Các bài toán chọn lọc trong các bài thi thử

BAN BIÊN TẬP DIỄN ĐÀN K2PI.NET CÁC B ÀI TOÁN CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ CỦA DIỄN ĐÀN HÀ NỘI, THÁNG NĂM 2014 Tài liệu tuyển chọn toán 15 đề thi thử diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014 Tôi biên tập lại quà nhỏ gửi đến bạn ôn thi Đại học Cao Đẳng Thay mặt ban quản trị chúc bạn đạt kết cao kì thi tới Xin cám ơn thầy Châu Ngọc Hùng gửi source tổng hợp đề thi NGUYỄN MINH TUẤN (POPEYE) Mục lục Chuyên đề : Khảo sát hàm số Chuyên đề : Phương trình lượng giác 12 Chuyên đề : Phương trình, bất phương trình vơ tỷ, hệ phương trình 17 Chun đề : Tích Phân 26 Chun đề : Hình học không gian 33 Chuyên đề : Bất đẳng thức, Cực trị 44 Chun đề : Hình giải tích mặt phẳng 53 Chuyên đề : Hình giải tích khơng gian 64 Chun đề : Tổ hợp, xác suất 73 Chuyên đề 10 : Mũ - Logarit 76 Chuyên đề 11 : Số phức 79 www.k2pi.net CHUYÊN TEXBY POPEYE ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ 2x + m ( Hm ), m tham số thực Tìm tất giá trị x−2 m để đường thẳng d : y = x + cắt đồ thị ( Hm ) hai điểm phân biệt A, B cho tích Bài tốn : Cho hàm số y = khoảng cách từ hai điểm A B đến đường thẳng ∆ : x + 2y − = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( Hm ) d : 2x + m = x+3 x−2  x = (1) ⇐⇒  x2 − x − m − = (2) Để ( Hm ) cắt d điểm phân biệt A B PT (1) có nghiệm phân biệt ⇐⇒ (2) có nghiệm phân biệt =  ∆ = + 4m + 24 > ⇐⇒  m = −4   m > −25 ⇐⇒   m = −4 (∗) www.k2pi.net TEXBY POPEYE Gọi A ( x1 ; x1 + 3) , B ( x2 ; x2 + 3) giao điểm ( Hm ) d Ta có d( A,∆) d( B,∆) = ⇐⇒ |3x1 + 5| |3x2 + 5| = 10 ⇐⇒ [9x1 x2 + 15 ( x1 + x2 ) + 25]2 = 100   x1 + x2 = Mà:  x x = −m − (3) −8 −4 Thay vào (3) ta : (9m + 14)2 = 100 ⇐⇒ m = m = thỏa mãn (∗) −8 −4 Kết luận: Vậy giá trị m cần tìm : m = ,m= Bài toán : Cho hàm số y = − x3 + 3(m + 1) x2 + m − có đồ thị (Cm ), m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) thoả x2 − x1 = 2014 Lời giải y = −3x2 + 6(m + 1) x = −3x x − 2(m + 1) nên y > x nghiệm 0; 2(m + 1) Trường hợp: m + > x2 − x1 = 2014 nên 2(m + 1) ≥ 2014 ⇐⇒ m ≥ 1006 Trường hợp: m + < x2 − x1 = 2014 nên 2(m + 1) ≤ −2014 ⇐⇒ m ≤ −1008 Bài toán : Cho hàm số y = − x4 + 2x2 + 5, có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ Ox, Oy hai điểm cho 24OA = OB Lời giải Gọi ∆ : y = ax + b tiếp tuyến (C )  −4x3 + 4x = a ⇔ ( I ) có nghiệm − x4 + 2x2 + = ax + b ∆ Ox = A −b ;0 a ∆ Oy = B (0; b) √ b2 = b2 ⇒ a = ±24 a   x = −2 +/ với a = 24 thay vào hệ ( I ) ⇒ ⇒ ∆; y = 24x + 45 b = 45  x = +/ với a = −24 thay vào hệ ( I ) ⇒ ⇒ ∆ : y = −24x + 45 b = 45 Theo giả thiết 24OA = OB ⇒ 24 www.k2pi.net TEXBY POPEYE x3 − (m + 1) x2 + m2 + x − 6, có đồ thị (Cm ) Tìm tất giá trị m, để hàm số có điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn: x1 + (m + 1) x2 ≤ Bài toán : Cho hàm số y = 3m2 + 24 Lời giải Ta có y = x − ( m + 1) x + m2 + Để đồ thị hàm số có điểm cực trị ⇔ y = có nghiệm phân biệt ⇔ m > Áp dụng hệ thức Viet ta có (∗)   x1 + x2 = ( m + 1)  x x = m2 + Từ giả thiết ⇒ x12 + x22 + x1 x2 ≤ 3m2 + 24 ⇔ m ≤ 3 Kết hợp điều kiện(*) ⇒ m ∈ ( ; 3] Bài toán : Cho hàm