Một số vấn đề chọn lọc của giải tích ứng dụng và hệ động lực vô hạn chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN ^^ MỘT SỐ VẤN ĐỂ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG VÀ HỆ ĐỘNG L ự c VÔ HẠN CHIỂU Mà SỐ: Q G TD 0301 CHỦ TRÌ ĐỂ TẢI: PGS.TSKH NGUYỄN VÃN MINH TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU (thư ký) HÀ NỘI-2005 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI KHOA HỌC Tự• NHIÊN • HỌC • • MỘT SỐ VẤN ĐỂ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH ÚNG DỤNG VÀ HỆ ĐỘNG LỤC VƠ HẠN CHlỀU Mà s ố : QGTD 0301 Hội thảo khoa học ICDA-2004 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN MỘT SỐ VẤN ĐỂ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH • • • ỨNG DỤNG VÀ HỆ» ĐỘNG Lực VƠ HẠN CHIỂU • • • • Mà SỐ: Q G T D 0301 CHỦ TRÌ ĐỂ TẢI: PGS.TSKH NGUYỄN VĂN MINH TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU (thư ký) HÀ NỘI-2005 BÁO CÁO TĨM TẮT A Tên đề tài: MỘT SỐ VÂN Đ€ CHỌN LỌC củn GIỎI TÍCH ỨNG DỤNG VÀ cric H i• Dộ• n g Lực • • VƠ HỌN • CHlếu Mã số: QGTD - 03-01 B Chủ trì để tài PGS.TSKH Nguyễn Văn M inh c c c CÁN BỘ THAM GIA GS TS Nguyễn Thế Hoàn Chuyên ngành: PTVP & TP Cơ quan: Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN, ĐHQGHN TS Đặng Đình Châu Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN, ĐHQGHN TS Trần Đức Long Chuyên ngành: Giải tích hàm Cơ quan: Khoa Tốn Cơ Tin học, ĐHKHTN, ĐHQGHN TS Nguyễn Minh Mẫn Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: Trường ĐH Mỏ Điạ chất TS Nguyễn Thiệu Huy Chuyên nghành PTVP TP Cơ quan : ĐH Bách Khoa HN 6.TS Nguyễn Sinh Bảy Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: ĐH Thương Mại Hà Nội ThS Tống Thành Trung Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: Cao đẳng SP Ninh Bình ThS Lê Huy Tiễn Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN, ĐHQGHN 9.Th.s Dư Đức Thắng Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN, ĐHQGHN 10.Th.s Kiều Thu Linh Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: Trung Tâm CGD 11.Th.s Phạm Tố Nga Chun ngành: Giải tích Tốn học Cơ quan: Trường trung học PTDL Lômônôxôp HN 12.Th.s Nguyễn Trường Thanh Chuyên ngành:PTVP TP Cơ quan:Trường , ĐH Mỏ Địa Chất, HN T h s H B ìn h M in h C h u y ên n gành: P T V P TP Cơ quan: ĐH Bách Khoa,HN 14.Th.s Nguyễn Mai Quyên Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN,ĐHQGHN 15.CN Hy Đức Mạnh Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN,ĐHQGHN 16.CN Trần Tất Đạt Chuyên ngành: PTVP TP Cơ quan: Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN, ĐHQGHN D MỤC TIÊU VÀ NỘI DUNG NGHIÊN c ứ u Lý thuyết Giải tích tốn học lĩnh vực Toán học lý thuyết đời từ lâu ngày phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng thiết thực thực tiễn ngành khoa học khác Mục tiêu đề tài ứng dụng kết giải tích tốn học (lý thuyết phổ tốn tử phổ hàm) vào việc nghiên cứu sơ' Bài tốn định tính lý thuyết Phương trình vi phân Hệ động lực toán học Những phuơng hướng mà quan tâm nghiên cứu khuôn khổ đề tài là: *MỞ rộng phát triển kết tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân cho phuơng trình vi phân trừu tượng Phát triển kết nghiên cứu theo phuơng hướng nói cho phuơng trình vi phân có chậm phuơng trình sai phàn để tiệm cận dần tới ứng dụng thực tế *Bài tốn thứ hai đề tài nghiên cứu tính nhị phân mũ họ toán tử tiến hoá xác lập tồn đa tạp bất biến nghiên cứu tính chất chúng Bài tốn có ý nghĩa việc ứng dụng kết cho việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm tập nghiệm phuơng trình vi phân có nhiễu *Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận khoảng vô hạn nghiệm phuơng trình vi phân trừu tượng khơng gian Banach Dựa sở kết nhận đựơc tiếp tục giải tốn đường tiệm cận cân tiệm cận nghiệm phương trình vi phân có chậm phuơng trình sai phân Và sau đến ứng dụng kết nghiên cứu cho mơ hình thực tiễn chắng hạn kinh tế học, việc xử lý tín hiệu số việc mô mạng nơ ron thần kinh E CÁC KẾT QUẢ Đ ẠT ĐƯỢC Các đóng góp mặt khoa học Dựa đề cuơng kế hoạch đặt tiến hành nghiên cứu theo tiến độ nhận nhiều kết hữu ích lý thuyết định tính phuơng trình vi phân góp phần đẩy mạnh cơng tác đào tạo Tóm tắt kết nhận là: *Xây dựng nghiên cứu tính chất phổ dãy số *MỞ rộng phát triển định lý Massera tính chất hầu tuần hồn, tuần hồn tiệm cận, tính chất hầu