Các chuyên đề toán phổ thông tập 3

DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF Tháng 07/2015 Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Lêi nói đầu Taứi lieọu naứy khoõng phaỷi laứ taứi lieọu thức Diễn đàn toán học (VMF) cá nhân thành viên trang diễn đàn thảo luận toán học nên xin mạo muội ghi xuất xứ VMF mong quản trò trang web bỏ qua yếu tố Hàng năm giáo viên trung học phổ thông làm sáng kiến kinh nghiệm lónh vực chuyên môn giảng dạy, nhiên lượng kiến thức mà thầy (cô) dày công bỏ nghiên cứu đa phần bò bỏ quên Hôm cố gắng tổng hợp lại sáng kiến kinh nghiệm để đưa vào chung thành tài liệu “CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN PHỔ THÔNG” Để tiện cho việc tổng hợp theo dõi, chia thành nhiều tập với độ dày tập tầm khoảng 50 trang Chỉ việc tổng hợp nội dung sáng kiến bạn tham khảo nên có điều sai sót mong bạn bỏ qua Người tổng hợp CD13 Tập gồm nội dung: + Thêm cách tiếp cận để tính tích phân + Khai thác BĐT (1) + Khai thác BĐT (2) + Sử dụng tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức + Một số đònh hướng giải phương trình hàm + Kó thuật giảm biến toán tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net THÊM MỘT CÁC TIẾP CẬN NỮA ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Trong kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học – cao đẳng thường có tốn tính tích phân Bài viết xin trao đổi với bạn hướng tiếp cận ( cách “tư duy”) để tính tích phân phạm vi phương pháp “ đặt ẩn phụ” Tác giả gọi tên “ đặt ẩn phụ không làm thay đổi cận tích phân” + Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục  a; b F (x) nguyên hàm f(x) b  f ( x)dx  F ( x) | b a  F (b)  F (a) a + Định nghĩa khơng phụ thuộc vào kí hiệu biến số dấu tích phân + Một số tính chất cần ý: b +  b c a + a f ( x)dx    f ( x)dx b b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a a  c  a; b c Bài tốn 1: Tính tích phân I=  x  3x  2 dx 3 Khi gặp toán này, chắn tất bạn nghĩ cách khai triển biểu thức dấu tích phân để đưa tích phân để tính Đó cách suy nghĩ thường hay gặp phải Nhưng bạn thử làm xem sao, thử thay (x3-3x2+2)3 (x3-3x2+3)7 , (x3-3x2+3)9 tính nhé! Sau mời bạn nghiên cứu lời giải sau: dx   dt  Lời giải: Đặt x=2-t   x  3 : t   x  : t  3  3  I     (2  t )  3(2  t )   dt  5   t 3 3  3t   dt     t  3t   dt 3     x  x   dx   I  I   I  3 Khi đọc xong lời giải chắn bạn đặt câu hỏi : Tại lại đặt ẩn phụ vậy? Để tìm câu trả lời xin mời bạn nghiên cứu tiếp toán sau: a Bài toán 2: Cho f(x) hàm lẻ, liên tục [-a; a] Chứng minh  f ( x)dx  a Đây tập quen thuộc với bạn học tích phân nhiều bạn biết cách giải Xong bạn xem kỹ lời giải sau để “ phát hiện” vấn đề nhé! dx  dt  Lời giải: Đặt x=-t   x  a : t  a  x  a : t  a  I a a  f ( x)dx    f (t )dt   f (t )dt    f (t )dt    f ( x)dx   I  I   I  a a I a a a a a  f (t ) dt Do f(x) hàm lẻ nên f(-x)=-f(x) a a a Qua toán trên, điểm chung cách đặt ẩn phụ gì? Câu trả lời : Đặt ẩn phụ khơng làm thay đổi cận tích phân Vậy sử dụng suy nghĩ vào toán thực tế ? Các bạn ý số điểm sau: Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Bài toán 1, tổng quát thành : Chứng minh hàm f (x) liên tục thoả - b mãn: f(a+b-x) =-f(x) Việc chứng minh tốn xin dành cho độc  f ( x)dx  a giả (bằng cách đặt x=a+b-t cách đặt mà cận khơng thay đổi!) b Từ ta có cách đặt tổng quát gặp tích phân -  f ( x)dx mà không thay đổi cận đặt a x=a+b-t Bài tốn có cách giải khác hay để dẫn tới “ suy nghĩ” sau: - dx   dt 4 3  Đặt x=1-t   x  3 : t   I     (1  t )3  3(1  t )2   dt    t  3t  dt 4  x  : t  4  Sử dụng kết chứng minh toán ta I=0 ( f(t)=-t3+3t hàm số lẻ) Vậy “ suy nghĩ” gì? Việc đặt ẩn phụ ta dẫn đến tích phân có cận “đối b xứng” Trong trường hợp tổng quát để dẫn đến cận “ đối xứng” gặp tích phân  f ( x)dx a bạn đặt x  ab  t nhé! Bây vận dụng suy nghĩ để giải số tốn sau:  Bài tốn 3: Tính tích phân I    sin x  cos x dx (Đề thi đại học năm 