một số thuật toán chọn lọc trong giải bài toán tin học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÁO CÁO PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC TRONG TIN HỌC ĐỀ TÀI: MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHỌN LỌC TRONG GIẢI BÀI TOÁN TIN HỌC GVHD: GS. TSKH. HOÀNG VĂN KIẾM HVTH: CN. LÊ THANH TRỌNG KHÓA: 06 MSHV: CH1101052 LỚP: CH CNTT K6 TP. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2012 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 3 Phần I: GIỚI THỆU 3 Phần II: THUẬT TOÁN THAM LAM 6 1. Giới thiệu phương pháp 6 2. Năm thành phần giải thuật tham lam 6 3. Hai thành phần quyết định nhất tới quyết định tham lam 7 3.1. Tính chất lựa chọn tham lam 7 3.2.Cấu trúc con tối ưu 7 4.Mô hình 7 5. Bài toán minh họa: Bài toán Xếp việc 8 5.1. Mô tả bài toán 8 5.2. Thuật toán 9 5.3. Chương trình minh họa 10 Phần III : THUẬT TOÁN QUAY LUI 16 1. Giới thiệu phương pháp 16 2. Mô hình cho bài toán 16 3. Bài toán minh họa: Tìm đường trong mê cung 19 3.1. Mô tả bài toán 19 3.2. Thuật toán 20 3.3. Chương trình minh họa 21 Phần IV: THUẬT TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG 28 1. Giới thiệu phương pháp 28 2. Sơ đồ cho bài toán 28 3. Bài tóan minh họa: Tìm các đường ngắn nhất 28 3.1.Mô tả bài toán 28 3.2.Thuật giải 30 3.3. Chương trình minh họa 33 Phần V: KẾT LUẬN 39 Phần VI: TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 2 CHƯƠNG 1: LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH. Hoàng Văn Kiếm, người đã truyền đạt những kiến thức quý báu không chỉ là lý thuyết mà còn hướng dẫn cách thức vận dụng chúng vào việc nghiên cứu khoa học trong tin học. Em xin chân thành cảm ơn Thầy vì sự hướng dẫn của Thầy trong quá trình thực hiện báo cáo này. Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các anh chị, bạn bè và những người đã thường xuyên trao đổi, thảo luận và đóng góp ý kiến cho tôi về các vấn đề liên quan trong thời gian qua. Mặc dù cố gắng thực hiện báo cáo một cách tốt nhất nhưng chắc chắn rằng không tránh khỏi những thiếu sót. Mong quý Thầy cô và các bạn góp ý. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện Lê Thanh Trọng MSHV: CH1101052 Lớp: CH CNTT K6 MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 3 CHƯƠNG 2: Phần I: GIỚI THỆU CHƯƠNG 3: Thuật toán là một thủ tục tính toán được xác định một cách hợp lý và đúng đắn nhằm giải giải quyết bài toán cụ thể nào đó. Thuật toán bao gồm tập giá trị nhập vào (input) và tập giá xuất ra (output). Vì thế thuật toán là một tập các bước tính toán có thứ tự nhằm chuyển input thành output. Chúng ta có thể xem thuật toán là một công cụ dành để giải quyết bài toán được xác định trước. Mô tả bài toán chính là các thành phần biểu diễn mối quan hệ giữa input và output. Chúng ta đều biết máy tính hiện này có thể thực hiện việc tính toán vô cùng nhanh và có bộ nhớ rất lớn. Một câu hỏi đặt ra là chúng ta có nên học và tìm hiểu các thuật toán không? Câu trả lời chắc chắn là “Có” vì đơn giản rằng chúng ta luôn luôn muốn giải pháp giải quyết các vấn đề bằng máy tính sẽ được có kết quả cuối cùng và kết quả đó là chính xác và giải pháp đó là khả thi và dễ thực hiện vì khả năng và bộ nhớ của máy tính có giới hạn. Vì vậy mà không gian và thời gian là hai yếu tố rất quan trọng đối với một thuật toán. Trong giải quyết các vấn đề, chúng ta cần hòa hợp hai yếu tố này một cách linh hoạt nhằm thỏa mãn các yêu cầu nhất định và có thể đáp ứng tốt vấn đề đặt