số y = ( m − 1) x + m , m = (Cm ) Tìm tiếp tuyến cố định họ x−m đồ thị hàm số Lời giải Gọi A( x0 ; y0 ) điểm cố định mà họ (Cm ) qua Khi y0 = ( m − 1) x0 + m ; m = =⇒ m(−u0 − x0 − 1) + x0 + x0 y0 = x0 − m ⇐⇒ x0 + y0 = x0 (1 + y0 ) = ⇐⇒ x0 = y0 = −1 Vậy A(0; −1) − m2 =⇒ f (0) = −1 ( x − m )2 Suy họ (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng tiếp tuyến cố định A(0; −1) có Đạo hàm f ( x ) = phương trình: y = f ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) = −1( x − 0) − = − x − x+1 Gọi I tâm đối xứng (C ),tìm m để đường thẳng 2x − y = x − 2m + cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác I AB Bài toán : Cho hàm số y = 1 Lời giải x = I 1 ; 2 www.k2pi.net TEXBY POPEYE x+1 = x + − 2m; x = ⇔ ( x ) = x2 − 2mx + m − = (1) 2x − Để tồn A; B phân biệt pt (1) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 =   ∆ > điều kiện thỏa mãn ∀m ∈ R  f =0 Khi giả sử A( x1 ; x1 + − 2m); B( x2 ; x2 + − 2m) Pt ( AB) : x − y + − 2m = 1 − + − 2m |1 − 2m| 1 |1 − 2m| 2 √ d( I; ( AB)) = = √ nên S∆ABI = AB.d( I; ( AB)) = AB √ 2 2 PT hồnh độ giao điểm Trong AB = 2( x2 − x1 )2 = 2[( x1 + x2 )2 − 4x1 x2 ] = 8(m2 − m + 1) √ |1 − 2m| = ⇔ (1 − 2m)2 (m2 − m + 1) = ⇔ m = 0; m = S = · 2 m2 − m + · √ 2 Khi m = ba điểm I, A, B thẳng hàng Vậy m = giá trị cần tìm Bài toán : Cho hàm số y = x3 + 2mx2 − 3x có đồ thị (Cm ) Tìm m để đường thẳng −−→−→ y = 4m.x + cắt (Cm ) điểm phân biệt M, N, P cho AM AN = với P có hồnh độ khơng đổi A (1; 1) Lời giải Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình : x3 + 2mx2 − 3x = 4mx + ⇐⇒ ( x − 2)( x2 + 2(m + 1) x + 1) = (d) cắt (Cm ) điểm phân biệt ⇐⇒ x2 + 2(m + 1) x + = có nghiệm phân biệt khác ⇐⇒ m > m < −3 Vì P có hồnh độ khơng đổi, suy : M( a, 4ma + 2) N (b, 4mb + 2) Trong a, b nghiệm phân biệt khác phương trình : x2 + 2(m + 1) x + = −−→−→ Suy AM AN = ⇐⇒ ( a − 1)(b − 1) + (4ma + 1)(4mb + 1) = ⇐⇒ 16abm2 + ab + 4m( a + b) − a − b + = ⇐⇒ 8m2 − 6m + = Vơ nghiệm Vậy khơng có m thỏa mãn đề x−3 đường thẳng d : y = x + m + (m tham số) Tìm x+1 m để đường thẳng d cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt cho tiếp tuyến giao điểm có hồnh độ dương tạo với d góc ϕ thỏa mãn cos ϕ = √ 34 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: x−3 = x + m + ⇔ x2 + (3 + m) x + + m = (vì x = −1 khơng nghiệm) x+1 (C) cắt d điểm phân biệt Bài toán : Cho hàm số y = www.k2pi.net ⇔ ∆ = m2 + 2m − 15 > ⇔ TEXBY POPEYE m < −5 m>3 Gọi M ( x0 ; y0 ) giao điểm có hồnh độ dương (C) d Hệ số góc tiếp tuyến (C) M k = y ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến (C) M: y − y0 = k ( x − x0 ) ⇔ kx − y + y0 − kx0 d Vectơ pháp tuyến d, d’ là: | k + 1| → → − → → n ,− n n = (1; −1) , − n = (k; −1) , cos ϕ = cos − =√ √ k2 +  k=4 Do cos ϕ = √ ⇔ 8k2 − 34k + = ⇔  34 k= x0 = Với k = ta có: y ( x0 ) = =4⇔ (khơng thỏa mãn x0 > 0) x0 = −2 ( x0 + 1)2 x0 = 3( n ) ⇒ y0 = ta có y ( x0 ) = = ⇔ 4 x0 = −5( l ) ( x0 + 1)2 Vì M (3; 0) ∈ d ⇔ = + m + ⇔ m = −6(thỏa mãn) Với k = Vậy m = −6 giá trị cần tìm Bài tốn : Cho hàm số y = − x4 + (m + 1) x2 − m + có đồ thị Cm với m tham số Tìm m để đường thẳng