Sử dụng trục xét dấu Đối với hệ phương trình chủ yếu sử dụng phương pháp thế 5Bài toán thực tế aTìm số chữ số của ?? ?à: ?ấ? ?ℎầ? ????ê? ????? + 1 bBài toán lãi suất : ? = ?... Các phé
Trang 1
CHƯƠNG I : HÀM SỐ
1)Công thức đạo hàm
Hàm cơ bản
(𝑥𝑛)′= 𝑛 𝑥𝑛−1 ; (𝐶′) = 0
(𝑘 𝑢)′= 𝑘 𝑢′; (1
𝑥
′
𝑥2
√𝑥′= 1
2√𝑥 ; (𝑠𝑖𝑛𝑥)
′= 𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥)′= −𝑠𝑖𝑛𝑥 ; (𝑡𝑎𝑛𝑥)′= 1
cos 2 𝑥
(𝑐𝑜𝑡𝑥)′= − 1
sin 2 𝑥
(𝑢 𝑣)′= 𝑢′𝑣 + 𝑣′𝑢 ; (𝑢
𝑣)′=𝑢′𝑣−𝑣′𝑢
𝑣 2
(𝑎𝑥)′= 𝑎𝑥 𝑙𝑛𝑎 ; (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥
(𝑙𝑛𝑥)′=1
𝑥 ; (log𝑎𝑥)′ = 1
𝑥.𝑙𝑛𝑎
Hàm hợp
(𝑢𝑛)′= 𝑛 𝑢𝑛−1 𝑢′ ; (1
𝑢)
′
′
𝑢2
√𝑢′= 𝑢′
2√𝑢 ; (𝑠𝑖𝑛𝑢)′= 𝑢′ 𝑐𝑜𝑠𝑢 (𝑐𝑜𝑠𝑢)′= −𝑢′ 𝑠𝑖𝑛𝑢
(𝑡𝑎𝑛𝑢)′= 𝑢′
cos 2 𝑢; (𝑐𝑜𝑡𝑢)′= − 𝑢′
sin 2 𝑢
(sin𝑛𝑢)′= 𝑛 u′ sin𝑛−1𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 (cos𝑛𝑢)′= −𝑛 u′ sin𝑛−1𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑢 (tan𝑛𝑢)′=𝑛.𝑢′.tan𝑛−1𝑢
cos 2 𝑢
(𝑎𝑢)′= 𝑢′ 𝑎𝑢 𝑙𝑛𝑎 ; (𝑒𝑢)′ = 𝑢′ 𝑒𝑢
(𝑙𝑛𝑢)′=𝑢′
𝑢 ; (log𝑎𝑢)′ = 𝑢′
𝑢.𝑙𝑛𝑎
2)Sự biến thiên và đồ thị hàm số
Hàm bậc 3
𝑦 = 𝐴𝑥3+ 𝐵𝑥2+ 𝐶𝑥 + 𝐷
𝑦′= 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐
∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐 ; ∆′= 𝑏′2− 𝑎𝑐
Hàm bậc 4
𝑦 = 𝑎 𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐
𝑦′= 4𝑎𝑥3+ 2𝑏𝑥 = 2𝑥(2𝑎𝑥2+ 𝑏)
Hàm hữu tỷ
𝑦 =𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
𝑦′= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 (𝑐𝑥 + 𝑑)2
Đơn
điệu
Đồng biến trên R (tính y’)
{𝑎 > 0
∆ ≤ 0 ( xét TH a = 0)
Nghịch biến R (tính y’)
{𝑎 < 0
∆ ≤ 0 ( xét TH a = 0)
Đơn điệu trên khoảng ( )
Cô lập m Xét g(x)
𝑔(𝑥) ≥ 𝑚 ⟺ 𝑀𝑖𝑛𝑔(𝑥) ≥ 𝑚
𝑔(𝑥) ≤ 𝑚 ⟺ 𝑀𝑎𝑥𝑔(𝑥) ≤ 𝑚
Đồng biến 𝑦′ ≥ 0 Nghịch biến 𝑦′ ≤ 0 Tìm nghiệm của y’=0
từ đó lập trục xét dấu
để đưa ra kết luận
𝑥1 0 𝑥2 ( 𝑎 > 0)
Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ
𝑦′> 0 hoặc
𝑦′< 0 Tức
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 > 0 hoặc
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 < 0
Cực
trị
Có 2 cực trị {𝑎 ≠ 0
∆> 0 Không có cực trị [∆≤ 0
𝑎 = 0 Định lý viét
{𝑥1+ 𝑥2= −
𝑏 𝑎
𝑥1𝑥2=𝑐 𝑎 Một số công thức trong Oxy
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐵− 𝑥𝐴; 𝑦𝐵− 𝑦𝐴)
𝐴𝐵 = √𝑥2+ 𝑦2
Trung điểm M của AB
𝑀 (𝑥𝐴+ 𝑥𝐵
𝑦𝐴+ 𝑦𝐵
Khoảng cách
𝑑 =|𝑎 𝑥𝑀+ 𝑏 𝑦𝑀+ 𝑐|
√𝑎2+ 𝑏2
Có 1 CT: 𝑎 𝑏 ≥ 0
Có 3 CT: 𝑎 𝑏 < 0
Có CĐ không có CT {𝑎 < 0
𝑏 ≤ 0 hoặc {
𝑎 = 0
𝑏 < 0
Có CT không có CĐ {𝑎 > 0
𝑏 ≥ 0 hoặc {
𝑎 = 0
𝑏 > 0
3 Cực trị lập thành
- Tam giác vuông
𝑏 = −2√𝑎3
- Tam giác đều
𝑏 = −√24𝑎3 -Tam giác có S
𝑏 = −2√𝑆5 2 𝑎3
-Có góc 𝜑
𝑏 = −2√𝑎 cot2(𝜑
2)
3
Không có cực trị
Lưu ý Cách tìm cực trị Cho hàm bậc 3
và bậc 4
𝑥 = 𝑥0 𝑙à 𝐶𝑇
′(𝑥0) = 0 𝑓"(𝑥0) > 0
𝑥 = 𝑥0 𝑙à 𝐶Đ
⟹ {𝑓′(𝑥0) = 0 𝑓"(𝑥0) < 0
Điểm uốn
𝑦" = 0
⇔ 𝑥 = 𝑥0
y” đổi dấu qua nghiệm 𝑥 = 𝑥0
Tiệm
cận
CASIO tìm tiệm cận các hàm phức tạp
Nhập hàm f(x) chế độ radian (SHIFT MODE 4 )
-Tìm tiệm cận đứng: 𝑀ẫ𝑢 = 0 → [𝑉ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚𝑥 = 𝑥
0
CALC [𝑥0+ 10^(−5
𝑥0− 10^(−5 ra 1 số cực lớn là TCĐ
-Tìm tiệm cận ngang
−999999 ra 1 con số là TCN
Tiệm cận đứng
𝑐 Tiệm cận ngang
𝑐 Tâm đối xứng
𝐼 (−𝑑
𝑐;
𝑎
𝑐)
GTLN
GTNN
Nhập hàm f(x) chế độ radian (SHIFT MODE 4 )
Máy Vn plus hoặc Vinacal ấn SHIFT MODE ↓ 5 1
MODE 7 ( TABLE) Nhập hàm f(X)
-Nếu đề bài cho đoạn [a;b] hoặc tự tìm theo TXĐ
Start ? : a End ? : b Step ? : (End –Start) : 20
-Nếu đề bài không cho khoảng đoạn
Start ? : -9 End ? : 9 Step ? : 1
-Nếu đề bài là hàm lượng giác không cho khoảng đoạn
Start ? : 0 End ? : 2.𝜋 Step ? : 𝜋: 10
Tiếp
tuyến
(tt)
𝑦 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0) 𝑉ớ𝑖 ∶ tan(𝜑) = 𝑓′(𝑥0)là hệ số góc của tt
Tiếp tuyến // (d): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑓′(𝑥0) = 𝑎 Nếu tt ⊥ (𝑑): 𝑓′(𝑥0) = −1
𝑎
-Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất nằm tại điểm uốn
-Các trường hợp đặc biệt thường có 𝑓′(𝑥0) = ±1
(tt cắt TCĐ và TCN tại A,B sao cho AB nhỏ nhất)
Đồ thị hàm
số
𝑎 > 0
𝑎 < 0
Sự tương giao của hai đồ thị