ra. Một bài toán tin được hiểu là khó nếu ta sử dụng thuật giải mới nảy sinh trong đầu khi vừa biết nội dung bài toán thì hoặc là ta thu được kết quả sai hoặc là lời giải thu được sẽ không hữu hiệu theo nghĩa chương trình đòi hỏi quá nhiều bộ nhớ hoặc và chạy quá lâu. Những thuật giải nảy sinh lập tức trong đầu như vậy thường được gọi là thuật giải tự nhiên. Dĩ nhiên, khái niệm này chỉ là tương đối. Nếu bạn đã nắm vững nhiều dạng thuật giải và đã từng thử sức với nhiều bài toán khó thì đến một lúc nào đó các thuật giải tự nhiên của bạn sẽ đáng tin cậy. Nội dung chính của báo cáo là ba phương pháp rất kinh điển, rất hay và được ứng dụng nhiều trong tin học. Đó là phương pháp tham lam, phương pháp quay lui và quy hoạch động. Các phương pháp này đều là không vạn năng theo nghĩa không thể dùng chúng để giải mọi bài toán. Trong thực tế, một phương pháp vạn năng như vậy là không hữu hiệu. Tuỳ theo nội dung bài toán mà ta chọn phương pháp phù hợp. Đó cũng là điểm khó, đòi hỏi ở bạn đọc một quá trình tìm tòi và tích luỹ kinh nghiệm. Các kĩ thuật giải minh hoạ qua những bài toán cụ thể được mô tả bằng ngôn ngữ C#. Hình thức phát biểu bài toán suy cho cùng là không quan trọng. Các kĩ thuật lập trình và phương pháp xây dựng MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 4 thuật giải cho những bài toán thường được dùng rộng rãi trong quá trình thiết kế và cài đặt các phần mềm ứng dụng trong thực tiễn, cho nên việc sớm làm chủ các tri thức này mới thật sự là cần thiết. Môi trường lập trình chỉ mang tính minh hoạ. Khi đã biết thuật toán, việc thể hiện thuật toán đó trong môi trường lập trình cụ thể chắc chắn là việc làm quen thuộc của bạn đọc. Chúc các bạn tìm được những “cái mới” riêng cho mình! Sau đây là các bước thường được vận dụng trong quá trình giải các bài toán tin:  Bước đầu tiên và là bước quan trọng nhất là hiểu rõ nội dung bài toán. Đây là yêu cầu quen thuộc đối với những người làm toán. Để hiểu bài toán theo cách tiếp cận của tin học ta phải gắng xây dựng một số thí dụ phản ánh đúng các yêu cầu đề ra của đầu bài rồi thử giải các thí dụ đó để hình thành dần những hướng đi của thuật toán.  Bước thứ hai là dùng một ngôn ngữ quen thuộc, tốt nhất là ngôn ngữ toán học đặc tả các đối tượng cần xử lí ở mức độ trừu tượng, lập các tương quan, xây dựng các hệ thức thể hiện các quan hệ giữa các đại lượng cần xử lí.  Bước thứ ba là xác định cấu trúc dữ liệu để biểu diễn các đối tượng cần xử lí cho phù hợp với các thao tác của thuật toán.Trong những bước tiếp theo ta tiếp tục làm mịn dần các đặc tả theo trình tự từ trên xuống, từ trừu tượng đến cụ thể, từ đại thể đến chi tiết.  Bước cuối cùng là sử dụng ngôn ngữ lập trình đã chọn để viết chương trình hoàn chỉnh. Ở bước này ta tiến hành theo kĩ thuật đi từ dưới lên, từ những thao tác nhỏ đến các thao tác tổ hợp. Điều quan trọng là chúng ta nên xây dựng các thủ tục một cách khoa học và có chủ đích nhằm kiểm tra tính tin cậy của chương trình thu được và thực hiện một số cải tiến. Bên cạnh 3 phương pháp được đề cập còn rất nhiều phương pháp hay khác. Nhưng vì thời gian và khả năng có hạn, bản thân nhận thấy rằng các phương pháp này có tính chất rất hay và gần gũi, khả năng ứng dụng cao nên tôi xin được trình bày hiểu biết của mình trong phạm vi cho phép. Trong mỗi phương pháp sẽ gồm có giới thiệu phương pháp, mô hình hay sơ đồ của phương pháp và bài toán ví dụ minh họa cho phương pháp cùng với code mô tả bài