tự đẳng dấu nghiệm đủ tốt phương trình vi phân trừu tượng không gian Banach tổng quát Chứng minh tổn nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tuần hồn tiệm cận cho phuơng trình vi phân với biến khúc *Chứng minh số điều kiện đủ để họ toán tử tiến hoá nhị phân mũ Xây dựng khái niệm nhị phân, tam phân mũ chứng minh số tiêu chuẩn tồn đa tạp tích phân góp phần giải số tốn xuất nghiên cứu phuơưng trình vi phân phi tuyến phưng trình vi phân với nhiễu phi tuyến *Một sô' kết khác nhận nằm toán lớn bao trùm đề tài QGTĐ 03.01 chứng minh điều kiện đủ để nghiệm phưng trình tiến hố tuơng đuơng tiệm cận Tiếp theo chúng tơi tiếp tục phát triển kết nhận đuợưc cho phưuơng trình vi phân có chậm, mờ rộng định lý Levison cho phuơng trình vi phán có chậm khơng gian Đanach Các kết nhận được viết gửi đãng phần lớn tạp chí nước ngồi Tổng số Những đóng góp đào tạo ứng dụng Bên cạnh nhũng kết nhận mặt khoa học thu thập trang bị thêm nhiều thành tựu khoa học đặt móng cho đề tài phục vụ công tác đào tạo bậc đại học sau đại học nhuư: *Các toán học, môi trường, kinh tế , lý thuyết mơ trí tuệ nhân tạo *Lý thuyết phưuơng trình vi phân khúc, lý thuyết giải tích thang thời gian *Bắt đầu ứng dụng kết nhận cho số mơ hình úng dụng.Tìmg buớc sử dụng phần mềm tin học vào việc hỗ trợ cho nghiên cứu khoa học đặc biệt việc giảng dạy toán cao cấp Trong trình thực đề tài chúng tơi kết hợp với việc trang bị thêm nhiều kiến thức phuơng pháp nghiên cứu cho tập thể cán học viên sinh viên tham gia đề tài Trong sô' thành viên tham gia đề tài có hai thành viên bảo vệ thành công luận án tiến sĩ, thành viên hồn thành chucmg trình đào tạo bảo vệ thành công luận vãn thạc sĩ, 10 sinh viên bảo vệ khoá luận tốt nghiệp đạt loại giỏi Trong số có sinh viện đạt gii công tác nghiên cứu khoa học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tổng sơ' có 12 báo khoa học công bô' kết để tài viết gửi đãng tạp chí (phần lớn tạp chí nước ngồi), báo cáo khoa học trình bày hội nghị Phuơng trình vi phân Quốc tế (tháng năm 2004 Thành phố Hồ Chí Minh), báo cáo khoa học trình bày Hội nghị Khoa học Trường Đại học KHTN, ĐHQGHN (tháng 1 nãm 2004) Tinh hình kinh phí đề tài: Tổng kinh phí đưuợc tài trợ đề tài 300.000.000 VNĐ (ba trăm triệu đồng) Kinh phí sử dụng phân bổ theo đự toán đề tài Xác nhận BC N Khoa K/T Chủ trì đề tài ữ í PU m k tị-A * ị Đai hoc Khoa hoc Tư nhiên \C MỤC LỤC GIỚI THIỆU CHƯONG Lý thuyết phổ hàm, dãy dáng điệu tiệmcậncủa hàm Lý thuyết phổ hàm Lý thuyết phổ dãy 9 13 CHUONG Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ động lực tuyến tính Tính tuần hồn tính hầu tuầnhồn củanghiệm củaphương trình vi phân Tính hầu tự đẳng cấu nghiệm củaphương trình vi phân Các hệ động lực rời rạc liên hệ với hệ động lực liên tục Sự tồn tính ổn định nửa nhóm việc giải PDE trung tính 17 17 24 25 26 CHUONG 3 Tính nhị phân, tam phân Đa tạp bất biến dáng điệu tiệm cận hệ dộng lực phi tuyến Tính nhị phân mũ phương trình tiến hố Nghiệm dáng điệu tiệm cận PDE hàm tuyến tính có q khứ khơng ơtơnơm Phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Các phương trình tiến hố phi tuyến đầy đủ 29 29 32 33 36 CHUONG Sự tương đương tiệm cận Sự tương đương tiệm cận phương trình tiến hố Sự tương đương tiệm cận phương trình vi phân có chậm 39 39 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 GIỚI THIỆU Lý thuyết giải tích tốn học lĩnh vực toán học lý thuyết điruợc đời từ lâu ngày phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng thiết thực thực tiễn ngành khoa học khác nhuư Hóa học, Vật lý, Cơ học, Sinh học, Mô học Trong thập kỷ gần với phát triển nhanh chóng Cơng cụ tốn học (Cơng nghệ tin học), ý tưởng cổ điển lý thuyết Phương trinh vi phân thường khôi phục , phát triển ứng dụng rộng rãi việc nghiên cứu Dáng điệu tiệm cận nghiộm Phucmg trình vi phân thường, Phưcnmg trình vi phân hàm, Phuoưng trình vi phân đạo hàm riêng tổng quát Phuơưng trình tiến hố Huớng nghiên cứu đề tài ứng dụng kết Giải tích tốn học (lý thuyết phổ tốn từ phổ hàm) vào việc nghiên cứu số toán định tính lý thuyết phưng trình vi phân nói chung hệ động lực tốn học nói riêng Những phưương hướng mà quan tâm nghiên cứu khuôn khổ đề tài là: Mở rộng phát triển kết qủa tuần hồn nghiệm phuơng trình vi phân cho phuơng trình vi phân trừu tượng Nghiên cứu tồn nghiệm hầu tuần