Tài liệu bồi dưỡng HSG hình học 8

TI LIU BI DNG HSG TON 8_ST cú th s dng bi dng cp trng, ti liu khụng chia thnh cỏc chuyờn m c phõn b theo chng trỡnh ca sỏch giỏo khoa . Tuy vy, khi manh mỳn, cỏc ni dung c trỡnh by theo ch kin thc ch khụng theo tng bi . Ni dung hỡnh hc 8 c ti liu phõn thnh sỏu ch sau : I. T giỏc, hỡnh thang. II. Hỡnh bỡnh hnh . III. Hỡnh ch nht, hỡnh thoi, hỡnh vuụng . IV. i xng trc, i xng tõm . V. nh lý Thalet v tam giỏc ng dng . VI. H thc lng trong tam giỏc - nh lý Pitago. Vi mi ch kin thc bi tp c phõn thnh sỏu loi c bn : 1. Bi tp v v trớ tng i ca im, ng thng . - Chng minh thng hng . - Chng minh song song, vuụng gúc . . . - Chng minh ng quy. 2. Bi tp v chng minh bng nhau . - Chng minh s bng nhau ca gúc, on thng . - Chng minh mt tam giỏc l cõn, u. Mt t giỏc l hỡnh thang cõn ,hỡnh bỡnh hnh, hỡnh thoi, hỡnh vuụng . . . . 3. Bi tp tớnh toỏn . - Tớnh s o gúc, di on thng, cỏc bi toỏn v din tớch . 4. Bi tp v qu tớch , dng hỡnh . 5. Bi toỏn cc tr hỡnh hc . - Bi toỏn v bt ng thc, Xỏc nh hỡnh hỡnh hc mt i lng no ú t giỏ tr ln nht, nh nht . 6. Cỏc bi toỏn tng hp . Cú l tp ti liu cha ỏp ng mt cỏch y nhng yờu cu ca quớ thy giỏo, cụ giỏo. B phn chuyờn mụn Phũng GD&T Qu Sn rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp chõn thnh cú th sa cha b sung nhng gỡ cũn thiu sút. Hy vng tp ti liu giỳp ớch phn no ú trong cụng tỏc bi dng hc sinh gii b mụn Toỏn ca quý thy cụ. I. Tứ giác, hình thang : 1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng . 1 Bài toán 1a : Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC và AD . Hai đờng phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K. Chứng minh C,D,K thẳng hàng . HD : Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC .Dễ dàng chứng minh đợc DAK cân tại D. Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA BK là phân giác của góc B . Đpcm. TIP : Bài này có thể c/m theo hớng : - Gọi K là giao điểm của hai phân giác các góc A và B . C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm . Bài toán 1b : Cho tứ giác ABCD. Gọi ABCD theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng các đờng thẳng AA, BB, CC,DD đồng quy . HD : Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung điểm của AC . - Tam giác CAA có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA. - Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A của FJ và // với EJ nên AA qua trung điểm I của FE. - Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB, CC,DD qua I - Các đờng thẳng trên đồng quy tại I . 2. Bài tập về chứng minh bằng nhau . Bài toán 2a : Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh A. M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . Chứng minh rằng tứ giác NMPH là hình thang cân . HD : - MNHP là hình thang 2 A B KD C B C A H P M N D C A B F A J E I - MP = AC/2 ( Đờng TB ) - HN = AC/2 ( Đờng TT ) đpcm Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần lợt là trung điểm của AB và DC. Đờng thẳng AD cắt đờng thẳng MN tại E. Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN tại F. Chứng minh AEM = BFM . HD : - Gọi I là trung điểm của BD. - Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2). - IM // DE và IN //CF đpcm . 3. Bài tập tính toán . Bài toán 3a : Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh AB và DC kéo dài cắt nhau tại M. Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt nhau tại K . Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác . HD : Trong tam giác MKE đợc MKE = 180 0 - (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 180 0 - D . KMD = (180 0 - C - B)/2 KED = (180 0 -A-B)/2 Thay vào ta đợc : MKE = 180 0 -((180 0 -C-B +180 0 -A-B )/2 +180 0 -D) = (360 0 -360 0 +A+C+2B - 360 0 +2D)/2 = (A+B+C+D+B+D-360 0 )/2= (B+D)/2 3 D N C A B E F M I M K A EB C D Bài toán 3b : Cho hình thang ABCD. M,N lần lợt là trung điểm của hai đáy AD và BC. O là điểm thuộc MN. Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang . Đờng thẳng này cắt AB,CD lần lợt tại E,F. Chứng minh rằng OE=OF . HD : Chứng minh S BNMA = S NCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ). Chứng minh S BEN =S NFC và S EAM = S FMD để đợc S EMN =S FMN Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác OE =OF 4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình . Bài toán 4a : Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau . Phân tích : Giả sử AM là đờng thẳng cần dựng . Lấy điểm E đối xứng với D qua M. AE cắt BC tại I . Có : S ADM = S ABCM = S AME => S ABI = S CEI S ABC = S EBC => BE// AC. Cách dựng : - Dựng đờng chéo AC. - Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC tại E. - Lấy M là trung điểm của DE. - AM là đờng thẳng cần dựng . TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tơng đơng ( có diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng trung tuyến của tam giác . Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên . Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD . I là điểm bất kỳ của AB . Qua I hãy dựng đờng thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau . 4 A B C D M E I A D E B C F I J B C A D E F N M O H I Phân tích : Giả sử đã dựng đợc IJ . Sử dụng phơng pháp biến đổi về tam giác tơng đơng .Ta có các bớc phân tích : Xác định điểm F trên tia DC sao cho S IJCB = S IJF . Lúc đó S BIC = S FIC .Suy ra BF//IC . Xác định điểm E trên tia CD sao cho S IJAD = S IJE . Lúc đó S AID = S EID .Suy ra AE//ID . Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF . Cách dựng : - Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đờng thẳng song song với IC cắt DC tại F. - Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đờng thẳng cần dựng . 5. Bài toán cực trị hình học . Bài toán 5a : Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất . Giải : Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo . M O thì MA +MB +MC+MD đạt giá trị nhỏ nhất . Thật vậy, M O ta có : MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD . Với M bất kỳ trong tứ giác ta có : MA +MC AC MB + MD BD MA +MB +MC +MD AC + BD. MA +MB +MC +MD nhỏ nhất lúc M O D Cách 2 : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC AC . C Dấu = xảy ra lúc M[AC] M O Với ba điểm M; B; D có MB + MD BD . Dấu = xảy ra lúc M [BD] MA + MB +MC +MD AC + BD A B Dấu = xảy ra lúc M[AC] và M[BD] M O ( Với O là giao điểm hai đờng chéo ) . Bài toán 5b : Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác lồi không lớn hơn nửa tổng hai cạnh còn lại . 5 Giải : Gọi I là trung điểm của AC ta có : C MI = BC / 2 B IN = AD / 2 I MI + IN = ( BC +AD)/ 2 M N Lại có với ba điểm M,I,N thì MI + IN MN MN (BC + AD) / 2 =>đpcm . A D II. Hình bình hành : 1. Các bài toán về vị trí tơng đối : Bài toán 1a : Cho tam giác ABC . O là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Gọi D,E,F lần lợt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA và L,M,N lần lợc là trung điểm của OA,OB,OC . Chứng minh EL, FM, DN đồng quy . Giải : Dựa vào tính chất của đờng trung bình chứng minh các tứ giác LFEM , NEDL là hình bình hành . đpcm Bài toán 1b : Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đờng cao đồng quy . HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực trong một tam giác đồng quy bằng cách dựa vào tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng . - Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh đối diện . Các đờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP . - Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đờng trung trực của MN . - Tam giác MNP nhận các đờng cao của tam giác ABC làm các đờng trung trực . 6 A B C D E F A B C M L N N P O H M - Các đờng trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đờng cao của tam giác ABC đồng quy . 2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau : Bài toán 2a: Cho tứ giác ABCD. E,F lần lợt là trung điểm của AB, CD. M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh rằng MN = PQ . HD : Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đ- ờng ( Chính là trung điểm của EF ). Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD .Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ; G là đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hành CABH . a. Chứng minh BD // GH . b. Chứng minh HD = 2EF . HD : a. BDGH là hình bình hành do BH và DG cùng song song và bằng AC =>đpcm . b. Gọi I,J lần lợt là trung điểm của CD và CH . Chứng minh EIJF là hình bình hành => đpcm. 3. Các bài tập tính toán : Bài toán 3a : 7 A B C D E F M N P Q D A E F C H G B J I Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75 0 và O là giao đIểm hai đờng chéo . Từ D hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC . (E thuộc AB, F thuộc BC ) . Tính góc EOF . Có O là trung điểm của DB . Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ). EOD = 2EBO ( Vì EOB cân tại O ). DOF = 2FBO ( Vì FOB cân tại O ) Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF . Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.75 0 = 150 0 . Bài toán 3b : Cho tam giác đều ABC. Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lợt tại D và E . Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính số đo các góc của tam giác GIB . HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE tại K. - Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC . - Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau . - Từ đó có đợc GIB =90 0 và BGI = BGK/2 = DGE/2 - Có DGE = 120 0 ( Do ADE đều ) nên BGI = 60 0 và GBI = 30 0 . 4. Các bài toán quỹ tích, dựng hình Bài toán 4a : Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho DA=CE. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trên cạnh AB . 8 A B C D E F O B C A K I G D E Bài toán 4b : Cho góc nhọn xAy và O là điểm thuộc miền trong của góc . Dựng trên Ax điểm M và trên Ay điểm N để : a. O là trung điểm của MN . b. OM =2ON. Giải : a. C 1 :( Dựa vào kiến thức về hình bình hành ) Phân tích : Gọi O là điểm đối xứng của A qua O . Khi O là trung điểm của MN thì tứ giác AMON là hình bình hành . Cách dựng : - Dựng O đối xứng với A qua O. - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại M - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay tại N C 2 :( Dựa vào kiến thức về đờng trung bình ) Phân tích : Khi O là trung điểm của MN thì đờng thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt Ax tại trung điểm của AN . Cách dựng : - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O 1 . Trên tia Ax dựng M sao cho O 1 là trung điểm của AM. - Tơng tự trong cách dựng N . b. (x) 9 A O M N A O M N O A B C E D I x y D N 1 (y) HD : Xem O là trọng tâm của tam giác => xác định đợc D là chân đờng trung tuyến xuất phát từ A => Quy về bài toán 3a để giải . 5. Các bài toán cực trị : Bài toán 5a : Cho tam giác ABC có AM là đờng trung tuyến . Chứng minh rằng : AB + AC 2AM . Giải : Lấy A 1 là điểm đối xứng của A qua M ta có : A ABA 1 C là hình bình hành . BA 1 = AC và AA 1 = 2AM AB +AC = AB + BA 1 . B C Lại có : AB + BA 1 > AA 1 M AB + AC > AA 1 =2AM => đpcm A 1 Bài toán 5b : Chứng minh rằng, trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ hơn thì lớn hơn . A M N B I H C D Kẻ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC) Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND. MN = BI =CD . Giả sử AB <AC => NI <NC => HI <HC ( Quan hệ hình chiếu đờng xiên ) HI + IB < HC + CD => HB < HD NB < ND => NB < MC . Bài toán 5c : Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến Q nhỏ nhất . 10 P Q N M P [...]