Xét phương trình hoành độ giao điểm 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) -Giản đồ hoocne ( rơi đầu –nhân ngang – cộng chéo) -Pt 𝑔(𝑥) = 0 không có nghiệm 𝑥0 thì 𝑔(𝑥0) ≠ 0 -Nghiệm của pt 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐 = 0 có 4 nghiệm lập CSC
𝑏 = ±10
3 √𝑎 𝑐 -Biện luận theo m số nghiệm pt ( dựa vào hình dáng đồ thị) -Hàm mang dấu giá trị tuyệt đối
𝑦 = |𝑓(𝑥)| Lấy đối xứng bên dưới ox lên trên và xóa phần dưới ox đi
𝑦 = 𝑓(|𝑥|).Xóa phần trái oy và lấy đối xứng phần bên phải
oy sang bên trái oy -Điều kiện tiếp xúc của 2 đường cong {𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)
Toán thực
tế
𝑆′(𝑡) = 𝑉(𝑡); 𝑉′(𝑡) = 𝑎(𝑡) Với S là quãng đường, V là vận tốc và a là gia tốc
𝑉 = 𝑉0+ 𝑎 𝑡 ; 𝑆 = 𝑆0+ 𝑉0𝑡 +1
2𝑎 𝑡
2
Sử dụng casio xét tình đồng biến và nghịch biến của hàm số trên khoảng đoạn (a;b)
MODE 7 (TABLE) Start ? a End ? b Step ? (b-a):20 Nếu cột F(x) tăng hàm số đồng biến và giảm là nghịch biến
CHƯƠNG II : HÀM SỐ MŨ -LOGARIT
1)Công thức cơ bản hàm mũ
a)Công thức hàm số mũ
𝑎0= 1 ; 𝑎1= 𝑎; 1𝑛= 1 ; 𝑎𝑚 𝑎𝑛= 𝑎𝑚+𝑛; 𝑎
𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
𝑎𝑚 𝑏𝑚= (𝑎𝑏)𝑚; (𝑎𝑚)𝑛= 𝑎𝑚.𝑛 ; 𝑎
𝑚
𝑏𝑚= (𝑎
𝑏)
𝑚
; 1
𝑎𝑚= 𝑎−𝑚
√𝑎𝑚 𝑛
= 𝑎𝑚𝑛 ; Không tồn tại 00 𝑣à 0−𝑛
b) Điều kiện xác định của hàm số mũ – lũy thừa
(𝑓(𝑥))𝑛 nếu [
𝑛 ∈ 𝑁 {1; 2; 3; 4; … } → 𝑓(𝑥) 𝑐ó 𝑛𝑔ℎĩ𝑎
𝑛 ∈ 𝑍−{−1; −2; −3; … } → 𝑓(𝑥) ≠ 0
𝑛 𝑛ℎữ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 {1
2; 𝜋; √3; … } → 𝑓(𝑥) > 0
c) So sánh
Với 𝑎 > 1 𝑡ℎì 𝑎𝑚> 𝑎𝑛⟺ 𝑚 > 𝑛 Với 0 < 𝑎 < 1 𝑡ℎì 𝑎𝑚> 𝑎𝑛⟺ 𝑚 < 𝑛
2)Công thức cơ bản hàm logarit
a)Công thức hàm số logarit
log𝑎1 = 0; log𝑎𝑎𝑛= 𝑛 ; log𝑎𝑎 = 1 ; 𝑎log𝑎𝑏= 𝑏 log𝑎(𝑏𝑐) = log𝑎𝑏 + log𝑎𝑐 ; log𝑎(𝑏
𝑐) = log𝑎𝑏 − log𝑎𝑐 log𝑎𝑛𝑏 =1
𝑛log𝑎𝑏 ; log𝑎𝑏𝑛= 𝑛 log𝑎𝑏; 1
log𝑎𝑏= log𝑏𝑎 log𝑎𝑏 =logc 𝑏
log 𝑐 𝑎; log𝑐𝑎 log𝑎𝑏 = log𝑐𝑏 ; 𝑎log𝑐𝑏= 𝑏log𝑐𝑎
log𝑒𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 ; log10𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑥
b) Điều kiện xác định của hàm số logarit
y = log𝑎𝑏 → đ𝑘: {𝑎 > 0; 𝑏 > 0
𝑎 ≠ 1
c) So sánh
Với 𝑎 > 1 𝑡ℎì log𝑎𝑏 > log𝑎𝑐 ⟺ 𝑏 > 𝑐 Với 0 < 𝑎 < 1 𝑡ℎì log𝑎𝑏 > log𝑎𝑐 ⟺ 𝑏 < 𝑐
Trang 2
3) Casio trong hàm mũ và logarit
a)Đạo hàm f(x) : SHIFT ∫ ta được 𝑑
𝑑𝑥(𝑓(𝑥))|𝑥=𝑎 (a ∈ 𝑇𝑋Đ) Kiểm tra các kết quả bằng cách nhập hàm các đáp án CALC a
(chú ý chế độ Radian)
b)Đưa về mũ hữu tỷ: Ví dụ: √𝑥 √𝑥3 2 √𝑥= 𝑥𝑎
Ấn log𝑥√𝑥 √𝑥3 2 √𝑥 CALC x = 5 ta được 𝑎 =1112
c)Tìm nghiệm: Ví dụ : 3𝑥+ 5𝑥= 2 + 6𝑥
Ấn: 3𝑥+ 5𝑥− 2 − 6𝑥 và ấn = Ấn SHIFT CALC = Ta được x = 1
Ấn ← (3𝑥+ 5𝑥− 2 − 6𝑥): (𝑥 − 1) và ấn SHIFT CALC = Ta được x = 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm 𝑥1= 1 𝑣à 𝑥2= 0
d)Biểu diễn loga: Ví dụ: log23 = 𝑎; log35 = 𝑏 Khí đó log1290 là
Ấ𝑛 log23 = 𝑆𝐻𝐼𝐹𝑇 𝑅𝐶𝐿 (−) → 𝐴 (Lưu biến A)
Ấ𝑛 log35 = 𝑆𝐻𝐼𝐹𝑇 𝑅𝐶𝐿 0′′′ → 𝐵 (Lưu biến B).Từ đó thử các đáp án
4)Phương trình ,bất pt và hệ pt mũ – logarit
a)Pt mũ cơ bản : 𝑎𝑓(𝑥)= 𝑏 ⟺ 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑏
𝐴 𝑎𝑓(𝑥)= 𝐵 𝑏𝑓(𝑥)⇔ (𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)
𝐴
b)Đặt ẩn phụ (mũ) : Đặt 𝑎𝑓(𝑥)= 𝑡 ; (đ𝑘 ∶ 𝑡 > 0); 𝑎2𝑓(𝑥)= 𝑡2
𝐴 𝑎2𝑓(𝑥)+ 𝐵 (𝑎𝑏)𝑓(𝑥)+ 𝐶 𝑏2𝑓(𝑥)= 0
⟺ 𝐴 (𝑎
𝑏
2𝑓(𝑥)
+ 𝐵 (𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)
+ 𝐶 = 0 ; Đặ𝑡 ∶ (𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)
= 𝑡 (đ𝑘: 𝑡 > 0)
𝐴 𝑎2𝑓(𝑥)+ 𝐵 𝑎𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)+ 𝐶 𝑎2𝑔(𝑥)= 0
⟺ 𝐴 𝑎2[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)]+ 𝐵 𝑎𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)+ 𝐶 = 0 ; Đặ𝑡 ∶ 𝑎𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)= 𝑡
c)Logarit hóa : 𝑎𝑓(𝑥)= 𝑏𝑔(𝑥)⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) log𝑎𝑏
d)Đạo hàm: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑛ế𝑢 [𝑓′(𝑥) > 0
𝑓′(𝑥) < 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 0 𝑐ó 𝑡ố𝑖 đ𝑎 1 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚
𝑛ế𝑢 [𝑓"(𝑥) > 0
𝑓"(𝑥) < 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 0 𝑐ó 𝑡ố𝑖 đ𝑎 2 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚
e)Pt logarit cơ bản: log𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑏 (đ𝑘: 𝑓(𝑥) > 0)
log𝑎𝑓(𝑥) = log𝑎𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (đ𝑘: 𝑓(𝑥) > 0; 𝑔(𝑥) > 0)
f) Đặt ẩn phụ (loagarit): Đặt : log𝑎𝑓(𝑥) = 𝑡 ⇒ log𝑎𝑓(𝑥) = 𝑡2
Chú ý : log𝑎𝑓2𝑛(𝑥) = 2𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎|𝑓(𝑥)|
g)Bất pt , hệ pt mũ và logarit: Nếu cơ số > 1 bất phương trình giữ nguyên
dấu Nếu cơ số < 1 bất phương trình đảo chiều Sử dụng trục xét dấu
Đối với hệ phương trình chủ yếu sử dụng phương pháp thế
5)Bài toán thực tế
a)Tìm số chữ số của 𝒂𝒏 𝒍à: 𝑙ấ𝑦 𝑝ℎầ𝑛 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎) + 1
b)Bài toán lãi suất : 𝑆 = 𝐴 (1 + 𝑟)𝑛 ; 𝑆 =𝐴(1+𝑟)𝑟 [(1 + 𝑟)𝑛− 1]
Số tiền phải trả : 𝑚 =𝐴.𝑟.(1+𝑟)(1+𝑟)𝑛 𝑛
−1 Bài toán tăng trưởng : 𝑆 = 𝐴 𝑒𝑟.𝑡
c)Tổng cấp số : 𝑆 =𝑛[2𝑢1 +(𝑛−1)𝑑]
2 (𝑐ấ𝑝 𝑠ố +); 𝑆 =𝑈1 (𝑞 𝑛 −1)
𝑞−1 (C.S.Nhân)
CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN
1)Công thức nguyên hàm
Cơ bản
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥
𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶
𝑥𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
𝑥2𝑑𝑥 = −1
𝑥+ 𝐶
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝐶
∫ 𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑎
𝑥
𝑙𝑛𝑎+ 𝐶
Nâng cao
∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶
∫(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛𝑑𝑥 =(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑛+1
𝑎𝑥 + 𝑏=
k
aln|ax + b| + C
𝑎(𝑎𝑥 + 𝑏)+ 𝐶
∫ 𝑒𝑎𝑥𝑑𝑥 =𝑒
𝑎𝑥
∫ 𝑎𝑘𝑥𝑑𝑥 = 𝑎
𝑘𝑥
𝑘 𝑙𝑛𝑎+ 𝐶
∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −1
𝑎cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
∫ cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =1
𝑎sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
cos2(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =
1
atan(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
sin2(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = −
1
acot(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
√1 + 𝑥2= ln |𝑥 + √𝑥2+ 1| + 𝐶
CASIO Nguyên hàm
-Nhập hàm CALC a = -SHIFT tích phân các đáp
án với x = a ( a ∈ 𝑇𝑋Đ)
Ví dụ: ∫ √𝑥 + 2 𝑑𝑥
-Nhập √𝑥 + 2 CALC 5 =
Ta được √7 ≈ 2,645751 -Kiểm tra 4 đáp án A,B,C,D bằng nút SHIFT tích phân các hàm với x = 5
2)Một số dạng nguyên hàm thường gặp
a)Phân thức : ∫𝑷(𝒙)𝑸(𝒙)𝒅𝒙 Nếu bậc P(x) < Q(x) ta tách tích mẫu và đưa về tổng dạng : ∫ (𝑄𝐴
1 (𝑥)+ 𝐵
𝑄2(𝑥)+ ⋯ ) 𝑑𝑥 Ví dụ : ∫𝑥22𝑥+1−3𝑥+2𝑑𝑥= ∫ 2𝑥+1
(𝑥−1)(𝑥−2)𝑑𝑥
= ∫ ( 5
𝑥−2− 3
𝑥−1) 𝑑𝑥 = 5 ln|𝑥 − 2| − 3 ln|𝑥 − 1| + 𝐶; Tìm A,B bằng Casio: Nhập 2𝑥+1
𝑥−1 CALC 2 ta được 5; Nhập 2𝑥+1
𝑥−2 CALC 1 ta được -3 Nếu bậc P(x) > Q(x) ta thực hiện phép chia : Thương + 𝑑ư
𝑚ẫ𝑢
b)Lượng giác:
∫ sin𝑛𝑥 cos𝑚𝑥 𝑑𝑥 Nếu
[
𝑛 𝑐ℎẵ𝑛, 𝑚 𝑙ẻ đặ𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡
𝑛 𝑙ẻ, 𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 đặ𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑡
𝑛 𝑙ẻ, 𝑚 𝑙ẻ đặ𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡
𝑛 𝑐ℎẵ𝑛, 𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 𝑑ù𝑛𝑔 𝑐𝑡 ℎạ 𝑏ậ𝑐
∫ tan𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫(tan𝑛𝑥 + tan𝑛−2𝑥)𝑑𝑥 − ∫ tan𝑛−2𝑥 𝑑𝑥
= ∫ tan𝑛−2𝑥 (1 + tan2𝑥)𝑑𝑥 − ∫ tan𝑛−2𝑥 𝑑𝑥 Đă𝑡: 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡
c)Các công thức lượng giác
sin2𝑥 + cos2𝑥 = 1 ; tan 𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑐𝑜𝑡𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 ; 𝑡𝑎𝑛𝑥 =
1 𝑐𝑜𝑡𝑥
1 + tan2𝑥 = 1
cos2𝑥 ; 1 + cot
2𝑥 = 1 sin2𝑥 ; 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = cos2𝑥 − sin2𝑥 = 1 − 2 sin2𝑥 = 2 cos2𝑥 − 1; 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛𝑥
1−tan 2 𝑥 sin2𝑥 =1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2𝑥 =1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
3𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 4 cos3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥; sin(𝑎 ± 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 ± 𝑠𝑖𝑛𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑎 cos(𝑎 ± 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 ∓ 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 ; sin4𝑥 + cos4𝑥 =3
4+
𝑐𝑜𝑠4𝑥 4 sin6𝑥 + cos6𝑥 =5
8+
3𝑐𝑜𝑠4𝑥
8𝑥 + cos8𝑥 =17
32+
7𝑐𝑜𝑠𝑠4𝑥
cos24𝑥 32
1 ∓ 𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑏; 𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 2 cos (
𝑎 + 𝑏
2 ) cos (
𝑎 − 𝑏
𝑐𝑜𝑠𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑏 = −2 sin (𝑎 + 𝑏
2 ) sin (
𝑎 − 𝑏
2 ) ; 𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2 sin (
𝑎 + 𝑏
2 ) cos (
𝑎 − 𝑏
2 ) 𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2 cos (𝑎 + 𝑏
2 ) sin (
𝑎 − 𝑏
2 ) ; 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 =
cos(𝑎 + 𝑏) + cos (𝑎 − 𝑏)
2 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 =sin(𝑎 + 𝑏) + sin (𝑎 − 𝑏)
2 ; 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 =
cos(𝑎 − 𝑏) − cos (𝑎 + 𝑏)
2
3) Công thức tích phân
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝐹(𝑥)|𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ; ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝑎𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏 𝑎
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎 𝑏
= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑏 𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏 𝑐 𝑐
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−𝑎
= [ 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎 0
( 𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥)𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛)
0 ( 𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥)𝑙à ℎà𝑚 𝑙ẻ)
𝑏𝑥+ 1𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎 0
( 𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥)𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛)
𝑎
−𝑎
T.P từng phần (nhất lô nhì đa tam lượng tứ mũ) 𝐼 = 𝑢 𝑣|𝑎− ∫ 𝑣 𝑑𝑢𝑎𝑏
𝐼 = ∫ 𝑒𝑎𝑏 𝑓(𝑥) sin (𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 Từng phần 2 lần để truy hồi về biểu thức ban đầu
𝑛𝑥 sin𝑛𝑥 + cos𝑛𝑥
𝜋 2 0
𝑛𝑥 sin𝑛𝑥 + cos𝑛𝑥
𝜋 2 0
𝑑𝑥 =𝜋 4
Lượng giác hóa tích phân :
𝑓2(𝑥) + 𝑎2 đặ𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑡 ⟺ 𝑑(𝑓(𝑥)) = 𝑎(1 + tan2𝑡)𝑑𝑡
𝑓2(𝑥) − 𝑎2 đặ𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 cos2𝑡
𝑎2− 𝑓2(𝑥) đặ𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑡 ⇔ 𝑑(𝑓(𝑥)) = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡
Tích phân hàm trị tuyệt đối
∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥
𝑏 𝑎
= ± ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥0 𝑎
∓ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑥0
𝑣ớ𝑖 𝑥0𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑓(𝑥) = 0
4) Ứng dụng tích phân trong tính S và V
Diện tích S và thể tích V của hình phẳng giới hạn bởi hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥);
𝑦 = 𝑔(𝑥); 𝑥 = 𝑎; 𝑥 = 𝑏 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = 𝑓(𝑦); 𝑥 = 𝑔(𝑦); 𝑦 = 𝑐 ; 𝑦 = 𝑑
𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 = ∫ |𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)|𝑑𝑦
𝑑 𝑐 𝑏
𝑎
𝑉 = 𝜋 ∫ |𝑓2(𝑥) − 𝑔2(𝑥)|𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ |𝑓2(𝑦) − 𝑔2(𝑦)|𝑑𝑦
𝑑 𝑐 𝑏
𝑎
(Xoay quanh ox) (Xoay quanh oy)
Trang 3
CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC
1)Công thức cơ bản số phức
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ; 𝑎 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ℎự𝑐 ; 𝑏 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 ả𝑜 ; 𝑖2= −1; 𝑧 = 𝑏𝑖 𝑙à 𝑠ố ả𝑜
𝑧1= 𝑧2⟺ {𝑎𝑏1= 𝑎2
1= 𝑏2 ; 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑛: |𝑧| = √𝑎2+ 𝑏2; 𝑙𝑖ê𝑛 ℎợ𝑝: 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖
|𝑧| = |𝑧|; 𝑧 𝑧 = |𝑧|2 ; 𝑧1
𝑧1 𝑧
𝑧 𝑧 =
𝑧1 𝑧
|𝑧|2; |𝑧1 𝑧2| = |𝑧1| |𝑧2|; |𝑧1
𝑧2| =
|𝑧1|
|𝑧2|
||𝑧1| − |𝑧2|| ≤ |𝑧1+ 𝑧2| ≤ |𝑧1| + |𝑧2|; 𝑖4𝑛= 1; 𝑖4𝑛+1= 𝑖; 𝑖4𝑛+2= −1