hoàn, tựa tuần hoàn, hầu tuần hồn phuơưng trình vi phân trừu tượng không gian Banach Phát triển kết nghiên cứu theo phưuơng hướng nói cho phươưng trình vi phân hàm , phuơng trình vi phân trung tính phưương trình sai phân để tiệm cận dần tới ứng dụng thực tế Bài toán thứ hai đưuợc chúng tỏi nghiên cứu đề tài nghiên cưuu tính nhi phán mũ phương trình tiến hố theo hương ap dung cho viêc nghiên cưu phuơng trình vi phan không autonom , phương trinh đạo hàm riêng hàm trung tính Mở rỗng khái niệm nhị phân tam phân mũ để xác lập tồn đa tạp bất biến nghiên cứu tính chất chúng Bài tốn có ý nghĩa việc ứng dụng tiếp tục cho việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm tập nghiệm phuơng trình vi phân có nhiễu sau nghiên cứu tính ổn định hộ điều khiển đưuợc Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận khoảng vơ hạn nghiệm phươưng trình vi phân trừu tượng không gian Banach Nhờ phương pháp nghiên cứu thích hợp tiếp tục giải toán tươưng đươưng tiệm cận cân tiệm cận nghiệm phươưng trinh vi phân hàm phươưng trình sai phân Từ kết nhận chúng tối đến ứng dụng kết nghiên cứu cho mơ hình thực tiễn chẳng hạn nhưư kinh tế học, việc xử lý tín hiệu số việc mô mạng Nơ-ron thần kinh Báo cáo gồm có bốn chuơng, kết báo nghiên cứu công bố tạp chí chun nghành ngồi nước Vì khn khổ hạn chế báo cáo trinh bày chi tiết chứng minh, mà tóm tắt kết qu Tuy nhiên, người đọc tìm thấy tồn văn chứng minh kết tập phụ lục ” Các cơng trình khoa học cổng bố đề tài QGTĐ 03 - 01” Chúng xin chân thành cảm ơn GS , bạn đồng nghiệp quan tâm giup đỡ đặc biệt dẫn quí báu khiếm khuyết đề tài ƠN THE EXISTENCE OF SOLUTIONS OF NEUTRAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 10 11 12 13- 43 T Furumochi, T Naito, Nguyen Van Minh, Boundedness and almost pcriodicitv of solutions of partial functional differential equations, J Differential Equations, 180 (2002) 125-152 Y Hino, T Naito, Nguyen Van Minh, J s Shin, Almost Periodic Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Taylor and Francis Group, London-New York 2002 Tassilo Kuppcr, Rong Yuan, On Quasi-Periodic Solutions of Differential Equations with Picccwise Con­ stant Argument, J Math Anal Appi, 267 (2002), 173-193 B M Levitan, V V Zhikov, “Almost periodic functions and differential equations', Monographs in Mathematics, Vol 96, (1978), Moscow Univ Pnlil House (English translation bv Cambridge I'nivcTsitv Press, 1982), Gza Makay, On some possible extension of Mdssera’s theorem, EJQTDE, Proc Oth Coll QTDE 2ỈMM) No, 16 14 J L M asscra, T h e cxistcncc of periodic solutions of system s of differential equations Duke M oth 17 (1950), 457-475 15- N- M Man, N V Minh, “On the existence of quasi periodic and almost periodic solutions of neutral functional differential e q u a tio n s (2003) 16 S Murakami, T Naito, Nguyen Van Minh, Evolution semigroups and sums of commuting operators: A new approach to th e adm issibility theory of function spaccs, / Differential Equations, 164 (200(1) 240-285 17 S M urakam i, T N aito, Nguyen Van M inh, M assera Theorem for alm ost periodic solutions of functional differential equations, J, Math Svc Japan, 56 (2004), N.l, 247-268 18 T N aito, Nguyen Van M inh, s Shin, New sp rctral criteria for alm ost pcriodir solutions of evolution equations, Studia Mathematica, 145 (”2001}, 97 111 19 T Naito, N V Minh, R Miyazaki, Y Hamaya, Boundedness and almost periodicity ill dviintniml systems, J Difference Equations Appls., (20(H)* 507-527 20 T N aito, R M iyazaki, Nguyen Van M inh, J, s Shin, A decom position theorem for bounded solutions and th e cxistencc of periodic solutions to periodic equations, J D ifferential Equation, 160 (200(1), N l, pp 263-282 21 G Papaschinopoulos, Sonic results conccrning a class of differential equations with picccwi.sc constant argument, Math Naehr., 166 (1994), 193-206 22 G Papaschinopotilos, Exponential dichotomy, topological cquivalcncc and structural stability for differ­ ential equations with picccwisc constant argument, Analysis, 14 (1994), 239-247 23 G Papaschinopoulos, On the integral manifold for a system of differential equations with piccrwisc constant argument, J Math Anal A ppi , 201 (1996), 75-90 24 G Papaschinopoulos, L inearization near the integral m anifold for a system of differential