàm số mũ 𝑎𝑚 𝑎0 = ; 𝑎1 = 𝑎; 1𝑛 = ; 𝑎 𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ; = 𝑎𝑚−𝑛 𝑎𝑛 𝑚 𝑎 𝑎 𝑚 𝑎𝑚 𝑏 𝑚 = (𝑎𝑏)𝑚 ; (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 ; 𝑚 = ( ) ; 𝑚 = 𝑎−𝑚 𝑏 𝑏 𝑎 𝑚 𝑛 𝑣à 0−𝑛 𝑚 𝑛 = 𝑎 ; Không tồn √𝑎 b) Điều kiện xác định hàm số mũ – lũy thừa 𝑛 ∈ 𝑁 {1; 2; 3; 4; … } → 𝑓(𝑥) 𝑐ó 𝑛𝑔ℎĩ𝑎 𝑛 𝑛 ∈ 𝑍 − {−1; −2; −3; … } → 𝑓(𝑥) ≠ (𝑓(𝑥)) [ 𝑛 𝑛ℎữ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 { ; 𝜋; √3; … } → 𝑓(𝑥) > c) So sánh Với 𝑎 > 𝑡ℎì 𝑎𝑚 > 𝑎𝑛 ⟺ 𝑚 > 𝑛 Với < 𝑎 < 𝑡ℎì 𝑎𝑚 > 𝑎𝑛 ⟺ 𝑚 < 𝑛 2)Công thức hàm logarit a)Công thức hàm số logarit log 𝑎 = 0; log 𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛 ; log 𝑎 𝑎 = ; 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑏 log 𝑎 (𝑏𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 ; log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐 𝑐 1 log 𝑎𝑛 𝑏 = log 𝑎 𝑏 ; log 𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑛 log 𝑎 𝑏; = log 𝑏 𝑎 log 𝑎 𝑏 = 𝑛 logc 𝑏 log𝑐 𝑎 ; log 𝑐 𝑎 log 𝑎 𝑏 = log 𝑐 𝑏 ; log𝑎 𝑏 𝑎log𝑐 𝑏 log 𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 ; log10 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 b) Điều kiện xác định hàm số logarit 𝑎 > 0; 𝑏 > y = log 𝑎 𝑏 → đ𝑘: { 𝑎≠1 c) So sánh Với 𝑎 > 𝑡ℎì log 𝑎 𝑏 > log 𝑎 𝑐 ⟺ 𝑏 > 𝑐 Với < 𝑎 < 𝑡ℎì log 𝑎 𝑏 > log 𝑎 𝑐 ⟺ 𝑏 < 𝑐 = 𝑏 log𝑐 𝑎 3) Casio hàm mũ logarit 𝑑 a)Đạo hàm f(x) : SHIFT ∫ ta (𝑓(𝑥))|𝑥=𝑎 (a ∈ 𝑇𝑋Đ) 𝑑𝑥 Kiểm tra kết cách nhập hàm đáp án CALC a (chú ý chế độ Radian) Nhập 11 Ấn log 𝑥 √𝑥 √𝑥 √𝑥 CALC x = ta 𝑎 = 12 𝑥 c)Tìm nghiệm: Ví dụ : + = + 6𝑥 Ấn: 𝑥 + 𝑥 − − 6𝑥 ấn = Ấn SHIFT CALC = Ta x = Ấn ← (3 𝑥 + 𝑥 − − 6𝑥): (𝑥 − 1) ấn SHIFT CALC = Ta x = Vậy phương trình có nghiệm 𝑥1 = 𝑣à 𝑥2 = d)Biểu diễn loga: Ví dụ: log = 𝑎; log = 𝑏 Khí log12 90 Ấ𝑛 log = 𝑆𝐻𝐼𝐹𝑇 𝑅𝐶𝐿 (−) → 𝐴 (Lưu biến A) Ấ𝑛 log = 𝑆𝐻𝐼𝐹𝑇 𝑅𝐶𝐿 ′′′ → 𝐵 (Lưu biến B).Từ thử đáp án 4)Phương trình ,bất pt hệ pt mũ – logarit a)Pt mũ : 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 ⟺ 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥) 𝐵 𝐴 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐵 𝑏 𝑓(𝑥) ⇔ ( ) = 𝑏 𝐴 𝑓(𝑥) b)Đặt ẩn phụ (mũ) : Đặt 𝑎 = 𝑡 ; (đ𝑘 ∶ 𝑡 > 0); 𝑎2𝑓(𝑥) = 𝑡 𝐴 𝑎2𝑓(𝑥) + 𝐵 (𝑎𝑏)𝑓(𝑥) + 𝐶 𝑏 2𝑓(𝑥) = 𝑎 2𝑓(𝑥) 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑓(𝑥) ⟺ 𝐴 ( ) + 𝐵 ( ) + 𝐶 = ; Đặ𝑡 ∶ ( ) = 𝑡 (đ𝑘: 𝑡 > 0) 𝑏 𝑏 𝑏 2𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) 2𝑔(𝑥) 𝐴 𝑎 + 𝐵 𝑎 + 𝐶 𝑎 =0 ⟺ 𝐴 𝑎2[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)] + 𝐵 𝑎 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) + 𝐶 = ; Đặ𝑡 ∶ 𝑎 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) = 𝑡 c)Logarit hóa : 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) log 𝑎 𝑏 𝑓 ′ (𝑥) > d)Đạo hàm: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑛ế𝑢 [ ′ ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑐ó 𝑡ố𝑖 đ𝑎 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑓 (𝑥) < 𝑓"(𝑥) > 𝑛ế𝑢 [ ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑐ó 𝑡ố𝑖 đ𝑎 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑓"(𝑥) < e)Pt logarit bản: log 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑏 (đ𝑘: 𝑓(𝑥) > 0) log 𝑎 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (đ𝑘: 𝑓(𝑥) > 0; 𝑔(𝑥) > 0) f) Đặt ẩn phụ (loagarit): Đặt : log 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑡 ⇒ log 2𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑡 Chú