2000) 6x   dx   dt     Lời giải: Đặt x=-t   x   : t  (cách đặt không làm thay đổi cận tích 4      x  : t   phân)   Khi I     sin (t )  cos (t ) dt  6 t    6 t sin t  cos t dt   6t  4   sin x  cos6 x  2I   dx  6x   x   4     x  sin x  cos x dx  6x  4   sin  x  cos x  dx     4 4     1  3s in x cos x  dx   1  s in 2 x  dx       sin x  cos x dx 6x     1  s in x  dx   5     cos x  dx    5x     sin x   32    16 Chú ý: Bài toán có dạng tổng quát sau: Nếu f(x) hàm số liên tục, chẵn b I b b f ( x) x f ( x) b a x  dx  b a a x  dx  I  b f ( x)dx Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net  Bài tốn 4: Tính tích phân I = x sin x dx x4  cos Thơng thường gặp tích phân trên, hầu hết bạn nghĩ đến phương pháp tính tích phân phần Xong bạn thử làm so sánh với lời giải sau: dx   dt  Lời giải : Đặt x    t   x  : t   x   : t      (  t ) sin(  t ) (  t ) sin t sin t t sin t Khi I    dt   dt    dt   dt 2 cos t  cos t  cos t   cos (  t )  0    sin x x sin x sin x  dx   dx    dx  I 2 cos x  cos x  cos x  0   sin x  sin x dx  I   dx cos x  cos x   2I     sinxdx   dt  Đặt cosx  t   x  : t   x   : t  1  I   ln dt  dt  t2    ln   t  1 (t  2)(t  2) t  1  1 Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: b Cho hàm số f(x) liên tục thoả mãn: f(a+b-x) = f(x) Khi b ab f ( x)dx ( a  xf ( x)dx  a để chứng minh kết bạn đặt x= a+b-t ) Bài tốn 5: Tính tích phân I =  1 xdx ( Đề thi khối A năm 2004) x 1 Với toán trên, cách đặt để không thay đổi cận tích phân dx  2(t  1)dt  Lời giải: Đặt t   x  Khi x -1 = (t -1) hay x=(t -1)    x  1: t  (cách đặt x  : t   2 đảm bảo cận không đổi !)  2 (t  1) (t  1)2  1 t 2 t  3t  4t  1  dt  2 dt  2  t  3t    dt t t 1  t3 2 t2     4t  ln | t |    ln 3 1 b Chú ý: Bài toán tổng quát dạng  a p( x) dx với p(x) đa thức chứa biến x; mx  n  c m,n,c số Ta đặt t  mx  n  c t  mx  n giải  sin x dx sin x  cos x Bài tốn 6: Tính tích phân I   Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net  dx   dt     Lời giải: Đặt x   t   x  : t  2     x  : t      sin   t  2 co s t co s3 x   I   dt   dt   dx  J sin t  cos t sin x  cos x      0 sin   t   cos   t  2  2      3 sin x co s x sin x  co s x  I+J   dx   dx   dx   (1  sin x.cos x)dx sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x 0 0   I  J  1    1  I   I  J  1      (1  sin x)dx   x  co s x    Vậy  0 2 Chú ý: Bài tốn tổng quát thành dạng sau:  b k sin mx a sin mx  cos mx dx n ;  n sin m ax sin m ax  n cos m ax Cuối mời bạn vận dụng vào số tập sau: Tính tích phân: 1 4x  dx 3x   I1   I2   lg 1   x   x dx   I3   lg 1    2004 I5   x 3 x  1000  x   dx 2 I4   cos x.ln  x   5  x  16  dx I6   e x    x  16  n 1 dx 1 2000 I7 x 4 x7   x  dx  sin x.sin x.cos x dx 2x  1 I8  dx 1 (e x  1)( x  1)  I10   x(tgx  cot gx)dx  I9    sin x.sin x.cos x dx ex    I11   I12   x sin x dx cos x  0 sin x dx sin x  cos x Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net KHAI THÁC MỘT BẤT ĐẲNG THỨC Trong chương trình tốn T.H.C.S có bất đẳng thức quen thuộc mà việc ứng dụng giải tập đại số hình học có hiệu Ta thường gọi “bất đẳng thức kép” Đó bất đẳng thức sau : (a  b)  2ab (*) Với a, b ta ln có : a  b  2(a  b )  (a  b) .(1)   ( a  b)  4ab .(2) Nhận thấy (*)  2 a  b  2ab (3) 2 Cả ba bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức ( a  b)  chúng xảy đẳng thức a = b Ý nghĩa bất đẳng thức (*) nêu nên quan hệ tổng hai số với tích hai số với tổng bình phương hai số Sau số ví dụ minh hoạ việc vận dụngvà khai thác bất đẳng thức (*) Bài toán 1: Cho a + b = Chứng minh rằng: 1 8 4 a2  b2  ; a b  ; a b  128 * Giải : Áp dụng bất đẳng thức (1) giả thiết a + b = ta có: 2 ( ) 2 ( a  b) (a  b ) a2  b2   ; a4  b4    2 2 ( )2 4 (a  b ) a  b8    Đẳng thức xảy a = b = 1/2 2 128 * Khai thác toán Nhận xét 1: Nếu tiếp tục áp dụng bđt (1) tăng số mũ biến ta thu kết như: ( ) 8 (a  b ) 16 16 128 a b    15 2 Tổng quát ta có tốn sau: Bài tốn 1.1: n n Cho a + b = Chứng