Giải tích toán học

VIỆN ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN GIẢI TÍCH TỐN HỌC Phần I: Hàm số biến số GS.TS Thái Thanh Sơn ThS Lê Thị Thanh Thùy Hà Nội – 2014 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I LỜI NĨI ĐẦU Cùng với phân mơn Tốn học khác, Giải tích tốn học - GTTH khơng công cụ cần thiết để học tập nghiên cứu ngành khoa học tự nhiên kỹ thuật mà đóng góp vai trò quan trọng việc xây dựng phương pháp tư nghiên cứu sáng tạo cho người học Không khoa học tự nhiên kỹ thuật, GTTH xâm nhập phát huy tác dụng mạnh mẽ nhiều ngành khoa học xã hội nhân văn, đặc biệt lĩnh vực ứng dụng như: kinh tế, quản trị học, ngân hàng, tài chính… Giáo trình GTTH xây dựng theo nội dung chương trình đào tạo bậc đại học cho ngành kỹ thuật Công nghệ thông tin, Điện tử viễn thông v v Hội đồng khoa học giáo dục Viện Đại học Mở Hà Nội duyệt theo khung chương trình Bộ Giáo dục đào tạo thơng qua Giáo trình tham khảo để sử dụng cho ngành đào tạo đại học khơng chun tốn khác Tồn chương trình GTTH phân bổ làm hai giáo trình, tập GTTH Phần I này, chúng tơi giành để trình bày hàm số biến số thực bao gồm khái niệm hàm số, phép tính giới hạn, phép tính đạo hàm vi phân phép tính tích phân, ngồi có đưa thêm phần lý thuyết chuỗi số chuỗi hàm số thực Giáo trình biên soạn dựa kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tập thể giảng viên Bộ mơn Tốn, Khoa Công nghệ thông tin, Viện Đại học Mở Hà Nội có sử dụng tư liệu xuất số đồng nghiệp ngồi Bộ mơn Chúng tham khảo để cập nhật thêm từ số giáo trình xuất gần nước ngồi, đặc biệt số giáo trình điện tử trực tuyến phát hành năm 2013 Tập thể tác giả mong nhận ý kiến đóng góp khách quan bạn dùng sách để giúp chúng tơi hồn thiện giáo trình lần tái sau Hà Nội, tháng năm 2014 Địa liên hệ: Bộ môn Tốn Khoa Cơng nghệ thơng tin – Viện Đại học Mở Hà Nội Nhà B101, Phố Nguyễn Hiền, Hai Bà Trưng, Hà Nội ĐT: (844) 38694824 – E.mail: sonthanh@fithou.edu.vn sonthanh.thai3@gmail.com lethanhthuy81@gmail.com GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Chương TỞNG QUÁT VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC Ở bậc Trung học, học sinh quen thuộc với hàm số biến số Chương có mục đích hệ thống hóa, xác hóa khái niệm biết chương trình Trung học bổ sung số khái niệm hàm số lượng giác ngược, hàm số hyperbol… 1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ Định nghĩa hàm số một biến số thực: Cho X  R, Y  R R tập số thực Nếu với x thuộc X tồn y thuộc Y ta nói có hàm số f xác định X lấy giá trị Y Ký hiệu y  f (x) x f (x) , f quy tắc tìm y biết x, X miền xác định, Y miền giá trị (hoặc gọi tập xác định tập giá trị); x biến số độc lập (còn gọi đối số), y gọi hàm số (biến số phụ thuộc) Với định nghĩa ta thấy hàm số cho dạng sau a) Dạng biểu thức giải tích Quan hệ x y nêu lên cơng thức giải tích, tức đẳng thức chứa phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, logarit, phép tính lượng giác, … tác dụng lên