ĐƯỜNG THẲNG TRONG HỆ TRỤC OXYZ (VD VDC)

ĐƯỜ G THẲ G TRO G HỆ TRỤC OXYZ (VD - VDC) I CÁC VẤ ĐỀ VÀ VÍ DỤ GIẢI TỐ Vấn đề 1: Lập phương trình đường thẳng Trong phần nghiên cứu giải số tốn đường thẳng hệ tọa khơng gian Oxyz mức vận dụng vận dụng cao Trong có mối liên hệ bao gồm điểm - đường thẳng mặt phẳng - mặt cầu, chủ đề đường thẳng Như lập phương trình đường thẳng Có số toán mà đề cho giả thiết đường thẳng, làm ta sử dụng đến kiến thức đường thẳng không gian, chẳng hạn ta xét ví dụ sau Ví dụ (BGD - Đề thi thức THPTQG 2018 M101 C39) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = điểm A ( 2;3; −1) Xét 2 điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) Điểm M ln thuộc mặt phẳng có phương trình A x + y + 11 = B x + y + = C 3x + y − = D x + y − 11 = Hướng dẫn Gọi I ( −1; −1; −1) tâm mặt cầu, ta có tam giác AMI vng M nên điểm M thuộc mặt cầu đường 1 25 2 1   kính AI có tâm K  ;1; −1 , bán kính , phương trình ( S ' ) :  x −  + ( y − 1) + ( z + 1) = 2  2  Như điểm M ( x; y; z ) thuộc hai mặt cầu ( S ) , ( S ') nên trừ vế ta được: 3x + y + 11 = ⇔ 3x + y − = Chọn C 4 Lời bình Sau giải khơng dừng lại giải, mà tự đặt câu hỏi là: nói kiến thức gì? Cần kỹ gì? Từ xác định vấn đề cần giải hay mở rộng cho toán tương tự Chúng ta nhìn nhận tốn hình thức: - Thứ nhất: điểm M xem giao hai mặt cầu tâm I tâm K AI − IM = AI − R = const = r điểm M giao mặt cầu tâm A, bán kính r với mặt cầu tâm I cho - Thứ ba: điểm M có giới hạn xác đường tròn giao tuyến, khơng đơn nằm - Thứ hai: ta tính AM = mặt phẳng Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến IA Từ ta liên hệ với kiến thức lớp 11 lớp Nói cách khác: khai thác kiến thức hình học lớp 9, lớp 10, lớp 11 hay lớp 12 được, tùy theo đối tượng HS để triển khai Tức hình học tổng hợp tọa độ hóa Đối với HS vừa cụ thể, vừa trừu tượng lại có tính khái quát Như ta rèn luyện tư tốt cho em vị trí tương đối điểm - đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu Ví dụ (BGD - Đề thi thức THPTQG 2017 M101 C37)  x = + 3t x −1 y + z  Trong không hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :  y = −2 + t , d : = = mặt −1 2 z =  phẳng ( P ) : 2x + y − 3z = Phương trình phương trình mặt phẳng qua giao điểm d1 ( P ) , đồng thời vng góc với d ? A x − y + z + 22 = B x − y + z + 13 = Diendangiaovientoan C x − y + z − 13 = D x + y + z − 22 = GV: Nguyen Xuan Chung Hướng dẫn hận xét: Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm phương với u = ( 2; −1;2) nên loại đáp án D Ta tìm giao điểm M d1 ( P ) , ghi (1 + 3X ) + ( −2 + X ) − 3× bấm Shift Solve ta có X = = t Sửa thành (1 + X ) − ( −2 + X ) + × bấm = ta có 13 nên chọn C Lời bình Cách tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng tìm tham số t, khác ta chọn máy tính để giải mà Chẳng hạn ta làm tự luận là: (1 + 3t ) + ( −2 + t ) − × = ⇒ t = thay trở ta có giao điểm M ( 4; −1; ) sau viết phương trình mặt phẳng ( x − 4) − ( y + 1) + ( z − 2) = Rõ ràng ta lặp lại số thao tác mà khơng sử dụng máy tính? Nếu đủ thời gian? Bài tốn có liên quan đến đường thẳng không gian, lại hỏi mặt phẳng Đối với HS: Bài toán cho đường thẳng tham số tắc, lại có mặt phẳng nên dễ bị rối hay lúng túng giải toán Nhiệm vụ GV dẫn dắt em tiếp cận góc độ dễ hiểu được, kết hợp trừu tượng bấm máy Casio, tự luận đơn không đáp ứng nhu cầu thực tế Ví dụ (THPT LƯƠNG THẾ VINH) Trong hệ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) hai mặt phẳng (P): 2x + 2y + z +1 = 0, (Q): 2x - y + 2z - = Phương trình đường thẳng d qua A song song với (P) (Q) x −1 y − z − x −1 y − z − x −1 y − z − x −1 y − z − A = = B = = C = = D = = 1 −4 −6 −2 −6 Hướng dẫn hận xét: phương án cho đường thẳng qua A nên ta cần xác định véc tơ phương u.n1 = 2a + 2b + c = ⇒ Gọi u = ( a; b; c ) véc tơ phương đường thẳng, ta có  Cho c = u.n2 = 2a − b + 2c = 2a + 2b = −1  −5  −1 , giải ta có a = − , b = ⇒ u =  ; ;1 = ( 5; −2; −6 ) Chọn D ta có hệ    2a − b = −2 Lời bình Đối với đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng hay đường thẳng song song với hai mặt phẳng thường lấy tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến làm véc tơ phương: u =  n1 , n2  (hoặc phương) Có hai cách tính  n1 , n2  phổ biến là: - Tính tự luận: theo định nghĩa định thức cấp Theo cách nên viết giấy nháp theo cột để tính độ xác cao Với em "học tốt" thì việc tính khơng khó khăn, thích tính theo cách dùng máy tính Casio - Hỗ trợ máy tính Casio Thông thường ta vào Mode Shift VCT (với máy 570ES hay 570Vn) Menu (với máy 580VN-x) theo cách cần thực nhiều thao tác nên nhiều thời gian Thậm chí chậm, tính nhNm theo cách nhanh (cũng dễ sai dấu) Ở ta giải cách giải hệ hai Nn: Cho thành phần z = hay x = để giải hệ hai 9n lại, nghĩa u = ( X ; Y ;1) sau quy đồng mẫu thức xong Chú ý chuyển vế thành phần z sang phải nên ta đổi dấu thành phần Thoạt nhìn lý thuyết dài, vào Mode để giải hệ hai Nn nhanh Trong dòng đầu = = - = dòng thứ hai = - = -2 = Không phải ghi giấy nháp nhiều Ban đầu chưa quen quen tính xong X, Y ta biết nhanh kết Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung Ví dụ (BGD Đề thi thức THPTQG 2017 M101 C34) Trong khơng hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −1;1;3 ) hai đường thẳng ∆ : x +1 y z = = −2 ∆' : x −1 y + z −1 = = Phương trình phương trình đường thẳng qua M, vng góc với ∆ ∆ ' ?  