equations with piccewisc constant argum ent, J Math Anal Ajtpi, 215 (1997), 317-333, 25 .1- Priiss, “Evolutionary integral equations and applications", Birkhauscr, Basel (1993) 26 George Seifert, A lm ost Periodic Solutions of CYrtain Differential E quations with Picrcwisc Constant Delays and A lm ost Periodic T im e D cpcndcncc / D ifferential Equation, 164 (20(H)), 451-458 27 George Seifert, Scconcỉ order neutral delay differential equations with picccwisc constant time dcpcndcncc, Math Anai Appi, (2003) 281 1-9 28 S M Shah, ,J, Wiener, Advanced differential rquations with picccwisc constant argument deviations , Int J M ath M ath S e t (1983) 671*703 29 Nguyen Trung T hanh, Masscra criterion for periodic solutions of differential equations with picccwisc constant argument, J Math Anal Appl , to appear 30 J Wiener, “Generalized Solutions of Functional Differential Equations' , World Scicntific Sinf*aporr\ 1993 31 I Wiener K L Cooke, Oscillations in systems of differential equations with picccwi.se constant arRumcnt, A'ỉat.h Anal Appi., 137 (198y), 221-23Í) 32 .] W iener, w Heller, O scillatory and periodic solutions to a diffusion equation of neutral type, iutrr- naU M atk.& M ath.Sci., Vol.22, No.2 (1999), 313-348 33 Bong Yuan, Jialin Hong, A lm ost periodic solutions of differential equations w ith picccwisc constant argum ent, 'Analysts, 16 (1996), 171-180 34 Rong Y uan, Jiaiiil Hong, T h e cxistcncc of alm ost periodic solution for a class of differential equations w ith picccwise c o n stan t arg u m en t N onlinear A lta i, 28 (1997), 1439-1450 35 Rong Yuan, Almost periodic solutions of a class of singularly perturbed differential equations with pieccwisc constant argum ent, Nonlinear Anal., 37 (1999), 641-659 TRAN TAT DAT 44 36 Rong Yuan, On the logistic delay differential equations with pieccwisc constant argument and quasi periodic time dependence, J Math Anal A ppi , 274 (2002) 124 133 37 F Zhang, A Zhao, J Yan, Monotone iterative m ethod for differential equations with picccwisc constant arguments, Pơrtuọaliae Mathematica Vol 57 Fa.sc 3-2000 D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s H a n o i U n i v e h s i t y o r S n E N C K 3 N o I'Y EN T h a i , H a n o i V i e t n a m E-mail address: tatdat4382«yahoo com INTERNATIONAL JOURNAL OF EVOLUTION EQUATIONS V ol um e 1, N u m b e r , x x x x 0 WWW iiovnpubliRhrre.roin/journals/pvolijtiorirqiistioiis html pp x x -x x ON TH E A SY M P T O T IC EQUIVALENCE OF SOLUTIONS OF THE LIN E A R EVOLUTION EQUATIONS DANC DINH CHAI' AND KIEL' THU LINH Abstract In this article wo study conditions on the asymptotic equivalence of linear evolution equations in Bariach spares Besides, we » = C (t),,[t).t > (1.1) (1.2) w h ere x ( / ) , y ( / ) € x , x is a c o m p le x D a n a d i sp a c e A C ( t ) a re lin e a r o p e r a to r s a c tin g on X for each t > U n d e r s u ita b le co n d itio n * , E q (1.1) a n d E q (1.2) a re well p osed (see [I], [4],[7]) W e recall th a t E q ( l l ) a n d K q (1-2) a re said to be a s y m p to tic a lly e q u iv a len t if th e re e x is ts a b ije c tio n b e tw e e n tile set o f so lu tio n s o f E q (1.1) a n d th e o n e of E q (1 ) su c h th a t lim ! k ( - 1/(011 = f—*-X> (1.3) A n in te re s tin g p ro p le m in s tu d y in g th e q u a lita tiv e th e o ry o f so lu tio n s to d iffere n tia l e q u a ­ tio n s is to find c o n d itio n s su c h lllilt E q (1.1) a n d E q (1 ) a re a s y m p to tic a lly e q u iv a le n t T h e first re s u lts o f th is p ro b le m w ere given by N L evinson in 1946 (see [5] ) T h e n , th ese re su lts h a v e b e en d e v e lo p e d in m a n y w ays by m a n y a u th o r s (see [2), [3Ị, [6Ị, [8], [10]) In th is p a p e r we s tu d y th e a s y m p to tic W juivalence o f lineal e v o lu tio n e q u a tio n s in B a n a c h sp aces T h e o b ta in e d re s u lts a r e e x te n s io n o f L e v in so n ’s re su lts to th e c ase o f g e n e l B a n a c h sp a c es In c ase X - H is a H ilb e rt space a n d A e L { H ) h a s a tria n g le form (see [2], p ), th e sufficient c o n d itio n s far E q ( l l ) a n d E q (1.2) to he a s y m p to tic a lly e q u iv a le n t c a n b e re p la c e d l)V w e ak e r c o n d itio n s M o reo v er, th