𝑖4𝑛+3= −𝑖; √−𝑎 = ±𝑖√𝑎; 𝑇ì𝑚 𝑐ă𝑛 𝑏ậ𝑐 2 𝑐ủ𝑎 𝑧 𝑙à ∶ √|𝑧| − arg (𝑧)
2)Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Đặt: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 Phương trình đường thẳng: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Phương trình đường tròn: (𝑥 − 𝑎)2+ (𝑦 − 𝑏)2= 𝑅2 𝑣ớ𝑖 𝑡â𝑚 𝐼(𝑎; 𝑏)
𝑥2+ 𝑦2− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑅 = √𝑎2+ 𝑏2− 𝑐
Điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) biểu diễn số phức z; |𝑧| là độ dài 𝑂𝑀 ; 𝑧 là điểm đối xứng
với z qua ox Nếu √(𝑥 − 𝑥𝐴)2+ (𝑦 − 𝑦𝐴)2= √(𝑥 − 𝑥𝐵)2+ (𝑦 − 𝑦𝐵)2 thì
tập hợp z là đường trung trực của đoạn thẳng AB
3) Một số dạng toán thường gặp
a)Tìm z: nếu đề bài chỉ có 1 ẩn z ta giải như phương trình bậc 1,2,3….Nếu
đề bài có chứa 𝑧; 𝑧; |𝑧|; … ta nên đặt z = a+b.i thay vào pt tìm a, b
b)Casio trong số phức: MODE 2 (CMPLX) ENG là i Các phép tính
cộng trừ nhân chia được thực hiện như phép tính trong số thực
𝑧 được bấm SHIFT 2 2 là Conjg ( …) |𝑧| được bấm là SHIFT hyp là |…|
-Tìm tập hợp điểm biểu diễn z Ví dụ: 2|𝑧 − 2 + 3𝑖| = |2𝑖 − 1 − 2𝑧|
A.20x-16y-47=0 B.20x+16y-47=0 C.20x+16y+47=0 D.20x-16y+47=0
Nhập biểu thức 2|𝑋 − 2 + 3𝑖| − |2𝑖 − 1 − 2Conjg(X)| CALC:x+yi
Thử đáp án A: CALC 100 + ((20.100-47):16).i = Đáp án nào ra 0 là đúng
-Tìm căn bậc 3 của số phức z : √|𝑧|3
− arg(𝑧)+𝑘2𝜋
3 ( 𝑘 ∈ {0; 1; 2})
-Tìm z khi không có đáp án : ví dụ: (1 + 2𝑖)2 𝑧 + 𝑧 = 4𝑖 − 20.Tìm |𝑧|
Nhập : (1 + 2𝑖)2 𝑋 +Conjg(X) CALC: 10000 +100.i = Ta được kết quả
-20400+39600i ta phân tích là -( 20000+400) +(40000-400)i tức là
-(2a+4b)+(4a-4b)i = -20+4i ⟺ {2𝑎 + 4𝑏 = 20
𝑎 = 4
𝑏 = 3⟹ |𝑧| = 5
(chỉ dùng pp này khi phương trình đơn giản, không chứa phân số, căn thức)
c)Tìm max,min số phức: cho |𝑧 − 𝑥𝐼− 𝑦𝐼 𝑖| = 𝑅
Tìm max,min của |𝑧 − 𝑥𝐸− 𝑦𝐸 𝑖|
Xác định 𝐼(𝑥𝐼; 𝑦𝐼); 𝐸(𝑥𝐸; 𝑦𝐸); 𝑅 𝑣à độ 𝑑à𝑖 𝐼𝐸
Max = M = IE + R
𝑧 =𝑀 𝑥𝐼− 𝑅 𝑥𝐸
𝑀 𝑦𝐼− 𝑅 𝑦𝐸
Min = |IE-R| ; m = IE – R
𝑧 =𝑚 𝑥𝐼+ 𝑅 𝑥𝐸
𝑚 𝑦𝐼+ 𝑅 𝑦𝐸
CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1)Phương trình
𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐 = 0 ; Đặ𝑡 ∶ 𝑥2= 𝑡 ; đ𝑘: 𝑡 ≥ 0 ⟹ 𝑎𝑡2+ 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0
𝑓(𝑥) = ±𝑔(𝑥); |𝑓(𝑥)| = |𝑔(𝑥)| ⟺ 𝑓(𝑥) = ±𝑔(𝑥) |𝑓(𝑥)| = [𝑓(𝑥)𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥) ≥ 0
−𝑓(𝑥)𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥) < 0 ; √𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ {
𝑔(𝑥) ≥ 0 𝑓(𝑥) = 𝑔2(𝑥)
2)Bất phương trình
√𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⟺
[
{𝑔(𝑥) < 0 𝑓(𝑥) ≥ 0
𝑓(𝑥) > 𝑔2(𝑥)
; √𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) ⟺ {
𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑔(𝑥) > 0 𝑓(𝑥) < 𝑔2(𝑥)
3)Bất đẳng thức
Cosi: 𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏; đ𝑘 (𝑎; 𝑏 ≥ 0) Dấu “=” xảy ra khi a = b
Bunhia: (𝑎2+ 𝑏2)(𝑥2+ 𝑦2) ≥ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)2 Dấu “=” xảy ra khi 𝑎
𝑥=𝑏
𝑦
4)Casio trong phép phá đa thức và tách tích
Ví dụ: Rút gọn 3(𝑥2+ 2𝑥)2− 4𝑥3+ (𝑥 − 1)3+ 4
𝑁ℎậ𝑝 3(𝑋2+ 2𝑋)2− 4𝑋3+ (𝑋 − 1)3+ 4 CALC : 1000 = ta được
3.009009003 x 1012 lấy 12 : 3 = 4 tức đây là 3𝑥4 Ấn ← và điền thêm
– (3𝑥4=.Ta được 9009003003 ấn ENG được 9.009003003x109 lấy 9:3=3
tức đấy là 9𝑥3.Ấn ← và điền thêm – (3𝑥4+ 9𝑥3= Ta được 9003003 ấn
ENG được 9.003003x106 lấy 6:3=2 tức đấy là 9𝑥2 Ấn ← và điền thêm
– (3𝑥4+ 9𝑥3+ 9𝑥2= Ta được 3003 ấn ENG được 3.003x103 lấy 3:3=1
tức đấy là 3x Ấn ← và điền thêm – (3𝑥4+ 9𝑥3+ 9𝑥2+ 3𝑥 = Ta được 3
Vậy đa thức được phá là : 3𝑥4+ 9𝑥3+ 9𝑥2+ 3𝑥 + 3
Ví dụ:Tách tích 𝑧4− 4𝑥3+ 14𝑧2− 36𝑧 + 45 Giả sử ta đã biết biểu thức
được tách thành (𝑧2− 4𝑧 + 5)(… ) Ta tìm biểu thức còn lại bằng cách sau:
Nhập 𝑧
4 −4𝑥 3 +14𝑧 2 −36𝑧+45
𝑧 2 −4𝑧+5 CALC 1000 và làm như trên ta được : 𝑧2+ 9
CHƯƠNG VI : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ
1)Công thức tọa độ cơ bản
𝑀(𝑥𝑀; 𝑦𝑀; 𝑧𝑀) ⟺ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑀 𝑖 + 𝑦𝑀 𝑗 + 𝑧𝑀 𝑘⃗ ; 𝑖 = (1; 0; 0); 𝑗 = (0; 1; 0)
𝑘⃗ = (0; 0; 1) Trung điểm M của AB: (𝑥𝐴 +𝑥𝐵