toán. MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 5 MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 6 CHƯƠNG 4: Phần II: THUẬT TOÁN THAM LAM 1. Giới thiệu phương pháp Phương pháp tham lam gợi ý chúng ta tìm một trật tự hợp lí để duyệt dữ liệu nhằm đạt được mục tiêu một cách chắc chắn và nhanh chóng. Thông thường, dữ liệu được duyệt theo một trong hai trật tự là tăng hoặc giảm dần theo một chỉ tiêu nào đó. Một số bài toán đòi hỏi những dạng thức cải biên của hai dạng nói trên. Phương pháp tham lam là phương pháp thường được dùng để giải các bài toán tối ưu. Phương pháp được tiến hành trong nhiều bước. Tại mỗi bước, theo một lựa chọn nào đó( xác định bằng một hàm chọn), sẽ tìm một lời giải tối ưu cho bài toán nhỏ tương ứng. Lời giải của bài toán được bổ sung dần dần từng bước từ lời giải của các bài toán con. Chẳng hạn áp dụng giải thuật tham lam với bài toán hành trình của người bán hàng ta có giải thuật sau: "Ở mỗi bước hãy đi đến thành phố gần thành phố hiện tại nhất". Lời giải được xây dựng như thế có chắc là lời giải tối ưu cho bài toán? Các lời giải trong phương pháp tham lam thường chỉ là chấp nhận được theo điều kiện nào đó, chưa chắc là tối ưu. Cho trước một tập A gồm n đối tượng, ta cần phải chọn một tập con S của A. Với một tập con S được chọn ra thỏa mãn các yêu cầu của bài toán, ta gọi là một nghiệm chấp nhận được. Một hàm mục tiêu gắn với mỗi nghiệm chấp nhận được với một giá trị. Nghiệm tối ưu là nghiệm chấp nhận được mà tại đó hàm mục tiêu đạt giá nhỏ nhất( lớn nhất). Đặc trưng tham lam của phương pháp thể hiện bởi: trong mỗi bước việc xử lý sẽ tuân theo một sự lựa chọn trước, không kể đến tình trạng không tốt có thể xảy ra khi thực hiện lựa chọn lúc đầu. 4.1 2. Năm thành phần giải thuật tham lam 1. Một tập hợp các ứng viên (candidate), để từ đó tạo ra lời giải 2. Một hàm lựa chọn, để theo đó lựa chọn ứng viên tốt nhất để bổ sung vào lời giải 3. Một hàm khả thi (feasibility), dùng để quyết định nếu một ứng viên có thể được dùng để xây dựng lời giải 4. Một hàm mục tiêu, ấn định giá trị của lời giải hoặc một lời giải chưa hoàn chỉnh 5. Một hàm đánh giá, chỉ ra khi nào ta tìm ra một lời giải hoàn chỉnh. MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 7 4.2 3. Hai thành phần quyết định nhất tới quyết định tham lam 4.2.1 3.1. Tính chất lựa chọn tham lam Chúng ta có thể lựa chọn giải pháp nào được cho là tốt nhất ở thời điểm hiện tại và sau đó giải bài toán con nảy sinh từ việc thực hiện lựa chọn vừa rồi. Lựa chọn của thuật toán tham lam có thể phụ thuộc vào các lựa chọn trước đó. Nhưng nó không thể phụ thuộc vào một lựa chọn nào trong tương lai hay phụ thuộc vào lời giải của các bài toán con. Thuật toán tiến triển theo kiểu thực hiện các chọn lựa theo một vòng lặp, cùng lúc đó thu nhỏ bài toán đã cho về một bài toán con nhỏ hơn. Đấy là khác biệt giữa thuật toán này và giải thuật quy hoạch động. Giải thuật quy hoạch động duyệt hết và luôn đảm bảo tìm thấy lời giải. Tại mỗi bước của thuật toán, quy hoạch động đưa ra quyết định dựa trên các quyết định của bước trước, và có thể xét lại đường đi của bước trước hướng tới lời giải. Giải thuật tham lam quyết định sớm và thay đổi đường đi thuật toán theo quyết định đó, và không bao giờ xét lại các quyết định cũ. Đối với một số bài toán, đây có thể là một thuật toán không chính xác. 4.2.2 3.2.Cấu trúc con tối ưu Một bài toán được gọi là "có cấu trúc tối ưu", nếu một lời giải tối ưu của bài toán