ý : log 𝑎 𝑓 2𝑛 (𝑥) = 2𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎 |𝑓(𝑥)| g)Bất pt , hệ pt mũ logarit: Nếu số > bất phương trình giữ nguyên dấu Nếu số < bất phương trình đảo chiều Sử dụng trục xét dấu Đối với hệ phương trình chủ yếu sử dụng phương pháp 5)Bài toán thực tế a)Tìm số chữ số 𝒂𝒏 𝒍à: 𝑙ấ𝑦 𝑝ℎầ𝑛 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎) + 𝐴(1+𝑟) b)Bài toán lãi suất : 𝑆 = 𝐴 (1 + 𝑟)𝑛 ; 𝑆 = [(1 + 𝑟)𝑛 − 1] Số tiền phải trả : 𝑚 = c)Tổng cấp số : 𝑆 = 𝐴.𝑟.(1+𝑟)𝑛 𝑟 Bài toán tăng trưởng : 𝑆 = 𝐴 𝑒 𝑟.𝑡 (1+𝑟)𝑛 −1 𝑛[2𝑢1 +(𝑛−1)𝑑] (𝑐ấ𝑝 𝑠ố +); 𝑆 = 𝑈1 (𝑞 𝑛 −1) 𝑞−1 (C.S.Nhân) CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN 1)Cơng thức ngun hàm Cơ Nâng cao ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1 ∫ 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 𝑥 1 ∫ 𝑑𝑥 = − + 𝐶 𝑥 𝑥 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 +𝐶 𝑙𝑛𝑎 ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 ∫(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑑𝑥 = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛+1 +𝐶 𝑎(𝑛 + 1) 𝑘 𝑑𝑥 k = ln|ax + b| + C 𝑎𝑥 + 𝑏 a 𝑘𝑑𝑥 𝑘 ∫ =− +𝐶 (𝑎𝑥 + 𝑏)2 𝑎(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎𝑥 𝑒 ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = +𝐶 𝑎 𝑘𝑥 𝑎 ∫ 𝑎𝑘𝑥 𝑑𝑥 = +𝐶 𝑘 𝑙𝑛𝑎 ∫ ∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = − cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎 ∫ cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎 1 ∫ 𝑑𝑥 = tan(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 cos2 (𝑎𝑥 + 𝑏) a 1 ∫ 𝑑𝑥 = − cot(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 sin (𝑎𝑥 + 𝑏) a 𝑑𝑥 ∫ = ln |𝑥 + √𝑥 + 1| + 𝐶 √1 + 𝑥 dạng : ∫ ( = ∫( b)Đưa mũ hữu tỷ: Ví dụ: √𝑥 √𝑥 √𝑥 = 𝑥 𝑎 𝑥 2)Một số dạng nguyên hàm thường gặp 𝑷(𝒙) a)Phân thức : ∫ 𝒅𝒙 Nếu bậc P(x) < Q(x) ta tách tích mẫu đưa tổng CASIO Nguyên hàm -Nhập hàm CALC a = -SHIFT tích phân đáp án với x = a ( a ∈ 𝑇𝑋Đ) Ví dụ: ∫ √𝑥 + 𝑑𝑥 -Nhập √𝑥 + CALC = Ta √7 ≈ 2,645751 -Kiểm tra đáp án A,B,C,D nút SHIFT tích phân hàm với x = 5 𝐴 𝑄1 (𝑥) − + 𝑸(𝒙) 𝐵 𝑄2 (𝑥) + ⋯ ) 𝑑𝑥 Ví dụ : ∫ 2𝑥+1 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥−1)(𝑥−2) 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 = ln|𝑥 − 2| − ln|𝑥 − 1| + 𝐶; Tìm A,B Casio: 𝑥−2 𝑥−1 2𝑥+1 𝑥−1 2𝑥+1 𝑥 −3𝑥+2 CALC ta 5; Nhập 2𝑥+1 𝑥−2 CALC ta -3 𝑑ư Nếu bậc P(x) > Q(x) ta thực phép chia : Thương + 𝑚ẫ𝑢 b)Lượng giác: 𝑛 𝑐ℎẵ𝑛, 𝑚 𝑙ẻ đặ𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡 𝑛 𝑙ẻ, 𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 đặ𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑡 ∫ sin𝑛 𝑥 cos𝑚 𝑥 𝑑𝑥 Nếu 𝑛 𝑙ẻ, 𝑚 𝑙ẻ đặ𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡 [𝑛 𝑐ℎẵ𝑛, 𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 𝑑ù𝑛𝑔 𝑐𝑡 ℎạ 𝑏ậ𝑐 ∫ tan𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(tan𝑛 𝑥 + tan𝑛−2 𝑥)𝑑𝑥 − ∫ tan𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ tan𝑛−2 𝑥 (1 + tan2 𝑥)𝑑𝑥 − ∫ tan𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥 Đă𝑡: 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡 c)Các công thức lượng giác 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = ; tan 𝑥 = ; 𝑐𝑜𝑡𝑥 = ; 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 1 + tan2 𝑥 = ; + cot 𝑥 = ; 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos2 𝑥 sin2 𝑥 2𝑡𝑎𝑛𝑥 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = cos 