y = cắt đồ thị Cm điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ hoành độ lập thành cấp số cộng Lời giải Ta suy ngược câu hỏi tốn để trả lời Đó ta tìm m để điều kiện cấp số cộng xảy tìm điều kiện m việc nhỏ hay Cụ thể sau : Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) đường thẳng d : y = − x4 + (m + 1) x2 − m + = ⇐⇒ x4 − (m + 1) x2 + m = (∗) ⇐⇒ x2 = hay x2 = m Để d cắt (Cm ) bốn điểm phân biệt tương đương phương trình (∗) có hai nghiệm dương www.k2pi.net TEXBY POPEYE phân biệt  m = Điều có : m > Khi ta gọi t1 , t2 nghiệm của phương trình t2 − (m + 1)t + m = với t = x2 > √ √ √ √ Khi bốn nghiệm phân biệt phương trình (∗) : − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 √ √ √ √ Để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng − t1 − (− t2 ) = t1 − (− t1 ) = √ √ t2 − t1 Từ ta có : t2 = 9t1    t + t2 = m +   1 Kết hợp với viét ta có hệ phương trình : t2 = 9t1      t1 t2 = m  m+1   t =   10  m+1 ⇐⇒ t2 =  10    t t = m Từ ta có phương trình : 9(m + 1)2 = 100m ⇔ 9m2 − 82m + = ⇔ m = hay m = Với m = bốn nghiệm phương trình (∗) : −3; −1; 1; thỏa điều kiện hoành độ nhỏ 1 Với m = bốn nghiệm phương trình (∗) :−1; − ; ; 3 thỏa điều kiện hoành độ nhỏ Do giá trị cần tìm m = ; m = Bài toán 10 : Cho hàm số y = x3 − 3x + (1) đồ thị ( H ) : y = ax3 + bx2 − (với a, b tham số thực) Tìm giá trị a, b để điểm cực tiểu đồ thị (C ) điểm cực đại đồ thị ( H ) Lời giải www.k2pi.net TEXBY POPEYE −3 −2 −1 b Điểm cực tiểu (C ) A(1; 2) Xét ( H ) : y = f ( x ) = ax3 + bx2 − ta có: f ( x ) = 3ax2 + 2bx Đồ thị ( H ) có điểm cực đại A(1; 2) nên suy ra: A ∈ (H) f (1) = ⇐⇒ a+b = 3a + 2b = ⇐⇒ a = −6 b=9 Với a = −6, b = ta có: f ( x ) = −18x2 + 18x f ( x ) = −36x + 18, f (1) = −18 < Suy x = điểm cực đại hàm số y = f ( x ) Vậy a = −6 b = giá trị cần tìm Bài tốn 11 : Cho hàm số y = x4 − 5x2 + (1) Gọi A điểm thuộc (C ) có hồnh độ a Tìm giá trị a để tiếp tuyến (C ) A cắt (C ) ba điểm phân biệt A, B, C có hồnh độ thỏa mãn x3A + x3B + xC3 > (với x A , x B , xC hoành độ điểm A, B, C ) Lời giải 10 www.k2pi.net TEXBY POPEYE Bài tốn : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz gọi M điểm cố định họ mặt phẳng ( Pa ) qua với a , biết ( Pa ) : ( a2 + 2a) x + ( a2 − a)y + ( a2 + 1)z − 6a2 − = Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa trục Oy Lời giải Viết lại phương trình: ( x + y + z − 6) a2 + (2x − y) a + z − = a nên ⇐⇒    x + y + z = 2x − y =    ⇐⇒ z=3    x = M (1; 2; 3) y=2   z = Phương trình mặt phẳng chứa trục Oy có dạng:Ax + Cz = Vì qua M nên : A + 3C = hay A = −3C C = Vậy ( P) có phương trình 3x − z = Bài tốn : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(4; −1; 1); B(3; 1; −1) C (1; 2; −4) Gọi (α) mặt phẳng qua hai điểm A, B phương với Ox Tìm tọa độ điểm đối xứng C qua mặt phẳng (α) Lời giải (α) phương Ox ⇒ (α) : by + cz + d = (α) A, B ⇒ −b + c + d = b−c+d = ⇒ d = 0, b = c Phương trình (α) : y + z = − → Đường thẳng d qua C vng góc  với (α)nhận véc tơ phương u = (0; 1; 1) có phương    x=1 trình tham số đường thẳng d : y = 2+t    z = −4 + t gọi I = d ∩ (α) ⇒ + t − + t = ⇒ t = ⇒ I (1; 