minh rằng: a  b  2n 1 Cách giải toán 1.1 ta áp dụng phương pháp quy nạp toán học làm tương tự toán Nhận xét 2: Tiếp tục khái quát toán 1.1 thay giả thiết a + b = giả thiết a + b = k, làm n n kn tương tự ta có a  b  n 2 1 Vậy có toán 1.2 sau: Bài toán 1.2: n n n Cho a + b = k Chứng minh: a  b  kn 2 1 Nhận xét 3: Từ toán 1.2 ta thay giả thiết a + b = k b = k - a ta Bài toán 1.3: Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net n n Chứng minh : a  (k  a)  kn n với k 2 1 * Khai thác sâu toán Nhận xét 1: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp lần ta có kết quả:  a  b 2     (a  b )   a  b 4 a b    2 23 Tổng qt ta có tốn sau: Bài tốn1.4: Chứng minh : 2n  a  b n n   4 a  b 2 b  a) a  b  b) a n 23 2 1 Nhận xét 2: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp nhiều lần tăng số biến ta có: 2  a  b 2   c  d 2      ( a  b )  (c  d )     4 4 a b c d    2 (a  b)  (c  d ) a  b  c  d    8.2 4 a  b  c  d a  b  c  d   a  b  c  d      4   Vậy có tốn 1.5: a4  b4  c4  d  a  b  c  d    Chứng minh: 4   Cứ tiếp tục suy luận sâu ta thu nhiều toán tổng quát Bài toán 2: Cho a, b, c > 0.Chứng minh rằng: ( a  b ).(b  c ).(c  a )  8abc (a  b)  4ab  * Giải: áp dụng bất đẳng thức (2) ta có : (c  b)  4cb (a  c)  4ac   ( a  b)(b  c)(c  a )  64 a b c (vì a, b, c > 0)  (a  b)(b  c)(c  a )  8abc ( (a+b)(b+c)(c+a) > 8abc > 0) Đẳng thức xảy a = b = c * Khai thác toán Nhận xét 1: Nếu cho a, b, c > a + b + c = Khi ta có - a, 1- b, - c > có + c = + - a - b = (1 - a) + (1 - b) Áp dụng toán ta : (1  a )(1  b)(1  c)  8(1  a )(1  b)(1  c ) Vậy có tốn 2.1: Cho a, b, c > a + b + c = Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Chứng minh: (1  a )(1  b)(1  c )  8(1  a )(1  b)(1  c ) Nhận xét 2: Ta tiếp tục khai thác sâu toán cách cho a + b + c = n > Khi tương tự tốn 2.1 ta có Bài tốn 2.2: Cho a, b, c > a + b + c = n > Chứng minh : ( n  a )( n  b)( n  c )  8( n  a )( n  b )( n  c ) Bài toán 3: 2 Chứng minh với a, b, c ta có : a  b  c  ab  bc  ca * Giải : a  b  2ab  2 áp dụng bất đẳng thức (3) ta có : c  b  2cb a  c  2ac  2  2(a  b  c )  2(ab  bc  ca)  đ.p.c.m Có đẳng thức a = b = c * Khai thác toán Nhận xét : Nếu áp dụng toán tăng số mũ lên, giữ nguyên số biến ta có a  b  c  a b  b c  c a (*) lại áp dụng toán lần ta có a b  b c  c a  abc(a  b  c) (**) Từ (*) (**) ta thu kết a  b  c  abc (a  b  c) Vậy có tốn 3.1: 4 Chứng minh với a, b, c ta có : a  b  c  abc(a  b  c) Nhận xét 2: Nếu tăng số biến giữ nguyên số mũ biến với cách làm toán ta có Bài tốn 3.2: 2 Chứng minh rằng: a1  a   a n  a1 a  a a3   a n1a n  a n a1 Với a1 ; a ; ; a n Bài toán : 4 4 Chứng minh với a, b, c, d ta có : a  b  c  d  abcd * Giải : Áp dụng bất đẳng thức (3) ta có : a  b  c  d  2a b  2c d  2(a b  c d )  4abcd đ.p.c.m Có đẳng thức a = b = c = d * Khai thác toán 4 Nhận xét 1: Nếu thay b = c = d = ta có bđt a   a  a  a  3 Vậy có tốn 4.1: Tìm giá trị nhỏ A = a  a Nhận xét 2: Nếu khai thác toán theo hướng tăng số biến, số mũ lên, ta Có toán tổng quát sau: Bài toán 4.2: Chứng minh với số a1; a ; a3 ; ; a 2n với n  N * ta có: a1 2n  a2 2n  a3 2n   a n 2n n  a1a a a n Bài toán : 2 2 Cho a + b + c + d = Chứng minh : a  b  c  d  Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net * Khai thác toán 2 2 Nhận xét 1: Nếu thay số giả thiết số k ta kết a  b  c  d  k2 Vậy có tốn tổng quát sau: Bài toán 5.1: k2 Cho a + b + c + d = k Chứng minh : a  b  c  d  Nhận xét 2: Ta tổng quát toán 5.1 mức độ cao cách tăng số biến tốn Khi toán 5.1 trường hợp riêng toán sau: Bài toán 5.2: k2 2 * a  a   a  a  a   a Cho với n  N n n = k Chứng minh: n Để giải tốn hai cách làm toán đưa vào áp dụng không hợp lý, ta làm sau: k2 k k2 k k2 k 2 Áp dụng bđt (3) ta có: a1   2a1 ; a   2a ; … ; a n   2a n n n n n n n k k 2  a1  a   a n  n  (a1  a   a n ) (vì a1  a   a n  k ) n n 2 k2 k k 2 2 2  a1  a   a n   a1  a   a n  2 (đ.p.c.m) n n n Từ suy : 2 2 