Bồi dưỡng HSG - Hình bình hành

Cho tam giác đều ABC, điểm D thuộc cạnh BC, gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, F là điểm đối xứng với D qua AC vẽ hình bình hành EDFG.. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.. HƯỚNG

HÌNH BÌNH HÀNH

Bài 1 Cho tam giác đều ABC, điểm D thuộc cạnh BC, gọi E là điểm đối xứng với D qua

AB, F là điểm đối xứng với D qua AC vẽ hình bình hành EDFG Chứng minh rằng AG//BC

Hướng dẫn AG//BC  tam giác AGH cân  AH = AG  tam giác AHD = tam giác AGF(c-g-c)

Bài 2 Cho tứ giác ABCD, gọi E, F là trung điểm của AB và CD; M, N, P, Q lần lượt là

trung điểm của các đoạn AF, CE, BF và DE Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành

HƯỚNG DẪN

EPFM; FNEQ là các hình bình hành

=> Tứ giác MNPQ có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc được chéo AC sao cho AE =

EF = FC Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB Chứng minh rằng:

a M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB

b EMFN là hình bình hành

(HS tự chứng minh)

Bài 4 Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB Kẻ CE vuông góc với AB Gọi M là trung điểm của AD, nối EM, kẻ MF vuông góc với CE; MF cắt BC tại N

a Tứ giác MNCD là hình gì ?

b Tam giác EMC là tam giác gì ?

c Chứng minh rằng BAD = 2∧ AEM∧

(HS tự CM)

Bài 5 Chứng minh rằng tứ giác có tổng các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh

đối diện bằng nửa chu vi của nó thì tứ giác là hình bình hành

Hướng dẫn

HF <= HK+KF =AB+CD)/2

Bài 6 Cho hình thang vuông ABCD, có A = ∧ B = 90∧ o và AD = 2BC Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD) Gọi I là trung điểm của HD

Chứng minh rằng: CI ⊥ AI

Hướng dẫn

Tứ giác AGIJ, BCIJ là hình bình hành

BJ vuông góc với AI => CI vuông góc với AI

6 Chứng minh rằng: "Trong một tứ giác lồi, các đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện và đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo đồng qui tại một điểm"

Hướng dẫn

Chứng minh là giao điểm của các đường chéo của hình bình hành

7 Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm các đoạn OA, OB, OC

Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng qui

(HS Tự chứng minh)