e m e th o d s used in th e p ro o f o f th e re su lts obi tiiim ed in I his p a rt ( p a r t 3) t ail In* a p p lie d to t he s tu d y o f th e a s y m p to tic b e h a v io r of solutions to different iat equations ill infinite dimensional spaces, thanks to this method, ill m a n y c ase, we c a n re p la c e till’ s tu d y o f th e a s y m p to tic b e h a v io r of s o lu tio n s of in fin ite sy s te m s o f d iffe re n tia l e q u a tio n s l>v th a t of finite sy stem s o f d iffere n tia l e q u a tio n s TỈIC authors arc grateful to the* referee for rarcfully reading the p a p e r and suggestions to improve the presentation DANC DINH CHAU AND KIEL' THƯ L1NH T h e a s y m p t o t i c e q u i v a l e n c e o f s t r o n g l y c o n t i n o u s e v o l u t i o n a r y p r o c e s s e s T h r o u g h o u t th is p a p e r, w e c o n sid e r th e E q ( l l ) a n d E q (1 ), w here C ( t ) = A + B i t ) A e l ( x ) M - ) ■ [0, + ) - L { X ) sa tisfy I ||B ( r ) | |e f r < 00 (2.1) Jo A ssu m e t h a t ( T ( i) ) t e f l is a g ro u p g e n e te d by A C o rre sp o n d in g ly to E q (1 ), we u su a lly c o n sid e r th e follow ing in te rg l e q u a tio n Ị/ự ) = T ( t - s)y(s) + J T ( t - s ) D { s ) u { s ) d s , t > s (2.2) W e can e asily show t h a t tile s o lu tio n o f E q (2 ) call be w ritte n in th e form {s < t < 0 ), y { t ) = Y ( t , s)vo x ( s ) = x 0, w h e re ( K (t, s})f>» is a fam ily o f b o u n d e d lin e a r o p e r a to rs in X sa tis fy in g th e e q u a tio n Y ( t ys) = T ( t - s) + Ị T ( t - r ) B ( T ) Y { T , s ) d T , t > s (2.3) A tw o - p a m e te r fa m ily ( U ( t , 5))i>,v o f h o u n d e d lin e a r o p e r a to r s on X is called a stro n g ly continuous evolutionary process if it liits the following four properties: , U ( t , t ) = I, for all I > U ( t , s ) U (.s, r ) = U { t, t ), for all t > s > T > T h e m a p ( t , s ) I—> U{t-,s)X is c o n tin u e s for every fix X X ||ơ ( t , s ) | | < Areu' i , _ " \ for so m e p o ssitiv e c o n s ta n ts N, UI in d e p e n d e n t o f / > s > D e fin itio n { T ( t ) ) t >I) and (U(t, s))i>„ air said, to be asymptotically equivalent tf for every I(J € A-, there exists Vo £ A’, such that li.n \ \ T ụ - s ) x u - [ t s ) ĩ f y \ \ = Q t —DC (2.4) f o r each fix e d s £ R a n d conversely T o p ro v e th e firts th e o re m , w e need th e follow ing lem m as L e m m a 2 Jf ( T ( i ) ) i >0 is a uviformly bounded Co semigroup generated by A, then 2, T h e C a u c h y p ro b le m related to Eq (2 ) has a u v iq u c so lu tio n T here e xists a c o n s t a n t K > s u c k that \\Y(t,s)\\ < h \ v t > s (2.5) Proof F o r th e p ro o f th e re a d e r c a n see [1], [4] L e m m a □ Le t ( T ( t ) ) t £ R be a Co group g enerated by A I f there exist a p rojection p : X —» X arid, p o s s itiv e c o n s t a n ts M.UJ.H such that: |Ị P T (Í )||< A /e” -", Vi > 0, (2.6) \\(1 - P)T(t)\\ < n, Vf e /Ỉ, {2.7) then, the operator F : X —* X (Itfilled by oc F x = J ( I - P ) T {.s - t ) D ( t ) (r, s ) r d r , x G X a is bounded and we have ;e ||F|| < ft < 1, V.S' > A > O N T H E A S Y M P T O T I C E Q U IV A L E N C E O F S O L U T IO N 'S O F THE E V O L U T IO N E Q U A T IO N S 47 Proof S e ttin g U (t) = P T ( t) , V ( t ) = (I - P )T (t), we g et T(t) = U(t) + V(t) By (2 ), for a n y Q < w e c a n find u m n n h iT A > such t h at r+oc / \\B(t)\\íìt < J, - ^ - , Vs fi- A A > > L e m m a 2.2 im p lies t h a t 11*11 < r \\V (s-T )\\\\D (r)\\\\Y (r.s)\\d T Js < V -K J l l ^ ( T)l|rfT < a < l.V s > A > T lie L em m a 2.3 is p ro v e d □ - - From L em m a w e can arrive at T h e o r e m A s s u m e t h a t T ( t ) t £ f f is a Co c/roup sastisfing conditions (2.6) and (2.7) o f the L e m m a T h e n , (T ’l O i o u a n d are asym pto tica lly equivalent Proof L e t Q x = ( I + F ) x x e X Dy L em m a 2.3 we get ||F || < T h ere fo re, th e o p e r a to r Q : X —* X is in v e rtib le S in e U ( t ) = P T ( t ) V ( t ) = ( / — P ) T ( t ) we have T(t - s) \ ' ( s - r ) = T(t - s ) ( / - P ) T {.s - r) = T (t - t ) - P T ( t - r ) = T [t - r) - U{t - r ) = v ụ - r) A ssu m e t h a t y { t) is a s o lu tio n o f E q (2 ) For each sufficiently larg e s > 0, y ( s ) e X we se t x ( s ) = Q y ( s ) , so oc i( s ) = Qy(s) - y(s ) + Ị ^(-s - t ) D ( t ) Y { t s)y(s)dr H ence, for all t > s we h a v e •r(0 = T ự - i)x (s ) X = T (t - s)y(x) + T ự - s ) J V(s - t )B (t ) Y (t, s)y(s)dr oc = T(t - s)y(s) + Ị v ụ - T)D {r)Y(T.s)ỵ[s)dT C o n s e q u e n tly 00 ||y(t) - ’(0II = I - J s V(t - t ) B ( t ) Y ( t s ) ị i ( s )(Ìt + J r A T ( t - T ) D ( T ) Y ( T s ) y ( s ) d T || 48 DANG DINH CIIAl' AND KIEL- THI.1 LINH T h e re fo re , ỉ B lf(0 -x { ll < M K M * ) ị \ j x e - (í- T)| | ữ ( r ) | | d r + * t < A /, I e — < '- r > ||B (T )||f/r + M , ă ^.A'||»(5)|| I \ \ B ( t cc Ị \\B{T)\\dt t t Ví > w h e re IIS^SJII, M = U n tile o th e r h and, for every positive nun b e r t > 0, th e r e e x is ts a su fficien tly larg e n u m b e r t w ith t > 2s such th a t th e followin in e q u a litie s a re valid h J e - ir- T l| | f l ( r ) ||d r < a n d IIv^(f) II < < + C, V/ R H ence ( T ( f ) ) < > satisfies th e co n d itio n s o f th e T heorem 2.4 It follows tlmt (T (/))/> (I and ( > '( f ,s ) ) t > , are a s y m p to tic a lly e q u iv a le n t W e s t a t e below so m e v e rsio n s o f T h e o re m 2.4 in p a rtic u la r cases C o r o l l a r y Let (jT(f ) ) < > be a i m m e d ia te ly compact, u n ifo r m ly bounded Co sem igroup T h e n , { T { t ) ) t > a n d ( Y ( t , s ) t > „ are a sy m p to tic a lly equivalent Proof S in c e is a im m o d ia te ly ro m p K t uniform ly b o u n d e d Co sem igrou p we d e ­ d u c e th a t tlie s p e c tr a l se t cr(7~( 1)) is c o u n ta b le a n d ( T ( l ) ) c {A € c : ỊAỊ < 1} T h e re fo re , we h a v e { T ( L )) = ƠỊ U j w h e n ’ I C { A e C : | A | < l } , C { A e C : | A | = l} Let p is a p r o je c tio n d efin ed ius follow s [z] - e * ) - ' d z w h e re is a c o n to u r e n c lo sin g \ a n d d isjo in t from 4(in Eq (3 )), ( V { f ,s ) ) ( > , is s tro n g ly c o n tin u o u s e v o lu tio n a ry p ro c e ss g e n e te d hy + z?(/){in E q.{3.2)) we have follow ing Theorem 3.1 I J ( T ( /) ) r > is a u n i f o r m l y bounded C() semi group, then (T(f))f>i> and (V 'fi, s)t> * are a s y m p t o t ic a l ly equivalent Proof F o r eac h m f j w e d e n o te by ( X m (f))f> u a Co sem ig ro u p g e n e te d by A P ,n , a n d bv s))t>* a s tro n g ly c o n tin o u s e v o lu tio n a ry p ro cess g e n e te d by (.4 + B [ i ) ) P ln By th e a s s u m p tio n , ( T ( f ) ) i > is u n ifo rm ly b o u n d e d , we se th a t (A ',„(i))f >(J is a im m e d ia te ly c o m p a c t,b o u n d e d C(J s e m ig ro u p in H m By th e C o ro lla ry 2.6 we show t h a t , th e re ex ist a p ro je c tio n n „ i : H , n —• H,II a n d p o ss itiv e c o n sta n t!' (1 ,1, ■b,n c„, such th a t ||n„,A'r„(f)ll ! ! ( / , „ 0, vt eR (3.6) (3.7) for all m £ J Let (3.8) O N T H E A S Y M P T O T IC E Q U IV A L E N C E O F SOLUTION'S OF TH E EVOLUTIO N EQUATIONS 51 U sin g L em m a 2.3 we show th a t th e r e e x is ts a p o sitiv e n u m b er A = A (o ) (in d ep e n d en t of m ) su c h t h a t ||F m || < a < 1, Vs > A , Vm £ J W e no w p ro v e t h a t { F m } is a c o n v e rg e n t seq u e n ce o f o p e to rs as m — 0 Indeed by (3 4) a n d (3.5) w e o b ta in t h a t for a l l m , p J : ~ s)p\n£ = x „ , ụ — Y ,„ + „ ( /, s)P,„ Z = £ tì, s ) P „ ,i , V i H H ence, Fr„+Vp , n ị = P n P n ị V ị € H T h e c o n v erg e n ce o f { f ,„ } follow s from th e e s tim a te ||fm + ^ - F,„ II = j|F m+J,P m+(, - Frnp m \\ = \\Fm+i,(P„l+i, - p m) + (Fm+P - Fm)P„,II = \\F,„+l,(P m+l, - p „ ,)|| ỉ I I f Ìii+ịjII ll-P|m+(j - pm il- for all 771,p € J S ince th e se q u e n c e {p,,,} is v erg en t a n d th e sequence {F ,n } is unifo rm ly b o u n d e d , we h a v e t h a t {F m } is a c o n v erg e n t sequence L et Q m x = ( / + Ftn) x , x e H rn W e now p u t: F = lim m —»oc Fr„ and Q = lim Q m m —o c T h e n , Q = / 4- F S in c e [|F,„ II < Q < 1, Vm £ J , V.S > A , we have | | F | | , y ( t \ s , y u) - Y { t , s ) y o - W e can d e d u c e t h a t for a n y given £ > 0, th ere e x is ts m \ e J su fficien tly large such th a t for all m > 77ij we have | |.v ( f: s , Vo) - JS, i/,0 - x ( f;s ,Q -,.V u )l| < | f ° r a llt ^ S' O n tlie o th e r lia u d , T h e o re m 2.4 im p lies (A ,„ (i))f> u a n d (V in(i, s))(> a a re a s y m p to tic a lly equivalen t T herefore, there ex ists