𝑥 − sin 𝑥 = − sin 𝑥 = cos2 𝑥 − 1; 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 1−tan2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 sin2 𝑥 = ; cos2 𝑥 = ; 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − sin3 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = cos3 𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥; sin(𝑎 ± 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 ± 𝑠𝑖𝑛𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠4𝑥 cos(𝑎 ± 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 ∓ 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 ; sin4 𝑥 + cos4 𝑥 = + 4 3𝑐𝑜𝑠4𝑥 17 7𝑐𝑜𝑠𝑠4𝑥 cos2 4𝑥 6 8 sin 𝑥 + cos 𝑥 = + ; sin 𝑥 + cos 𝑥 = + + 8 32 16 32 𝑡𝑎𝑛𝑎 ± 𝑡𝑎𝑛𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 tan(𝑎 ± 𝑏) = ; 𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑏 = cos ( ) cos ( ) ∓ 𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑏 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑏 = −2 sin ( ) sin ( ) ; 𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝑏 = sin ( ) cos ( ) 2 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 cos(𝑎 + 𝑏) + cos (𝑎 − 𝑏) 𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑏 = cos ( ) sin ( ) ; 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 2 sin(𝑎 + 𝑏) + sin (𝑎 − 𝑏) cos(𝑎 − 𝑏) − cos (𝑎 + 𝑏) 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 = ; 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2 3) Công thức tích phân 𝑏 𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ; ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ( 𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥)𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛) −𝑎 ( 𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥)𝑙à ℎà𝑚 𝑙ẻ) 𝑎 𝑓(𝑥) ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ( 𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥)𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛) −𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 T.P phần (nhất lô nhì đa tam lượng tứ mũ) 𝐼 = 𝑢 𝑣|𝑏𝑎 − ∫𝑎 𝑣 𝑑𝑢 𝑏 𝐼 = ∫𝑎 𝑒 𝑓(𝑥) sin (𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 Từng phần lần để truy hồi biểu thức ban đầu 𝜋 𝜋 sin𝑛 𝑥 cos𝑛 𝑥 𝜋 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑛 𝑥 + cos 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 + cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = sin sin 0 Lượng giác hóa tích phân : 𝑓 (𝑥) + 𝑎2 đặ𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑡 ⟺ 𝑑(𝑓(𝑥)) = 𝑎(1 + tan2 𝑡)𝑑𝑡 𝑎 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑓 (𝑥) − 𝑎2 đặ𝑡 𝑓(𝑥) = ⇔ 𝑑(𝑓(𝑥)) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 cos2 𝑡 𝑎2 − 𝑓 (𝑥) đặ𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑡 ⇔ 𝑑(𝑓(𝑥)) = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 Tích phân hàm trị tuyệt đối 𝑏 𝑥0 𝑏 ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 = ± ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∓ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑥0 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑎 𝑥0 4) Ứng dụng tích phân tính S V Diện tích S thể tích V hình phẳng giới hạn hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥); 𝑦 = 𝑔(𝑥); 𝑥 = 𝑎; 𝑥 = 𝑏 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = 𝑓(𝑦); 𝑥 = 𝑔(𝑦); 𝑦 = 𝑐 ; 𝑦 = 𝑑 𝑏 𝑑 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 = ∫ |𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)|𝑑𝑦 𝑎 𝑐 𝑏 𝑉 = 𝜋∫ |𝑓 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 (Xoay quanh ox) 𝑑 = 𝜋 ∫ |𝑓 (𝑦) − 𝑔2 (𝑦)|𝑑𝑦 𝑐 (Xoay quanh oy) CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC 1)Công thức số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ; 𝑎 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ℎự𝑐 ; 𝑏 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 ả𝑜 ; 𝑖 = −1; 𝑧 = 𝑏𝑖 𝑙à 𝑠ố ả𝑜 𝑎1 = 𝑎2 𝑧1 = 𝑧2 ⟺ { 𝑏 = 𝑏 ; 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑛: |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 ; 𝑙𝑖ê𝑛 ℎợ𝑝: 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑧1 𝑧1 𝑧 𝑧1 𝑧 𝑧1 |𝑧1 | |𝑧| = |𝑧|; 𝑧 𝑧 = |𝑧|2 ; = = ; |𝑧 𝑧 | = |𝑧1 | |𝑧2 |; | | = |𝑧|2 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧2 |𝑧2 | ||𝑧1 | − |𝑧2 || ≤ |𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 |; 𝑖 4𝑛 = 1; 𝑖 4𝑛+1 = 𝑖; 𝑖 4𝑛+2 = −1 arg (𝑧) 𝑖 4𝑛+3 = −𝑖; √−𝑎 = ±𝑖√𝑎; 𝑇ì𝑚 𝑐ă𝑛 𝑏ậ𝑐 𝑐ủ𝑎 𝑧 𝑙à ∶ √|𝑧| − = 2)Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Đặt: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 Phương trình đường thẳng: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = Phương trình đường tròn: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 𝑣ớ𝑖 𝑡â𝑚 𝐼(𝑎; 𝑏) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 𝑣ớ𝑖 𝑅 = √𝑎2 + 𝑏 − 𝑐 Điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) biểu diễn số phức z; |𝑧| độ dài 𝑂𝑀 ; 𝑧 điểm đối xứng với z qua ox Nếu √(𝑥 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦 − 𝑦𝐴 )2 = √(𝑥 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦 − 𝑦𝐵 )2 tập hợp z đường trung trực đoạn thẳng AB 3) Một số dạng tốn thường gặp a)Tìm z: đề có ẩn z ta giải phương trình bậc 1,2,3….Nếu đề có chứa 𝑧; 𝑧; |𝑧|; … ta nên đặt z = a+b.i thay vào pt tìm a, b b)Casio số phức: MODE (CMPLX) ENG i Các phép tính cộng trừ nhân chia thực phép tính số thực 𝑧 bấm SHIFT 2 Conjg ( …) |𝑧| bấm SHIFT hyp |…| -Tìm tập hợp điểm biểu diễn z Ví dụ: 2|𝑧 − + 3𝑖| = |2𝑖 − − 2𝑧| A.20x-16y-47=0 B.20x+16y-47=0 C.20x+16y+47=0 D.20x-16y+47=0 Nhập biểu thức 2|𝑋 − + 3𝑖| − |2𝑖 − − 2Conjg(X)| CALC:x+yi Thử đáp án A: CALC 100 + ((20.100-47):16).i = Đáp án arg(𝑧)+𝑘2𝜋 ( 𝑘 ∈ {0; 1; 2}) -Tìm bậc số phức z : 3√|𝑧| − (1 -Tìm z khơng có đáp án : ví dụ: + 2𝑖) 𝑧 + 𝑧 = 4𝑖 − 20.Tìm |𝑧| Nhập : (1 + 2𝑖)2 𝑋 +Conjg(X) CALC: 10000 +100.i = Ta kết -20400+39600i ta phân tích -( 20000+400) +(40000-400)i tức 𝑎=4 2𝑎 + 4𝑏 = 20 -(2a+4b)+(4a-4b)i = -20+4i ⟺ { ⟺{ ⟹ |𝑧| = 𝑏=3 4𝑎 − 4𝑏 = (chỉ dùng pp phương trình đơn giản, khơng chứa phân số, thức) c)Tìm max,min số phức: cho |𝑧 − 𝑥𝐼 − 𝑦𝐼 𝑖| = 𝑅 Tìm max,min |𝑧 − 𝑥𝐸 − 𝑦𝐸 𝑖| Xác định 𝐼(𝑥𝐼 ; 𝑦𝐼 ); 𝐸(𝑥𝐸 ; 𝑦𝐸 ); 𝑅 𝑣à độ 𝑑à𝑖 𝐼𝐸 MAX MIN Max = M = IE + R Min = |IE-R| ; m = IE – R 𝑀 𝑥𝐼 − 𝑅 𝑥𝐸 𝑀 𝑦𝐼 − 𝑅 𝑦𝐸 𝑚 𝑥𝐼 + 𝑅 𝑥𝐸 𝑚 𝑦𝐼 + 𝑅 𝑦𝐸 𝑧= + 𝑖 𝑧 = + 𝑖 𝐼𝐸 𝐼𝐸 𝐼𝐸 𝐼𝐸 CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1)Phương trình 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = ; Đặ𝑡 ∶ 𝑥 = 𝑡 ; đ𝑘: 𝑡 ≥ ⟹ 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 𝑔(𝑥) ≥ |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥) ⇔ { ; |𝑓(𝑥)| = |𝑔(𝑥)| ⟺ 𝑓(𝑥) = ±𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = ±𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥)𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥) ≥ |𝑓(𝑥)| = [ ; √𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ { 𝑓(𝑥) = 𝑔2 (𝑥) −𝑓(𝑥)𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥) < 2)Bất phương trình 𝑔(𝑥) < 𝑓(𝑥) ≥ { 𝑓(𝑥) ≥ ; √𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) ⟺ { 𝑔(𝑥) > √𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑔(𝑥) ≥ { 𝑓(𝑥) < 𝑔2 (𝑥) [ 𝑓(𝑥) > 𝑔2 (𝑥) 3)Bất đẳng thức Cosi: 𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏; đ𝑘 (𝑎; 𝑏 ≥ 0) Dấu “=” xảy a = b 𝑎 𝑏 Bunhia: (𝑎2 + 𝑏 )(𝑥 + 𝑦 ) ≥ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)2 Dấu “=” xảy = 𝑥 𝑦 4)Casio phép phá đa thức tách tích Ví dụ: Rút gọn 3(𝑥 + 2𝑥)2 − 4𝑥 + (𝑥 − 1)3 + 𝑁ℎậ𝑝 3(𝑋 + 2𝑋)2 − 4𝑋 + (𝑋 − 1)3 + CALC : 1000 = ta 3.009009003 x 1012 lấy 12 : = tức 3𝑥 Ấn ← điền thêm – (3𝑥 =.Ta 9009003003 ấn ENG 9.009003003x109 lấy 9:3=3 tức 9𝑥 Ấn ← điền thêm – (3𝑥 + 9𝑥 = Ta 9003003 ấn ENG 9.003003x106 lấy 6:3=2 tức 9𝑥 Ấn ← điền thêm – (3𝑥 + 9𝑥 + 9𝑥 = Ta 3003 ấn ENG 3.003x103 lấy 3:3=1 tức 3x Ấn ← điền thêm – (3𝑥 + 9𝑥 + 9𝑥 + 3𝑥 = Ta Vậy đa thức phá : 3𝑥 + 9𝑥 + 9𝑥 + 3𝑥 + Ví dụ:Tách tích 𝑧 − 4𝑥 + 14𝑧 − 36𝑧 + 45 Giả sử ta biết biểu thức tách thành (𝑧 − 4𝑧 + 5)(… ) Ta tìm biểu thức lại cách sau: Nhập 𝑧 −4𝑥 +14𝑧 −36𝑧+45 𝑧 −4𝑧+5 CALC 1000 làm ta : 𝑧 + CHƯƠNG VI : TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN OXYZ 1)Cơng thức tọa độ 𝑀(𝑥𝑀 ; 𝑦𝑀 ; 𝑧𝑀 ) ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = 𝑥𝑀 𝑖 + 𝑦𝑀 𝑗 + 𝑧𝑀 𝑘⃗ ; 𝑖 = (1; 0; 0); 𝑗 = (0; 1; 0) 𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 𝑧 +𝑧 𝑘⃗ = (0; 0; 1) Trung điểm M AB: ( 𝐴 𝐵 ; 𝐴 𝐵 ; 𝐴 𝐵) Trọng tâm G tam giác ABC : ( 2 𝑥𝐴 +𝑥𝐵 +𝑥𝑐 𝑦𝐴 +𝑦𝐵 +𝑦𝑐 𝑧𝐴 +𝑧𝐵 +𝑧𝑐 ) 𝑥 = 𝑥′ -Hai vecto : 𝑎 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑏⃗ = (𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ; 𝑧 ′ ) ⇔ {𝑦 = 𝑦′ 𝑧 = 𝑧′ -Tích vơ hướng : 𝑎 𝑏⃗ = 𝑥 𝑥 ′ + 𝑦 𝑦 ′ + 𝑧 𝑧′; 𝑎 ⊥ 𝑏⃗ ⇔ 𝑎 𝑏⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝐴𝐵2 -Độ dài vecto : |𝑎| = √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ; |𝐴𝐵 -Góc vecto : cos(𝑎; 𝑏⃗) = ; ; 𝑥.𝑥 ′ +𝑦.𝑦 ′ +𝑧.𝑧′ √𝑥 +𝑦 +𝑧 √(𝑥 ′ )2 +(𝑦 ′ )2 +(𝑧 ′ )2 (𝑦𝑧 ′ − 𝑦 ′ 𝑧 ; 𝑧𝑥 ′ − 𝑧 ′ 𝑥 ; 𝑥𝑦 ′ − 𝑥 ′ 𝑦) -Tích có hướng : [𝑎, 𝑏⃗] = ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ -A,B,C thẳng hàng : [𝐴𝐵 𝐴𝐶 ] = ⃗0 ; Diện tích ∆ABC: 𝑆 = |[𝐴𝐵 𝐴𝐶 ]| ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ -A,B,C,D đồng phẳng : [𝐴𝐵 𝐴𝐷 = 0; 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = |[𝐴𝐵 𝐴𝐷| 2)Phương trình mặt cầu: (𝑆): (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑅2 ; 𝑇â𝑚 𝐼 (𝑎; 𝑏; 𝑐); 𝑅 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ ⟺ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑐𝑧 + 𝑑 = 0; 𝑅 = √𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 3)Phương trình mặt phẳng (𝑃): 𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐶 (𝑧 − 𝑧0 ) = ⇔ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 𝑛⃗ = (𝐴; 𝐵; 𝐶)𝑙à 𝑉𝑇𝑃𝑇 ⊥ (𝑃) Điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) ∈ (𝑃) (P1) // (P2) ⟺ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛1 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2 ; (𝑃1 ) ⊥ (𝑃2 ) ⇔ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2 = Mp(oxy): z = ; Mp(oxz): y = ; Mp(oyz): x = 𝑥 𝑦 𝑧 Mp(P) cắt ox;oy;oz điểm A;B;C có dạng : + + = 𝑑(𝑀; (𝑃)) = |𝐴𝑥𝑀 +𝐵𝑦𝑀 +𝐶.