2 ;𝑦𝐴 +𝑦𝐵
2 ;𝑧𝐴 +𝑧𝐵
2 )
Trọng tâm G của tam giác ABC : (𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝑐
3 ;𝑦𝐴 +𝑦 𝐵 +𝑦 𝑐
3 ;𝑧𝐴 +𝑧 𝐵 +𝑧 𝑐
3 )
-Hai vecto bằng nhau : 𝑎 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑏⃗ = (𝑥′; 𝑦′; 𝑧′) ⇔ {
𝑥 = 𝑥′
𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
-Tích vô hướng : 𝑎 𝑏⃗ = 𝑥 𝑥′+ 𝑦 𝑦′+ 𝑧 𝑧′; 𝑎 ⊥ 𝑏⃗ ⇔ 𝑎 𝑏⃗ = 0
-Độ dài vecto : |𝑎 | = √𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 ; |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |2= 𝐴𝐵2
-Góc giữa 2 vecto : cos(𝑎 ; 𝑏⃗ ) = 𝑥.𝑥′+𝑦.𝑦′+𝑧.𝑧′
√𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 √(𝑥 ′ ) 2 +(𝑦 ′ ) 2 +(𝑧 ′ ) 2
-Tích có hướng : [𝑎 , 𝑏⃗ ] = (𝑦𝑧′− 𝑦′𝑧 ; 𝑧𝑥′− 𝑧′𝑥 ; 𝑥𝑦′− 𝑥′𝑦)
-A,B,C thẳng hàng : [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ] = 0⃗ ; Diện tích ∆ABC: 𝑆 =1
2 |[𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ]|
-A,B,C,D đồng phẳng : [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ] 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 0; 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷=16 |[𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ] 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |
2)Phương trình mặt cầu:
(𝑆): (𝑥 − 𝑎)2+ (𝑦 − 𝑏)2+ (𝑧 − 𝑐)2= 𝑅2 ; 𝑇â𝑚 𝐼 (𝑎; 𝑏; 𝑐); 𝑅 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ
⟺ 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑐𝑧 + 𝑑 = 0; 𝑅 = √𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2− 𝑑
3)Phương trình mặt phẳng
(𝑃): 𝐴(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) + 𝐶 (𝑧 − 𝑧0) = 0 ⇔ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝑛⃗ = (𝐴; 𝐵; 𝐶)𝑙à 𝑉𝑇𝑃𝑇 ⊥ (𝑃) Điểm 𝑀(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) ∈ (𝑃)
(P1) // (P2) ⟺ 𝑛⃗⃗⃗⃗ = 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ ; (𝑃2 1) ⊥ (𝑃2) ⇔ 𝑛⃗⃗⃗⃗ 𝑛1⃗⃗⃗⃗ = 0 2 Mp(oxy): z = 0 ; Mp(oxz): y = 0 ; Mp(oyz): x = 0 Mp(P) cắt ox;oy;oz tại 3 điểm A;B;C có dạng : 𝑥
𝑎+𝑦𝑏+𝑧𝑐= 1 𝑑(𝑀; (𝑃)) =|𝐴𝑥𝑀 +𝐵𝑦𝑀+𝐶.𝑧𝑀+𝐷|
√𝐴 2 +𝐵 2 +𝐶 2 ; cos((𝑃1); (𝑃2)) = |𝐴1 𝐴2+𝐵1𝐵2+𝐶1𝐶2|
√𝐴1+𝐵1+𝐶1.√𝐴2+𝐵2+𝐶2
(P) tiếp xúc (S) ⇔ 𝑑(𝐼; (𝑃)) = 𝑅 ; (P) không cắt (S) ⇔ 𝑑(𝐼; (𝑃)) > 𝑅 (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) ⇔ 𝑑(𝐼; (𝑃)) < 𝑅; 𝑟2+ 𝑑2= 𝑅2
4) Phương trình đường thẳng
Pt tham số (d): {
𝑥 = 𝑥0+ 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦0+ 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧0+ 𝑐𝑡
; Pt chính tắc (d): 𝑥−𝑥0
𝑎 =𝑦−𝑦0
𝑏 =𝑧−𝑧0 𝑐
𝑢
⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐)𝑙à 𝑉𝑇𝐶𝑃 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔, 𝑡𝑟ù𝑛𝑔 (𝑑) Điểm 𝑀(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) ∈ (𝑑)
-Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mp(P)
𝐴(𝑥0+ 𝑎𝑡) + 𝐵(𝑦0+ 𝑏𝑡) + 𝐶(𝑧0+ 𝑐𝑡) + 𝐷 = 0
Pt có 1 nghiệm thì (d) cắt (P) ; Pt vô nghiệm thì (d)//(P); Pt vô số nghiệm d⊂ 𝑃 (d)⊥ (𝑃) ⇔ 𝑢⃗ = 𝑘 𝑛⃗ ; (d) // (P) hoặc d ⊂ (𝑃) ⇔ 𝑢⃗ 𝑛⃗ = 0
-Xét vị trí tương đối của (d) và (d’)
(d) // (d’) ⇔ {[𝑢⃗ , 𝑢⃗⃗⃗ ] = 0⃗ ′
𝑀 ∉ (𝑑′) ; (d) trùng (d’) ⇔ {
[𝑢⃗ , 𝑢⃗⃗⃗ ] = 0⃗ ′
𝑀 ∈ (𝑑′) (d) cắt (d’) ⇔ { [𝑢⃗ , 𝑢
′
⃗⃗⃗ ] ≠ 0⃗
[𝑢⃗ , 𝑢⃗⃗⃗ ] 𝑀𝑀′′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ; (d) chéo (d’) ⇔ [𝑢⃗ , 𝑢⃗⃗⃗ ] 𝑀𝑀′′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 0
-Khoảng cách và góc
𝑑(𝐴; (𝑑)) =|[𝑢⃗ ; 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]|
|𝑢 ; 𝑑(𝑑; 𝑑′) =
|[𝑢⃗ , 𝑢⃗⃗⃗ ] 𝑀𝑀′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |′
|[𝑢⃗ , 𝑢⃗⃗⃗ ]|′ ; sin(𝑑; (𝑃)) =
|𝑢⃗ 𝑛⃗ |
|𝑢⃗ | |𝑛⃗ |
cos(𝑑; 𝑑′) = |𝑢⃗⃗ 𝑢⃗⃗⃗⃗ |′
|𝑢 ⃗⃗ |.|𝑢 ⃗⃗⃗⃗ | ′ Phân giác 𝑑1 𝑣à 𝑑2 𝑐ó: [𝑢⃗ =
𝑢 1
⃗⃗⃗⃗
|𝑢 ⃗⃗⃗⃗ |1 + 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2
|𝑢 ⃗⃗⃗⃗ |2 𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔
𝑢⃗ = 𝑢⃗⃗⃗⃗ 1
|𝑢 ⃗⃗⃗⃗ |1 − 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2
|𝑢 ⃗⃗⃗⃗ |2 𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐 𝑛𝑔𝑜à𝑖 ( Với điều kiện 𝒖⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝟏⃗⃗⃗⃗ > 0 ) 𝟐