x y Ví dụ y   cos3x y  x  2x  y  ln(x   x ) x y2   1; a b2 Khi xét hàm số cho dạng biểu thức giải tích ta cần ý đến miền xác định hàm số, tức tập giá trị đối số làm cho biểu thức có nghĩa Ví dụ - Hàm số y   x có miền xác định là: 2  x  - Hàm số y  ln x có miền xác định là: x  GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Một hàm số xác định nhiều cơng thức giải tích khác nhiều khoảng khác Ví dụ x ,  y   x,  1,  x0  x 1 x 1 Nếu biểu thức giải tích y giải hồn tồn x ta gọi hàm số cho dạng tường minh Nếu y không giải x vẫn xác định hàm số ta gọi hàm số ẩn Ví dụ x y2   hay (x  a)2  (y  b)2  R hàm số ẩn a b Còn x  y2   hàm số ẩn y x với giá trị x khơng thể tìm giá trị y thỏa mãn hệ thức b) Dạng bảng Ta dùng bảng gồm hàng (hoặc cột), hàng ghi giá trị đối số hàng ghi giá trị hàm số Ta thường gặp dạng kỹ thuật, kinh tế, … Các bảng hàm số thông dụng bảng hàm số lượng giác, hàm số logarit, … như: sin, cos, tan, lg, … Ưu điểm phương pháp ta nhìn thấy cặp giá trị tương ứng hàm số đối số mà khơng cần thực phép tính Tuy nhiên nhược điểm khơng cho thấy cách tổng quát y phụ thuộc x c) Dạng đồ thị y d y c O M(x, y) a x b x GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Cho hàm số y = f(x) xác định [a, b] Khi mặt phẳng Oxy điểm M(x, y) với y = f(x) hoàn toàn xác định Khi cho x biến thiên từ a đến b vị trí điểm M(x, y) thay đổi Quỹ đạo điểm M tạo nên gọi đồ thị của hàm số [a, b] Ngược lại cho đường cong mặt phẳng Oxy ứng với giá trị x thuộc miền xác định ta dựng đường thẳng song song với Oy, cắt đường cong M, sau từ M dựng đường thẳng song song với Ox cắt trục Oy y ta cặp giá trị (x, y) tương ứng Như đường cong mặt phẳng Oxy xác định quan hệ hàm số x y Đó phương pháp cho hàm số bằng đồ thị Trong thực tế ta gặp phương pháp y học điện tâm đồ, điện não đồ, …; khí tượng-thủy văn phong vũ ký ghi lại biến đổi áp suất khơng khí theo thời gian, … Ưu điểm phương pháp nhìn vào đồ thị ta thấy biến thiên tăng, giảm hàm số đối số Nhưng nhiều quan hệ hàm số hai đại lượng cho đường cong mà ta thấy khó khơng thể viết cơng thức giải tích xác cho hàm số Trong phương pháp cho hàm số phương pháp cho biểu thức giải tích quan trọng Tuy nhiên phương pháp lại có ưu điểm, nhược điểm riêng nên cho hàm số theo phương pháp người ta vẫn dùng phương pháp lại để xem xét thêm 1.2 HÀM SỐ NGƯỢC Cho hàm số y  f (x) , từ rút x  (y) coi y đối số, x hàm số  quan hệ hàm số ngược với quan hệ f gọi hàm số ngược hàm f Chú ý - Trên đồ thị y  f (x) x  (y) có đường biểu diễn với hàm y  f (x) Ox trục đối số, Oy trục hàm số; với hàm x  (y) Oy trục đối số Ox trục hàm số Do để thống ta xét hàm ngược hàm số y  f (x) y  (x) Khi đồ thị hàm khác cụ thể đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I - Muốn tìm hàm số ngược hàm y  f (x) từ hệ thức ta rút x theo y: x  (y) , sau đổi vai trò x y ta hàm số cần tìm: y  (x) y y = f(x) y=x y = φ(x) x O Ví dụ Tìm hàm ngược y  2x  Từ y  2x  rút x  y3 Đổi vai trò x y