a1  a   a n  2 a1  a   a n 2 n * với n  N (1.1) Vậy có tốn 5.3: 2 Chứng minh: a1  a   a n  a1  a  a3   a n 2 * với n  N n Đặc biệt hoá với n = 5, n = 7, ta toán : Chứng minh : a1  a  a3   a5 2 2 a1  a   a  a1  a  a3   a7 2 2 a1  a   a  Rõ ràng bđt sử dụng phương pháp dùng định nghĩa biến đổi tương đương khó giải hoctoancap ba.com * Khai thác sâu toán Nếu tiếp tục nâng số mũ lên cao theo cách khai thác toán 1.4 ta thu kết tổng quát chẳng hạn: Bài toán 5.4: Chứng minh: a1  a  a3   a n 4 4 * a) a1  a   a n  với n  N n a1  a  a3   a n 8 8 * b) a1  a   a n  với n  N n Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Khi f(n) = n.a + 2007  a2n = n n N*  a =  a = (vì a N*)  f(n) = n + 2007 Thử lại: f(n) = n + 2007 (thỏa mãn) Bài tốn 16: (VMO-2009) Tìm f: R  R liên tục thỏa mãn: f(x-y)f(y-z)f(z-x) + = x, y, z R (1) Nhận xét: Dùng phương trình hàm Cauchy khai thác tính chất liên tục hàm Lời giải: +) Cho x = t; z = -t y = ta có: f2(t)f(-2t) = -8  f(-2t) = Đặt g(x) = ln ( 8 <  f(t) < t R f (t) f(x) ) f(x) = -2eg(x) Thay vào (1) ta có 2 -8eg(x-y) + g(y-z) + g(z-x) = -8 g(x-y) + g(y-z) + g(z-x) = (*) +) Trong (*) cho x = y = z =  g(0) = Cho y = z = 0, x R  g(x) = g(-x) x R Suy g(x-y) + g(y-z) = -g(z-x) = g(x-y + y-z)  g(t+t’) = g(t) + g(t’) t, t’ R Do f liên tục suy g liên tục thỏa mãn đặc trưng hàm Cauchy  g(x) = ax  g(x) = -2eax = -2bx với b = ea > Thử lại: Thỏa mãn Để kết thúc xin bạn làm số tập sau, hi vọng thầy cô em học sinh tìm tòi, sáng tạo lời giải hay, độc đáo Bài 1: Tìm tất hàm f: Z+  Z+ i) f(0) = ii) f(f(n)) = f(f(n + 2) + 2) = n n Z* Bài 2: Cho n  N, tìm hàm f đơn điệu, f : R  R thỏa mãn f(x + f(y)) = f(x) + yn Bài 3: (BMO - 2003) Tìm f : Q R tìm i) f(x+y) – yf(x) – xf(y) = f(x)f(y) – x - y + xy x, y Q ii) f(x) = 2f(x+1) + + x x Q iii) f(1) + > Bài 4: (VMO - 2005) Tìm tất giá trị  cho tồn hàm f : R R thỏa mãn f(x2 + y + f(y)) = f2(x) + y Bài 5: Tìm f : N*  N* thỏa mãn i) 2f(m2 + n2) = f2(m) + f2(n) ii) Nếu m ≥ n f(m2) ≥ f(n2) Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net KĨ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập hợp D   a) Nếu tồn điểm x  D cho f  x   f  x  với x  D số M  f  x  gọi giá trị lớn hàm số f D , kí hiệu M  max f  x  x D b) Nếu tồn điểm x  D cho f  x   f  x  với x  D số m  f  x  gọi giá trị nhỏ hàm số f D , kí hiệu m  f  x  x D 1.2 Nhận xét Như vậy, muốn chứng tỏ số M (hoặc m ) giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D cần rõ : a) f  x   M (hoặc f  x   m ) với x  D ; b) Tồn điểm x  D cho f  x   M (hoặc f  x   m ) 1.3 Nhận xét Người ta chứng minh hàm số liên tục đoạn đạt giá trị nhỏ giá trị lớn đoạn Trong nhiều trường hợp, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn mà không cần lập bảng biến thiên Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm f đoạn  a;b  sau : Tìm điểm x 1, x , , x n thuộc khoảng a;b  mà f có đạo hàm khơng có đạo hàm Tính f  x1 , f  x , , f  x n , f a  f b  So sánh giá trị tìm Số lớn giá trị giá trị lớn f đoạn  a;b  , số nhỏ giá trị giá trị nhỏ f đoạn  a;b  2.1 Ví dụ đơn gian (một biến): Trong mục chúng tơi trình bày số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Thí dụ ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f  x   x   x Lời giải Tập xác định D   2;2  , f   x    x  x2 , f x    x  Bảng biến thiên t 2 f  t    2 f t  Từ bảng biến 2 max f  x   f  2 x   2;2    thiên ta có f  x   f  2   2 x   2;2  Thí dụ (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2004) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y  ln2 x đoạn  1;e  x ln x x  ln2 x ln x   ln x  x  Lời giải Ta có y   x x2 Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Từ có bảng biến thiên : x y  e2 e3  e2 y e3 Vậy max y  y e     1;e    e2 y  y 1   x   x  e  3 1;e    2.2 Bài tập hàm biến Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số 1) f  x    x    x  2) f  x   cos x  cos 5x với  3) f  