Tu £ ( s, oc) such that for all t > To we have ||.T(f: s , Q m ,y n ) - p ( t ; s ,P r n ,p o ) l i < DANC DINH C HAI' AND KIEL' THU LINH 52 thus, ||0 (f; s, ụ„) ~ x { t ; s , I 0)|| < ||;v(f; 5, Vo) - J,(i; s, Pmi j/o)|| + + s, Fr,i,J/u) - x (i, S ,Q „,, Jfojll + ||x (i; s, Q,„t yt)) — x ( t ; s , Xu)II for eac h su ffic ie n tly la rg e s > T h is im p lies th a t + + = e’ t l i m | | x ( í ; í , X(|) — y [ i \ s , J/0 )|| = It m ean s { T ( t ) ) t >0 and K ( t ,s ) [ > a are a sym p totically equivalent, so the theorem is proved □ By th e samt? m e th o d s a s used in p ro o f of T h so re m 3.1 we o b ta in th e follow ing corollary C o r o l l a r y /4 ssu m e t h a t A € L ( H ) is a com pact self-adjoint operator a n d (T (f))i> u is a bounded u n i f o r m l y Cl I S e m i g r o u p then (X (t))i> d a n d Y ( t , s)t>„ are a symptotically equivalent REFEREN CES |l] R, Nagel O m -P ararm tvr Sem igroups of Positive Operators, Lccturc Notes in Math vol 1184, Springer-Vi’] lag, Berlin, 1986 [2Ị Dang Dinh C hau, On the Asympotir cc|iiivclfiicc of linear tiiffircntial equations in Hilbert spaccs, V ietnam Saixonal Uriivcm ty-H anoi Journal o f Science, Math.-Phyu Series (2002), No 2, 8-17 [3] J Kato, T h e asym ptotic cquivalcnec of fmiciiormJ of differential equations, J Diff Eq (1965), 306-332 [4] X.G Krciu, Lintnr equation dtffetvntuil m Bunnell spacet “Nayka" Mosscow, 19G7 [5] N.Levinson, The asymptotic behavior of sy.strms of linear (lifTcrcntai equations Amvr J Math, 63 (1946), 1-G [6] J Miklo, A sym ptotic relationship between solution of two linear diffirential systems, Bĩxitmlava M ath- ematica Bolicmicu 123 (1998), 163*175 (TJ T N aito, Nguyen Van M inh and J s Shin, New Scctra] C riteria for Almost periodic Soutioris of E volution E quations Studta M uthcmatiaL 145 (2001),97-111 [8] Nguyen T he H oan, Some asym ptotic behaviors of solutions to iion-liricar system of differenttial equations, Diff Eq 12 (1981), 385-360 (Russian) [9] A, Pazy, SiTTiigroupa o f Linear Opcĩulơr.H and Applicatioĩts to Partial Diffircnttal EquationA, Springcr- Vcrlag, Berlin- New York 1983* [10] E v Voskoroscnski, A sym p fo ltc ctjuivalt'.ncr o f system s o f differential equations Progress of Mathcrnatic Scicnccs, 5{I985), C-40,Aro (1985), {Ukrainian J M ath 40 (1985), 249-250).(Russian) D epartment o r M A' I HEMATICS H anoi U n iv e r sity of S c ie n c e 3.U N clyen T r a i, Han E -m utl address: chauddfflvnu e d u C entre for K d i 'c a t i o n T echnology - C C i D 50 L i e ^i C ia i, Ba D in h H an o i, V ie tn a m o i V ie tn am v t - T° 5’ SCIENTIFIC PROJECT BRANCH: MATHEMATICS PROJECT CATEGORY: NATIONAL Title: Selected Problems on the Applied Analysis and Infinite Dimensional Dynamical Systems Project’s code: QGTD 03-01 Managing Institution: Hanoi National University Implementing Institution: Hanoi University of Science Coordinator: Ass Prof Dr Sc Nguyen Van Minh (promoter) Dr Dang Dinh Chau (secretary) Key Implementators: Dr Dang Dinh Chau, Prof Dr Nguyen The Hoan, Prof Dr Hoang Quoc Toan, Dr Tran Due Long, Dr Nguyen Minh Man, Dr Nguyen Thieu Huy, MSc Tong Thanh Trung, MSc Le Huy Tien, MSc Nguyen Trung Thanh, MSc Du Due Thang, MSc Hy Due Manh, MSc Pham Thi To Nga, MSc Nguyen Truong Thanh, MSc Ha Binh Minh, MSc Nguyen Mai Quyen, MSc Kieu Thu Linh, Be Tran Tat Dat Duration: from 2003 to 2005 Budget: The Project was financially supported by the VNUH with a total grant of 300.000.000 VND for years Main Results: In this report, the main results consists of the following problems: *Abstract functional differential equations with advance or delay Higher order delay or advance abstract functional differential equations Neutral differential equation with piecewise constant argument * Dichotomy exponential trichotomy of Evolution equations.We consider the exponential dichotomy, exponential trichotomy and prove the existence of invariant manifolds of fully nonlinear evolutions equations *We give some new results on the asymptotical equivalence of linear evolutions equations and differential equations with timedelay in Banach spaces a Research activities: On finishing the Project QGTD 03-01, we obtained the following scientific produces: • articles have been published in the International