𝑧𝑀 +𝐷| √𝐴2 +𝐵2 +𝐶 𝑎 𝑏 ; cos((𝑃1 ); (𝑃2 )) = 𝑐 |𝐴1 𝐴2 +𝐵1 𝐵2 +𝐶1 𝐶2 | √𝐴21 +𝐵12 +𝐶12 √𝐴22 +𝐵22 +𝐶22 (P) tiếp xúc (S) ⇔ 𝑑(𝐼; (𝑃)) = 𝑅 ; (P) không cắt (S) ⇔ 𝑑(𝐼; (𝑃)) > 𝑅 (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C) ⇔ 𝑑(𝐼; (𝑃)) < 𝑅; 𝑟 + 𝑑2 = 𝑅 4) Phương trình đường thẳng 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 𝑥−𝑥0 𝑦−𝑦0 𝑧−𝑧0 Pt tham số (d): {𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 ; Pt tắc (d): = = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡 𝑢 ⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐)𝑙à 𝑉𝑇𝐶𝑃 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔, 𝑡𝑟ù𝑛𝑔 (𝑑) Điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) ∈ (𝑑) -Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mp(P) 𝐴(𝑥0 + 𝑎𝑡) + 𝐵(𝑦0 + 𝑏𝑡) + 𝐶(𝑧0 + 𝑐𝑡) + 𝐷 = Pt có nghiệm (d) cắt (P) ; Pt vơ nghiệm (d)//(P); Pt vơ số nghiệm d⊂ 𝑃 (d)⊥ (𝑃) ⇔ 𝑢 ⃗ = 𝑘 𝑛⃗ ; (d) // (P) d ⊂ (𝑃) ⇔ 𝑢 ⃗ 𝑛⃗ = -Xét vị trí tương đối (d) (d’) [𝑢 ⃗ , ⃗⃗⃗ 𝑢′ ] = ⃗0 [𝑢 ⃗ , ⃗⃗⃗ 𝑢′ ] = ⃗0 (d) // (d’) ⇔ { ; (d) trùng (d’) ⇔ { ′ 𝑀 ∉ (𝑑 ) 𝑀 ∈ (𝑑′ ) ′ ⃗⃗⃗ ⃗ [𝑢 ⃗ ,𝑢 ] ≠ (d) cắt (d’) ⇔ { ; (d) chéo (d’) ⇔ [𝑢 ⃗ , ⃗⃗⃗ 𝑢′ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀′ ≠ ⃗⃗⃗ [𝑢 ⃗ , 𝑢′ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀′ = -Khoảng cách góc |[𝑢 ⃗ , ⃗⃗⃗ 𝑢′ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀′ | |[𝑢 ⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀]| |𝑢 ⃗ 𝑛⃗| 𝑑(𝐴; (𝑑)) = ; 𝑑(𝑑; 𝑑′) = ; sin(𝑑; (𝑃)) = |𝑢 ⃗| |𝑢 ⃗ | |𝑛⃗| |[𝑢 ⃗ , ⃗⃗⃗ 𝑢′ ]| cos(𝑑; 𝑑′ ) = ⃗⃗⃗⃗′ | ⃗ 𝑢 |𝑢 ⃗⃗⃗⃗′ | ⃗ |.|𝑢 |𝑢 Phân giác 𝑑1 𝑣à 𝑑2 𝑐ó: [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 𝑢 + ⃗⃗⃗⃗2 ⃗⃗⃗⃗1 | |𝑢 |𝑢2 | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢 𝑢 = ⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗2 |𝑢1 | |𝑢2 | 𝑢 ⃗ = 𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑢 ⃗ 𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐 𝑛𝑔𝑜à𝑖 ( Với điều kiện ⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝟏 ⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝟐 > ) 5)Casio hình học Oxyz a)Tính tích có hướng tích hỗn tạp MODE 1 ( nhập số liệu cho 𝑎 ) SHIFT 2 (nhập số liệu cho 𝑏⃗ ) SHIFT (nhập số liệu cho 𝑐 Ấn AC khỏi hình Tính [𝑎, 𝑏⃗] ấn SHIFT SHIFT = Tính [𝑎, 𝑏⃗] 𝑐 ấn SHIFT SHIFT SHIFT SHIFT 5 = b)Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD: (MODE 2) a b c d 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 (𝑥𝐵2 + 𝑦𝐵2 + 𝑧𝐵2 − 𝑥𝐴2 − 𝑦𝐴2 − 𝑧𝐴2 ): 𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 𝑧𝐶 − 𝑧𝐴 (𝑥𝐶2 + 𝑦𝐶2 + 𝑧𝐶2 − 𝑥𝐴2 − 𝑦𝐴2 − 𝑧𝐴2 ): 𝑥𝐷 − 𝑥𝐴 𝑦𝐷 − 𝑦𝐴 𝑧𝐷 − 𝑧𝐴 (𝑥𝐷2 + 𝑦𝐷2 + 𝑧𝐷2 − 𝑥𝐴2 − 𝑦𝐴2 − 𝑧𝐴2 ): 𝟐 Kết (x;y:z) tọa độ tâm I 𝑹 = 𝑰𝑨𝟐 6)Một số dạng tập thường gặp 𝐼𝐴2 = 𝐼𝐵2 ; 𝐼𝐴2 = 𝐼𝐶 a)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: { 𝐼 ∈ (𝐴𝐵𝐶) ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; 𝐻𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 𝐻𝐵 b)Tìm trực tâm H tam giác ABC: { 𝐻 ∈ (𝐴𝐵𝐶) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BC.OA+AC.OB+AB.OC c)Tìm E tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC: ⃗⃗⃗⃗⃗ OE = BC+AC+AB d) Tìm hình chiếu H điểm đối xứng A’ điểm A mp (P): Viết pt đường thẳng (d) qua A vuông (P) Lấy giao điểm H d (P) H hình chiếu A H trung điểm AA’ e)Tìm h/c H điểm đối xứng A’ điểm A đường thẳng (d) Viết pt mp(P) qua A vuông (d) Lấy giao điểm H d (P) H hình chiếu