Đang tải... (xem toàn văn)
Cho tam gi¸c ABC cã c¸c trung tuyÕn BM vµ CN vu«ng gãc víi nhau.. TÝnh chÊt ®èi xøng cña ®êng trßn ...[r]
(1)Bài tập bồi dỡng HSG chơng I - h×nh häc 9
Chủ đề : Hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông A Kiến thức : Vận dụng hệ thức tam giác vng
B Bµi tËp vËn dơng
Bài Cho hình thang ABCD có đờng cao AD = 12cm Hai đờng chéo AC BD vuông góc với , BD = 15cm Tính diện tớch hỡnh thang ABCD
Bài Cho tam giác ABC vuông A
1) Biết hai trung tuyến AM = 3cm , BN = 4cm TÝnh c¸c cạnh tam giác ABC
2) Bit AB = a , hai đờng trung tuyến AM , BN vuông góc với Tính hai cạnh AC, BC theo a
3) Biết BC = 2a , BM, CN hai trung tuyến Tình MB2 + MC2 theo a, từ tìm GTLN MB + MC theo a.
Bài Cho tam giác ABC vuông A ,đờng cao AH Gọi HE, HF lần lợt đờng cao tam giác AHB tam giác AHC
1) Chøng minh BC2 = AH2 + BE2 + CF2
2) Cho BC = 2a khơng đổi Tìm giá trị nhỏ BE2 + CF2.
3) Chøng minh : BE2 BH3 BC
TÝnh theo a giá trị 3BE23CF2
Bi Cho tam giỏc ABC vuông A , đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu vng góc H lên AB, AC Đặt AH = x , BC = 2a ( a không đổi )
1) Chứng minh : AH = BC.BE.CF = BC HE HF3 Tính SAEF theo a x Tính x để SAEF đạt giá trị lớn
Bµi Cho hình vuông ABCD điểm M thuộc cạnh BC AM cắt DC N Chứng minh r»ng: 12 = 2 + 12
AB AM AN
Bài Cho hình thoi ABCD , đờng cao AH Cho biết AC = m ; BD = n AH = h Chớng minh : 12 = 12 + 12
h m n
Bài Cho tam giác ABC cân A , AH BK hai đờng cao Chứng minh : 12 = 12+ 2
BK BC 4AH
Bài , Cho tam giác ABC nhọn , BD CE hai đờng cao cắt H Các điểm M N nằm đờng thẳng HB HC cho AMC = ANB = 90 Chứng minh AM = AN
Bài Cho tam giác ABC nhọn , AH đờng cao , trung tuyến AM Chứng minh : a BC) AB2AC2 2AB AH.
b) 2 2 2
2 BC
AM AB AC
Bài 10 Cho hình thoi ABCD có A 120
tia Ax t¹o víi tia AB góc 150 cắt cạnh BC
M , cắt đờng thẳng CD N
Chøng minh r»ng : 12 + 12 2
AM AN 3AB
Chủ đề 2 : Tỉ số lợng giác góc nhọn tam giác vng
A KiÕn thøc gåm :
- TØ sè lỵng giác góc nhọn, hệ thức cạnh góc tam giác vuông - Tỉ số lợng giác hai gãc phô
- Một số hệ thức lợng giác , bảng lợng giác đặc biệt
(2)Bài Cho tam giác ABC nhọn , BC = a , AB = c , AC = b Chøng minh r»ng :
sin sin sin
a b c
A B C
Bài Cho tam giác ABC nhọn BC = a , AB = c , AC = b Chøng minh r»ng : a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
Bµi Cho tam gi¸c ABC cã c¸c trung tuyÕn BM CN vuông góc với Chứng minh : cotgB + cotg C
3
Bài Cho tam giác ABC vuông A, BC = a , AB = c , AC = b Chøng minh :
2 2
2 ) ) l =
( )
a
b b c
a tgB b
a c b c
( la độ dài đờng phân giác  )
Bµi Chøng minh r»ng :
2
) cos cos sin b) sin2 2sin cos
a
( XÐt tam giác ABC cân A có A 2 )
Bài Không dùng máy tính bỏ túi bảng số HÃy tính sin300 , cos300 , sin 150 , cos150.