x     x  4  x4   x2   x2   x2   x2  Hướng dẫn Đặt t   x   x , với  t  3.1 Dồn biến : Trong phần tơi trình bày số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai biến cách biến qua biến lại Từ xét hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Thí dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4 P   x 4y 5 ta có y   x Khi P   4 x  4x  5 4 Xét hàm số f  x    với x   0;  Ta có f   x       x  4x x   4x  Lời giải Từ giả thiết x  y  Bảng biến thiên x f x  f x      Từ bảng biến thiên ta có f  x   f    Do P  đạt x  1, y    x  0;    Thí dụ Cho x , y   thỏa mãn y  0, x  x  y  12 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  xy  x  2y  17 Lời giải Từ giả thiết y  0, x  x  y  12 ta có y  x  x  12 x  x  12  hay 4  x  Khi P  x  3x  9x  Xét hàm số f  x   x  3x  9x  7, x   4;  Ta có f '  x    x  2x   Ta có bảng biến thiên Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net 4 x f x  3 20  f x    20 13 12 Từ bảng biến thiên ta có f  x   f    12 , max f  x   f  3   f    20     x   4;3  x   4;3  Do P  12 đạt x  1, y  10 max P  20 đạt x  3, y  6 x  3, u  Thí dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  1x y 1y Lời giải Từ giả thiết x , y  , x  y  ta có y   x ,  x  Khi ta có P  Xét hàm số f  x   Bảng biến thiên x 1x x  1x 1x  x 1x x x , f x   1  x   x 0 f x  f x  2x   x 1 2x x    1 Từ bảng biến thiên suy P  f  x   f    đạt x  y   x  0;1  2 Nhận xét Qua ba thí dụ cho ta kỹ thuật giảm biến tìm GTNN, GTLN biểu thức hai biến cách biến qua biến lại sử dụng giả thiết để đánh giá biến lại Từ tìm GTNN, GTLN hàm số chứa biến bị chặn 3.2 Bài tập dồn biến 1/ Cho x , y   3;2  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x  y2 2/ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x y  y 1 x 1 3/ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  1  2 x y 4/ Cho x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   x  y    x  y  5/ Cho a, b, x , y   thỏa mãn  a, b  , a  b   x   y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2x  y  2x  y Hướng dẫn Tìm giá trị lớn xy a  b  Q  a  b M , xét hàm số g  y   f  x , y   2x  y  2x  y với ẩn y x tham số, xy.M Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net tìm giá trị nhỏ g  y  h  x  Sau tìm giá trị nhỏ hàm số h  x  với x   2;  6/ Cho x , y   thỏa mãn x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  8x  16 Hướng dẫn Nếu x  x  y từ xét hàm số f  x   x  x  8x  16 Nếu x  x  y  8x  16  16 với x  0, x  y 7/ Cho x, y   0;1 thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x x  y y Hướng dẫn Xét hàm số f  x   x x , x   0;1  Chứng minh 1x P  x x  1  x  1  f  x   f   x   f      f x   f y   x  y   f   Ta có   8/ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Chứng minh xy  x x y y 4.1 Biểu thức có tính chất đối xứng: Trong phần chúng tơi trình bày số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai biến mà giả thiết biểu thức thể tính đối xứng Từ phép đặt ẩn phụ ta chuyển tốn tìm G hàm số Thí dụ Cho x  y  x  y Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x  y  x 2y  xy Lời giải Đặt t  x  y , từ giả thiết x  y  x  y ta có 2xy   x  y    x  y   t  t hay xy  t2  t Áp dụng bất đẳng thức   x  y    x  y  hay t  2t suy x  y   t  Khi biểu thức P   x  y   2xy  x  y   t Do ta có max P  đạt t  hay x  y  xy  suy x  y  , ta có P  đạt t  hay x  y  Nhận xét Bài toán giả thiết biểu thức P cho dạng đối xứng với hai biến Vì vậy, nghĩ đến cách đổi biến t  x  y Nhưng để giải toán trọn vẹn phải tìm điều kiện biến t Sau số toán với định hướng tương tự Thí dụ Cho x , y  thỏa mãn x  xy  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy x y 1 Lời giải Đặt t  x  y Từ giả thiết x , y  x  xy  y  suy xy  t  Áp dụng bất đẳng thức  x  y   4xy suy  t  33    33  đạt  x ; y    ;    x ; y     ;    3 3 Khi P  t   Vì max P  Thí dụ Cho x , y   thỏa mãn x  y  1 x  y  xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  