CÁC CHUYÊN đề TOÁN PHỔ THÔNG tập 1

Diendantoanhoc.net DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF                                         Tháng06/2015 http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net Lêi nãi ®Çu Tài liệu này không phải là tài liệu chính thức của Diễn đàn toán học (VMF) nhưng do cá nhân tôi là thành viên của trang diễn đàn thảo luận toán học này nên tôi xin mạo muội ghi xuất xứ là VMF mong quản trò của trang web bỏ qua yếu tố trên. Hàng năm mỗi giáo viên trung học phổ thông đều làm một sáng kiến kinh nghiệm về lónh vực chuyên môn giảng dạy, tuy nhiên lượng kiến thức mà thầy (cô) dày công bỏ ra nghiên cứu đa phần bò bỏ quên. Hôm nay tôi cố gắng tổng hợp lại các sáng kiến kinh nghiệm để đưa vào chung thành một tài liệu “CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN PHỔ THÔNG”. Để tiện cho việc tổng hợp và theo dõi, tôi chia ra thành nhiều tập với độ dày mỗi tập tầm khoảng 50 trang. Chỉ là việc tổng hợp nội dung các sáng kiến để cho các bạn tham khảo nên có điều gì sai sót mong các bạn bỏ qua. Người tổng hợp CD13 Tập này gồm các nội dung: + Một số sai lầm khi giải toán nguyên hàm – tích phân 1 + Một số sai lầm khi giải toán nguyên hàm – tích phân 2 + Phương pháp giải một số bài toán xác suất + Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức + Một số bài toán cực trò hình học toạ độ + Giải toán bằng phương pháp toạ độ http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1 Trongquátrìnhgiảngdạynộidungnguyênhàm–tíchphântôinhậnthấynhiều họcsinhcònmắcnhữngsailầmkhôngđángcó.Quabàiviếtnàythôngquanhữngvídụ tôimuốncácemhọcsinhcóthểtựmìnhđiềuchỉnhkỹnănggiảitoánphầnnguyênhàm –tíchphânđểcókếtquảtốtnhất. 1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa 1.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm a, Ví dụ 1: chứng minh rằng ( ) (1 )     x F x x e  là một nguyên hàm của hàm ( )   x f x xe trênR.Từđóhãytìmnguyênhàmcủahàm ( ) ( 1) .    x g x x e  *Một học sinh đã giải như sau: F’(x)=-e -x +(1+x)e -x =f(x)vớimọix=>F(x)làmộtnguyênhàmcủahàmf(x)trênR.       1 1                             x x x x x g x dx x e dx xe dx e dx x e c e c (1 ) .          x x x x e e xe  * Phân tích: họcsinhviếtchunghằngsốcchomọiphéptínhnguyênhàm. * Lời giải đúng:       1 2 1 1                             x x x x x g x dx x e dx xe dx e dx x e c e c      x xe c  vớic=c 1 –c 2 . b, Ví dụ 2: Tính cot  xdx  * Một học sinh đã giải như sau: cos cot sin     x I xdx dx x . Đặt 2 cos1 sinx sin cos sinx               x du dx u x dv xdx v  2 1 sinx.cos .sinx 1 0 1??? sinx sin         x I dx I x  * Phân tích: họcsinhviếtchunghằngsốcchomọiphéptínhnguyênhàm. * Lời giải đúng:   sinx cos cot ln sinx sin sinx         d x I xdx dx c x . 1.2.Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản Ví dụ 3: tính   3 I 2x 1 dx    * Một học sinh đã giải như sau:     4 3 2x 1 I 2x 1 dx c 4       * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:  Họcsinhvậndụngcôngthức n 1 n x x dx c n 1      vớin≠–1. * Lời giải đúng: Đặt2x+1=t     4 4 3 3 2x 1 dt dt t dt 2dx dx 2x 1 dx t c c 2 2 8 8                http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net 1.3.Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ 4: tínhtíchphân   2 2 2 dx I x 1      * Một học sinh đã giải như sau:     2 2 2 2 2 2 2 2 dx d(x 1) 1 1 4 I 1 x 1 3 3 x 1 x 1                    * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:hàmsố   2 1 y x 1   khôngxácđịnhtại   x 1 2;2      * Lời giải đúng: Hàm số   2 1 y x 1    không xác định tại   x 1 2;2     suy ra hàm khôngliêntụctrên   2;2  ,dođótíchphântrênkhôngtồntại. * Chú ý đối với học sinh: khitínhtíchphân b a f(x)dx  cầnchúýkiểmtraxemhàmsố y=f(x)cóliêntụctrênđoạn[a,b]không?Nếucóthìápdụngcácphươngphápđược họcđểtínhtíchphânđãcho,cònnếukhôngthìkếtluậnngaytíchphânđókhôngtồntại. 1.4. Sai lầm khi biến đổi hàm số Ví dụ 5: Tínhtíchphân 4 2 0 I x 6x 9dx      * Một học sinh đã giải như sau: 4 4 4 4 2 2 2 0 0 0 0 (x 3) 1 9 I x 6x 9dx (x 3) dx (x 3)d(x 3) 4 2 2 2                  * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Phépbiếnđổi 2 (x 3) x 3;x [0,4]     làkhôngtươngđương. * Lời giải đúng:   4 4 2 2 0 0 4 3 2 4 3 4 2 0 0 3 0 3 I x 6x 9dx (x 3) dx x 3 (x 3) 9 1 x 3d(x 3) (3 x)d(x 3) (x 3)d(x 3) 5 2 2 2 2                            * Chú ý đối với học sinh:     2n 2n f x f x      (n≥1,nnguyên)     b b 2n 2n a a f x dx f x dx         ,taphảixétdấuhàmsốf(x)trênđoan[a,b]rồidùngtính chấtđểbỏdấugiátrịtuyệtđối. 1.5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến Ví dụ 6:Tínhtíchphân 1 2 0 I 1 x dx     * Một học sinh đã giải như sau: Đặtx=sintsuyradx=costdt http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net  1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 os2 sin2 1 1 1 sin .cos . os . . ( ) sin2 2 2 4 2 4              c t t t I t t dt c t dt dt  * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhđổibiếnnhưngkhôngđổicận. * Lời giải đúng:Đặtx=sintsuyradx=cost.dt    Đổicận: x 0 t 0;x 1 t 2        2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 os2 sin2 1 sin .cos . os . . ( ) 2 2 4 4             c t t t I t t dt c t dt dt       * Chú ý đối với học sinh: Khigặp tíchphândạng b 2 2 a I c x dx    ,nếu tíchphântồn tại thìthôngthườngta tínhtíchphânbằngcáchđặtx=c.sint(hoặcx=c.cost)đổicận,chuyểnvềtínhtíchphân theot. Ví dụ 7:Tínhtíchphân 1 3 4 2 0 x I dx 1 x     * Một học sinh đã giải như sau: Đặtx=sintsuyradx=costdt.