Bài toán 1a :
Chứng minh rằng trong một tam giác bình phơng cạnh đối diện góc nhọn bằng tổng bình phơng hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh còn lại trên nó .
Chứng minh :
Giả sử A là góc nhọn . Gọi AH là hình chiếu của cạnh AC trên cạnh AB . Cần chứng minh :
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AH - Tam giác vuông CHB có :
BC2 = CH2 + HB2 (1) - Tam giác vuông CHA có :
CH2 = AC2 - HA2 (2) - Do góc A nhọn nên H nằm giữa AB , có : HB = AB-HA HB2 = AB2 + HA2 - 2AB.HA (3) Thay (2) và (3) vào (1) đợc đpcm Bài toán 1b :
Chứng minh rằng trong một tam giác bình phơng cạnh đối diện góc tù bằng tổng bình phơng hai cạnh kia cộng đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh còn lại trên nó .
Chứng minh :
Hoàn toàn giống bài toán 1a với chú ý : Do góc A tù nên A nằm giữa BH
Có
HB = AB + HA
HB2 = AB2 + HA2 + 2AB.HA
Bài toán 1c (Định lý về đờng trung tuyến ) :
Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến , AH là đờng cao. Chứng minh hệ thức : AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2/2
Chứng minh :
Giả sử : AMB < 900 => AMC > 900 .
A C C H B A C H B A RB RC BQ CN= PAPB AN BQ= RB RC PA PB. NC NA. BQCN AN BQ. NC NA.
AB2 = MB2 +MA2 -2BM.MH (1) Tam giác MAC có :
AC2 = MC2 + MA2 - 2MC.MH (2)
Cộng (1) và (2) với chú ý MB =MC =BC/2 ta đợc đpcm .