...HD : Dựng hình bình hành NMPP ta đợc : PM + MN + NQ = PP + PN + NQ Do PP = const Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì PN +NQ nhỏ nhất P,N,Q thẳng hàng Dễ dàng suy ra cách dựng II Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông : 1 Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M là trung điểm... (O1M +O2N)/2 = (AC + CB)/ 4 =const A M J C NB I di chuyển trên phần đờng thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4 14 Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình vuông) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có chu vi nhỏ nhất Giải : B N C Gọi E,F,G lần lợt là trung điểm của MN; NQ; PQ ta có : MN = 2BE... là hình vuông cần dựng TIP : Thay đổi việc cho các điểm M,N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập này Bài toán 4b : Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên đoạn thẳng đó Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACDE và CBGH Các hình vuông này có tâm lần l ợt là O1,O2 Tìm quỹ tích trung điểm I của O1O2 khi C chạy trên AB HD : E D Hạ O1M,IJ,O2N vuông G góc với AB I H O1 O1MNO2 là hình. .. FC/2 - Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H Hay góc FHC = 90 0 13 4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình Bài tập 4a : Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh AD và điểm N thuộc cạnh BC A - E - M B N O N M D F - C HD : Phân tích : Giả sử hình đã dựng đợc ta có : - Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M) - Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N)... điểm P và hình chữ nhật BCC1B2 có : PC12 = PC2 + PB22 -PB2 = PC2 + PB 12 -PB 2 (1) - Xét điểm P và hình chữ nhật ACC2A2 có : PC22 = PC2 + PA22 -PA2 = PC2 + PA12 -PA2 (2) Trừ (1) cho (2) đợc : PC12 - PC22 = PB12 + PA2 - PB2 - PA12 = 0 ( Do quan hệ điểm P với HCN ABB 1A1 ) 29 PC1 = PC2 => P thuộc trung trực của C1C2 => đpcm 3 Bài tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình vuông có cạnh a Qua tâm hình vuông... D HD : - Kẻ MI // AB ( I thuộc BH ) - Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK - Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM MK vuông góc với BM Bài toán 1b : Cho tam giác ABC có AD là đờng cao Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABEF và ACGH Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy I H F A E B 11 D G C HD: Dựng hình bình hành FAHI Chứng minh hai tam giác ABC và HIA bằng... giác vuông tại A M là điểm bất kỳ thuộc BC D,E lần lợt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất A Giải : Tứ giác ADME là hình chữ nhật DE = AM D E B M C a Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC b Để DE lớn nhất Nếu AB >AC thì M B Nếu AC >AB thì M C Nếu AB =AC thì M B hoặc M C Bài toán 5c : Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB Đờng vuông... điểm bất kỳ trên AB Vẽ các hình vuông ACDE; CBFG Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá trị nhỏ nhất G F Giải : Đặt AC = x => CB = a-x SACDE + SCBFG = x2 + (a-x)2 = 2(x -a/2)2 + a2/2 a2/2 Dấu = xảy ra lúc x =a/2 E D A C B C là trung điểm của AB 6 Các bài toán tổng hợp Bài toán 1b : Cho tam giác ABC Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABGH , ACEF và... giác của góc MOz 4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình Bài toán 4a : Một con kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía con kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến N bằng đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q) Q d M P 18 N P HD : PT : - Giả sử dựng đợc P Gọi P là đỉnh thứ t của hình bình hành PNMP Lúc đó PN = PM => PM=MQ =>... EKD Tam giác EDK cân tại E ED = EK DE = EK = AE + KC đpcm ) Bài toán 3b : Cho hình vuông ABCD Lấy các điểm E,F thứ tự thuộc các cạnh AD,AB sao cho AE=AF Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE Tính góc CHF F A E D B O H K C HD : Gọi K là giao điểm của AH với DC O là giao điểm của BK và FC - Chứng minh đợc FBCK là hình chữ nhật - Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2 . MKE đợc MKE = 180 0 - (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 180 0 - D . KMD = ( 180 0 - C - B)/2 KED = ( 180 0 -A-B)/2 Thay vào ta đợc : MKE = 180 0 -(( 180 0 -C-B + 180 0 -A-B )/2 + 180 0 -D) = (360 0 . A B C DE GH O 1 O 2 I J M N Bài toán cực trị hình học . Bài toán 5a : Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình vuông). Tìm điều kiện của tứ giác. Bài tập về quỹ tích , dựng hình . Bài tập 4a : Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh AD và điểm N thuộc cạnh BC . HD : Phân tích : Giả sử hình đã dựng đợc ta có : -