Bài Cho tam giác ABC nhọn , đờng cao AD, BE , CF Chứng minh : DEF cos2 cos2 cos2
ABC S
A B C
S
Bài Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b, BC = a Chøng minh r»ng :
a) sin A b) sin A.sin B.sin C
2 2 2
a bc
Bµi Cho tam giác ABC vuông A , AD phân giác ( AB < AC ) Chứng minh : + =
AB AC AD
Bài Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh 4cm Gọi M, N lần lợt trung điểm AB , AC Nối CM vad DN cắt P
a) Chøng minh CM DN
b) TÝnh tØ số lợng giác góc CMN c) Tính diện tich tam giác MDN
Bài 10.Cho tam giác ABC vuông t¹i A Chøng minh r»ng : a) sin 2011B + cosB 5
4
b) sin 2009B + cos 2009 B < 1
Bài tập bồi dỡng HSG chơng Ii - h×nh häc 9
Chủ đề 1 Sự xác định đờng trịn Liên hệ đờng kính dây đờng tròn Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây.
A KiÕn thøc :
1.Định nghĩa , xác định đờng tròn 2.Vị trí điểm đờng trịn So sánh độ dài đờng kính dây
Quan hệ vng góc giũa đờng kính dây
B Bµi tËp
Chủ đề đờng tròn
(3)Bài 1 Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB Hai dây AC BD cắt H Chứng minh : AH AC + BH BD = AB2
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đờng trịn (O ; R) Gọi H trực tâm tam giác ABC Vẽ đờng kính AF (O)
a) Chøng minh BH // FC
b) Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành
c) Vẽ OM vuông góc với BC M Chứng minh H, M, F thẳng hàng d) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh : SAHG =2SAGO
Bài 3 Cho hình thoi ABCD cạnh a Gọi R r lần lợt hai bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABD ABC
Chøng minh r»ng : 12 12 42 R r a
Bài 4 Cho hình vng ABCD cạnh a , gọi E F hai điểm di động cạnh AB AD cho AE + EF + AF = 2a Gọi H hình chiếu vng góc C EF
a) Chứng minh H thuộc đờng tròn cố định
b) Tìm vị trí E, F cho diện tích tam gi¸c CEF lín nhÊt
Bài 5 Chứng minh tam giác , chín điểm gồm trung điểm ba cạnh , chân ờng cao , trung điểm đoạn thẳng nối từ đỉnh tam giác đến trực tâm thuộc đ-ờng tròn ( Đờng tròn Euler)
Bài 6. Trong mặt phẳng cho 2011 điểm ba điểm tìm đợc hai điểm có khoảng cách chúng bé Chứng minh rắng tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 1006 điểm
II Đờng kính dây đờng tròn.