Đổicân: 1 1 x 0 t 0;x t arcsin 4 4        1 1 1 arcsin arcsin arcsin 3 3 4 4 4 3 2 0 0 0 sin t sin t I cost.dt cost.dt sin t.dt cost 1 cos t          Đếnđâyhọcsinhthườngrấtlúngtúngvìsốlẻ,dođócácemkhôngtìmrađượcđápsố. * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:khigặptíchphâncủahàmsốcóchứabiểuthức 2 1 x  thôngthườngtađặtx=sint(hoặcx=cost);nhưngđốivớivídụ7,nếulàmtheocách nàysẽgặpkhókhănkhiđổicận.Cụthểkhix=1/4takhôngtìmchínhxácđượct. * Lời giải đúng:  Đặtt= 2 2 2 t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx xdx tdt            Đổicận: 1 15 x 0 t 1;x t 4 4        15 15 15 2 3 4 4 4 2 1 1 1 (1 t )( tdt) t 15 15 15 2 33 15 2 I (1 t )dt t t 3 192 4 3 192 3                         * Chú ý đối với học sinh: khigặptíchphâncủahàmsốcóchứabiểuthức 2 1 x ,nếu câncủatíchphânlàgiátrịlượnggiáccủagócđặcbiệtthìtamớitínhtíchphânbằng cáchđặtx=sint(hoặcx=cost)cònnếukhôngthìtaphảitìmphươngphápkhác. 1.6 Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa Ví dụ 8:Tínhtíchphân 0 2 1 1 I dx x 2x 2       * Một học sinh đã giải như sau: http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net 0 0 0 2 2 1 1 1 1 1 I dx dx arctan(x 1) arctan0 arctan( 1) 4 x 2x 2 (x 1) 1                   * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:SGKhiệnhànhkhôngcungcấpcôngthức        2 1 dx arctanx c 1 x      * Lời giải đúng: 0 0 2 2 1 1 1 1 I dx dx x 2x 2 (x 1) 1            Đặtx+1=tant 2 2 1 dx dt (1 tan t)dt cos t     .Đổicận: x 0 t ;x 1 t 0 4         4 4 2 4 2 0 0 0 1 I .(1 tan t)dt dt t 4 1 tan t               * Chú ý đối với học sinh:khigặptíchphândạng b 2 2 a 1 I dx c x    ,thìtatínhtíchphânbằng cáchđặtx=c.tant(hoặcx=c.cott).Chúýcôngthức 2 2 2 2 1 1 1 tan t ;1 cot t cos t sin t     . 1.7. Hiểu sai bản chất công thức Ví dụ 9:Tínhtíchphân 2 x 0 I xe dx    *Một học sinh đã giải như sau: Đặt x x u x u' 1 v' e v e                2 2 2 x x 2 x 2 2 2 0 0 0 I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1           * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhhiểusaibảnchấtcôngthứclấytíchphântừng phần. * Lời giải đúng:Đặt x x u x du dx dv e dx v e                 2 2 2 x x 2 x 2 2 2 0 0 0 I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1            1.8.Sử dụng sai công thức Ví dụ 10. Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđườngy=9–x 2 ;y=0;x=1;x=4. *Một học sinh đã giải như sau:diệntíchhìnhphẳngcầntìmlà 4 4 3 2 1 1 x S (9 x )dx (9x ) 6 3        * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhvậndụngsaicôngthứctínhdiệntíchhình phẳng. * Lời giải đúng:diệntíchhìnhphẳngcầntìmlà http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net 3 4 4 3 4 3 4 3 3 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 1 3 x x 38 S 9 x dx 9 x dx 9 x dx (9 x )dx (x 9)dx 9x 9x 3 3 3                                  2.Một số bài tập tương tự   5 2 0 dx 1/ x 4          1 5 2 2 0 2/ x x 1 dx    2 4 0 dx 3/ cos x        1 3 x 2 3 1 x e x 3/ dx x         5 2 0 dx 5/ x 3x 2       0 6/ 1 sin2xdx      2 2 2 1 2 1 7/ x 2.dx x        3 3 2 0 8/ x 2x x.dx      3 2 2 6 9/ tan x cot x 2.dx         8 2 4 x 16 10/ dx x     5 3 2 0 2x 2x 3 11/ dx x 1         1 3 3 8 0 x dx 12/ 1 x    7 3 2 0 x dx 13/ 1 x        2 2 1 dx 14/ x 1 x   . http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 