3; −3) Gọi C x ; y ; z điểm đối xứng với C qua (α) ta có toạ độ C (1; 4; −2) Bài tốn : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ∆1 : y−1 x = = −1 z x−1 y z+2 ∆2 : = = Viết phương trình mặt phẳng ( P) vng góc với đường 1 √ thẳng ∆1 , cắt trục Oz đường thẳng ∆2 theo đoạn thẳng có độ dài → Lời giải Véc tơ phương ∆ : − u = (2; −1; 1) → Mặt phẳng ( P) nhận véc tơ − u làm véc tơ pháp tuyến có dạng:2x − y +z + m =    x = 1+t ( P) cắt Oz nên giao điểm A(0; 0; −m) Phương trình tham số ∆2 : y = 2t    z = −2 + t 65 www.k2pi.net TEXBY POPEYE Gọi B = ∆2 ∩ ( P) ⇒ B (1 + t; 2t; −2 + t) (1 + t) − 2t − + t + m = ⇐⇒ t = −m ⇒ B (1 − m; −2m; −2 − m) AB2 = ⇐⇒ (1 − m)2 + 4m2 + = ⇐⇒ m = ∨ m = Vậy ( P) : 2x − y + z = 0, 2x − y + z + = Bài toán : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (2; 4; −1) , B (0; −2; 1) x−1 y−2 z−1 đường thẳng ∆ : = = Viết phương trình mặt cầu qua hai điểm −1 A, B có tâm I nằm đường thẳng ∆ Lời giải Do I ∈ ∆ nên I (1 + 2t; − t; + t) Mặt khác mặt cầu qua A, B nên I A = IB = r (1 − 2t)2 + (t + 2)2 + (t + 2)2 = √ Suy I (3; 1; 2) bán kính r = 19 ⇐⇒ (2t + 1)2 + (t − 4)2 + t2 ⇔ t = Mặt cầu là: (S): ( x − 3)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 19 Bài tốn : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M(1; 9; 4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho 8OA = 12OB + 16 = 37OC, biết điểm A có hồnh độ dương, điểm C có cao độ âm Lời giải Giả sử mặt phẳng (α) cắt trục độ điểm khác gốc tọa độ A ( a; 0; 0) , B (0; b; 0) , C (0; 0; c) với a > 0, c < 0, b = Khi ta có phương trình mặt x y z phẳng (α) : + + = a b c Mặt khác M ∈ (α) nên ta có : + + = (1) a b c Từ điều kiện : 8OA = 12OB + 16 = 37OC ⇐⇒ 8a = 12 |b| + 16 = −37c + Với b > điều kiện trở thành : 8a = 12b + 16 = −37c 2a − =⇒ a > Mặt khác từ điều kiện ta rút b = Lại có : c = − a Do từ (1) ta có phương trình: 37 27 37 + − = ⇐⇒ a2 + 2a − 25 = =⇒ a = a > a 2a − 2a 40 Lúc ta có : b = 2; c = − , ta có phương trình (α) : 8x + 20y − 37z − 40 = 37 + Với b < điều kiện trở thành : 8a = −12b + 16 = −37c −2a + Mặt khác từ điều kiện ta rút b = =⇒ a > Lại có: c = − a Do từ (1) ta có phương trình: 37 √ 27 37 −29 ± 109 + − = ⇐⇒ a + 29a − 35 = =⇒ a = loại a > a −2a + 2a 66 www.k2pi.net TEXBY POPEYE Tóm lại ta có mặt phẳng thỏa điều kiện tốn : 8x + 20y − 37z − 40 = Bài tốn : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng y−1 z−3 x+3 y−5 z x+2 = = , cắt đồng thời (d1 ) : = = (∆) song song với (d3 ) : x − 10 y+7 z (d2 ) : = = Lời giải Gọi M ∈ d1 ⇒ M (−3 + 2t; + 3t; t) , N ∈ d2 ⇒ N (10 + 5m; −7 + 4m; m) −−→ → MN = (13 + 5m − 2t; −12 + 4m − 3t; m − t) Véc tơ phương d : − u = (8; 7; 1) −12 + 4m − 3t 13 + 5m − 2t = = m−t Hai véc tơ phương : 25 65 25 giải t=− ⇒ M −28; − ; − 2 y + 65 z + 25 x + 28 2 = = Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: Bài tốn : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) mặt phẳng ( P) : 3x + 2y − z + = Gọi I trung điểm AB Tìm toạ độ điểm M cho I M vng góc với ( P), đồng thời M cách O ( P) Lời giải Toạ độ I (2; 2; 0) , đường thẳng d qua I vng góc với ( P) d: y−2 z x−2 = = −1 