ta hàm ngược cần tìm là: y  x3 1.3 HÀM SỐ HỢP Giả sử y hàm số đối số u: y  f (u) xác định U lấy giá trị Y; u hàm số đối số x: u  (x) xác định X lấy giá trị V, X, U, V, Y  R Khi V  U với giá trị x  X ta có giá trị tương ứng u  U có giá trị tương ứng y  Y , nên coi y hàm số x xác định X lấy giá trị Y Người ta gọi y hàm hợp x thông qua biến trung gian u viết sau: y  f[(x)] Ví dụ y  s i n ( 2x ) thể coi hàm số hợp: y  sin u có u  2x  Đặc biệt, f  hai hàm số ngược miền xác định thích hợp ta có y  f[(x)]  x 10 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Ví dụ    x  x  x Nhưng   3 x x  x  x với x  1.4 CÁC DÁNG ĐIỆU CỦA ĐƯỜNG CONG a) Hàm số đơn điệu Hàm số y  f (x) gọi tăng (giảm) hay đồng biến (nghịch biến) khoảng [a, b] nếu: Với x1, x  [a, b] mà x1  x f (x1 )  f (x ) ( f (x1 )  f (x ) ) Trên đồ thị, theo chiều từ trái sang phải hàm số đồng biến có đường biểu diễn lên, hàm nghịch biến có đường biểu diễn xuống Đ ồn g bi ến y N ghị a O ch bi ến x b Hàm số tăng giảm khoảng gọi đơn điệu khoảng Ví dụ Hàm số y  x đơn điệu tăng  x Hàm số y  x đơn điệu giảm (, 0) đơn điệu tăng (0,  ) y x -3 -2 -1 O -1 -2 11 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I b) Hàm số chẵn và hàm số lẻ Hàm số y  f (x) xác định [a, a] gọi hàm số chẵn f (x)  f (x) Hàm số y  f (x) xác định [a, a] gọi hàm số lẻ f (x)   f (x) e x  e x Ví dụ - Các hàm y  x , y  cos x, y  hàm số chẵn 2 e x  e x - Các hàm y  x , y  sin x, y  hàm số lẻ Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Khi khảo sát hàm số chẵn hay lẻ cần khảo sát với x  c) Hàm số tuần hoàn Hàm số f(x) xác định R gọi tuần hoàn tồn số a  cho  x  R ta có f (x  a)  f (x) Số nhỏ số a thỏa mãn đẳng thức gọi chu kỳ T hàm số Ví dụ - Xét hàm số sinx thấy sin x  sin(x  2)  sin(x  4)   sin(x  2k);  k  Z Do sinx hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 - Hàm số tanx tuần hồn với chu kỳ   số dương nhỏ thỏa mãn: tan x  tan(x  )  tan(x  2)   tan(x  k); k  Z - Hàm số y  2cos3x tuần hồn với chu kỳ 2cos3(x  2 vì: 2 )  2cos(3x  2)  2cos3x 12 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I c) f (x)  3x 2) Khai triển hàm số f (x)  thành chuỗi lũy thừa x  x 3) Khai triển hàm số f (x)  thành chuỗi lũy thừa x  3x  x4 4) Khai triển hàm số f (x)  x thành chuỗi lũy thừa x  Bài 7.7 Tính gần đại lượng sau 1) Tính gần với độ xác 0,0001 số a) 1,1 b) ln (1,04) 1/2 c)  s inx dx x 2) Tính gần với độ xác 0,001 số a) cos18o b) 19 191 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Chương CHUỖI HÀM SỐ FU-RI-Ê (FOURIER) Trong khoa học kỹ thuật ta thường gặp tượng tuần hồn Chúng mơ tả hàm số tuần hoàn Những hàm số tuần hồn đơn giản hàm số có dạng An sin(n t  n ), n  1, 2, 3, Chúng biểu diễn dao động điều hòa với biên độ A n , chu kỳ T  2 n Đó tượng tuần hồn đơn giản – dao động hình sin 8.1 CHUỖI FOURIER Để biểu diễn tượng tuần hoàn phức tạp hơn, người ta tìm cách phân tích chúng thành tổng tượng đơn giản Ta xét toán: Cho hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , với điều kiện khai triển f(x) thành chuỗi hàm có dạng  a0    a n cos nx  b n sin nx  n 1 (1) Ta gọi chuỗi hàm chuỗi lượng giác hàm f(x) 8.