xy x y 1 Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Lời giải Đặt t  x  y Từ giả thiết x  y  xy  x  y  ta có  x  y   xy   x  y   hay xy  t  t  x  y  Áp dụng bất đẳng thức P   4xy suy 3t  4t   hay   t  Khi t2  t  t2  t  t  2t Xét hàm số f  t   , f  t   , f   t    t   t  2 t 1 t 1 t    (loại) Bảng biến thiên  23 t f  t    f t  1 f  t   f    1 đạt  x ; y    1;1  Từ bảng biến thiên ta có P  t    ;2     x; y    1; 1 max P  max f  t   f   23   f    t    ;2    1 đạt x  y   3 x  y  Thí dụ Cho x , y   thỏa mãn  x , y  x  y  4xy Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x  y  xy t  t  Khi 3 3  3xy  t  t Xét hàm số f  t   t  t , f   t   2t  , f   t    t  4 Đặt t  x  y Từ giả thiết  x , y  x  y  4xy suy xy  P  x  y  (loại) Bảng biến thiên t f  t  f t   Từ bảng biến thiên ta có P  f  t   f    t   1;2  max P  max f  t   f    t   1;2  đạt  x ; y    2 2  ; 2 đạt x  y    x; y      2 ; 2 Thí dụ Cho x , y   thỏa mãn x , y  xy  x  y   x  y  x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  Lời giải 1  x y t  x y Đặt Từ giả thiết xy  x  y   x  y  x  y  xy  x  y    x  y   2xy   x  y   suy xy  hay t2  t  Áp dụng bất đẳng thức t 2 Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net x  y  P   4xy suy t  2t  4t  0 t 2 x y t  2t  xy t t  Xét hàm số t  2  t  hay f t   t  2t , t2  t  f  t   Khi 3t  4t  t  t   , f   t    t   t   23 (loại) Bảng biến thiên t f  t  f t  2    23   2 _ Từ bảng biến thiên ta có max P  max f  t   f    đạt x  y  t 2t 2 Thí dụ Cho x , y  thỏa mãn xy  x  y  3x 3y xy    x  y2  y 1 x 1 x y Lời giải Đặt t  x  y Từ giả thiết x , y  , xy  x  y  áp dụng bất đẳng thức Chứng minh x  y   4xy ta có xy   t, t  t  4t  12  hay t  t  6 (loại) Khi bất đẳng thức cần  x  y   6xy   x  y  xy   x  y    chứng minh trở xy   x  y   2xy  x y thành hay 3t  9t  18  t   t  2t   t  t  4t  12    t    t  t    t với t  , dấu xảy t  hay x  y  Thí dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức   1 1 P    x        y     y x   t2  Lời giải Đặt t  x  y Từ giả thiết x , y  x  y  suy xy  t  Áp 2 dụng bất đẳng thức  x  y    x  y  suy  t  x  y  t2  t t2  t t  2t   Khi P     x  y   xy   Xét hàm số f  t   , f  t   ,  xy  t 1 t 1 t  1 f   t    t   (loại) Bảng biến thiên t f  t    f t  43 Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Từ bảng biến thiên ta có P  f  t   f     đạt x  y  t  1;   Nhận xét Qua thí dụ trên, cho ta kỹ thuật giảm biến tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức hai biến có tính đối xứng: Do tính đối xứng nên ta ln biến đổi đưa dạng đặt t  x  y , t  x  y t  xy , từ đưa tìm GTNN, GTLN hàm số 4.2 Bài tập 1/ Cho x , y  thỏa mãn x  y   3xy Tìm giá trị lớn biểu thức P  3x 3y 1   2 y  x  1 x  y  1 x y 2/ Cho x , y không đồng thời thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y2  x2 y2   y2 x2  3/ Cho x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x  y  y  x 4/ Cho x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x 1y  y 1x 5/ Cho x , y  thay đổi thỏa mãn  x  y  xy  x  y  xy Tìm giá trị lớn biểu thức P  1  3 x y 6/ Cho x , y   thỏa mãn x  xy  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  xy  y 5.1 Biểu thức đẳng cấp Trong phần chúng tơi trình bày số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa hai biến mà giả thiết biểu thức thể tính đẳng cấp Từ xét hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Thí dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  y  x  y  Lời giải Đặt y  tx Từ điều kiện x , y  suy t  Từ giả thiết x  y  ta có t2  t t2  t Khi biểu thức P  x t  t    Xét hàm số f  t   , t2  t 1 t 1 t  2t   , f   t    t    t   (loại) Bảng biến thiên f t   2 t  1 x2  t f  t   1   1 f t  Từ bảng  x; y    biến 1 ; 2 thiên 1 2  ta có max P  max f  t   f t 0   1  1 đạt Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Thí dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức 4x  6xy  P  2xy  