2   Mộtsốsailầmcủahọcsinhkhitínhtíchphân Bài 1:Tínhtíchphân:I=    2 2 2 )1(x dx  *Sailầmthườnggặp:I=    2 2 2 )1(x dx =     2 2 2 )1( )1( x xd =- 1 1 x 2 2 =- 3 1 -1=- 3 4  *Nguyênnhânsailầm: Hàmsốy= 2 )1( 1 x khôngxácđịnhtạix=-1   2;2 suyrahàmsốkhôngliêntụctrên   2;2 nênkhôngsửdụngđượccôngthứcNewtơn–Leibnitznhưcáchgiảitrên. *Lờigiảiđúng Hàmsốy= 2 )1( 1 x khôngxácđịnhtạix=-1   2;2 suyrahàmsốkhôngliêntụctrên   2;2 dođótíchphântrênkhôngtồntại. *Chúýđốivớihọcsinh: Khitính dxxf b a )(  cầnchúýxemhàmsốy=f(x)cóliêntụctrên   ba; không?Nếucóthì ápdụngphươngphápđãhọcđểtínhtíchphânđãchocònnếukhôngthìkếtluậnngay tíchphânnàykhôngtồntại. *Một số bài tập tương tự: Tínhcáctíchphânsau: 1/   5 0 4 )4(x dx .   2/ dxxx 2 1 3 2 2 )1(    . 3/ dx x  2 0 4 cos 1      4/ dx x xex x    1 1 3 23 .  Bài 2:Tínhtíchphân:I=    0 sin1 x dx  *Sailầmthườnggặp:Đặtt=tg 2 x thìdx= 2 1 2 t dt  ; xsin1 1  = 2 2 )1( 1 t t       x dx sin1 =   2 )1( 2 t dt =    2 )1(2 t d(t+1)= 1 2 t +c  I=    0 sin1 x dx = 1 2 2   x tg  0 = 1 2 2    tg - 10 2 tg  dotg 2  khôngxácđịnhnêntíchphântrênkhôngtồntại. *Nguyênnhânsailầm: Đặtt=tg 2 x x    ;0 tạix=  thìtg 2 x khôngcónghĩa. *Lờigiảiđúng:  http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net I=    0 sin1 x dx =                                      0 0 2 0 42 42 cos 42 2 cos1 x tg x x d x dx =tg 2 44           tg . *Chúýđốivớihọcsinh: Đốivớiphươngphápđổibiếnsốkhiđặtt=u(x)thìu(x)phảilàmộthàmsốliêntụcvà cóđạohàmliêntụctrên   ba; . *Một số bài tập tương tự: Tínhcáctíchphânsau: 1/   0 sin x dx      2/    0 cos1 x dx  Bài 3:TínhI=   4 0 2 96xx dx *Sailầmthườnggặp: I=   4 0 2 96xx dx=         4 2 9 2 1 2 3 333 4 0 4 0 2 4 0 2     x xdxdxx  *Nguyênnhânsailầm: Phépbiếnđổi   33 2  xx vớix   4;0 làkhôngtươngđương. *Lờigiảiđúng: I=   4 0 2 96xx dx =                3 0 4 3 4 0 4 0 2 3333333 xdxxdxxdxdxx  =-     5 2 1 2 9 2 3 2 3 4 3 2 3 0 2     xx . *Chúýđốivớihọcsinh:      xfxf n n  2 2    Nnn  ,1  I =      b a n n xf 2 2   dxxf b a  ta phải xét dấu hàm số f(x) trên   ba;  rồi dùng tính chất tích phântáchIthànhtổngcácphânkhôngchứadấugiátrịtuyệtđối. Một số bài tập tương tự: 1/I=    0 2sin1 x dx;   2/I=   3 0 23 2 xxx dx 3/I=         2 2 1 2 2 2 1 x x dx  4/I=   3 6 22 2cot   xgxtg dx Bài 4:TínhI=    0 1 2 22xx dx  *Sailầmthườnggặp: I=       4 011 11 1 0 1 0 1 2        arctgarctgxarctg x xd  http://boxtailieu.net Diendantoanhoc.net *Nguyênnhânsailầm: Họcsinhkhônghọckháiniệmarctgxtrongsáchgiáokhoahiệnthời. *Lờigiảiđúng: Đặtx+1=tgt   dtttgdx 2 1   vớix=-1thìt=0 vớix=0thìt= 4   KhiđóI=       4 0 4 0 4 0 2 4 1 1     tdt ttg dtttg  *Chúýđốivớihọcsinh: Cáckháiniệmarcsinx,arctgxkhôngtrìnhbàytrongsáchgiáokhoahiệnthời.Học sinhcóthểđọcthấymộtsốbàitậpápdụngkháiniệmnàytrongmộtsáchthamkhảo,vì cácsáchnàyviếttheosáchgiáokhoacũ(trướcnăm2000).Từnăm2000đếnnaydocác kháiniệmnàykhôngcótrongsáchgiáokhoanênhọcsinhkhôngđượcápdụngphương