x = −1 − t  A  y = + t  z = + 3t   x = −t  B  y = + t z = + t   x = −1 − t  C  y = − t  z = 3+t   x = −1 − t  D  y = + t  z = 3+t  Hướng dẫn hận xét: có phương án C, D đường thẳng qua M nên ta cần xác định thêm véc tơ phương Vào Mode nhập dòng đầu = = - = dòng thứ hai = = = (nhìn vào hai đường thẳng để nhập - không cần nháp) ta X = −1, Y = ⇒ u = ( −1;1;1) Chọn D Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d2 : x y −1 z + = = −5  x = t  d1 :  y = −1 − t   z = + t đường thẳng Đường thẳng qua A (1;−1;2), đồng thời vng góc với hai đường thẳng d1 d2 có phương trình A x −1 y + z − = = 14 17 B x −1 y + z − = = −1 C x −1 y + z − = = −2 D x −1 y + z − = = Hướng dẫn hận xét: Cả phương án đường thẳng qua A nên ta cần xác định thêm véc tơ phương Vào Mode nhập dòng đầu = - = - = dòng thứ hai = = = ta X = 14 17 , Y = ⇒ u = (14;17;9 ) Chọn A 9 Lời bình Bài bấm xong máy tính cho X, Y ta có đáp án A Khơng cần chuyển đổi véc tơ  x = −1 + t x −1 y + z −  Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = d ' :  y = −t −2  z = −2 + 3t  cắt Phương trình mặt phẳng chứa d d ' A x + y + z + = B x − y − z − = C −2 x + y + 3z − = D x + y + z − = Hướng dẫn Trước hết ta cần xác định véc tơ pháp tuyến n = u, u ' Vào Mode nhập: −2 = = −3 = = −1 = −3 = ta có n = ( 6;9;1) nên có phương án thích hợp A, D Lấy điểm M (1; −2; ) thử: X + 9Y + F CALC nhập = −2 = = kết −8 Chọn A Lời bình Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung Qua ví dụ 4, 5, ta thấy việc hỗ trợ máy tính Casio hợp lý: tránh độ phức tạp phép toán, giảm tối đa phép tính nh9m nháp, giảm tối đa thao tác bấm máy, mang lại hiệu cao thần tốc thi trắc nghiệm Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M (1; 2;3 ) song song với giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) : x + y − = , ( Q ) : x + y + z − = x = 1+ t  A  y = + 3t z = + t  x = 1+ t  B  y = − 3t z = − t  x = 1− t  C  y = − 3t z = + t  x = 1+ t  D  y = − 3t z = + t  Hướng dẫn Ta thấy phương án cho đường thẳng qua M, nên cần tìm véc tơ phương u =  n1 , n2  Vào Mode nhập = = = = = −1 = ta có u = (1; −3;1) Chọn D Ví dụ (BGD - Đề thi thức THPTQG 2019 M101 C33) Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A (1; 2;0 ) , B ( 2;0; ) , C ( 2; −1;3 ) , D (1;1;3 ) Đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng ( ABD ) có phương trình  x = −2 − 4t  A  y = −2 − 3t z = − t   x = + 4t  B  y = −1 + 3t z = − t   x = −2 + 4t  C  y = −4 + 3t z = + t   x = + 2t  D  y = − t  z = + 3t  Hướng dẫn Trước hết ta tìm véc tơ phương u = nABD =  AB, AD  Vào Mode nhập = −2 = −2 = = −1 = −3 = ta có u = ( 4;3;1) nên loại B, D Trong đáp án C, cho t = ⇒ C ( 2; −1;3) Chọn C Ví dụ (THTT Số 3-486) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + 2y + z − = đường thẳng x +1 y z + = = Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d d: A x −1 y −1 z −1 x −1 y −1 z −1 x −1 y + z −1 x + y + z −1 = = B = = C = = D = = −1 −1 −1 −3 −3 5 Hướng dẫn −5 Trước hết ta có u∆ =  n, ud  , vào Mode nhập = = − = = = −3 = ta X = ,Y = 3 suy u = ( −5;1;3 ) So sánh đáp án ta chọn A Lưu ý Khi đổi hướng véc tơ ba thành phần tọa độ véc tơ đồng loạt đổi dấu Do ta khơng cần kiểm tra (hay tìm thêm) điểm thuộc đường thẳng ∆ , cụ thể điểm M (1;1;1) = d ∩ ( P ) Việc tìm phương  n, ud  theo cách đúng, nhiên khơng xác độ dài Sau ta xét thêm ứng dụng tích vơ hướng, cụ thể "quy tắc hình thoi" Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung  x = + t  x = − t ′ Ví dụ 10 Trong khơng gian Oxyz , cho hai đường thẳng cắt ∆1 :  y = + 2t , ∆ :  y = −t ′ Viết  z = −1 − t  z = 2t ′ phương trình đường phân giác góc nhọn tạo ∆1 ∆ A x +1 y z = = −3 B x −1 y z = = 1 C x −1 y z = = −3 D x −1 y z = = −1 1 Hướng dẫn Trước hết ta tính u.u ' = −1 − − = −5 < nên góc hai véc tơ góc tù, ta đổi hướng véc tơ, ta có v = (1;1; −2) góc u, v góc nhọn Mặt khác ta có u = v = nên u + v nằm đường chéo hình thoi có cạnh Mà u + v = ( 2;3; −3) Chọn C Ví dụ 11 (BGD - Đề thi thức THPTQG 2018 M101 C49)  x = + 3t Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = + 4t , gọi ∆ đường thẳng qua A (1;1;1) có  z = véc tơ phương u = (1; −2;2) Đường phân giác góc nhọn tạo d ∆ có phương trình  x = + 7t  A  y = + t  z = + 5t   x = −1 + 2t  B  y = −10 + 11t  z = −6 − 5t   x = −1 + 2t  C  y = −10 + 11t  z = − 5t   x = + 3t  D  y = + 4t  z = − 5t  Hướng dẫn Trước hết ta tính ud u∆ = − = −5 < nên góc hai véc tơ góc tù, ta đổi hướng véc tơ ta có v = ( −1;2; −2) góc ud , v góc nhọn Mặt khác ta có ud = 5; v = nên đường chéo hình thoi có cạnh Mà ud + v nằm  22  ud + v =  ; ; −2  = ( 2;11; −5) Chọn C hai 5  đường thẳng qua điểm A Ví dụ 12 Trong không gian tọa độ Oxyz cho A (1;1; − 1) , B ( 2;3;1) , C ( 5;5;1) Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt mặt phẳng ( Oxy ) M ( a; b;0 ) Tính 3b − a A B C D Hướng dẫn 1+ + B + CM Shift Sto M Bấm CALC nhập 16 + 16 + 1+ M B + CM B + CM = = = Shift Sto X ∆ CALC nhập = = = Shift Sto Y ∆ CALC nhập = = = 1+ M 1+ M  11  Shift Sto F, ta có D  3; ;1 nên AD = ( X − 1; Y − 1; F + 1) = ( 3; 4;3) phương trình    x = + 3t  AD :  y = + 4t cho t = ta 3b − a = 9t + = Chọn B  z = −1 + 3t  Gọi D chân đường phân giác, ta tính Diendangiaovientoan AB , ghi AC GV: Nguyen Xuan Chung Ví dụ 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết điểm A (1; 2; 3) , đường  x = 5t x − y + z −3  trung tuyến BM đường cao CH có phương trình  y = = = −13 16  z = + 4t  Viết phương trình đường phân giác góc A x −1 = x −1 C = A y−2 = −1 y−2 = −3 z −3 10 z −3 −1 x −1 = x −1 D = Hướng dẫn B y −2 z −3 = 13 y −2 z −3 = −11 −5 Giả sử M ( 5t ; 0; 4t + 1) trung điểm AC, suy C (10t − 1; − 2; 8t − 1) ∈ CH nên ta C ( 4; − 2; 3) Phương trình (P) qua A vng góc với CH là: 16 ( x − 1) − 13 ( y − ) + ( z − 3) = , mp(P) cắt BM B ( 0; 0; 1) A H M C B D 1+ + B + CM Shift Sto M Bấm CALC nhập = = = + 16 1+ M B + CM B + CM CALC nhập = −2 = = Shift Sto Y ∆ CALC nhập = = = Shift Shift Sto X ∆ 1+ M 1+ M 3 7 Sto F, ta D  ; − ;  nên AD = ( X − 1; Y − 2; F − 3) = ( 2; − 11; − ) Chọn D 2 4 Gọi D chân đường phân giác, ghi Ví dụ 14 (BGD - Đề thi thức THPTQG 2018 M101 C33) Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) đường thẳng d : x − y −1 z + = = Đường thẳng −2 qua A , vng góc với d cắt trục Ox có phương trình  x = −1 + 2t  A  y = 2t  z = 3t  x = 1+ t  B  y = + 2t  z = + 2t   x = −1 + 2t  C  y = −2t z = t   x = + 2t  D  y = + 2t  z = + 3t  Hướng dẫn Cách (PP trắc nghiệm loại trừ) Loại phương án C đường thẳng khơng qua A Ba phương án lại qua A vng góc với d Trong đáp án A, cho t = ta điểm M ( − 1; 0; ) ∈ Ox Chọn A Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung Cách (PP tự luận) Phương trình mp(P) qua A vng góc với d là: ( x − 1) + 1( y − ) − ( z − ) = Cho y = z = ta có x = −1 nên giao điểm (P) Ox M ( − 1; 0; ) ⇒ M A = ( 2; 2; ) Chọn A Lời bình Cách Tự luận (mà sau ta phải chuyển đổi sang ngôn ngữ Casio cho nhanh): Lấy điểm M ( X ; 0; ) ∈ Ox ⇒ M A = (1 − X ; 2; ) ⊥ u d = ( 2;1; − ) nên ta có (1 − X ) + − = ⇒ X = − ⇒ MA = ( 2; 2; ) , M ( − 1; 0; ) Chọn A Bản chất cách cách khơng có khác Ta chuyển đổi sang ngơn ngữ Casio sau Ghi ( X − 1) + 1(Y − ) − ( F − 3) = bấm Shift Solve máy hỏi Y, F? Ta nhập = = cho ta X = -1 Sửa thành ( X − 1) : (Y − ) : ( F − 3) bấm = = = (- 2; - 2; -3) Ví dụ 15 (THPT LƯƠNG THẾ VINH - HÀ NỘI) x−2 y z +3 x −1 y + z Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d1 : = = d : = = Viết −1 2 phương trình đường thẳng ∆ qua A(1; 0; 2), cắt d1 vng góc với d2 A x −1 y z − = = −2 B x −1 y z − = = −1 −1 C x −1 y z − = = −4 D x −1 y z − = = −2 Hướng dẫn Viết phương trình mp(P) qua A vng góc với d , phương trình: ( X − 1) + 2Y + ( F − ) = Tìm giao điểm B d1 mp(P), nhập 1(1 + X − 1) + ( −1 + X ) + ( − X − ) = bấm Shift Solve ta có X = Sửa thành (1 + X − 1) : ( −1 + X ) : ( − X − ) bấm = = = ta có (2; 3; - 4) Chọn C Ví dụ 16 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 : x + y −1 z − x −1 y −1 z + = = , d2 : = = −1 −1 −1 Đường thẳng ∆ qua điểm A (1; 2;3 ) vuông góc với d1 cắt đường thẳng d có phương trình A x −1 y − z − x −1 y − z − = = B = = −1 1 −3 −3 C x −1 y − z − = = −1 −3 −5 D x −1 y − z − = = −1 Hướng dẫn Viết phương trình mp(P) qua A vng góc với d1 , phương trình: ( X − 1) + (Y − ) − ( F − ) = Tìm giao điểm B d mp(P), nhập (1 − X − 1) + (1 + X − ) − ( −1 − X − ) = bấm Shift Solve có X = −1 Sửa thành (1 − X − 1) : (1 + X − ) : ( −1 − X − ) bấm = = = có (1; -3; -3) Chọn B Ví dụ 17 Trong khơng gian Oxyz , cho ∆ vng góc với mặt phẳng (α ) : x + y − z + = cắt hai x = + t x+3 y−2 z  đường thẳng d : = = , d ′ :  y = 3t Trong điểm sau, điểm thuộc đường thẳng ∆ ? −1  z = 2t  A M ( 6;5; − ) B U ( 4;5;6 ) C P ( 5;6;5 ) D Q ( 4; 4;5 ) Hướng dẫn Lấy A ( a − 3; −a + 2; 2a ) ∈ d B ( b + 3;3b; 2b ) ∈ d ' AB / / nα nên ta có: Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung b − a + 3b + a − 2b − 2a = = giải ta có a = 4, b = −1 Ghi × A − − X −A − −Y 2A − F − − CALC thử điểm Chọn D −1 Ví dụ 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; −1; −6 ) hai đường thẳng x + y +1 z − x −1 y −1 z + = = , d2 : = = Đường thẳng qua điểm M cắt hai đường −1 thẳng d1 , d hai điểm A , B Độ dài đoạn thẳng AB d1 : A B 10 38 D 12 C Hướng dẫn Mặt phẳng ( P ) qua M chứa d1 là: ( x − 1) + 11( y − 1) − ( z + 1) = (kết hợp Mode 1) Giao điểm B ( P ) d2 thỏa mãn: ( X − 3) + 11( X − ) − ( X + 3) = ⇒ X = Suy B ( 4;1;6 ) , đường thẳng MB cắt d1 A Phương trình MB x = X + 4; y = X + 1; z = 12 X + thay vào d1 ta có X = − BA = ( X ; X ;12 X ) nên suy AB = X + + 36 = 38 Chọn A Ví dụ 19 (THPT Chun Hồng Văn Thụ -Hòa Bình) Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A (1;1;1) , B ( −1; 2;0 ) , C ( 2; − 3; ) Tập hợp tất điểm M cách ba điểm A , B , C đường thẳng d Phương trình tham số đường thẳng d là:  x = −8 − 3t  A  y = t  z = 15 + 7t   x = −8 + 3t  C  y = − t  z = −15 − 7t   x = −8 + 3t  B  y = t  z = 15 − 7t   x = −8 + 3t  D  y = t  z = 15 + 7t  Hướng dẫn Ta ghi ( X −1) + (Y −1) + ( F −1) 2 − ( X + 1) + (Y − 2) 2 + F2 − ( X − ) + ( Y + 3) + ( F − ) 2 Dùng CALC lấy hai điểm khác thuộc d để thử (tức 2AM - BM - CM = 0) Chọn A Lời bình hận xét: Tập hợp điểm M đường thẳng giao tuyến mặt phẳng trung trực AB, AC OA2 − OB − = = −1 + Phương trình mặt phẳng trung trực BA là: x − y + z = 2 + Phương trình mặt phẳng trung trực AC là: x − y + z = OC − OA2 17 − = =7 2  x = −8 − 3t  Chọn A Cho y = t trừ vế ta được:  y = t  z = 15 + 7t  Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung Ví dụ 20 (THPT Chun Tiền Giang) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2; 0; ) ; B ( 0;3; ) ; C ( 0; 0; ) Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm phương trình tham số đường thẳng OH  x = 4t  A  y = 3t  z = −2t   x = 3t  B  y = 4t  z = 2t   x = 6t  C  y = 4t  z = 3t   x = 4t  D  y = 3t  z = 2t  Hướng dẫn 1 1 Sử dụng tính chất OH ⊥ mp ( ABC ) nABC =  ; ;  suy OH = ( 6; 4;3 ) Chọn C 2 4 Lời bình Việc chứng minh OH ⊥ mp ( ABC ) GV hướng dẫn HS tự luyện (Hình học 11) Ví dụ 21 Trong khơng gian Oxyz , cho tam giác ABC với A ( 3;0;0 ) , B ( 0;6;0 ) , C ( 0;0;6 ) Phương trình phương trình đường thẳng qua trực tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) x +1 y + z + = = 1 x−3 y −6 z −6 C = = 1 A x − y −1 = = x −1 y − D = = Hướng dẫn B z −1 z −3 Gọi H ( x0 ; y0 ; z0 ) trực tâm ABC , ta chứng minh OH ⊥ ( ABC ) Trước hết ta có phương trình ( ABC ) : x + y + z − = x0 + y0 + z0 − = Ta có CH ⊥ AB & AH ⊥ BC suy −3 x0 + y0 = 0, −6 y0 + z0 = ⇒ z0 = y0 = x0 suy x0 + x0 − = ⇒ x0 = ⇒ y0 = z0 = Hay OH = ( 2;1;1) = n ABC Chọn B Ví dụ 22 (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018)  8 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; 2; 1) , B  − ; ;  Đường thẳng qua tâm đường tròn  3 3 nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng ( OAB ) có phương trình 11 2 x+ y− z− x+ y− z+ x +1 y − z +1 x +1 y − z − 3= 3= D 9= 9= A = = B C = = −2 −2 −2 2 −2 Hướng dẫn Ta thấy véc tơ phương phương án nên ta cần tìm tâm đường tròn nội tiếp Bài tốn liên quan gốc tọa độ O, ta có OA = ( 2; 2;1) ⇒ OA = , OB = ( −2;1; ) ⇒ OB = BA = (14; −2; −5 ) ⇒ AB = Vậy tam giác OAB vuông O Lấy điểm B' thuộc tia OB cho OB ' = ( −2;1; ) tâm I thuộc đường thẳng qua O có VTCP u hướng OA + OB ' = ( 0;3;3 ) Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung hay chọn u = ( 0;1;1) Ta có r = 2S 3.4 = = ⇒ OI = r = = u ⇒ I ( 0;1;1) Chọn A 2p 3+ 4+5 Lời bình Cách giải dựa vào tính tốn yếu tố liên quan đặc biệt tam giác N gồi ta giải ngắn gọn dựa vào kết tâm tỉ cự sau: OB.IA + OA.IB + BA.IO = ⇔ 4.IA + 3.IB + 5.IO = suy tọa x + 3xB + xO y + yB z + 3zB độ I xI = A = 0; yI = A = 1; z I = A = ⇒ I ( 0;1;1) Chọn A 4+3+5 4+3+5 4+3+5 Ví dụ 23 (THTT Số 3-486) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d: x−2 y −3 z +4 x +1 y − z − d ′ : = = = = −5 −2 −1 A x y z −1 = = 1 B x y −2 z −3 x−2 y −2 z −3 x−2 y +2 z −3 C D = = = = = = 2 2 −1 Hướng dẫn Trước hết ta có u∆ = ud , ud '  , vào Mode nhập = = = = −2 = = ta X = 1, Y = suy u ∆ = (1;1;1) Đến ta loại phương án B D X −2 X −3 Shift Solve có x = y = suy z = giao = X +1 X − điểm (0; 0; 1) Tương tự thay y = x vào d' ta có Shift Solve có x = y = suy z = = −2 giao điểm (2; 2; 3) Vậy chọn A Từ phương án A, thay y = x vào d ta có Ví dụ 24 (THTT Số 2-485)  x = − 2t x =   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng chéo d1 :  y = t , d2 :  y = t′  z = −t ′ z =   Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng 3  B  x −  + y + ( z − ) = 2  3  D  x +  + y + ( z + ) = 2  3  A  x +  + y + ( z + ) = 2  3  C  x −  + y + ( z − ) = 2  2 Hướng dẫn Đường kính mặt cầu đoạn vng góc chung d1 & d , đường thẳng d có véc tơ phương u = ud1 , ud2  = (1; 2; ) Gọi A ( − a; a;3 ) B (1; b; −b ) mà AB đoạn vng góc chung, ta có AB 2a − b − a −b − giải có a = 1, b = −1 Suy A ( 2;1;3) , B (1; −1;1) = = 2 3  ta tâm I  ;0;  , bán kính R = IA = Chọn B 2  phương với u nên 10 Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung + Cách (PP khảo sát) Ta có BA = ( 2;2; −2) ⇒ AB = Chọn uAB = (1;1; −1) ta có khoảng cách M đến AB h = ( −4t + ) + ( 2t − ) + ( t + 2) 2 2 ( −4t + + 2t − − t − 2) − h2 = 21t − 36t + 24 − 3t = 18t − 36t + 24 ≥ ⇒ h = Vậy S = Chọn C + Cách (Tâm tỉ cự) Tính khoảng cách từ A, B đến d, nhập công thức 2 X +Y +F ( −4X + 2Y + F) − 16 + + CALC nhập −6 = = = kết CALC nhập −4 = = −2 = kết 105 105 Đến gọi I trung điểm AB, tọa độ I(0; 3; 3) CALC nhập −5 = = −1 = kết h = Suy S = Chọn C Lời bình Theo cách ta tính giấy nháp độ dài AB tọa độ I Còn lại việc nhNm & bấm máy  AB, AM    Các bạn tính theo cơng thức truyền thống d ( M , AB ) = xem nhanh, chậm nào? AB Ví dụ 44 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) đường thẳng ∆  x = −1 + 2t  có phương trình tham số  y = − t ( t ∈ ℝ ) Một điểm M thay đổi đường thẳng ∆ , xác định vị  z = 2t  trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Khi toạ độ điểm M là: A M (1;0; ) B M ( 2; 4;3) C M ( −3; 2; −2 ) D M (1;4;3) Hướng dẫn hận xét: Vì AB khơng đổi nên chu vi tam giác AMB nhỏ MA + MB nhỏ 2 Ở ta giải theo PP tâm tỉ cự: X + Y + F ( X − Y + 2F ) − CALC nhập = = = kết 20 CALC nhập = = = kết 20 Đến gọi I(2; 4; 3) trung điểm AB Trở hình sửa thành ( X − Y + 2F ) CALC nhập = = = kết t = Chọn A Ví dụ 45 (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG) Trong hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng ∆ qua M ( 3;1;1) , nằm mặt phẳng (α ) : x + y − z − = x =  tạo với đường thẳng d :  y = + 3t góc nhỏ phương trình ∆ là:   z = −3 − 2t x =  A  y = −t '  z = 2t '  19 Diendangiaovientoan  x = + 5t '  B  y = −3 − 4t ' z = + t '   x = + 2t '  C  y = − t '   z = − 2t ' Hướng dẫn  x = + 5t '  D  y = − 4t '   z = + 2t ' GV: Nguyen Xuan Chung Giả sử đường thẳng d cắt mặt phẳng (α ) A, điểm B thuộc d cho AB = ud , H hình chiếu vng góc B (α ) Vì véc tơ phương đường thẳng không phụ thuộc độ dài nên ta chọn véc tơ AK = u∆ có độ dài AK khơng đổi B A H M K d α Khi tam giác ABK có độ dài hai cạnh AB, AK khơng đổi nên góc BAK nhỏ độ dài BK nhỏ nhất, tức BK = BH hay u∆ phương AH Ta có AB = AH + HB ⇔ ud = u∆ + tn ⇒ t = n.ud n suy u ∆ = ud − tn Bấm máy Casio X +Y − F CALC nhập = = −2 = Shift Sto M bấm X − M : Y − M : F + M bấm = = = ta có u∆ = − ( 5; −4;1) Chọn B (nếu xét thêm: cho t ' = − ta có tọa độ M) Lời bình Cách giải dựa vào phân tích hình học hợp lý để xét phương ∆ N goài ta giải theo phương pháp khảo sát hàm số (Bạn đọc thử giải theo PP hàm số xem nào?!) x = − t x −1 y − z −1  = = Ví dụ 46 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d :  y = − t Mặt −1  z = −2  phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = (với a; b; c; d ∈ ℝ ) vng góc với đường thẳng d1 chắn d1 , d đoạn thẳng có độ dài nhỏ Tính a + b + c + d A −14 C −8 B D −12 Hướng dẫn Gọi AB đoạn vng góc chung d1, d2 AB đoạn có độ dài nhỏ Mặt khác d1 ⊥ ( P ) d1 ⊥ AB , kết hợp với giả thiết suy AB ⊂ ( P ) hay ( P ) chứa AB Ta có nP = (1; 2; −1) cần tìm tọa độ A Gọi A (1 + t; + 2t;1 − t ) ⇒ d = (1 + t − ) + ( + 2t − 3) + (1 − t + ) 2 2 ( t − + 2t − 1) − 2 ⇒ d = t − 6t + ≥ ⇒ AB = t = ⇒ A ( 3; 6; −1) ⇒ ( P ) : x + y − z − 16 = Chọn A Lời bình Đề thiếu tính chặt chẽ, chẳng hạn từ phương trình ( P ) : x + y − z − 16 = ta viết thành 64 x+ y− z− = lấy tổng a + b + c + d = −8 !? Để khắc phục điều ta cho biết 7 7 trước thành phần, ( P ) : ax + by − z + d = hỏi tổng a + b + d = ? Hay điều kiện khác ( P) : 20 Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung Ví dụ 47 (THTT số 5-488) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + z + = đường thẳng x y−2 z = = Hai mặt phẳng ( P ) , ( P′ ) chứa d tiếp xúc với ( S ) T T ′ Tìm tọa độ trung 1 −1 điểm H TT ′ 5 5 5 7  5  7 A H  ; ; −  B H  ; ; −  C H  − ; ;  D H  − ; ;  6 6 6 6  6  6 d: Hướng dẫn Ta diễn đạt giả thiết thành tiếp diện ( S ) T T ′ cắt theo giao tuyến d Gọi I tâm mặt cầu, xét mặt phẳng ( Q ) qua ba điểm I, T, T' giả sử ( Q ) cắt d K Ta lấy IT , IT ' làm véc tơ pháp tuyến ( P ) ( P′ ) ta có ud = nQ = k  IT , IT ' ( k ≠ ) hay ta có d ⊥ IK T I H K T' Tọa độ I (1; 0; −1) , bán kính R = Ghi X +Y − F CALC nhập = −2 = −1 = Shift Sto M Ghi M : + M : −M bấm = = = ta có K ( 0; 2; ) suy IK = ( −1; 2;1) ⇒ IH = t ( −1; 2;1) , t > Trong tam giác vng ITK ta có IH IK = IT = R , ta 6t = ⇒ t = 5 5 ⇒ H  ; ; −  Chọn A 6 6 Lời bình Khi hiểu vấn đề (nhớ kết quả) thi trắc nghiệm bấm máy (hay tự luận) nhẹ nhàng, chưa nắm nội dung toán mà bắt đầu giải gặp vướng mắc lớn chỗ: mặt phẳng ( P ) ( P′ ) tiếp điểm T T ′ cho cách trừu tượng (khơng có phương trình cụ thể tọa độ cụ thể), vị trí tương đối mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng khơng gian khơng có hình vẽ N hư tốn khó (Bạn đọc liên hệ tham khảo thêm ví dụ 1) 21 Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung II CÁC BÀI TẬP LUYỆ TẬP Câu 1: (THTT Số 1-484) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 10 = đường thẳng x + y −1 z −1 = = Đường thẳng ∆ cắt ( P ) d M U cho A (1;3; ) trung −1 điểm MU Tính độ dài đoạn MU d: A MU = 33 B MU = 26, C MU = 16, D MU = 33 Câu 2: (THPT Chuyên ĐH Vinh) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x −1 y − z − = = mặt phẳng (α ) : x + y − z − = Trong đường thẳng sau, đường thẳng nằm mặt phẳng (α ) , đồng thời vng góc cắt đường thẳng d ? x−2 y−4 z−4 = = A ∆ : −2 C ∆ : x −5 y −2 z −5 = = −2 B ∆ : x −1 y −1 z = = −2 D ∆1 : x+2 y+4 z+4 = = −3 −1 Câu (THTT Số 2-485) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu ( S ) có tâm nằm đường thẳng x y −1 z − d: = = tiếp xúc với hai mặt phẳng ( P ) :2 x − z − = 0, ( Q ) : x − y − = 1 A ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = B ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = C ( S ) : ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = D ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 2 2 2 2 2 Câu 4: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa) Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y + m = đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x + y − z − = ( β ) : x − y − z + = Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = khi: A m = 12 B m = −12 C m = −10 D m =  x = + 3t Câu Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = + 4t Gọi ∆ đường thẳng qua A (1;1;1) có z =  vectơ phương u = (1; − 2; 2) Đường phân giác góc nhọn tạo d ∆ có phương trình  x = + 7t A  y = + t  z = + 5t  22 Diendangiaovientoan  x = −1 + 2t B  y = −10 + 11t  z = −6 − 5t   x = −1 + 2t C  y = −10 + 11t  z = − 5t   x = + 3t D  y = + 4t  z = − 5t  GV: Nguyen Xuan Chung Câu Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 3;3;1) , B ( 0; 2;1) , mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Đường thẳng d nằm ( P ) cho điểm nằm d ln cách A, B có phương trình A d : x y−7 z = = −1 −2 B d : x −1 y − z = = C d : x y+7 z = = −1 −2 D d : x +1 y − z − = = Câu (THPT CHUYÊ KHT ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 0; 0;3 ) , B ( −2; 0;1) mặt phẳng (α ) : x − y + z + = Hỏi có điểm C mặt phẳng (α ) A B C cho tam giác ABC đều? D vô số Câu (SỞ GD & ĐT GHỆ A ) Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2; −1; ) đường thẳng ∆ : x −1 y + z − = = Khoảng cách −1 từ điểm A đến đường thẳng ∆ A B C D x = + 2t x + y −1 z +1  = = Câu Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng ∆ :  y = −3 + t ∆' : −4 −2 z = − 2t  Khoảng cách hai đường thẳng ∆ ∆ ' bằng: A 79 B 386 C 11 D 386 Câu 10 (THPT Chuyên Hà Tĩnh) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x +1 y + z + = = điểm A ( 3; 2;0 ) Điểm đối xứng 2 điểm A qua đường thẳng d có tọa độ A ( −1;0; ) B ( 7;1; − 1) C ( 2;1; − ) D ( 0; 2; − ) Câu 11 Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 : x−7 y −3 z −9 x − y −1 z −1 = = ; d2 : = = −1 −7 2 A 14 B C D 21 Câu 12 Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, khoảng cách hai đường thẳng chéo x y −1 z − x − y + z +1 d : d1 : = = = = −4 −6 1 A 23 Diendangiaovientoan B C D GV: Nguyen Xuan Chung Câu 13 (THPT Đặng Thúc Hứa- ghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : ( P ) : x + y − 2z + = x +1 y z − = = , mặt phẳng 1 A (1; −1; ) Đường thẳng ∆ cắt d ( P ) M U cho A trung điểm đoạn thẳng MU Một vectơ phương ∆ A u = ( 2;3; ) B u = (1; −1; ) C u = ( −3;5;1) D u = ( 4;5; −13) Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 36 , điểm I (1; 2; ) đường thẳng d : 2 x−2 y−2 z = = Tìm tọa độ điểm M thuộc d, U thuộc (S) cho I −1 trung điểm MU  U ( 3; 2;1) A   U ( 3;6; −1)  U ( −3; −2;1) B   U ( 3; 6; −1)  U ( −3; 2;1) C   U ( 3; 6;1)  U ( −3; −2; −1) D   U ( 3; 6;1) Câu 15: (SGD Bắc Giang)  8 Trong không gian Oxyz , cho tam giác nhọn ABC có H ( 2; 2;1) , K  − ; ;  , O hình chiếu  3 3 vng góc A , B , C cạnh BC , AC , AB Đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng ( ABC ) có phương trình A d : 2 y− z+ 3= 3= B d : −2 x− x + y + z −1 = = −2 17 19 y− z− 9= = −2 x+ C d : D d : x y −6 z −6 = = −2 Câu 16: (THPT Chuyên ĐH KHT ) x −2 y z −9 x +1 y +1 z +1 = = d : = = Mặt cầu 3 có đường kính đoạn thẳng vng góc chung d1 d có phương trình là: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : 2 16   2  A  x −  +  y −  + ( z − 14 ) = 3  3  2 8  1  B  x −  +  y −  + ( z − ) = 12 3  3  2 8  1  C  x −  +  y −  + ( z − ) = 3  3  16   2  D  x −  +  y −  + ( z − 14 ) = 12 3  3  Câu 17: (THPT Lê Hồng Phong- am Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ∆ABC biết A ( 2; 0; ) , B ( 0; 2; ) , C (1;1;3 ) H ( x0 ; y0 ; z0 ) chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC Khi x0 + y0 + z0 bằng: A 38 24 Diendangiaovientoan B 34 11 C 30 11 D 11 34 GV: Nguyen Xuan Chung Câu 18: (THPT Chuyên ĐH Vinh) Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 2; 3;3 ) , phương trình đường trung tuyến kẻ từ B x −3 y −3 z − x−2 y−4 z−2 = = , phương trình đường phân giác góc C = = Đường −1 −1 −1 −1 thẳng AB có véc-tơ phương A u = ( 2;1; −1) B u = (1; −1; ) C u = ( 0;1; −1) D u = (1; 2;1) Câu 19: ( SỞ GD & ĐT PHÚ THỌ) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x + y − z + 12 = Gọi A, B, C giao điểm (α ) với trục tọa độ, đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với (α ) có phương trình x+3 y + z −3 x+3 y −2 z −3 x+3 y −2 z −3 x −3 y −2 z +3 = = B = = C = = D = = −2 2 −2 −2 −3 Câu 20: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) A x −3 y −3 z +2 x − y +1 z − = = ; d2 : = = mặt −1 −2 −3 phẳng ( P ) : x + y + z − = Đường thẳng vng góc với ( P ) , cắt d1 d có phương trình Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : A x −1 y + z = = B x − y − z −1 x−3 y −3 z + x −1 y + z = = C = = D = = 3 Câu 21: (SGD Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; 1; ) đường thẳng ∆ : x −1 y + z = = −1 Phương trình tham số đường thẳng d qua M , cắt vng góc với ∆  x = 2+t x = − t  x = 1+ t  x = + 2t     A d :  y = − 4t B d :  y = + t C d :  y = −1 − 4t D d :  y = + t  z = −2t  z =t  z = 2t  z = −t     Câu 22: (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d: x−2 y z 2 = = mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 1) = Hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) chứa d −1 tiếp xúc với ( S ) Gọi M U tiếp điểm Độ dài đoạn thẳng MU bằng? A 2 B C D Câu 23 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y + m = đường thẳng (d ) : x y −1 z + = = Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho độ dài MN 2 A m = −24 25 Diendangiaovientoan B m = C m = 16 D m = −12 GV: Nguyen Xuan Chung Câu 24: (THPT Chuyên ĐH Vinh) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x + y − z − = , đường thẳng d : x +1 y + z + = = 2 1  điểm A  ;1;1 Gọi ∆ đường thẳng nằm mặt phẳng (α ) , song song với d đồng thời cách   d khoảng Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng ( Oxy ) điểm B Độ dài đoạn thẳng AB A 21 B C D Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông C, có ABC = 600 ; AB = x −3 y − x + = = , đường thẳng AC nằm mặt phẳng 1 −4 Đường thẳng AB có phương trình (α) : x + z −1 = Biết điểm a + b + c A B điểm có hoành độ dương, gọi (a, b, c) tọa độ điểm C Giá trị B C Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : ( P) : x + y + z + = D x − y + z +1 = = mặt phẳng có phương trình −1 cắt I Đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), vng góc với đường 42 Gọi M ( 5; b; c ) hình chiếu vng góc I thẳng d đồng thời khoảng cách từ I đến ∆ ∆ Giá trị tích bc bằng: A -10 B 10 Câu 27 (THPT CHUYÊ C 12 D -20 GUYỄ TRÃI HẢI DƯƠ G): x = 1+ t  Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu x + y + z = điểm M ( x0 ; y0 ; z ) ∈ ( d ) :  y = + 2t Ba điểm  z = − 3t  2 A, B, C phân biệt thuộc mặt cầu cho MA, MB, MC tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng ( ABC ) qua D (1;1; ) Tổng T = x02 + y02 + z02 bằng: A 30 B 26 Câu 28: (THPT CHUYÊ ĐHSP HÀ ỘI) C 20 D 21 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;4) hai điểm M, B thỏa mãn MA.MA + MB.MB = x + y −1 z + Giả sử điểm M thay đổi đường thẳng d : Khi điểm B thay đổi đường = = 2 thẳng có phương trình A d1 : x + y z + 12 = = 2 B d : x −1 y − z − = = 2 C d : x y z = = 2 D d : x − y − z − 12 = = 2 26 Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung Câu 29 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ( P ) : x − y + z − = đường thẳng x +1 y z + x −1 y − z +1 Gọi M điểm thuộc đường thẳng ∆1 , M có toạ độ = = ; ∆2 : = = 1 −2 số nguyên, M cách ∆ ( P ) Khoảng cách từ điểm M đến mp ( Oxy ) ∆1 : A B 2 C D Câu 30 Trong hệ trục Oxyz , cho hai điểm M (1; 2;3) , A ( 2; 4; ) hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = 0, ( Q ) : x − y − z + = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt ( P ) , ( Q ) B, C cho tam giác ABC cân A nhận AM đường trung tuyến A ∆ : x −1 y − z − = = −1 −1 B ∆ : x −1 y − z − = = −1 C ∆ : x −1 y − z − = = 1 D ∆ : x −1 y − z − = = −1 1 Câu 31 (Lê Hồng Phong - am Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : ( S ) : x + y + z − x − y − z − 67 − Qua x − 13 y + z = = mặt cầu −1 d dựng mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) T1 , T2 Viết phương trình đường thẳng TT A x − y −1 z − = = −1 B x − y +1 z − = = −1 C x − y −1 z + = = D x − y −1 z − = = −5 −1 x = t  Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba đường thẳng d1 :  y = − t  z = −1 + 2t  x y−2 z x +1 y −1 z +1 = = d3 : = = Gọi ∆ đường thẳng cắt d1 , d , d3 điểm −3 −3 A, B, C cho AB = BC Phương trình đường thẳng ∆ d2 : A x−2 y−2 z = = 1 B x y−2 z = = 1 C x y − z −1 = = 1 −1 D x y − z −1 = = −1 1 x = 2−t  Câu 33 Cho mặt cầu ( S ) : x2 + y + z − x + z + = đường thẳng d :  y = t Tìm m để d cắt z = m + t  ( S ) hai điểm phân biệt A, B cho mặt phẳng tiếp diện ( S ) A B vuông góc với A m = −1hoặc m = −4 B m = m = −4 C m = −1hoặc m = D Cả A, B, C sai 27 Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung Câu 34 (BGD - Đề thi MI H HỌA THPTQG 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm E ( 2;1;3 ) , mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z − ) 2 = 36 Gọi ∆ đường thẳng qua E , nằm ( P ) cắt ( S ) hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình ∆  x = + 9t  A  y = + 9t  z = + 8t   x = − 5t  B  y = + 3t z =  x = + t  C  y = − t z =   x = + 4t  D  y = + 3t  z = − 3t  Câu 35 (BGD - Đề thi thức THPTQG 2019 M101 C42) Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0; 4; −3 ) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây? A P ( −3; 0; −3 ) B M ( 0; −3; −5 ) C U ( 0; 3; −5 ) D Q ( 0;5; −3 ) Câu 36 (PT K-ĐHQG TP HCM) Trong hệ tọa độ Oxyz , cho ( P ) : x − y + z − = , A ( −3;0;1) , B (1; −1;3) Viết phương trình đường thẳng d qua A , song song với ( P ) cho khoảng cách từ B đến d lớn A x + y z −1 = = −1 B x + y z −1 = = −2 C x −1 y z −1 = = −2 D x + y z −1 = = −6 −7 Câu 37 (TT Diệu Hiền-Cần Thơ) x +1 y z +1 = = hai điểm A (1; 2; −1) , −1 B ( 3; −1; −5 ) Gọi d đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng ∆ cho khoảng cách từ điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : B đến đường thẳng d lớn Phương trình đường thẳng d là: x−3 y z +5 x y+2 z A = = B = = −1 2 −1 C x + y z −1 = = −1 D x −1 y − z +1 = = −5 Câu 38 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - am Định) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm M ( 0; −1; ) , U ( −1;1;3 ) Một mặt phẳng ( P ) qua M , U cho khoảng cách từ điểm K ( 0; 0; ) đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị lớn Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến n mặt phẳng ( P ) A n = (1; −1;1) B n = (1;1; −1) C n = ( 2; −1;1) D n = ( 2;1; −1) Câu 39 (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị) Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3; −2;3 ) , B (1; 0;5 ) đường thẳng d : x −1 y − z − = = −2 Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d để MA2 + MB đạt giá trị nhỏ A M (1; 2;3 ) 28 Diendangiaovientoan B M ( 2; 0; ) C M ( 3; −2; ) D M ( 3; 0; ) GV: Nguyen Xuan Chung Câu 40 (THTT Số 4-487) x = t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 3; 2; −1) đường thẳng d :  y = t Viết phương  z = 1+ t trình mặt phẳng ( P ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( P ) lớn A x + y − z + = B x + y − z − = C 3x + y − z + = D x − y − z + = Câu 41 (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình) Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2;1) , B (1; 2; − ) đường thẳng d : x +1 y − z = = 2 −1 Tìm vectơ phương u đường thẳng ∆ qua điểm A vng góc với d đồng thời cách B khoảng lớn A u = ( 4; − 3; ) B u = ( 2;0; − ) C u = ( 2; 2; − 1) D u = (1;0; ) Câu 42 (THTT Số 4-487) Trong hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2; −3 ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Đường thẳng d qua A có vectơ phương u = ( 3; 4; −4 ) cắt ( P ) B Điểm M thay đổi ( P ) cho M ln nhìn đoạn AB góc 90o Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB qua điểm điểm sau? A H ( −2; −1;3 ) B I ( −1; −2;3 ) C K ( 3; 0;15 ) D J ( −3; 2; ) Câu 43 (PT K-ĐHQG TP HCM) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + z = điểm M (1; 2; − 1) Một đường thẳng thay đổi qua M cắt ( S ) hai điểm A , B Tìm giá trị lớn tổng MA + MB A B 10 D + C 17 Câu 44 (THPT Thuận Thành – Bắc inh) Trong không gian Oxyz , cho ( S1 ) : ( x − 1) + y + z = , ( S ) : ( x − ) + ( y − 3) + ( z − 1) = đường 2 2 x = − t  thẳng d :  y = −3t Gọi A, B hai điểm tùy ý thuộc ( S1 ) , ( S ) M thuộc đường thẳng d Khi  z = −2 − t  giá trị nhỏ biểu thức P = MA + MB 2211 3707 1771 + 110 3707 B − C D 11 11 11 11 Câu 45 (SGD Quảng am) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z = , đường thẳng A x −1 y +1 z − = = điểm A (1; 3; 1) thuộc mặt phẳng ( P ) Gọi ∆ đường thẳng qua A , nằm −1 mặt phẳng ( P ) cách đường thẳng d khoảng cách lớn Gọi u = ( a; b; 1) véc tơ d: phương đường thẳng ∆ Tính a + 2b A a + 2b = −3 B a + 2b = 29 Diendangiaovientoan C a + 2b = D a + 2b = GV: Nguyen Xuan Chung Câu 46 (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( −2; −2;1) , A (1; 2; −3 ) đường thẳng x +1 y − z = = Tìm vectơ phương u đường thẳng ∆ qua M , vng góc với 2 −1 đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé d: A u = ( 2; 2; −1) B u = (1; 7; −1) C u = (1; 0; ) D u = ( 3; 4; −4 ) Câu 47 Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1; 0; ) , mặt phẳng ( P ) : x − y − 2z + = đường thẳng x =  d :  y = t Gọi d ′ đường thẳng qua điểm I vng góc với mặt phẳng ( P ) , M hình chiếu  z = 1+ t vng góc I mặt phẳng ( P ) , U điểm thuộc đường thẳng d cho diện tích tam giác IMU nhỏ Tọa độ điểm U  3 A U  2; ;   2  7 B U  2; ;   2  5 C U  2; ;   2 3  D U  2; − ; −  2  Câu 48 (THPT CHUYÊ ĐẠI HỌC VI H) x−3 y −4 z −2 = = điểm A ( 6;3; −2 ) ; B (1;0; −1) 1 Gọi ∆ đường thẳng qua B, vng góc với d thỏa mãn khoảng cách từ A đến ∆ nhỏ Một vectơ phương ∆ có tọa độ: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d : A (1;1; −3 ) B (1; −1; −1) C (1; 2; −4 ) D ( 2; −1; −3 ) Câu 49 Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( −3; 2;1) , B ( 2;1; −3 ) Đường thẳng ∆ qua gốc O cho tổng khoảng cách từ A B tới ∆ lớn có phương trình x = t  B  y = −t z = t  x = t  A  y = t z = t  x = t  C  y = t  z = 2t   x = −t  D  y = t  z = 2t  Câu 50 Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 2; −3 ) , mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = đường thẳng ∆: x +1 y z + = = Đường thẳng d qua A, song song với ∆ cắt ( P ) B Điểm M di động −4 ( P) cho tam giác AMB vuông M Độ dài đoạn MB có giá trị lớn A B C 18 D 17 Câu 51 Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng ( P) : x + y − z − = mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z − ) 2 = 36 Gọi ∆ đường thẳng qua E, nằm (P) cắt (S) hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình ∆  x = + 9t  A  y = + 9t  z = + 8t  30 Diendangiaovientoan  x = − 5t  B  y = + 3t z =  x = + t  C  y = − t z =   x = + 4t  D  y = + 3t  z = − 3t  GV: Nguyen Xuan Chung Câu 52 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 3; 2;1) , M ( 3; 0; ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Đường thẳng ∆ qua điểm M, nằm mặt phẳng ( P ) cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ nhỏ Gọi u = ( a; b; c ) vectơ phương ∆ với a, b, c số nguyên có ước chung lớn Tính giá trị T = a + b + c A T = −1 B T = C T = D T = Câu 53 ( GUYỄ KHUYẾ TPHCM) 6  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;3; 