5)Casio trong hình học Oxyz
a)Tính tích có hướng và tích hỗn tạp
MODE 8 1 1 ( nhập số liệu cho 𝑎 ) SHIFT 5 2 2 1 (nhập số liệu cho 𝑏⃗ ) SHIFT 5 2 3 1 (nhập số liệu cho 𝑐 Ấn AC thoát khỏi màn hình Tính [𝑎 , 𝑏⃗ ] ấn SHIFT 5 3 SHIFT 5 4 =
Tính [𝑎 , 𝑏⃗ ] 𝑐 ấn SHIFT 5 3 SHIFT 5 4 SHIFT 5 7 SHIFT 5 5 =
b)Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD: (MODE 5 2)
𝑥𝐵− 𝑥𝐴 𝑦𝐵− 𝑦𝐴 𝑧𝐵− 𝑧𝐴 (𝑥𝐵2+ 𝑦𝐵2+ 𝑧𝐵2− 𝑥𝐴− 𝑦𝐴− 𝑧𝐴): 2
𝑥𝐶− 𝑥𝐴 𝑦𝐶− 𝑦𝐴 𝑧𝐶− 𝑧𝐴 (𝑥𝐶+ 𝑦𝐶+ 𝑧𝐶− 𝑥𝐴− 𝑦𝐴− 𝑧𝐴): 2
𝑥𝐷− 𝑥𝐴 𝑦𝐷− 𝑦𝐴 𝑧𝐷− 𝑧𝐴 (𝑥𝐷2+ 𝑦𝐷2+ 𝑧𝐷2− 𝑥𝐴− 𝑦𝐴− 𝑧𝐴): 2
Kết quả (x;y:z) là tọa độ tâm I và 𝑹𝟐= 𝑰𝑨𝟐
6)Một số dạng bài tập thường gặp
a)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: {𝐼𝐴2= 𝐼𝐵2; 𝐼𝐴2= 𝐼𝐶2
𝐼 ∈ (𝐴𝐵𝐶)
b)Tìm trực tâm H của tam giác ABC: {𝐻𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ; 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
𝐻 ∈ (𝐴𝐵𝐶)
Trang 4
3) Các phương pháp xác định chân đường cao
a)Cạnh bên vuông góc với đáy: SA ⊥ (ABC)
b)Mặt bên vuông góc với đáy: (SAB) ⊥ (ABC) thì đường cao SH trong SAB
là đường cao hình chóp.Nếu SAB là ∆ đều , cân tại S thì H là trung điểm AB
c)Chóp đều: có chân đường cao là trọng tâm hoặc giao 2 đường chéo
Đáy của chóp đều là tam giác đều hoặc hình vuông
d)Lăng trụ đứng,đều, hộp chữ nhật,lập phương: các cạnh bên là đường
cao Như AA’ ; BB’ ;CC’ ; DD’……
e) Hai mặt bên cùng vuông đáy: giao tuyến của 2 mặt đó là đường cao f)Các cạnh bên bằng nhau,hoặc tạo đáy 1 góc bằng nhau : chân đường cao
là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
Tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
-Tam giác vuông: Trung điểm cạnh huyền -Tam giác đều: Trọng tâm -Tam giác thường: giao 3 đường trung trực -Hình vuông, chữ nhật: tâm
4)Xác định góc
a) Đường thẳng (d) và mp(P): Tìm giao điểm M của d và (P) Chọn trên d
điểm S khác M , từ S hạ SA ⊥ (P)⟹ (𝑑; (𝑃)̂ ) = 𝑆𝑀𝐴̂
b)Mp(P) và mp(Q): Tìm giao tuyến ∆ của (P) và (Q) Từ chân đường cao A
hạ AM ⊥ ∆ Nối đỉnh đường cao S với M ⟹ ((𝑃); (𝑄)̂ ) = 𝑆𝑀𝐴̂
c)Đường thẳng (d) và (∆): Dời song song 2 đường thẳng trên về cùng 1 gốc
5)Khoảng cách
a)Khoảng cách từ 1 điểm thuộc mp đáy đến mp chứa toàn bộ đường cao
Từ điểm đó kẻ 1 đoạn thẳng ⊥ với giao tuyến của mp đáy và mp cần tính khoảng cách Đoạn thẳng đó là khoảng cách cần tìm
b)Khoảng cách từ chân đường cao đến mp chứa đỉnh đường cao
Chân đường cao A, đỉnh đường cao S, mặt phẳng đáy (ABC), mặt phẳng cần tình khoảng cách (SBC)
-Từ A kẻ 1 đoạn thẳng AM ⊥ với giao tuyến của mp đáy và mp cần tính
√𝐴𝑀 2 +𝐴𝑆 2
c)Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (d;d’)
Chọn (P) chứa d (chứa đỉnh đường cao) và song song với d’ Chọn trên d’ điểm A (A thuộc đáy) ⇒ 𝑑(𝑑; 𝑑′) = 𝑑(𝐴; (𝑃))
d)Tỷ lệ khoảng cách :
AB giao (P) tại I⇒𝑑(𝐴;(𝑃))
𝑑(𝐵;(𝑃))=𝐼𝐴
𝐼𝐵 ; AB // (P) ⇒ 𝑑(𝐴; (𝑃)) = 𝑑(𝐵; (𝑃))
6)Tỷ lệ thể tích
Cho chóp S.ABC, lấy trên SA,SB,SC các điểm M,N,P : 𝑉𝑆.𝑀𝑁𝑃
𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶=𝑆𝑀.𝑆𝑁.𝑆𝑃
𝑆𝐴.𝑆𝐵.𝑆𝐶
7)Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,lăng trụ
-Chóp: tìm tâm đường tròn ngoại tiêp đáy là O Từ O dựng d song song hoặc trùng đường cao Chọn một cạnh bên từ đó dựng đường thẳng trung trực hoặc mặt phẳng trung trực của cạnh bên cắt d tại I Ta có I là tâm cần tìm SI = R
-Lăng trụ: Trung điểm nối 2 tâm của 2 đáy là tâm I
-Chóp đều: 𝑅 =2.𝑆𝑂𝑆𝐴2 Chóp có SA vuông đáy: 𝑅 = √𝑆𝐴42+ 𝑟2
-Chóp có mặt bên vuông đáy: 𝑅 = √𝑅𝑏+ 𝑅đ2−𝐺𝑇2
4 ; (GT: là giao tuyến)
8)Một số công thức nhanh của hình đặc biệt
-Hình tứ diện đều,chóp tứ giác đều tất cả cạnh là a : 𝑉 =𝑎3√2
12 ; 𝑉 =𝑎3√2
6
-Thể tích tam diện:
𝑉 =𝑆𝐴.𝑆𝐵.𝑆𝐶
6 √1 − cos2𝑆1− cos2𝑆2− cos2𝑆3+ 2𝑐𝑜𝑠𝑆1𝑐𝑜𝑠𝑆2 𝑐𝑜𝑠𝑆3
9)Phương pháp tọa độ hóa hình không gian
Ví dụ:Cho chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a; đường cao SH = 2a
Tọa độ hóa điểm như sau:
O(0;0;0); A(√3
2; 0; 0); 𝐵(0;1
2; 0)
𝐶 (0; −12; 0) ; 𝐻 (√36; 0; 0) ; 𝑆 (√36; 0; 2)
H là trọng tâm S lấy tọa độ của H và cao độ là SH
10)Một số đặc điểm khối đa diện
