Đề thi chọn HSG lớp 6 Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề này gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1(2 điểm)
Tính tổng:
2450
1 2352
1
20
1 12
1 6
1 2
1
S
Câu 2 (2 điểm)
Tính tích sau:
100
1 1 99
1 1
5
1 1 4
1 1 3
1 1 2
1 1
P
Câu 3 (4 điểm)
Cho biểu thức:
M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3+ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Câu 4 (3 điểm):
Khi viết liền nhau hai số 22008 và 52008 dới dạng hệ thập phân ta đợc số có bao nhiêu chữ số?
Câu 5 (5 điểm)
a)Tính:
A = 2100- 299- 298- 297 - …+ 3 - 22 - 2 – 1
b) Tìm x biết:
3 1
2x
Câu 6 (4 điểm)
Cho C= 1.2+2.3+3.4+…+ 3+99.100
a) Tính giá trị của biểu thức C?
b) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức:
D = 22+42+62+…+ 3+982
Hết
Hớng Dẫn Chấm Đề thi chọn HSG lớp 6
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
Câu 1(2 điểm)
Tính tổng:
Mã ký hiệu
Đ01T-08-HSG6
Mã ký hiệu
HD01T-08-HSG6
Trang 21 2352
1
20
1 12
1
6
1
2
1
S
50 49
1 49 48
1
4 3
1 3
.
2
1
2
.
1
1
S
50
1 49
1
4
1 3
1 3
1 2
1
2
1
1
1
S
50
1
1
S
50
49
S
Câu 2 (2 điểm) Tính tích:
100
1 1 99
1 1
5
1 1 4
1 1 3
1 1
2
1
1
P
100
99 99
98
5
4
4
3
.
3
2
.
2
1
P
100 99
5
.
4
.
3
.
2
99 98
4
.
3
.
2
.
1
P
100
1
P
Câu 3 (4 điểm)
Cho biểu thức:
M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3+ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Giải:
a) (2 điểm)
M = 1 +3 + 32+ +…+ 3+ 3118 + 3119
3M = 3.(1 +3 + 32+ +…+ 3+ 3118 + 3119 )
= 3 + 32 +…+ 3+ 3119 + 3120
3M- M =(3 + 32 +…+ 3+ 3119 + 3120 ) - (1 +3 + 32+ +…+ 3+ 3118 + 3119 )
2M = 3120 – 1
2
1
3 120
M
b) (2 điểm)
M = 1 +3 + 32+ +…+ 3+ 3118 + 3119
= (1 +3 + 32)+( 33+34+35)+…+ 3+(3117 +3118+ 3119 )
= (1 +3 + 32)+33(1 +3 + 32)+…+ 3+3117(1 +3 + 32)
= 13 + 33.13 + …+ 3+ 3117 13
= 13( 1+ 33 +…+ 3+ 3117)
Vậy M chia hết cho 13
M = 1 +3 + 32+ +…+ 3+ 3118 + 3119
= (1 +3 + 32+33) +(34+35+36+37) +…+ 3 +( 3116+3117 +3118+ 3119 )
= (1 +3 + 32+33)+34(1 +3 + 32+33)+…+ 3+3116(1 +3 + 32+33)
= 40 + 34.40 +…+ 3+3116.40
= 40(1+34+…+ 3+ 3116)
Vậy M 40, mà 40 5 nên M 5
Câu 4 (3 điểm)
Khi viết liền nhau hai số 22008 và 52008 dới dạng hệ thập phân ta
đ-ợc số có bao nhiêu chữ số?
Giả sử số 22008, 52008 khi viết dới dạng thập phân có x, y chữ số (x,
y > 0, x,yN)
Ta có 10x < 22008 < 10x+1
10y < 52008 < 10y+1
Do đó 10x+y < 22008.52008 < 10x+1.10y+1
0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ
1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ
Trang 3Hay 10x+y < 102008 < 10x+y+2
x+y < 2008 < x+y+2
2006 < x+y < 2008
x+y= 2007 ( Do x+y N )
Vậy khi viết liền nhau hai số 22008 và 52008 dới dạng hệ thập phân ta
đợc số có 2007 chữ số
0,25 đ 0,25 đ
Câu 5 (4 điểm)
a) (2 điểm)Tính:
A = 2100- 299- 298- 297 - …+ 3 - 22 - 2 – 1
A = 2100 – ( 299 + 298 + + 2 + 1)
Đặt B = 299 + 298 + 297 +…+ 3 + 22 + 2 + 1
Ta có: 2B =2(299 + 298 + 297 +…+ 3 + 22 + 2 + 1)
= 2100 +299 + …+ 3+ 22+ 2
2B - B = (2100 +299 + …+ 3+ 22+ 2) – (299 + 298 + …+ 3 + 2 + 1)
B = 2100 – 1
Vậy A= 2100 – (2100 – 1) = 1
b) (2 điểm) Tìm x biết:
3
1
2x
Ta có: 2x + 1 = 3 hoặc 2x + 1 = -3
Xét 2x + 1 = 3 x 1
Xét 2x + 1 = -3 x 2
Vậy x=1 hoặc x=-2
Câu 6 (5 điểm)
Cho C= 1.2+2.3+3.4+…+ 3+99.100
c) Tính giá trị của biểu thức C?
d) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức:
D = 22+42+62+…+ 3+982
Giải:
a) (2,5 điểm)
C= 1.2+2.3+3.4+…+ 3+99.100
3C = 3.1.2+3.2.3+…+ 3+ 3.99.100
=(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + …+ 3+ (99.100.101- 98.99.100)
= 99.100.101
C= (99.100.101) : 3
C= 33.100.101= 36300
b) (2,5 điểm)
C= 1.2+2.3+3.4+…+ 3+99.100
= (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + + (97.98 + 98.99) + 99.100
= (1+3)2 + (3+5)4+ +(97+99)98 + 99.100
= 2.2.2 + 2.4.4 + + 2.98.98 + 9900
= 2(22 + 42+…+ 3+ 962+ 982) + 9900
Vậy 2(22 + 42+…+ 3+ 962+ 982) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400
22 + 42+…+ 3+ 962+ 982= 13200
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,25 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ
*Lu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.