A H trung điểm AA’ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ] 𝑛 = [𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗ f)Viết pt mp(P) qua điểm A,B,C: { 𝑃 𝐴 ∈ (𝑃) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ 𝑛 = [𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑑 ] g)Viết pt mp(P) chứa A đường thẳng (d) : { 𝑃 với M ∈ (𝑑) 𝐴 ∈ (𝑃) 𝑛⃗ = 𝑢 ⃗𝑑 h)Viết phương trình mp(P) qua A vng góc với (d): { 𝑃 𝐴 ∈ (𝑃) u = [𝑛 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑃 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑄 ] i)Viết pt (d) = (P) ∩ (Q): { d với 𝑀 ∈ (𝑃) ∩ (𝑄)𝑐ℎọ𝑛 𝑧 = M ∈ (𝑑) j)Viết pt (d) đoạn vng góc chung d1 d2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 = Tham số hóa M N d1 d2 theo ẩn t1 t2 Giải hệ { ⃗⃗⃗⃗ 𝑈2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 = Đường thẳng (d) đường thẳng qua MN k)Mp(P) cắt mc (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Gọi I ,H tâm (S) (C) R,r bán kính (S) (C) Ta có H hình chiếu vng góc I (P) 𝑑(𝐼; (𝑃)) = 𝑑 ⇒ 𝑑2 + 𝑟 = 𝑅2 CHƯƠNG VII: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1)Cơng thức tính thể tích a)Thể tích hình chóp: 𝑉 = 𝑆 ℎ ; b) Thể tích lăng trụ: 𝑉 = 𝑆 ℎ 2)Các cơng thức hình học phẳng a)Tamg giác 𝐴𝐵2 √3 𝐴𝐵√3 𝐴𝐵√3 𝐴𝐵√3 𝑆= ; 𝐴𝐻 = ; 𝐴𝐺 = ; 𝐺𝐻 = b)Tam giác vuông 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑆= ; 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 ; 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐻 𝐵𝐶; 𝐴𝐶 = 𝐶𝐻 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐻𝐵 𝐻𝐶 = 𝐴𝐻 ; 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶; 𝐴𝐻 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝑀 = 𝐵𝐶; 𝑠𝑖𝑛𝐵 = ; 𝑐𝑜𝑠𝐵 = ; 𝑡𝑎𝑛𝐵 = ; 𝑐𝑜𝑡𝐵 = 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 c)Tam giác thường 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 − 2𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝐴𝐶) 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 − 𝐵𝐶 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝐴𝐶) = ; 𝑝= 2𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝑀2 = − ; = = = 2𝑅 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝐴𝐻 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑆= = = = 𝑝 𝑟 2 4𝑅 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝐴𝐵)(𝑝 − 𝐴𝐶)(𝑝 − 𝐵𝐶) ( công thức Herong) AH: đường cao; AM đường trung tuyến, S diện tích tam giác, R bán kính đường tròn ngoại tiếp,r bán kính đường tròn nội tiếp,p nửa chu vi -Trọng tâm: giao đường trung tuyến ; -Trực tâm: giao điểm đường cao -Tâm đường tròn ngoại tiếp: giao điểm đường trung trực -Tâm đường tròn nội tiếp: giao điểm đường phân giác d)Hình vng 𝐴𝐵√2 𝑆 = 𝐴𝐵2 ; 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵√2; 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐷 = e)Hình chữ nhật √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 𝑆 = 𝐴𝐵 𝐴𝐷; 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 ; 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐷 = f)Hình thoi 𝐴𝐶.