CHƯƠNG VIII: KHỐI TRÒN XOAY
1)Mặt cầu: 𝑆 = 4𝜋𝑅2 ; 𝑉 =4
3𝜋𝑅3 (R bán kính;h đường cao; l đường sinh)
2)Mặt nón: 𝑆𝑥𝑞= 𝜋𝑅 𝑙 ; 𝑆𝑡𝑝= 𝜋𝑅𝑙 + 𝜋𝑅2 ; 𝑉 =1
3𝜋𝑅2ℎ ; ℎ2+ 𝑅2= 𝑙2
3)Mặt trụ: 𝑆𝑥𝑞= 2𝜋𝑅 𝑙 ; 𝑆𝑡𝑝= 2𝜋𝑅𝑙 + 2𝜋𝑅2 ; 𝑉 = 𝜋𝑅2ℎ ; ℎ = 𝑙
4)Đường tròn: 𝑆 = 𝜋 𝑅2 ; 𝐶ℎ𝑢 𝑣𝑖 = 2𝜋𝑅 5)Chỏm cầu: 𝑉 = 𝜋ℎ2(𝑅 −ℎ
3)
6)Nón cụt: 𝑉 =𝜋ℎ(𝑅1 +𝑅2+𝑅 1 𝑅 2 )
3 ; 7) Hình xuyến: 𝑉 =𝜋2.(𝑅+𝑟)(𝑅−𝑟)2
4
c)Tìm E tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC: OE⃗⃗⃗⃗⃗ = BC.OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC.OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB.OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BC+AC+AB d) Tìm hình chiếu H và điểm đối xứng A’ của điểm A trên mp (P):
Viết pt đường thẳng (d) qua A và vuông (P) Lấy giao điểm H của d và (P) H là
hình chiếu của A và H là trung điểm của AA’
e)Tìm h/c H và điểm đối xứng A’ của điểm A trên đường thẳng (d)
Viết pt mp(P) đi qua A và vuông (d) Lấy giao điểm H của d và (P) H là hình
chiếu của A và H là trung điểm của AA’
f)Viết pt mp(P) đi qua 3 điểm A,B,C: {𝑛⃗⃗⃗⃗ = [𝐴𝐵𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ]
𝐴 ∈ (𝑃)
g)Viết pt mp(P) chứa A và đường thẳng (d) : {𝑛⃗⃗⃗⃗ = [𝐴𝑀𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑢⃗⃗⃗⃗ ]𝑑
𝐴 ∈ (𝑃) với M ∈ (𝑑)
h)Viết phương trình mp(P) đi qua A và vuông góc với (d): {𝑛⃗ 𝑃= 𝑢⃗ 𝑑
𝐴 ∈ (𝑃)
i)Viết pt (d) = (P) ∩ (Q): {u⃗⃗⃗⃗ = [𝑛d ⃗⃗⃗⃗ , 𝑛𝑃 ⃗⃗⃗⃗ ]𝑄
M ∈ (𝑑) với 𝑀 ∈ (𝑃) ∩ (𝑄)𝑐ℎọ𝑛 𝑧 = 0
j)Viết pt (d) là đoạn vuông góc chung của d 1 và d 2
Tham số hóa M và N trên d1 và d2 theo ẩn t1 và t2 Giải hệ {𝑈⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
𝑈2
⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua MN
k)Mp(P) cắt mc (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)
Gọi I ,H là tâm của (S) và (C) R,r là bán kính của (S) và (C)
Ta có H là hình chiếu vuông góc của I trên (P)
𝑑(𝐼; (𝑃)) = 𝑑 ⇒ 𝑑2+ 𝑟2= 𝑅2
CHƯƠNG VII: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1)Công thức tính thể tích
a)Thể tích hình chóp: 𝑉 =1
3 𝑆 ℎ ; b) Thể tích lăng trụ: 𝑉 = 𝑆 ℎ
2)Các công thức trong hình học phẳng
a)Tamg giác đều
2 √3
𝐴𝐵√3
2 ; 𝐴𝐺 =
𝐴𝐵√3
𝐴𝐵√3 6
b)Tam giác vuông
𝑆 =𝐴𝐵 𝐴𝐶
2= 𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2; 𝐴𝐵2= 𝐵𝐻 𝐵𝐶; 𝐴𝐶2= 𝐶𝐻 𝐵𝐶
√𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2
2𝐵𝐶; 𝑠𝑖𝑛𝐵 =
𝐴𝐶
𝐵𝐶; 𝑐𝑜𝑠𝐵 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶; 𝑡𝑎𝑛𝐵 =
𝐴𝐶
𝐴𝐵; 𝑐𝑜𝑡𝐵 =
𝐴𝐵 𝐴𝐶
c)Tam giác thường
𝐵𝐶2= 𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2− 2𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝐴𝐶)
2+ 𝐴𝐶2− 𝐵𝐶2
𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 2
2+ 𝐴𝐶2
𝐵𝐶2
4 ;
𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶=
𝐴𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐵=
𝐵𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴= 2𝑅
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝐴𝐵)(𝑝 − 𝐴𝐶)(𝑝 − 𝐵𝐶) ( công thức Herong)
AH: là đường cao; AM là đường trung tuyến, S là diện tích tam giác, R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp,r là bán kính đường tròn nội tiếp,p là nửa chu vi
-Trọng tâm: giao 3 đường trung tuyến ; -Trực tâm: giao điểm 3 đường cao
-Tâm đường tròn ngoại tiếp: giao điểm 3 đường trung trực
-Tâm đường tròn nội tiếp: giao điểm 3 đường phân giác
d)Hình vuông
𝑆 = 𝐴𝐵2; 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵√2; 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐷 =𝐴𝐵√2
2
e)Hình chữ nhật
𝑆 = 𝐴𝐵 𝐴𝐷; 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = √𝐴𝐵2+ 𝐴𝐷2; 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐷 =√𝐴𝐵
2+ 𝐴𝐷2
2
f)Hình thoi
𝑆 =𝐴𝐶.𝐵𝐷
2 ; Nếu hình thoi có 1 góc ở đỉnh là 600 hoặc 1200 thì hình thoi được
cấu tạo bởi 2 tam giác đều 𝑆 =𝐴𝐵2.√3
2
g)Hình thang vuông hoặc cân
𝐵𝐶
2 ⟹ 𝐵𝐷𝐶̂ = 900
Nửa lục giác đều là hình thang cân: {
2
𝐵𝐷𝐶̂ = 𝐶𝐴𝐵̂ = 900
𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐷
𝐼 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