Bài 1 Cho nửa đờng trịn (O) , đờng kính AB dây CD Vẽ AP BS vng góc với CD ( P , S thuộc CD ) Chứng minh rắng :
a) P S nằm đờng tròn tâm (O) b) PC = DS
c) SAPSB = S ACB +S ADB
Bài 2 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB dây CD quay xung quanh điểm I cố định nằm (O) ( I khác O )
a) Chøng minh P, S nằm (O) b) So sánh PC vµ DS
c) Xác định vị trí dây CD để AP + BS đạt giá trị lớn d) Xác định vị trí dây CD để dây CD ngắn
Bài 3 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB , dây CD cắt đờng kính I Gọi H, K lần lợt hình chiếu A, B dây CD Chứng minh CH = DK
Bài 4 Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB dây CD Qua C D kẻ CH DK vng góc với CD cắt đờng kính AB lần lợt H K Gọi I trung điểm CD
a) Chøng minh AH = BK
b) SHCD + S KCD = CD OI
Bài 5 Cho đờng tròn (O ; R ) Các điểm A, B, C, D thuộc (O ; R ) Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ABCD
Bài Cho đờng tròn (O ; R ) Gọi A điểm nằm (O ; R ) Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) B , C
Xác định vị trí d để AB + AC lớn
Bài 7 Cho hình vng ABCD , AC cắt BD O Gọi M N trung điểm OA BC Chứng minh điểm C, M, N , D nằm đờng tròn DN > MC
Bài 8.Cho đờng trịn tâm O bán bính R điểm P cố định nằm bên đờng tròn (O) với OP = a < R Lấy hai điểm A, B di động đờng tròn (O ; R ) cho APB 900
VÏ OM vµ PH
vu«ng gãc víi AB
a) TÝnh MP 2+ MO2 vµ HP2 + HO2 theo R
b) Gọi I trung điểm OP TÝnh IM
(4)thay đổi nhng ln vng góc với P a) Chứng minh : AC2 + BD2 không đổi
b) Xác định vị trí AC BD cho diện tích tứ giác ABCD lớn
Bài 10 Cho hình vng OAPQ Trên cạnh PQ PA lần lợt lấy điểm E F di động cho QE + AF = EF Vẽ đờng thẳng qua O vng góc với OE cắt đờng thẳng AP G
1) Chøng minh : OQEOAG
2) Kẻ OH vng góc với EF H Chứng minh H ln nằm đờng trịn cố định 3) Đờng thẳng EF cắt đờng thẳng AO D Chứng minh đờng phân giác góc OED vng góc với OE
4) Chøng minh EOF = 45
Bài 11 Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi O giao điểm hai đờngchéo Lấy điểm E, F , G, H cạnh AB , BC , CD , DA tơng ứng cho AE = BF = CG = DH = x ( x< a ) Chứng minh điểm E, F , G , H thuộc đờng tròn tâm O
Chøng minh tø giác EFGH hình vuông
Tính diện tích hình vuông EFGH theo a x Tìm vị trí E cạnh AB cho diƯn tÝch Êy nhá nhÊt
Bµi 12 Cho (O ; R ) hai dây bẳng AB CD Biết AB vuông góc với CD I IA = 1cm , IB = cm TÝnh b¸n kÝnh R
III Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đên dây
Bài Cho đờng tròn tâm O hai dây AB = CD Gọi OH , OK lần lơt khoảng cách từ tâm O đến AB CD Chứng minh : a) AH = CK b) OH = OK
Bài Cho đờng tròn (O) , điểm A nằm bên đờng tròn Vẽ dây BC vng góc với OA A Vẽ dây EF qua A khơng vng góc với OA So sánh độ dài hai dây BC EF
Bài Cho đờng tròn tâm O hai dây AB = CD Gọi H trung điểm AB , K trung điểm CD Kéo dài AB CD cắt P So sánh PH PK
Bài Cho điểm A cố định bên (O ; R ) ( A khác O ) dây BC quay quanh A Xác định vị trí dây cung BC để dây BC ngắn
Chủ đề 2 : Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng trịn Tiếp tuyến đờng trịn , Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
A KiÕn thøc cÇn nhí
1 Ba vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn , hệ thức liên hệ d R Tiếp tuyến đờng trịn , tính chất tiếp tuyến
3 DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tun C¸ch vÏ tiÕp tuyÕn
5 TÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t
6 Đờng trịn nội tiếp tam giác , tam giác ngoại tiếp đờng tròn , đờng tròn bàng tiếp
B Bµi tËp
I Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn.
Bài Cho đờng tròn (O ; R ) đờng thẳng d không giao A điểm (O) Xác định điểm A để khoảng cách từ A đến đờng thẳng d lớn
(5)