con chứa lời giải tối ưu của bài toán lớn hơn. 4.3 4.Mô hình MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 8 4.4 5. Bài toán minh họa: Bài toán Xếp việc 4.4.1 5.1. Mô tả bài toán Có N công việc cần thực hiện trên một máy tính, mỗi việc đòi hỏi đúng 1 giờ máy. Với mỗi việc ta biết thời hạn phải nộp kết quả thực hiện sau khi hoàn thành việc đó và tiền thưởng thu được nếu nộp kết quả trước hoặc đúng thời điểm quy định. Chỉ có một máy tính trong tay, hãy lập lịch thực hiện đủ N công việc trên máy tính sao cho tổng số tiền thưởng thu được là lớn nhất và thời gian hoạt động của máy là nhỏ nhất. Giả thiết rằng máy được khởi động vào đầu ca, thời điểm t = 0 và chỉ tắt máy sau khi đã hoàn thành đủ N công việc. Dữ liệu vào: tệp văn bản viec.inp: - Dòng đầu tiên là số N. MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 9 - N dòng tiếp theo: mỗi việc được mô tả bằng hai số tự nhiên, số thứ nhất là thời hạn giao nộp, số thứ hai là tiền thưởng. Các số cách nhau bởi dấu cách. Thí dụ: viec.inp 4 1 15 3 10 5 100 1 27 Ý nghĩa: Cho biết có 4 việc với các thông tin sau: - Việc thứ nhất phải nộp không muộn hơn thời điểm 1 (giờ) với tiền thưởng 15 (ngàn đồng); - Việc thứ hai phải nộp không muộn hơn thời điểm 3 (giờ) với tiền thưởng 10 (ngàn đồng); - Việc thứ ba phải nộp không muộn hơn thời điểm 5 (giờ) với tiền thưởng 100 (ngàn đồng); - Việc thứ tư phải nộp không muộn hơn thời điểm 1 (giờ) với tiền thưởng 27 (ngàn đồng). Dữ liệu ra: tệp văn bản viec.out: - N dòng đầu tiên, dòng thứ t ghi một số tự nhiên i cho biết việc thứ i được làm trong giờ t. - Dòng cuối cùng ghi tổng số tiền thu được. Với thí dụ trên, tệp viec.out sẽ như sau: viec.out 4 2 3 1 137 Ý nghĩa: - Giờ thứ 1 thực hiện việc 4 và nộp đúng hạn nên được thưởng 27; - Giờ thứ 2 thực hiện việc 2 và nộp trước hạn nên được thưởng 10; - Giờ thứ 3 thực hiện việc 3 và nộp trước hạn nên được thưởng 100; - Giờ thứ 4 thực hiện việc 1; - Tổng tiền thưởng thu được do đã hoàn thành đúng hạn ba việc 4, 2 và 3 là 27 + 10 + 100 = 137. 4.4.2 5.2. Thuật toán Ta ưu tiên cho những việc có tiền thưởng cao, do đó ta sắp các việc giảm dần theo tiền thưởng. Với mỗi việc k ta đã biết thời hạn giao nộp việc đó là h = t[k]. Ta xét trục thời gian b. Nếu giờ h trên trục đó đã bận do việc khác thì ta tìm từ thời điểm h trở về trước một thời điểm có thể thực hiện được việc k đó. Nếu tìm được một thời điểm m như vậy, ta đánh dấu bằng mã số của việc đó trên trục thời gian b, [...]... THU T TOÁN CH N L C TRONG GI I BÀI TOÁN TIN H C } } 15 M T S THU T TOÁN CH N L C TRONG GI I BÀI TOÁN TIN H C CHƯƠNG 5: Phần III : THUẬT TOÁN QUAY LUI 5.1 1 Giới thiệu phương pháp Quay lui (tiếng Anh: backtracking) là một chiến lược tìm kiếm lời giải cho các bài toán thỏa mãn ràng buộc Người đầu tiên đề ra thuật ngữ này (backtrack) là nhà toán học người Mỹ D H Lehmer vào những năm 1950 Các bài toán thỏa... } } 26 M T S THU T TOÁN CH N L C TRONG GI I BÀI TOÁN TIN H C } 27 M T S THU T TOÁN CH N L C TRONG GI I BÀI TOÁN TIN H C CHƯƠNG 6: Phần IV: THUẬT TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG 6.1 1 Giới thiệu phương pháp Các bài toán quy hoạch động chiếm một vị trí khá quan trọng trong tổ chức hoạt động và sản xuất Chính vì lẽ đó mà trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế chúng ta thường gặp loại toán này Thông thường... liệu tính toán dần theo từng bước Nên tìm cách khử đệ quy Trong các bài toán quy hoạch động thuộc chương trình phổ thông thường đòi hỏi một vài mảng hai chiều  Làm tốt: Làm tốt thuật toán bằng cách thu gọn hệ thức quy hoạch động và giảm kích thước miền nhớ 6.2 3 Bài tóan minh họa: Tìm các đường ngắn nhất 6.2.1 3.1.Mô tả bài toán 28 M T S THU T TOÁN CH N L C TRONG GI I BÀI TOÁN TIN H C Cho một đồ thị... từ đỉnh 2 đến đỉnh 7 có chiều dài 2, cách đi: 237 6.2.2 3.2 .Thuật giải Thuật giải quy hoạch động được trình bày dưới đây mang tên Dijkstra, một nhà tin học lỗi lạc người Hà Lan Bản chất của thuật toán là sửa đỉnh, chính xác ra là sửa trọng số của mỗi đỉnh Theo sơ đồ giải các bài toán quy hoạch động trước hết ta xây dựng hệ thức cho bài toán Gọi p(i) là độ dài đường ngắn nhất từ đỉnh s đến đỉnh i,... đỉnh 6 và đỉnh 9 nằm trong hai vùng liên thông khác nhau 1 2 3 8 7 5 6 1 4 9 5.3.2 3.2 Thuật toán 20 M T S THU T TOÁN CH N L C TRONG GI I BÀI TOÁN TIN H C Xuất phát từ đỉnh v[1] = s, mỗi bước lặp i ta thực hiện các kiểm tra sau Gọi k là số đỉnh đã đi qua và được tích luỹ trong mảng giải trình đường đi v, cụ thể là xuất phát từ đỉnh v[1] = s, sau một số lần duyệt ta quyết định chọn đường đi qua các... H Lehmer vào những năm 1950 Các bài toán thỏa mãn ràng buộc là các bài toán có một lời giải đầy đủ, trong đó thứ tự của các phần tử không quan trọng Các bài toán này bao gồm một tập các biến mà mỗi biến cần được gán một giá trị tùy theo các ràng buộc cụ thể của bài toán Việc quay lui là để thử tất cả các tổ hợp để tìm được một lời giải Thế mạnh của phương pháp này là nhiều cài đặt tránh được việc phải... trả lời là bài toán vô nghiệm? Dễ thấy, bài toán vô nghiệm khi ta đã duyệt hết mọi khả năng Ta nói là đã vét cạn mọi khả năng Chú ý rằng có thể đến một lúc nào đó ta phải lùi liên tiếp nhiều lần Từ đó suy ra rằng, thông thường bài toán vô nghiệm khi ta không còn có thể lùi được nữa Có nhiều sơ đồ giải các bài toán quay lui, dưới đây là hai sơ đồ khá đơn giản, không đệ quy Sơ đồ 1: Giải bài toán quay... chạy 5.2 2 Mô hình cho bài toán Giả sử ta phải tìm trong một tập dữ liệu D cho trước một dãy dữ liệu: v = (v[1], v[2], , v[n]) thoả mãn đồng thời hai tính chất P và Q Trước hết ta chọn một trong hai tính chất đã cho để làm nền, giả sử ta chọn tính chất P Sau đó ta thực hiện các bước sau đây: Bước 1 (Khởi trị) Xuất phát từ một dãy ban đầu v = (v[1], , v[i]) nào đó của các phần tử trong D sao cho v thoả... false; until false; 5.3 3 Bài toán minh họa: Tìm đường trong mê cung 5.3.1 3.1 Mô tả bài toán Mê cung là một đồ thị vô hướng bao gồm N đỉnh, được mã số từ 1 đến N, với các cạnh, mỗi cạnh nối hai đỉnh nào đó với nhau Cho hai đỉnh S và T trong một mê cung Hãy tìm một đường đi bao gồm các cạnh gối đầu nhau liên tiếp bắt đầu từ đỉnh S, kết thúc tại đỉnh T sao cho không qua đỉnh nào quá một lần Dữ liệu vào:... nghiệm đó, do đó phải loại v[i] cuối cùng trong dãy v để tiếp tục tìm hướng khác Phương pháp này có tên là phương pháp giả sai Hai sơ đồ trên sẽ được sửa một chút như sau để tìm mọi nghiệm Sơ đồ 3: Giải bài toán quay lui Sơ đồ 4: Giải bài toán quay lui (tìm mọi nghiệm) (tìm mọi nghiệm) Khởi trị: v thoả P; Khởi trị: v thoả P; d := 0; {đếm số nghiệm} d := 0; {đếm số nghiệm} repeat repeat if (v thoả Q) then . code mô tả bài toán. MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 5 MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC. THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 15 } } MT S THUT TOÁN CHN LC TRONG GII BÀI TOÁN TIN HC 16 CHƯƠNG 5: Phần III : THUẬT TOÁN