cong thuc toan 9 day du cong thuc toan 9 day du

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1) Phương trình: ax + bx + c = ( a¹ )  - Phương trình  có nghiệm phân biệt - -1- Phương trình  có nghiệm trái dấu 0    P     P     - Phương trình  có nghiệm dương  P  S      - Phương trình  có nghiệm âm   P  S      - Phương trình  có nghiệm đối   P  S   Ví dụ: Cho phương trình: 2x – 5x – m + =  a Tìm điều kiện để phương trình  có nghiệm trái dấu:   b2  4ac  (5)2  4.2(m  3)  25  8m  24   8m - Phương trình  có nghiệm dấu - Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2  b  S  x1  x2   a   2, - Theo đònh lí Viet, ta có:   P  x x  c  m   a    8m  0 8m  1  m     m    - Phương trình  có nghiệm trái dấu  m3 P0 m      m  - Vậy m>3 phương trình  có nghiệm trái dấu b Tìm điều kiện để phương trình  có nghiệm âm:      8m    - Phương trình  có nghiệm âm   P   m   S  2,  0( sai )   - Vậy giá trò m để phương trình có nghiệm âm   ax + by = c 2) Hệ phương trình:    a'x + b'x = c' a b c - Hệ phương trình vô nghiệm    a' b' c' - Hệ phương trình có nghiệm  - Hệ phương trình có vôâ số nghiệm  a b  a' b' a b c   a' b' c' 3) Hằng đẳng thức  (a  b)2  a2  2ab  b2  (a  b)2  a2  2ab  b2  (a  b)3  a3  b3  3a2b  3ab2  (a  b)3  a3  b3  3a2b  3ab2  a2  b2  (a  b)(a  b)  a2  b2  (a  b)2  2ab  (a  b)2  2ab  a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 )  a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 )  (a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc  (a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc Gia sư Thành Được 4) Tỉ số lượng giác: Cung 0o 15o 6 6 Sin Cos Tag 2 Cotag  1 www.daythem.edu.vn sin  30o 3 3 -2- đối huyền 45o 2 2 cos  60o 2 kề huyền 75o 6 6 đối kề 105o 6  6 120o  135o 2  tag = 90o cotag = 2  2   -1 3 2 2   3 -1 5) Giải phương trình: ax2 + bx + c = ( a  ) kề đối 150o 3    a Dùng công thức nghiệm: [Phương trình ax2 + bx + c = với a c trái dấu có nghiệm phân biệt]  = b2 - 4ac b   b   ; x2  2a 2a b *  =  Phương trình cónghiệm kép : x1  x  2a *  <  Phương trình vônghiệm b Dùng công thức nghiệm thu gọn b b  2b '  b '  ;  ' = b'2 - ac b '  b '  *  ' >  Phương trình có2 nghiệm phân biệt : x1  ; x2  a a b *  ' =  Phương trình cónghiệm kép : x1  x  a *  ' <  Phương trình vônghiệm c Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc b  S  x1  x2    a  * Biết :   x1 x2 c  P  x1 x2   a A c * Biết : a  b  c   x1 = x2  a c * Biết : a  b  c   x1 = -1và x2   a *  >  Phương trình có2 nghiệm phân biệt : x1   Các tam giác đặc biệt  6) Tam giác vuông cân - ABC vuông cân A ; AB = AC = a - ABC đồng dạng với ABH đồng dạng với ACH B H a C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn -3- - BAC  AHC  AHB  90o - BAH  ABH  ACH  CAH  45o - BC  AB  AC ; a  HB  HC  AH - AH đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, tia phân giác ABC BC ( BH  CH ) ( BH  AH ) (CH  AH )  BH  CH  AH    - a 2 2 2 AH BC AH  AH - S ABC   2 ABC vuông A  BC  AB     BC  AC     BC   AB      Chứng minh tam giác vuông cân: BC    ABC vuông cân A AC      AB  AC     ABC  ABC   o   ABC  45   o  ACB  45  7) Tam giác - ABC ; AB = AC = BC = a - AH đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực tia phân giác a a2 a - CH  HB  ; AH  ; S ABC  ABC cân   ABC  60o      ABC Chứng minh tam giác đều: ACB  60o    CAB  60o    8) Nửa tam giác - ACH ABH nửa tam giác AB AC   BH  CH - AH  2 AB AC AH   - CH  BH  2 A a C B H - AB  AC  2CH  BH  AH 3 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn -4AHC vuông    AHC ( ACH , CAH )  60o      AHC lànửa tam giác Chứng minh nửa tam giác đều: AH  HC   AC  HC    9) Góc đường tròn - AOB : góc tâm chắn AB - ACB : góc nội tiếp chắn AB - EAB : góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB 1 - ACB  EAB  AOB - sđHDG = sđHG -sđJI 2 1 - sđADG = sđAG -sđJA - sđEDF = sđAmF -sđAnF 2 A - JKC  BKG  sđ JC + sđ BG      E   H  B 10) Một vài công thức cần nhớ (Hình học): - Độ dài đường tròn: C = 2R Rn o - Độ dài cung tròn: l = 180 o - Diện tích hình tròn: S = R2 I D m O n R2 no 360o Ghi chú: +  : số pi + C: độ dài đường tròn + R: bán kính + l: độ dài cung + no: số đo độ cung - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = R.h C - Diện tích xung quanh hình nón : Sxq = Rl - Diện tích toàn phần hình trụ: S = R.h + R - Diện tích toàn phần hình nón: S = Rl + R - Thể tích hình trụ: V = Sh + R2 h - Thể tích hình nón: V = - Diện tích hình quạt tròn: S = Ghi chú: + h: chiều cao - J F G K R2 h + l: đường sinh 11) Một vài công thức cần nhớ (Đại số): Với a  0; b  a + b  a + b (dấu “=” xảy  a = b = 0) Với a  b  a- b  a - b (dấu “=” xảy  a = b = 0) A + A2 - B A- A2 - B Công thức phức tạp: A ± B = A > ; B > ; A2 > B ± 2 a+b  ab (dấu “=” xảy  a = b) Bất đẳng thức Cô-si: với a  0, b  thì: Vài dạng khác bất đẳng thức Cô-si: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn -5- - Dạng có chứa dấu căn:  a + b  ab với a  0; b   với a > ; b >  a+b a+b - Dạng dấu (a + b)2   ab A  (hay B  0) A B A = B X2  A2  X  Ahay X  A ;  (a + b)2  4ab  a2 + b2  2ab B  B  A B | A | = B   A = B hay A = -B A = B X2  A2  A  X  A f ( x )  g ( x )  h( x ) - Đặt điều kiện: f ( x)  0, g ( x)  0, h( x)  - Chuyển vế (2 vế phải không âm) - Bình phương vế 10 Min  X  m  m ; Max  m  X  m 11 Điều kiện để biểu thức có nghóa: A - A  - Biều thức có dạng có nghóa B  B - Biểu thức có dạng A có nghóa A - Biểu thức có dạng có nghóa B  B 12) Đường thẳng song song đường thẳng cắt Hệ số góc đường thẳng Cho đường thẳng: (d1) : y = ax + b (a  0) (d2) : y = a’x + b’ (a’  0)  (d1) // (d2)  a  a ' ; b  b '  (d1) cắt (d2)  a  a '  (d1)  (d2)  a  a ' ; b  b '  (d1)  (d2)  a a '  1 Khi a > goác tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc nhọn Khi a < goác tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tù Nếu (d1) cắt (d2) hoành độ giao điểm nghiệm phương trình ax + b = a’x + b’ Gọi  góc tạo đường thẳng y = ax + b với trục Ox Nếu a > tg = a 13) Các dạng phương trình đặc biệt: Phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d = (a  0) [] Nếu biết nghiệm x = x0 [] đưa phương trình tích: (x – x0)(ax2 + mx + n) = Phương trình hệ đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (a  0) [] a) Phương pháp giải: - Nhận xét x = nghiệm [] - Chia vế [] cho x2 nhóm số hạng cách số hạng đầu cuối thành nhóm phương trình [] 1 - Đặt ẩn phụ t  x  []  t   x  vào phương trình [] x x - Giải phương trình trung gian để tìm t, giá trò t vào [] để tìm x b) Về nghiệm số phương trình: - Nếu x0 nghiệm phương trình [] nghiệm x0 c) Phương trình hệ đối xứng bậc 5: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = (a  0) [] có nghiệm x = -1 (vì tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ) Vì [] biến đổi thành:  x  1 ax   b  a  x3   c  a  b  x   b  a  x  a   Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn -62 n m Phương trình hồi quy: ax + bx + cx + mx + n = (a  0)    [] a b a) Phương pháp giải: - Nhận xét x = nghiệm [] - Chia vế [] cho x2 nhóm số hạng cách số hạng đầu cuối thành nhóm phương trình [] 2m m2 m - Đặt ẩn phụ t  x  []  t   x  2 vào phương trình [] bx b b x - Giải phương trình trung gian để tìm t, giá trò t vào [] để tìm x Phương trình a + d = b + c: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m [] Phương pháp giải: - Viết lại [] dười dạng: [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] – m = [] - Khai triển tích đặt ẩn phụ t biểu thức vừa khai triển - Thế ẩn phụ vào phương trình [], giải phương trình, tìm giá trò t - Thế giá trò t vào biểu thức chứa ẩn phụ để tìm x Phương trình đó: (x + a)4 + (x + b)4 = c Phương pháp giải: - Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ trung bình cộng (x + a) (x + b): ab A - Đặt t  x  14) Một số kiền thức hình học cấp 2: Trung tuyến tam giác: Trung tuyến tam giác đoạn thẳng, đầu nối đỉnh tam giác, đầu nối trung tuyến cạnh đối diện với đỉnh Ta có tam giác ABC có AM trung tuyến  MC = MB B C M - Áp dụng vào tam giác vuông: + Đònh lí thuận: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền + Đònh lí đảo: Trong tam giác, đường trung tuyến nửa cạnh đối diện tam giác vuông Tia phân giác: - Tia phân giác góc tia nằm góc chia góc làm hai góc A - Phân giác tam giác đoàn thẳng có môt đầu đỉnh tam giác, đầu giao điểm tia fân giác xuất phát từ đỉnh đến cạnh đối diện - Trong tam giác, đường phân giác chia cạnh đối diện thành đoạn tỉ lệvới hai cạnh kề Ta có tam giác ABC có AM đường phân giác  Đường trung trực: A B H C BM CM  AB AC B M C - Đònh nghóa: Đường thẳng trung trực đoạn thẳng đường thẳng vuông góc với đoạn trung điểm - Đònh lí 1: Nếu điểm M nằ đường trung trực đoạn thẳng AB đường trung trực đoạn AB - Đònh lí 2:Tập hợp điểm cách đầu đoạn thẳng AB đường thẳng trung trực đoạn AB Ta có tam giác ABC có AH vừa đường cao, vừa trung tuyến, vừa phân giác, vừa trung trực (tam giác ABC cân) Đường trung bình tam giác: - Đònh lí 1: Trong tam giác, đường thẳng qua trung điểm cạnh song song với canh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba Gia sư Thành Được A www.daythem.edu.vn -7- - Đònh lí 2: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh thứ ba M N - Đònh lí 3: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác gọi đường trung bình tam giác Tính chất ba đường trung tuyến: B - Trong tam giác, ba đường trung tuyến cắt điểm Điểm gọi trọng tâm tam giác - Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm trung tuyến Tính chất đường phân giác: a) Tính chất đường phân giác: Đònh lí phân giác góc: + Đònh lí thuận: Bất điểm nằm đường fân giác góc cách cạnh góc + Đònh lí đảo: Điểm cách cạnh góc nằm fân giác góc C ... 6 Sin Cos Tag 2 Cotag  1 www.daythem.edu.vn sin  30o 3 3 -2- đối huyền 45o 2 2 cos  60o 2 kề huyền 75o 6 6 đối kề 105o 6  6 120o  135o 2  tag = 90 o cotag = 2  2   -1 3 2 2... a - ABC đồng dạng với ABH đồng dạng với ACH B H a C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn -3- - BAC  AHC  AHB  90 o - BAH  ABH  ACH  CAH  45o - BC  AB  AC ; a  HB  HC  AH - AH đường... Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn -4AHC vuông    AHC ( ACH , CAH )  60o      AHC lànửa tam giác Chứng minh nửa tam giác đều: AH  HC   AC  HC    9) Góc đường tròn - AOB