𝐵𝐷 𝑆= ; Nếu hình thoi có góc đỉnh 600 1200 hình thoi 𝐴𝐵2 √3 cấu tạo tam giác 𝑆 = g)Hình thang vuông cân 𝐴𝐵(𝐴𝐷 + 𝐵𝐶) 𝐵𝐶 ̂ = 900 𝑆= ; ∆𝐼𝐴𝐷 ∼ ∆𝐼𝐶𝐵 ; 𝑁ế𝑢 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = ⟹ 𝐵𝐷𝐶 2 𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 = 𝐼 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 Nửa lục giác hình thang cân: { 𝐵𝐷𝐶 ̂ = 𝐶𝐴𝐵 ̂ = 900 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐷 3) Các phương pháp xác định chân đường cao a)Cạnh bên vng góc với đáy: SA ⊥ (ABC) b)Mặt bên vng góc với đáy: (SAB) ⊥ (ABC) đường cao SH SAB đường cao hình chóp.Nếu SAB ∆ , cân S H trung điểm AB c)Chóp đều: có chân đường cao trọng tâm giao đường chéo Đáy chóp tam giác hình vng d)Lăng trụ đứng,đều, hộp chữ nhật,lập phương: cạnh bên đường cao Như AA’ ; BB’ ;CC’ ; DD’…… e) Hai mặt bên vuông đáy: giao tuyến mặt đường cao f)Các cạnh bên nhau,hoặc tạo đáy góc : chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Tâm đường tròn ngoại tiếp đáy -Tam giác vuông: Trung điểm cạnh huyền -Tam giác đều: Trọng tâm -Tam giác thường: giao đường trung trực -Hình vng, chữ nhật: tâm 4)Xác định góc a) Đường thẳng (d) mp(P): Tìm giao điểm M d (P) Chọn d ̂ ̂ (𝑃)) = 𝑆𝑀𝐴 điểm S khác M , từ S hạ SA ⊥ (P)⟹ (𝑑; b)Mp(P) mp(Q): Tìm giao tuyến ∆ (P) (Q) Từ chân đường cao A ̂ ̂ (𝑄)) = 𝑆𝑀𝐴 hạ AM ⊥ ∆ Nối đỉnh đường cao S với M ⟹ ((𝑃); c)Đường thẳng (d) (∆): Dời song song đường thẳng gốc 5)Khoảng cách a)Khoảng cách từ điểm thuộc mp đáy đến mp chứa toàn đường cao Từ điểm kẻ đoạn thẳng ⊥ với giao tuyến mp đáy mp cần tính khoảng cách Đoạn thẳng khoảng cách cần tìm b)Khoảng cách từ chân đường cao đến mp chứa đỉnh đường cao Chân đường cao A, đỉnh đường cao S, mặt phẳng đáy (ABC), mặt phẳng cần tình khoảng cách (SBC) -Từ A kẻ đoạn thẳng AM ⊥ với giao tuyến mp đáy mp cần tính 𝐴𝑀.𝐴𝑆 khoảng cách (BC) Kẻ AH⊥ SM⟹ 𝐴𝐻 = 𝑑(𝐴; (𝑆𝐵𝐶)) = √𝐴𝑀2 +𝐴𝑆 c)Khoảng cách đường thẳng chéo (d;d’) Chọn (P) chứa d (chứa đỉnh đường cao) song song với d’ Chọn d’ điểm A (A thuộc đáy) ⇒ 𝑑(𝑑; 𝑑′ ) = 𝑑(𝐴; (𝑃)) d)Tỷ lệ khoảng cách : 𝑑(𝐴;(𝑃)) 𝐼𝐴 AB giao (P) I⇒ = ; AB // (P) ⇒ 𝑑(𝐴; (𝑃)) = 𝑑(𝐵; (𝑃)) 𝑑(𝐵;(𝑃)) 𝐼𝐵 6)Tỷ lệ thể tích 𝑉 𝑆𝑀.𝑆𝑁.𝑆𝑃 Cho chóp S.ABC, lấy SA,SB,SC điểm M,N,P : 𝑆.𝑀𝑁𝑃 = 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 𝑆𝐴.𝑆𝐵.𝑆𝐶 7)Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,lăng trụ -Chóp: tìm tâm đường tròn ngoại tiêp đáy O Từ O dựng d song song trùng đường cao Chọn cạnh bên từ dựng đường thẳng trung trực mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt d I Ta có I tâm cần tìm SI = R -Lăng trụ: Trung điểm nối tâm đáy tâm I -Chóp đều: 𝑅 = 𝑆𝐴2 2.𝑆𝑂 𝑆𝐴2 Chóp có SA vng đáy: 𝑅 = √ -Chóp có mặt bên vng đáy: 𝑅 = √𝑅𝑏2 + 𝑅đ2 − 𝐺𝑇 4 + 𝑟2 ; (GT: giao tuyến) 8)Một số công thức nhanh hình đặc biệt 𝑎3 √2 𝑎3 √2 -Hình tứ diện đều,chóp tứ giác tất cạnh a : 𝑉 = ;𝑉= 12 -Thể tích tam diện: 𝑆𝐴.𝑆𝐵.𝑆𝐶 𝑉= √1 − cos2 𝑆1 − cos2 𝑆2 − cos2 𝑆3 + 2𝑐𝑜𝑠𝑆1 𝑐𝑜𝑠𝑆2 𝑐𝑜𝑠𝑆3 9)Phương pháp tọa độ hóa hình khơng gian Ví dụ: Cho chóp S.ABC cạnh đáy a; đường cao SH = 2a Tọa độ hóa điểm sau: √3 ; 0; 0); 𝐵(0; ; 0) 2 √3 √3 (0; − ; 0) ; 𝐻 ( ; 0; 0) ; 𝑆 ( ; 0; 2) 6 O(0;0;0); A( 𝐶 H trọng tâm S lấy tọa độ H cao độ SH 10)Một số đặc điểm khối đa diện Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt Tâm đx (3;3) Tứ diện Khơng có (4;3) Lập phương 12 Có (3;4) Tám mặt 12 Có CHƯƠNG VIII: KHỐI TRÒN XOAY 1)Mặt cầu: 𝑆 = 4𝜋𝑅2 ; 𝑉 = 𝜋𝑅3 (R bán kính;h đường cao; l đường sinh) 2)Mặt nón: 𝑆𝑥𝑞 = 𝜋𝑅 𝑙 ; 𝑆𝑡𝑝 = 𝜋𝑅𝑙 + 𝜋𝑅2 ; 𝑉 = 𝜋𝑅2 ℎ ; ℎ2 + 𝑅2 = 𝑙 3)Mặt trụ: 𝑆𝑥𝑞 = 2𝜋𝑅 𝑙 ; 𝑆𝑡𝑝 = 2𝜋𝑅𝑙 + 2𝜋𝑅2 ; 𝑉 = 𝜋𝑅2 ℎ ; ℎ = 𝑙 ℎ 4)Đường tròn: 𝑆 = 𝜋 𝑅2 ; 𝐶ℎ𝑢 𝑣𝑖 = 2𝜋𝑅 5)Chỏm cầu: 𝑉 = 𝜋ℎ2 (𝑅 − ) 6)Nón cụt: 𝑉 = 𝜋ℎ(𝑅12 +𝑅22 +𝑅1 𝑅2 ) ; 7) Hình xuyến: 𝑉 = 𝜋2 (𝑅+𝑟)(𝑅−𝑟)2 ... + 9