2y  Lời giải Nếu x  từ giả thiết x  y  y  suy y  Khi P  Nếu x  đặt y  tx Từ giả thiết x , y  x  y  suy t  x  P  f  t   x   6t   x  2t  2t   8t  4t  5t  6t   3t  2t  , f  t    t   3t  2t  1 t Xét f  t   f t   số 5t  6t  , 3t  2t  1  t  1 (loại) Bảng biến thiên 2 hàm Khi t 1   f t  1 Từ bảng biến thiên ta có f  t   , t  P  f  t   f  12   1 đạt x  y   x; y    ; 5 Vì max P   t 0 đạt  x ; y    0;1 P  1 đạt Thí dụ Cho x , y  Chứng minh Lời giải Đặt t  tương đương f t   t  f  t    x  x  4y   x Từ giả thiết x , y  suy t  Khi bất đẳng thức cần chứng minh y 4t với hay  t t   t  Xét hàm số t  t 4  t2   t 4xy t  t    ,  Ta có bảng biến thiên  3t  t2   t t 4 t f  t     t2   t  t   3t t 4 2  ,f t  0t  2   f t  http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net Từ bảng biến thiên ta có max f  t   f  t 0 t  2 2 2 hay t  t2   t   dấu xảy hay y  2x 5.2 Bài tập 1/ Cho x , y  thỏa mãn xy  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x2 y2 9 y3 x3 2/ Cho x , y  Chứng minh 3x  7y  9xy 3/ Cho x , y  Chứng minh x  y  x 3y  xy x2 y2  x y 4/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P         với x , y   y x  x  y 6.1 Biểu thức ba biến Trong phần chúng tơi trình bày số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa ba biến cách đặt ẩn phụ hai biến qua biến lại Từ đó, chuyển tốn tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Thí dụ Cho x , y, z  thỏa mãn x  y  z  Chứng minh 1   16 xz yz Lời giải Đặt t  x  y Từ giả thiết ta có z    x  y    t  t  Áp dụng bất đẳng thức  x  y   4xy hay xy  Khi P  t2 1 t    xz yz xy   t  t  t Xét hàm số f  t    2t    t   , , f  t    t  f 2 t  t  t  t  Ta có bảng biến thiên t f  t      f t  16 Từ bảng biến thiên ta có f  t   f  21   16 đạt x  y  14 , z  12 t  0;1  Vì 1   16 xz yz Thí dụ Cho x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x  y  z  xy  yz  zx Lời giải Đặt t  x  y  z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có x  y  z    x  y  z  suy   t  Khi 1 P   x  y  z     x  y  z    x  y  z     t  2t    2 Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Xét hàm số f  t   t  2t  1 , f  t   2t  , f   t    t  1 Ta có bảng biến thiên t 1  f  t    1 1 3 f t  1 Từ bảng biến thiên ta có P   x; y; z    1; 0;  t  t    3;    f  t   f  1   1 đạt t  1 hay hốn vị nó; max P  hay  x ; y; z    ; ; 3 max t    3;    f t   f  3   đạt  Thí dụ Cho x , y, z  thỏa mãn x  y  z  Chứng minh x  y  z  15 xyz  4 Lời giải Do vai trò x , y, z bình đẳng nên ta ln giả sử x   x, y, z  Từ giả thiết x , y, z  , x  y  z  ta có  x  yz  y  z  y  z   x Áp dụng bất đẳng thức 27x   Khi biểu thức 15 15 P  x  y  z  xyz  x   y  z   3yz  y  z   xyz 4  15x   27x  3  x   y  z   yz    y  z    x    x   yz         x  1  x   y  z   27x       27x  18x  3x    16  1 27x  18x  3x   , f   x    81x  36x   ,  16 16 1 f   x    x  x  Bảng biến thiên Xét hàm số f  x   x f x  f x    27 4 Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Từ bảng biến thiên ta có max1 f  x   f    f  13   x   0;   3 1 Do P  Dấu xảy 4  x ; y; z    13 ; 13 ; 13   x ; y; z    0; 12 ; 12  hoán vị Thí dụ Cho x , y, z   0;1  thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  Lời giải Ta có P   t  , f  t   x y z   2 1x 1y  z2 x2 y2 z2   Xét hàm số f  t   với 2 x 1  x  y 1  y  z 1  z  t 1  t  3t  t 1  t  , f  t    t  t   (loại) Ta có Bảng biến thiên t f  t      f t  3 Từ bảng biến thiên ta có 3  t   0;1  2 t 1  t  3 3 3 x  y2  z    xy  yz  zx    2 3 Do P  đạt x  y  z  13 Vì P  MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học A – 2011) Cho x , y, z ba số thực thuộc đoạn  1;  x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x y z   2x  3y y  z z  x Lời giải Trước hết ta chứng minh : 1 (*), với a b dương ab     a  b  ab Thật vậy,  *   a  b    ab     a   b   a  b  ab  ab  a  b  2ab   ab    a b  , với a, b dương ab  Dấu xảy ra, : a  b ab  Áp dụng (*), với x y thuộc đoạn  1;  x  