Gọi H = d ∩ ( P) ⇒ H (−1; 0; 1) M ∈ d ⇒ M (2 + 3t; + 2t; −t) MH = MO ⇐⇒ (3 + 3t)2 + (2 + 2t)2 + (t + 1)2 = (2 + 3t)2 + (2 + 2t)2 + t2 ⇔ t = − 1 Vậy toạ cần tìm M − ; ; 4 Bài toán 10 : Cho điểm A (5; 3; −1) , C (2; 3; −4) đỉnh hình vng ABCD Tìm tọa độ điểm D biết điểm B nằm mặt phẳng có phương trình : (α) : x + y − z − = Lời giải Gọi B ( a; b; a + b − 6) ∈ (α) Khi đó, −→ AB ( a − 5; b − 3; a + b − 5) ; − → BC (2 − a; − b; − a − b) 67 www.k2pi.net TEXBY POPEYE Vì ABCD hình vuông nên: −→ − → AB BC = AB = BC ⇔ ⇔ ⇔ −→ − → AB BC = ⇔ AB2 = BC2 ( a − 5) (2 − a ) + ( b − 3) (3 − b ) + ( a + b − 5) (2 − a − b ) = ( a − 5)2 + ( b − 3)2 + ( a + b − 5)2 = (2 − a )2 + (3 − b )2 + (2 − a − b )2 −2a2 − 2ab + 14a − 2b2 + 13b − 29 = b = − 2a  a=3   ( a − 3) ( a − 2) =  ⇔  b = − 2a  b=1 a=2 ⇔ B (3; 1; −2) B (2; 3; −1) b=3 (*)Với B(3; 1; −2) Vì ABCD hình vng nên:     x + x = x + x   B D C  A  xD = ⇔ D (4; 5; −3) y A + yC = y B + y D ⇔ yD =      z +z = z +z  z = −3 A C B D D (*) Với B(2; 3; −1) Vì ABCD hình vng nên:     x + x = x + x  A  xD = B D C   ⇔ D (5; 3; −4) y A + yC = y B + y D ⇔ yD =      z +z = z +z  z = −4 A Vậy điểm D cần tìm : C B D D D (4; 5; −3) D (5; 3; −4) Bài tốn  10 : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương    x = 2t trình (t ∈ R) Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( P) : x − 3y = y = 2−t    z = −1 + 3t ( Q) : 3x − y − 2z + = Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d M(−2; 3; −4) có tâm thuộc d Lời giải Mặt cầu (S) tiếp xúc với d M suy tâm I (S) thuộc mặt phẳng ( R) qua M (−2; 3; −4) vuông góc d Phương trình mặt phẳng ( R) là: 2( x + 2) − 1(y − 3) + 3(z + 4) = ⇔ 2x − y + 3z + 19 = 68 www.k2pi.net TEXBY POPEYE Lại có I thuộc d giao tuyến ( P) ( Q) nên tọa độ I nghiệm hệ phương trình:  177   x=−   34  177 59 117 59 ⇒I − ;− ;− 3x − y − 2z + = ⇔ y=−   34 34 34 34     2x − y + 3z + 19 =   z = − 117 34     x − 3y = Bán kính mặt cầu (S) : R = IM = 177 −2 + 34 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: 59 + 3+ 34 177 x+ 34 2 177 + −4 + 34 55 + y+ 34 2 √ 4387 = 34 177 + z+ 34 = 39483 1156 Bài tốn 11 : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(5; 2; −3), B(6; 1; 4), C (−3; −2; −1), D (−1; −4; 13) Chứng minh ABCD hình thang tính diện tích −→ −→ −→ Lời giải Ta có AB = (1; −1; 7) , CD = (2; −2; 14) = AB −→ −→ AD = (−6; −6; 16) không phương AB (2) (1) Từ (1) (2) suy ABCD hình thang Gọi H hình chiếu vng góc A CD Để tính chiều cao AH hình thang ta làm sau : −→ Đường thẳng CD qua C (−3; −2; −1) nhận AB = (1; −1; 7) làm VTCP có phương trình tham số là:     x = −3 + t y = −2 − t    z = −1 + 7t −→ H ∈ CD =⇒ H (−3 + t; −2 − t; −1 + 7t) , AH = (−8 + t; −4 − t; + 7t) −→ −→ −→ −→ AH ⊥CD ⇐⇒ AH.CD = ⇐⇒ (−8 + t) + (−4 − t) (−2) + (2 + 7t) 14 = −10 ⇐⇒ 102t + 20 = ⇐⇒ t = 51 −→ 4184 −418 −194 32 =⇒ AH = ; ; =⇒ AH = 51 √51 51 51 √ CD = 51, AB = 51 3√ ( AB + CD ) AH Diện tích hình thang ABCD là: S ABCD = 4184 (đvdt) = 2 Bài tốn 12 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; −1), B(−1; 0; −1) 69 www.k2pi.net TEXBY POPEYE Tìm tất điểm M thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho tam giác MAB vng M có diện tích nhỏ Lời giải A, B nằm mặt phẳng z = −1 nên AB mp(Oxy) Gọi A , B hình chiếu vng góc AB lên mp (Oxy) ta có A (1; 2; 0), B (−1; 0; 0)   x = −1 + t    Phương trình tham số đường thẳng A B y = t     z = M ∈ mp(Oxy) cho diện tích tam giác MAB nhỏ nên M ∈ A B M(−1 + t; t; 0) Tam giác MAB vuông M nên −−→ −→ AM BM = ⇐⇒ (t − 2)t + (t − 2)t + = ⇐⇒ t = + √ 2 ;1+ ;0 2 √ 2 t = − 2 √ √ Vậy M √ M √ 2 − ;1− ;0 2 Bài tốn 13 : Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α) : 2x + 3y + 6z − 18 = Gọi A, B, C giao điểm (α) với trục Ox l; Oy ; Oz Lập phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC Lời giải Khơng khó để ta có tọa độ điểm A(9; 0; 0), B(0; 6; 0), C (0; 0; 3) Gọi T ( x; y; z) tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC ta cần có điều kiện :   x > 0; y > 0; z > 2x + 3y + 6z − 18 < Lại có T mặt phẳng (OAB), (OBC ), (OCA), ( ABC ) nên d( T, ( AOB)) = d( T, (OBC )) = d( T, (OCA)) = d( T, ( ABC )) = r Từ điều kiện thứ hai ta có hệ phương trình :   | x | = |y| = |z| =⇒ | x | = | 11x − | ⇐⇒ x = ∨ x = |2x + 3y + 6x − 18|  | x | = Đối chiếu điều kiện thứ ta có T (1; 1; 1), r = Vậy phương trình mặt cầu nội tiếp cần tìm : ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 70 www.k2pi.net TEXBY POPEYE Bài tốn 14 : Trong khơng gian, cho đường thẳng: ∆1 : y+1 z x−1 = = ; −1 ∆2 : y z+1 x−3 = = −1 Lập phương trình tham số đường phân giác góc tạo  hai đường thẳng    x=3  x−1 y+1 z     = = −1 ⇔ y = Lời giải Xét hệ phương trình : x − y z+1     = =   −1  z = −1 Ta có điểm A(1; −1; 0) thuộc ∆1 , điểm B(2; 2; 0) thuộc ∆2 → → Ta có véc tơ đơn vị ∆ ∆ − e , − e xác định : − → IA − → e1= = IA 1 −√ ; −√ ; √ 6 − → IB − → ; e1= = IB 1 −√ ; √ ; √ 6 Phân giác góc tạo hai đường thẳng đường thẳng qua điểm I có VTCP xác định : 1 − → → → → e 1+− e = √ (−3; 1; 2) ∨ − e 1−− e = − √ (1; 3; 0) 6 Từ ta có phương trình đường thẳng cần tìm :       x = − 3t x = 3+t       d1 : y = t ∨ d2 : y = 3t         z = −1 + 2t  z = −1 Bài tốn 15 : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(4; 0; 0), điểm B thuộc mặt phẳng (Oxy) có hồnh độ tung độ dương Giả sử OB = AOB = 60o Tìm tọa độ điểm C thuộc tia Oz cho tứ diện OABC tích Lời giải B thuộc (Oxy) có hồnh độ tung độ dương, suy B( a; b; 0)( a > 0, b > 0) C thuộc tia Oz OABC tứ diện nên C khác O, suy C (0; 0; c)(c > 0) OB = ⇔ a2 + b2 = (1) −→ −→ OA.OB 4a 1 AOB = 60 nên cos AOB = ⇔ = ⇔ √ = ⇔ OA.OB 2 a2 + b2 (2) 71 a2 + b2 = 2a www.k2pi.net Diện tích tam giác OAB là: SOAB = OA.OB sin AOB =     Oz⊥ (Oxy) Ta có √ TEXBY POPEYE ⇒ OC ⊥ (OAB) C ∈ Oz    A, B ∈ (Oxy) Do thể tích tứ diện OABC: VO.ABC = S∆OAB OC = ⇔ c √ Từ (1) (3) suy c = (nhận so với điều kiện) Từ (1) (2) ta có: a2 + b2 = 3a2 − b2 = √ √ Vậy B 4; 3; , C 0; 0; ⇔ a2 = 16 b2 = 48 72 ⇔ a=4 a2 + b2 √ a2 + b2 = (3) √ (vì a > b > 0) b=4 www.k2pi.net TEXBY POPEYE CHUYÊN ĐỀ : TỔ HỢP, XÁC SUẤT n −4 3n √ n√ x− x với x > Biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện A2n + 3Cnn−2 − Cn3 +1 = A2n+1 − 2n Bài tốn : Tìm hệ số x khai triển P( x ) = 1+ Lời