Mathematic Journal • articles have been accepted for publications • scientific reports were talked in the International conference n differential equations and applications ICDEA (August 2004 - Ho Chi Minh city - Viet Nam) • scientific reports were presented in the scientific conference of Hanoi University of Science, VNU (November, 2004) b Training activities Fifty PhD students have been working in the direction of the Project QGDT 03-01 These students have completed and submitted their thesis Two of them obtained the doctor degree Nine of them obtained the master’s degree 10 Evaluation grade: PHIẾU ĐÃNG KÝ KẾT QUẢ NGHIÊN c ứ u KHOA HỌC CÔNG NGHỆ Tên đề tài: Một số vấn đề chọn lọc giải tích ứng dụng hệ động lực vô hạn chiều Mã số: QGTD 03-01 Cơ quan quản lý đề tài: Đại học Quốc gia Hà nội Địa chỉ: 144 Xuân Thuỷ - Cầu Giấy - Hà nội Tel: 04.8340564 Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Địa chỉ: 334 Nghiễn T rã i, Thanh Xuân - Hà nội Tel: 04.8581419 Tổng kinh phí thực chi từ ngân sách Nhà nước: 300.000.000đ Thời gian nghiên cứu: năm Thời gian bắt đầu: 2003 Thời gian kết thúc: 2005 Tên cán phôi hợp nghiên cứu : TS Đặng Đình Châu Ths Dư Đức Thắng PGS.TS Nguyễn Thế Hoàn 10 Ths Nguyễn Trường Thanh TS Trần Đức Long 11 Ths Tống Thành Trung TS Nguyễn Minh Mẫn 12 T h s.K iều T hu L inh TS Nguyễn Thiệu Huy 13 Ths Phạm Tố Nga TS Nguyễn Sinh Bảy 14 Ths Nguyễn Mai Quyên Ths Hà Bình Minh 15 CN.Trần Tất Đạt Ths Lê Huy Tiễn 16 C N H y Đ ứ c M ạnh Số dăng ký đề tài Số chứng nhận dăng ký Ngày: Bảo mật: a Phổ biến rộng rãi: X b Phổ biến hạn chế: c Bảo mật: Tóm tắt kết nghiên cứu: Sau hai năm triển khai nghiên cứu đề tài chúng tơi hồn thành kế hoạch nghiên cứu theo đề cương đăng ký: Viết gửi đăng 12 báo khoa học, hoàn thành việc đào tạo tiến sỹ thạc sỹ nhiều cử nhân Toán Các kết nghiên cứu khoa học : • Nghiên cứu tính chất phổ hàm dãy số • Mở rộng phát triển định lý Massera tính chất hầu tuần hồn, tuần hồn tiệm cận, tính chất hầu tự đẳng dấu nghiệm đủ tốt phương trình vi phân trừu tượng không gian Banach tổng quát Chứng minh tổn nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận cho PTVP trung tính, PTVP vi phân với biến khúc • Chứng minh số điều kiện đủ để họ toán tử tiến hoá nhị phân mũ Xây dựng khái niệm nhị phân, tam phân mũ chứng minh số tiêu chuẩn tồn đa tạp tích phân, góp phần giải số tốn xuất nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến • Một số kết khác nhận nằm toán lớn bao trùm Đề tài dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân Ở nhờ việc xây dựng phương pháp cách tiếp cận nên xác lập chứng minh điều kiện đủ để nghiệm phương trình tiến hố tương đương tiệm cận, xây dựng chứng minh đươc điều kiên đu cho tinh C3Ĩ1 bang ticm cạn cua phương trình vi phân có chậm, mở rộng đinh ly Levinson cho phương trình vi phân có chậm khơng gian Banach Kiến nghị qui mô đối tượng áp đụng nghiên cứu : Đề tài sâu nghiên cứu theo hướng đại nhiều nhà khoa học quan tâm, nên có kế họach tiếp tục đẩy mạnh việc đào tạo cán khoa học theo hướng nghiên cứu này, triển khai việc đọc chuyên đề cho sinh viên học viên cao học nội dung nghiên cứu Triển khai tiếp tục đề án, dự án đề tài ngiên cứu để áp dụng kết nghiên cứu vào lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt lý thuết xử lý tín hiệu số tốn mơi trường sinh thái K/T Chủ nhiệm đề tài Họ tên Học hàm học vị Đặng Đình Châu Thủ trưởng quan chủ trì đề tài Ì ổịíì^ i TS G Ỉ.ỈM Chủ tịch hội Thủ trường quan quản lý để đồng đánh giá thức tài \C(ị (rí, I M TL.CI^VC '■ TRJỊ: J bai; khc; Ký tên, • Ệ $ & jịỊ ị đóng dấu \ 1' -ì kmI 3A HỘC' Y J f V v TỤ - * V / f Ị r / í/.-// J ... • MỘT SỐ VẤN ĐỂ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH ÚNG DỤNG VÀ HỆ ĐỘNG LỤC VÔ HẠN CHlỀU Mà s ố : QGTD 0301 Hội thảo khoa học ICDA-2004 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN MỘT SỐ VẤN... GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN MỘT SỐ VẤN ĐỂ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH • • • ỨNG DỤNG VÀ HỆ» ĐỘNG Lực VÔ HẠN CHIỂU • • • • Mà SỐ: Q G T D 0301 CHỦ TRÌ ĐỂ TẢI: PGS.TSKH NGUYỄN VĂN MINH... CHÂU (thư ký) HÀ NỘI-2005 BÁO CÁO TÓM TẮT A Tên đề tài: MỘT SỐ VÂN Đ€ CHỌN LỌC củn GIỎI TÍCH ỨNG DỤNG VÀ cric H i• Dộ• n g Lực • • VƠ HỌN • CHlếu Mã số: QGTD - 03-01 B Chủ trì để tài PGS.TSKH Nguyễn