y , ta có: P  x  2x  3y 1 z y  1 x z  2 3y x  1 x y Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Dấu xảy ra, : z x x   (1) y z y t2 x Xét hàm số :   t , t   1;2  Khi đó: P  y 2t   t 2  t  4t    3t  2t     t2   f t    , t   1;2  , f   t    0, 2 2t   t t   t    Đặt  f t   f    34 33 x 34   x  4, y  (2) Suy P  y 33 Từ (1) (2) suy dấu xảy ra, : x  4, y  z  Dấu xảy ra, t   Vậy, giá trị nhỏ P 34 , x  4, y  1, z  33 Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học B – 2011) Cho a b số thực dương thỏa mãn  a  b   ab  a  b ab   a3 b3  a2 b2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P         a  a  b b Lời giải Với a, b dương, ta có:  a  b   ab  a  b ab   a b   1  a  b   ab  a 2b  ab   a  b        a  b       b a   a b  1 1 1 1 a b  Mà a  b       2 a  b     2     , suy ra:  a b   a b   b a  a b  a b  a b      2         b a  b a   b a a b  , t  , suy : P   t  3t    t    4t  9t  12t  18 b a Xét hàm số f  t   4t  9t  12t  18 , với t  5 23 Ta có f   t    2t  3t    , suy : f  t   f      ;   2  Đặt t  Vậy, P   1  a a  b   23 a b đạt :   b a 1     a;b    2;1   a;b    1;2  b Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010) Cho số thực không âm a, b, c thoản mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M   a 2b  b 2c  c 2a    ab  bc  ca   a  b  c 2 Lời giải Ta có: M  ab  bc  ca   ab  bc  ca    ab  bc  ca  Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Đặt t  ab  bc  ca , ta có :  t  a  b  c    1 Xét hàm số f  t   t  3t   2t  0;  , ta có : f   t   2t      2t f   t     , dấu xảy t  , suy f   t  nghịch biến   2t   1 1 11 Xét đoạn  0;  ta có : f   t   f       , suy f  t  đồng biến Do :      1 f  t   f    2, t   0;     1 M  f  t   2, t   0;  M   ab  bc  ca, ab  bc  ca    a  b  c    a;b;c  số :  1; 0; ,  0;1; ,  0; 0;1  Vì : Do giá trị nhỏ M Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A   x  y  x 2y    x  y   với x , y số thỏa mãn  x  y   4xy  Lời giải Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên :  x  y   4xy nên 3  x  y   4xy    x  y    x  y    x  y     x  y      x  y    x  y     (1)     1  Do  x  y    x  y      x  y      4xy    x  y    x  y     từ (1) suy : x  y  Vậy cặp  x ; y  thỏa mãn yêu cầu đề x  y  (2) Ta biến đổi A sau: A   x  y  x 2y    x  y    3 x  y    x  y    x  y   (3)  2 4 Do x  y  A x  y2  x  y2   nên từ (3) suy : 2   x  y2   2x  y2     x  y2   2x  y2   4 2 Vì x  y  x  y  nên từ (2) ta có : x  y  9 Đặt f  t   t  2t  với t  x  y  Ta có : f   t   t   0, t  2 1 Suy : (4) f  t   f     t 2 16 9 Mặt khác dễ thấy x  y  A  16 16 Vậy A  x  y  16 Từ (4) suy A  Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2009) Cho x , y  x  y  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : S   4x  3y  4y  3x   25xy Lời giải Ta có : S   4x  3y  4y  3x   25xy  16x 2y  12  x  y   34xy  16x 2y  12  x  y   x  xy  y   34xy  16x 2y  12   x  y   3xy   34xy   2  16x y  2xy  12 (1) (do x  y  ) Đặt xy  t Với x  0, y  , ta có :  xy  Xét hàm số f  t   16t  2t  12 với  t  Bảng biến thiên t f  t  f t  Suy f  t   f  161    0;    x  y   Ta có : f   t   32t  16  1  0t  4  12 25 191 16 191 25 max f  t   f  14    0;  16   Vậy: Giá trị nhỏ S đạt   x  y   x   ;y     4 t       xy  16  2 2 ;y   x  16  4 Giá trị lớn S đạt  x  y  1  t    x y   xy   Diendantoanhoc.net http://boxtailieu.net ... thay (x3-3x2+2 )3 (x3-3x2 +3) 7 , (x3-3x2 +3) 9 tính nhé! Sau mời bạn nghiên cứu lời giải sau: dx   dt  Lời giải: Đặt x=2-t   x  3 : t   x  : t  3  3  I     (2  t )  3( 2  t )...  4 (3 x  x  1) 3 3 1 8 Tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x) điểm  ;  có phương trình y  x  3 3 x  3x  x  đổi dấu hai lần khoảng (0;1) Do đồ thị hàm số không f ''( x)  12 (3 x ... hay : f(x) = x /3 3 Thử lại t/m toán Sau ta xét số tốn lớp hàm đưa phương trình hàm Cauchy Đây dạng quen thuộc quan trọng phương trình hàm, ta xét toán đề thi HSGQG năm 1999 Bài toán 3: (QG-1999)