giải Ta có: A2n + 3Cnn−2 − Cn3 +1 = A2n+1 − 2n ⇐⇒ n(n − 1) + n(n − 1) − n(n − 1)(n + 1) = n(n + 1) − 2n 6 ⇐⇒ n = 8(do n ≥ n ∈ N ) √ √ Khi P( x ) = + x − 3 x ⇐⇒ P( x ) = C4k (−3)4−k x 4− k (1 + 2x )k ⇐⇒ P( x ) = k =0 C4k (−3)4−k x 4− k k ( i =0 k =0 4−k i Hệ số số hạng x ứng với + = (i, k ∈ N, i ≤ k ≤ ⇐⇒ 2k − 3i = ⇐⇒ (k = ∧ i = 2) ∨ (k = ∧ i = 0) Suy hệ số x khai triển là: C44 (−3)0 C42 22 + C42 (−3)2 C20 20 = 78 Bài toán : Tìm tất số tự nhiên n, (n > 2) thỏa mãn: Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn < 512 n Lời giải Xét khai triển : (1 + x )n = Cn0 + xCn1 + x2 Cn2 + x3 Cn3 + + x n Cnn Đạo hàm vế ta có : n (1 + x )n−1 = Cn1 + 2xCn2 + 3x2 Cn3 + + nx n−1 Cnn (∗) Thay x = vào (*) ta có : Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n2n−1 ⇒ Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn < 512 = 2n−1 < 512 ⇒ < n < 10 n n Bài toán : Tìm số hạng khơng chứa x khai triển P( x ) = x+ √ x x −1 x −3 biết (n − 3) nghiệm phương trình: A x + 2Cx+1 − 3Cx−1 = 2x + P6 + 159 √ Lời giải Điều kiện x ≥ 3; x ∈ N Phương trình cho tương đương với: x ( x − 1)( x − 2) − ( x − 1)( x − 2) = 3x2 + 879 ⇐⇒ ( x − 12)(2x2 + 11x + 147) = 73 i Cki 2i x ) www.k2pi.net TEXBY POPEYE Phương trình có nghiệm x = 12 thỏa mãn Trong khai triển nhị thức: √ x+ √ x 15 15 = k k x ∑ C15 30−5k k =0 Số hạng 320320 Bài tốn : Tìm hệ số lớn khai triển Nhị thức Newton ( x + 2)n biết n số 2013 Cn = Cn2 nguyên dương thỏa mãn điều kiện : 2013 Lời giải Từ điều kiện : Cn = Cn Dễ tính n = 2014, khai triển Nhị thức Newton ( x + 2)2014 k Số hạng tổng quát Tk+1 = C2014 x2014−k 2k k k Để  C2014 hệ số max ta cần có  k k k −1  C2014 ≥ 2k−1 C2014    4027 4030 ⇐⇒ ≤k≤ =⇒ k = 1343  3    2k C k ≥ 2k +1 C k +1 2014 2014 Bài toán : Một hộp đựng bi xanh, bi đỏ bi vàng Chọn ngẫu nhiên bi từ hộp, tính xác suất cho có bi vàng không bi đỏ Lời giải Không gian mẫu Ω = C16 = 8008 Gọi A biến cố thỏa mãn đề Ta xác định xác suất biến cố đối A sau : TH1) Khơng có bi vàng Có C13 =1716 (cách) TH2) Có bi đỏ, bi vàng Có (cách) 1716 + 6289 = Do P( A) = − 8008 8008 Bài toán : Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác thành lập từ phần tử A Lời giải Số tự nhiên có chữ số khác lập từ tập A : 7.7.6.5.4.3.2.1 = 35280 ( số) Ta có 17640 cặp có tổng 8.7 = 56 Tồng cần tìm : 17640.56 = 987840 Bài toán : Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác chọn từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để chữ số đầu S số 74 www.k2pi.net TEXBY POPEYE Lời giải Ta có khơng gian mẫu Ω = A47 × Gọi số có chữ số mà có chữ số đứng hàng chục nghìn hàng nghìn hàng trăm abcde Ta lập số abcde thõa mãn Ω1 = A47 + × A36 + A25 × × Ω Xác suất cần tìm P = Ω Bài tốn : Giải bất phương trình : A2x − A2x ≤ Cx3 + 10 x Lời giải ĐK: x ≥ 3; x ∈ N ∗ Bất phương trình cho viết thành: x (2x − 1) − x ( x − 1) ≤ ( x − 1)( x − 2) + 10 ⇔x≤4 Kết hợp điều kiện ta x = 3; x = 75 www.k2pi.net TEXBY POPEYE CHUYÊN ĐỀ 10 : MŨ - L OGARIT Bài toán : Giải hệ phương trình :  x  x3 + x + log2 = 8y3 + 2y +   y √    7x − + − 8y2 =x Lời giải Từ phương trình (1) suy x = 2y Thế vào (2) ta √ − 2x2 − (2 − x ) = 7x − − 2( x − 1) + (1) √ ĐK : x ∈ 0; 14  (1) ⇔ (8x2 − 24x + 17)   x √ =0 7−2x2 7x − 8)2 + 2( x − 1) 7x − + 4( x − 1)2 +2−x √ √ 6± 6± ⇒y= ⇒x=   x =0 Do điều kiện nên  + √ 2 7−2x 7x − 8) + 2( x − 1) 7x − + 4( x − 1) +2−x + vơ nghiệm Bài tốn : Giải bất phương trình log2 (log4 x ) + log4 (log2 x ) ≤ Lời giải ĐK: log4 x > log2 x > ⇐⇒ x > 1 Mà log2 (log4 x ) = −1 + log2 (log2 x ) , log4 (log2 x ) = log2 (log2 x ) Bất phương trình thành: log2 (log2 x ) ≤ ⇐⇒ log2 (log2 x ) ≤ ⇐⇒ log2 x ≤ ⇐⇒ < x ≤ 16 Bài toán : Giải phương trình: log225 ( x − 1) = log ( x − 1) log5 76 √ 2x − − www.k2pi.net TEXBY POPEYE Lời giải ĐK: x > √ log25 ( x − 1) = log5 ( x − 1) log5 ( 2x − − 1) √ √ ⇐⇒ log5 ( x − 1) log5 x − = log5 ( x − 1) log5 ( 2x − − 1) √ √ ⇐⇒ log5 ( x − 1) log5 x − − log5 ( 2x − − 1) = Phương trình cho tương đương TH1: log5 ( x − 1) = ⇐⇒ x − = ⇐⇒ x = √ √ √ TH2: log5 x − − log5 ( 2x − − 1) ⇐⇒ x − = 2x − − Giải phương trình vơ tỷ nghiệm x = Vậy phương trình có nghiệm x = 2; x = Bài toán : Giải hệ phương  trình  92y−3x+1 = − 3y − x  2x + y − − 2y = y − 2x + Lời giải Từ (2) ta có : Xét hàm số : f (u) = √ 2x + y − + 2x + y − = 2y + 2y u+u Nếu a > b ⇒ f ( a) > f (b) nên hàm số đồng biến R Suy y = 2x − thay (1) ta có 9x−1 = − 8.31− x ⇐⇒ 33x−3 − 8.3x−1 + = ⇐⇒ (t − 2) t2 + 2t − = 0, t = 3x−1 ⇐⇒ t = ∨ t = −1 ± ⇒ x = log3 + 1, x = + log3 √ − ⇒ y = log3 + 1; y = + log3 √ √ 5−1 Bài toán : Giải bất phương trình sau : √ 2.3 √ x+ x +9 √ x + 12 √ ≥9 x Lời giải ĐK x ≥ √ Chia vế cho 3.32( √ x ta √ x− x) + 2.3 √ √ x− x − ≥ ⇐⇒ 3t2 + 2t − ≥ 0, √ √ =⇒ x − x + ≥ √ √ + √ 1+ ⇐⇒ x ≤ ⇐⇒ ≤ x ≤ 16 t=3 ⇐⇒ t ≥ 77 √ √ x− x www.k2pi.net TEXBY POPEYE Bài toán : Giải phương trình (cos 36o ) x + (cos 72o ) x = 21−x (∗) Lời giải Phương trình cho tương đương (2 cos 36o ) x + (2 cos 72o ) x = o o o o o sin 36 cos 36 cos 72 sin 72 cos 72 sin 144o Ta có (2 cos 36o ) (2 cos 72o ) = = = = sin 36o sin 36o sin 144o Nên (2 cos 36o ) x (2 cos 72o ) x = 1 t > =⇒ (2 cos 72o ) x = t Phương trình (∗) thành: t + = ⇐⇒ t = Với t = ta có x = t Đặt t = (2 cos 36o ) x , 78 www.k2pi.net CHUYÊN TEXBY POPEYE ĐỀ 11 : SỐ PHỨC √ Bài toán : Cho α; β hai số phức liên hợp thỏa mãn : |α − β| = Tính |α| Lời giải Đặt α = a + bi ( a, b ∈ R) ⇒ β = a − bi √ √ √ Từ |α − β| = suy b = b = − √ Vì |α| = | β| nên giả√sử b = √ a + 3i ( a + 3i )3 α √ = ∈R Khi = β ( a2 + 3)2 ( a − 3i ) √ √ √ =⇒ ( a + 3i )3 ∈ R ⇐⇒ ( a + 3i )3 = ( a − 3i )3 ⇐⇒ a2 = Vậy |α| = a2 + b2 = 79 α số thực β2 ...Tài liệu tuyển chọn toán 15 đề thi thử diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014 Tơi biên tập lại q nhỏ gửi đến bạn ôn thi Đại học Cao Đẳng Thay mặt ban quản trị chúc bạn đạt kết cao kì thi tới Xin cám... POPEYE Bài toán : Giải phương trình cos 3x tan 2x − sin 3x + √ sin x = Lời giải Điều Kiện : cos 2x = √ PT ⇐⇒ cos 2x sin x − sin x = ⇐⇒ sin x = cos 2x = √ π ⇐⇒ x = ± + kπ x = kπ với k ∈ Z Bài toán. .. Viet ta có (∗)   x1 + x2 = ( m + 1)  x x = m2 + Từ giả thi t ⇒ x12 + x22 + x1 x2 ≤ 3m2 + 24 ⇔ m ≤ 3 Kết hợp điều kiện(*) ⇒ m ∈ ( ; 3] Bài toán : Cho hàm số y = ( m − 1) x + m , m = (Cm ) Tìm