0), B (0; − 2;0), M  ; − 2;  đường 5  x = t  thẳng d :  y = Điểm C thuộc d cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhấ độ dài CM  z = − t A B C D Câu 54 (THPT CHUYÊ ĐẠI HỌC VI H) Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2; −3; ) , đường thẳng d : ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + 1) 2 x −1 y + z mặt cầu = = 2 = 20 Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn Mặt cầu (S) cắt (P) theo đường tròn có bán kính bằng: A B C D Câu 55 (THPT CHUYÊ TUYÊ QUA G) x y −1 z Cho đường thẳng d : = = ba điểm A ( 2; 0; ) , B ( 0; 4; ) , C ( 0; 0; ) Điểm M ( a; b; c ) ∈ d thỏa mãn MA + 2MB + 3MC đạt giá trị nhỏ Tính S = a + b + c 148 49 50 49 A S = B S = C S = − D S = − 49 148 49 50 Câu 56 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;1;3 ) , B ( 5; 2; −1) hai điểm M, N thay đổi mặt phẳng ( Oxy ) cho điểm I (1; 2; ) trung điểm MN Khi biểu thức P = MA2 + 2N B2 + MA.N B đạt giá trị nhỏ Tính T = 2x M − 4x N + 7yM − y N A T = −10 B T = −12 C T = −11 D T = −9 Câu 57 (THPT CHUYÊ TUYÊ QUA G) x −1 y −1 z −1 Cho đường thẳng d : hai điểm A ( 2; 0; −3 ) , B ( 2; −3;1) Đường thẳng ∆ qua A = = x 2 cắt d cho khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ Phương trình ∆ x y + z −1 x y + z −1 x y +1 z +1 x y +1 z +1 A = B = C = D = = = = = −1 −1 2 −2 −2 2 Câu 58 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;5; ) ; B ( 3;3; ) đường thẳng x +1 y −1 z = = Gọi C điểm đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC nhỏ −1 2 Khoảng cách điểm A C d: A 29 31 Diendangiaovientoan B 29 C 33 D GV: Nguyen Xuan Chung Câu 59 (SỞ GD & ĐT I H BÌ H) Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có phương trình ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 20 Mặt 2 x y+2 z+4 = = −3 Viết phương trình đường thẳng ∆ ′ nằm mặt phẳng (α ) , vng góc với ∆ đồng thời cắt ( S ) theo phẳng (α ) có phương trình x − y + 2z − = đường thẳng ∆ có phương trình dây cung có độ dài lớn  x = 3t  A ∆′ :  y = −2   z = −4 + t  x = + 2t  C ∆′ :  y = −1 + 5t  z = + 4t   x = + 3t  B ∆′ :  y = z = 1+ t   x = − 2t  D ∆′ :  y = − 5t  z = − 4t  Câu 60 (THPT CHUYÊ SƠ LA) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) mặt phẳng ( P) : x − y + z − = Đường thẳng (d) qua A, song song với mặt phẳng (P) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ nhất, b Đường thẳng (d) có VTCP u = (1; b; c) c b b b b 11 A = 11 B = − C = − D = c c c c x +1 y z +1 Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = hai điểm −1 A (1; 2; −1) , B ( 3; −1; −5 ) Gọi d đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng ∆ cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn Khi đó, gọi M ( a; b; c ) giao điểm d với đường thẳng ∆ , giá trị P = a + b + c A −2 B C D Câu 62 (THPT HOÀ G VĂ THỤ HỊA BÌ H)  x = + 4t  Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; −1; ) , B ( 3; −4; −2 ) đường thẳng d :  y = −6t Điểm   z = −1 − 8t I ( a, b, c ) thuộc d điểm thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ Khi T = a + b + c 23 58 A B − 43 58 C 65 29 D − 21 58 x = + t  Câu 63 Trong hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : y = −1 + 2t t ∈ R hai điểm z = 3t  ( ( ) ( ) ( ) ) A 2; 0; B 2; −2; −3 Biết điểm M x ; y ; z thuộc ∆ MA4 + MB nhỏ Tìm x A x = B x = C x = D x = x −1 y z − = = 2 Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến ( P ) lớn Tính khoảng Câu 64 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 2;5;3 ) đường thẳng d : cách từ điểm M (1; 2; − 1) đến mặt phẳng ( P ) A 11 18 18 32 Diendangiaovientoan B C 11 18 D GV: Nguyen Xuan Chung Câu 65 ( ĐH T_HÀ ỘI) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + ( y + ) + z = Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng ∆ : x − y + m z − 2m = = cắt ( S ) hai điểm phân biệt A, B −3 cho độ dài AB lớn 1 A m = − B m = ± C m = D m = Câu 66 (TH & TT SỐ 8) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : x +1 y − z − = = điểm −2 −1 A( 2;3; −4) , B ( 4;6; −9) Gọi C , D điểm thay đổi ∆ cho CD = 14 mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD tích lớn Khi tọa độ trung điểm M CD  79 64 102  A M  ; ;   35 35 35   181 −104 −42  B M  ; ;  5    101 13 69  C M  ; ;   28 14 28  D ( 2;2;3) Câu 67 (BGD - Đề thi thức THPTQG 2017 M104C33) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; − 1; ) , B ( −1; 2; ) đường thẳng d: x −1 y − z −1 = = Tìm điểm M ( a; b; c ) thuộc d cho MA2 + MB = 28 , biết c < 1 A M ( −1; 0; − ) B M ( 2; 3; ) 2 1 C M  ; ; −  3 6 2  D M  − ; − ; −  3  Câu 67 (BGD - Đề thi thức THPTQG 2019 M101C48) ( Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + ) = Có tất điểm A ( a; b; c ) ( a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho có hai tiếp tuyến ( S ) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 12 B C 16 D Câu 1C Câu 2C Câu 3A Câu 4B Câu 5C Câu 6A Câu 7B Câu 8D Câu 9D Câu 10A Câu 11D 12D 13A 14B 15A 16C 17B 18C 19C 20A 21A 22B 23D 24A 25C 26B 27B 28A 29A 30D 31A 32B 33A 34C 35C 36D 37D 38B 39B 40A 41A 42B 43C 44B 45A 46C 47D 48A 49A 50A 51C 52C 53C 54D 55A 56A 67C 57C 68A 58B 59D 60B 61D 62A 63C 64A 65D 66D 33 Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung ... −5 ) Gọi d đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng ∆ cho khoảng cách từ điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : B đến đường thẳng d lớn Phương trình đường thẳng d là: x−3... ĐH Vinh) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x −1 y − z − = = mặt phẳng (α ) : x + y − z − = Trong đường thẳng sau, đường thẳng nằm mặt phẳng (α ) , đồng thời vng góc cắt đường thẳng d... ( −1;1;1) Chọn D Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d2 : x y −1 z + = = −5  x = t  d1 :  y = −1 − t   z = + t đường thẳng Đường thẳng qua A (1;−1;2), đồng