phápnàynữa.Vìvậykhigặptíchphândạng   b a dx x 2 1 1 tadùngphươngphápđổibiếnsố đặtt=tgxhoặct=cotgx;    b a dx x 2 1 1 thìđặtx=sinthoặcx=cost *Một số bài tập tương tự: 1/I=   8 4 2 16 dx x x     2/I= dx x xx    1 0 2 3 1 322  3/I=   3 1 0 8 3 1 x dxx  Bài 5: Tính:I=   4 1 0 2 3 1 dx x x  *Suyluậnsailầm:Đặtx=sint,dx=costdt     dt t t dx x x cos sin 1 3 2 3  Đổicận:vớix=0thìt=0 vớix= 4 1 thìt=? *Nguyênnhânsailầm: Khigặptíchphâncủahàmsốcóchứa 2 1 x thìthườngđặtx=sintnhưngđốivớitích phânnàysẽgặpkhókhănkhiđổicậncụthểvớix= 4 1 khôngtìmđượcchínhxáct=? *Lờigiảiđúng:Đặtt= 2 1 x  dt= xdxtdtdx x x   2 1  Đổicận:vớix=0thìt=1;vớix= 4 1 thìt= 4 15  http://boxtailieu.net [...]... phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác.  *Một số bài tập tương tự: 7 1/  tính I =  2 x3  1 x2 0 dx     2/tính I =   1 dx x x2  1     1 x2 1 dx   4 1 1  x Bài 6: tính I =   1   1 1  2  1 2 x   x  * Sai lầm thường mắc: I =   1  1  2 dx   1 1  x2   x    2 2 x x  1 1   Đặt t = x+  dt  1  2 dx   x x   1 1 Đổi cận với x =  -1 thì t = -2 ; với x =1 thì t=2;  2 2 dt 1 1  )dt =(ln t  2 -ln t  2... 1 1 2 x2 1 x  là sai vì trong   1; 1  chứa x = 0 nên không thể   * Nguyên nhân sai lầm:   4 1 1 x  x2 2 x chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được  * Lời giải đúng:   xét hàm số F(x) =  1 ln x2  x 2 1    x2  x 2  1 x2  x 2 1 x2 1 (ln 2 )  4                    F’(x) =    x 1 2 2 x  x 2 1 1 x2 1 1 x2  x 2 1 1 1 2 2 dx =  Do đó I =     ln 2 ln 1  4 1 x 2 2 x  x 2 1 2 2 2 1 2 2 1. . .1 4  I =  0 x 15 4 3 1 x2 dx = 15 4 1  t tdt  1  t dt   t  t       t 3   2 15 4 3 2 1  15 15 15  2 33 15 2    4  19 2   3  19 2  3     1 1 * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa  1  x 2  thì thường đặt x  = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+ x2 thì đặt x = tgt nhưng cần chú ý đến  cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo ... ud    1; 1; 1  u  1; 1; 1         Gọi (P) là mặt phẳng chứa (AB) và (  )   nP   AB, u    2 ;1; 1      Do  A  ( P)  nên mp(P) có phương trình (P) : 2x+y-z =1.   Lại có  M  ( P)  (d ) =>  M  (d )  M ( 1  t ;1  t ; 2)   Do M   (P) nên thay toạ độ của M vào phương trình của (P) ta có  t = 0 => M( -1; 1;-2).   Vậy M ( -1; 1;-2) thảo mãn yêu cầu của bài toán .  4 Bài toán 4:... 0 ;1 ,  D 1; 0   Suy ra  C 1; 1   Gọi  B(a;b)  vì  hai  hình  vuông  cùng  chiều nên ta suy ra D’(b;-a), C’(a+b;b-a).  Khi đó:  Đường thẳng BB’ có phương trình:  1  b  x  a  y  1  0  hay    1  b  x  ay  a   (1)   Đường thẳng CC’ có phương trình:  1  a  b  x  1   a  b  1  y  1  0  hay     a  1  b  x   a  b  1 y  2a (2)  Đường thẳng DD’ có phương trình:  a  x  1 ... http://boxtailieu.net PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản Các bài toán tính xác suất đơn giản không có nghĩa là bài toán dễ. Ở đây tôi muốn  đề cập đến các bài toán chỉ sử dụng công thức định nghĩa xác suất cổ điển mà không cần  dùng đến quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất  Bài toán 1 Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6 thẻ. Lấy ... vị trên các trục bằng độ dài của một trong hai cạnh góc vuông. Bằng cách chọn như vậy,  các tham số được giảm tối đa có thể. Và dạng hình này cũng là dạng áp dụng thuận lợi  nhất phương pháp tọa độ trong mặt phẳng này.  y B(0 ;1) A y y B(0;b) C (1; 1) D (1; 0) x A C(0;c) C (1; b) D (1; 0) A x x B (1; 0)         Đối với các bài toán có chứa tam giác đều, tam giác cân, tam giác thường. Ta có  thể xây dựng  một hệ trục bằng cách dựa vào đường cao. Cụ thể, ta dựng đường cao từ ...                           z =  -1- 2t                => t = -2 => M (1; 2;3).                            x+2y-2z +1= 0            Vậy M (1; 2;3) là điểm thoả mãn yêu cầu bài ra .  2.6 Bài tập - Đáp án Bài 1 : (Đề 97-Va )            Tìm  trên  trục  hoành  điểm  P  sao  cho  tổng  các khoảng  cách  từ  P  đến  hai  điểm  A (1; 2) và B(3;4) là nhỏ nhất.   Bài 2 :  Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các  vuông góc  Oxy,cho đường thẳng (d) có ... gặp  các bài  toán chứng  minh  bất  đẳng  thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai có thể đưa về  tổng của các bình phương.  Ví dụ 1:  Chứng minh rằng:                a 2  a  1 + a 2  a  1  2   (1)  với mọi a thuộc R.  * Hướng giải quyết bài toán:     Bài toán này nếu đơn thuần chỉ sử dụng việc chứng minh BĐT thông thường thì sẻ  rất khó đối với hs, vì bài toán có hai căn bậc hai nên việc biến đổi sẻ rất khó. Nhưng nếu ... tích 11 ) Phân tích: Đây tuy là một bài toán xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài toán đếm trong tổ  hợp. Đó là tập hợp của các bài toán tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:  (1) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang   ( Đáp số:   cách).  (2) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng ngang, biết  rằng nam nữ ngồi cạnh nhau,   ( Đáp số:   cách).  . tdt            Đổicận: 1 15 x 0 t 1; x t 4 4        15 15 15 2 3 4 4 4 2 1 1 1 (1 t )( tdt) t 15 15 15 2 33 15 2 I (1 t )dt t t 3 19 2 4 3 19 2 3               .                    1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 dx x x x x x x  Đặtt=x+ dx x dt x        2 1 1 1  Đổicậnvớix= -1 thìt=-2;vớix =1 thìt=2; I=    2 2 2 2t dt = dt tt ) 2 1 2 1 ( 2 2      =(ln 2t -ln 2t ) 2 2 2 2 2 2 ln     t t  =ln 22 22 ln2 22 22 ln 22 22          *Nguyênnhânsailầm: 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1 x x x x x      làsaivìtrong .                      4 15 1 4 15 1 4 15 1 3 2 2 3 2 19 2 15 33 3 2 19 2 15 15 4 15 3 1 1 t tdtt t tdtt  *Chúýđốivớihọcsinh:Khigặptíchphâncủahàmsốcóchứa 2 1 x thìthườngđặtx =sinthoặcgặptíchphâncủahàmsốcóchứa 1+ x 2 thìđặtx=tgtnhưngcầnchúýđến cậncủatíchphânđónếucậnlàgiátrịlượnggiáccủagócđặcbiệtthìmớilàmđượctheo phươngphápnàycònnếukhôngthìphảinghĩđếnphươngphápkhác. *Một