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier Cho hàm số f(x) xác định khoảng [- , ] Xét chuỗi hàm số lượng giác (1); hệ số a , a n , bn (n  1, 2, 3, ) xác định theo công thức sau  a   f (x)dx   (2)  a n   f (x)cos nx dx   (3)  b n   f (x)sin nx dx,   192 n  1, 2, (4) GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Khi chuỗi lượng giác (1) gọi chuỗi Fourier hàm f(x) cho, số a0, an, bn tính theo cơng thức (2), (3), (4) gọi hệ số Fourier hàm f(x) Nếu chuỗi Fourier hội tụ có tổng S(x)  f (x) MHT người ta nói rằng hàm f(x) khai triển thành chuỗi Fourier 8.1.2 Định lý Đi-rich-lê (Dirichlet) Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , đơn điệu khúc bị chặn đoạn [- , ] hàm số f(x) khai triển thành chuỗi Fourier Chuỗi Fourier hội tụ có tổng S(x)  f (x) điểm liên tục, điểm gián đoạn (loại I) x  c S(c)  f (c )  f (c ) Chúng ta thừa nhận mà không chứng minh định lý Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 xác định sau  x  0x 0, f (x)    x, Giải y π x -2π -π π O 2π 3π Hàm f(x) đơn điệu khúc bị chặn [  , ] , thỏa mãn giả thiết định lý Dirichlet nên khai triển thành chuỗi Fourier Ta tính hệ số Fourier:   1  a   f (x)dx   x dx    0 193 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I   1 a n   f (x)cos nx dx   x cos nx dx   0  n lẻ, bằng n chẵn  n2   1 b n   f (x)sin nx dx   x sin nx dx   0  1 n lẻ, bằng  n chẵn n n Có thể viết a 2n  0, a 2n 1   n 1 , b  (  1) , n  (2n  1)2 n   cos(2n  1)x  Vậy f (x)     n 1 (2n  1)2   (1) n 1 n 1 n  1, 2, sin nx n Chú ý Nếu f(x) tuần hồn với chu kỳ 2 ta có a  2   f (x)dx  a  f (x)dx,  a   Chú ý  Nếu f(x) hàm chẵn  bn  0, n  1, 2, ; a n   f (x)cos nx dx, n  0, 1, 2, 0 nên chuỗi Fourier f(x) có mặt hàm số cosin   Nếu f(x) hàm lẻ a  a n  0, b n   f (x)sin nx dx, n  1, 2, 0 nên chuỗi Fourier f(x) có mặt hàm số sin Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 biết rằng f (x)  x,  x  2 194 GIẢI TÍCH TOÁN HỌC – Phần I y 2π x -4π -2π 2π O 4π Theo ý ta có 2 a   x dx  2 , 0 2 a n   x cos nx dx  , 0 2 bn   x sin nx dx   0 n  sin nx n n 1 Vậy f (x)  x    2 Ví dụ Khai triển hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 cho biết f (x)  | x |, x  [  , ] y π x -3π -2π -π π O Vì f(x) hàm số chẵn nên bn  0, n  1, 2, ;  a   x dx   0 195 2π 3π GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I  n lẻ, bằng n chẵn a n   x cos nx dx   0  n2 Vậy  f (x)  | x |    cos(2n  1) x (2n  1) n 1   Ví dụ Khai triển hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 cho biết f (x)  x, x  [  , ] Vì f(x) hàm lẻ nên a  a n  0, n  1,2, ;  2 b n   x sin nx dx   cos n  (1) n 1 0 n n  Vậy f (x)  x  2 (1) n 1 n 1 sin nx n y π x -3π -2π -π O π 2π 3π -π 8.2 KHAI TRIỂN FOURIER CHO MỘT HÀM SỐ 8.2.1 Khai triển Fourier hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ T = 2L với L > bất kỳ Ở mục ta định nghĩa khai triển Fourier cho hàm số tuần hoàn chu kỳ T = 2π Bây xét hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2L Hàm số f(x) vẫn thỏa mãn giả thiết đơn điệu khúc bị chặn   L,L Ta định nghĩa tính hệ số Fourier hàm f(x) trường hợp 196 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I L t ; rõ ràng x biến thiên    L,L t biến thiên   ,  ; hàm f(x) trở thành hàm g(t) = Bằng phép đổi biến số, đặt x  L  f  t   f (x) , hàm số đơn điệu khúc bị chặn khoảng     ,  tuần hoàn với chu kỳ T  2 L  L  L  g(t  2)  f   t  2    f  t  2L   f  t   g(t)       Vậy theo định lý Dirichlet, hàm g(t) khai triển thành chuỗi Fourier: g(t)   a0   a n cos nt  b n sin nt n 1 (1) a , a n , bn xác định bởi: a0     g  t  dt   a n   g(t)cos ntdt ,   bn     g(t)sin ntdt , n  1,2,3, (2)  Ta trở lại biến cũ x: Từ x  L   t ta có t  x  dt  dx , t    x = - L, t =  x = L  L L Vậy từ (2) ta có a0  L L  f (x)dx L nx a n   f (x).cos dx L L L L nx b n   f (x).sin dx , n  1,2,3, L L L L (3) Đó hệ số Fourier hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ T = 2L, chuỗi Fourier f(x) là: 197 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I  a0 nx nx f (x)    a n cos  b n sin n 1 L L (4) Chú ý rằng: a/ Trường hợp hàm số f(x) hàm sỗ chẵn khoảng   L,L bn  0, n  1,2,3 , L a   f (x)dx , L0 nx a n   f (x)cos dx , n = 1,2,3,… 0 L L Chuỗi Fourier hàm số chẵn f(x) có mặt thành phần cosinx f (x)   a0 nx   a n cos n 1 L b/ Nếu f(x) hàm số lẻ   L,L a  a n  0, n  1, 2, nx b n   f (x)sin dx, n  1,2, L0 L L chuỗi Fourier hàm f(x) có mặt thành phần sinx:  f (x)   b n sin n 1 nx L Ví dụ Khai triển Fourier hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ T = (L = 1), xác định đoạn  1 , 1 hàm f (x)  x Giải y x -3 -2 -1 O 198 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Vì f(x) hàm số chẵn nên 2 b n  , a   x 2dx   x sin nx a n   x cos nxdx    n n  0 1 4 an   x sin nxdx    n n  an    x sin n  xdx 0  1  x cos nx sin nx     n n2   4 n cos n   1 2 , n  1,2,3,  n n Vậy f (x)  x   2   (1) n 1 n cos nx n2 ,  1  x  1 Từ kết ta tính tổng chuỗi số 2   n 1 n  2  1    n 12 n 1  n 8.2.2 Khai triển Fourier hàm số f(x) bất kỳ Ở phần ta xét khai triển Fourier hàm f(x) tuần hoàn, chu kỳ T =  T = 2L Bây ta xét khai triển Fourier hàm f(x) bất kỳ xác định  a ,b  khơng tuần hồn Để giải vấn đề này, ta làm sau: Xây dựng hàm số F(x) có tính chất:  F(x) hàm số tuần hoàn chu kỳ T = 2L, đơn điệu khúc bị chặn đoạn  L, L chứa đoạn  a ,b   F(x)  f (x) x  a , b  Khi hàm F(x) khai triển thành chuỗi Fourier  L, L với x  a , b chuỗi Fourier hàm F(x) chuỗi Fourier hàm f(x) Phương pháp lập hàm số F(x) nói gọi phương pháp thác triển tuần hoàn hàm số f(x) 199 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Thông thường, người ta hay dùng hai phương pháp thác triển sau đây: a) Phương pháp thác triển chẵn Lập hàm số F(x) có tính chất:  Tuần hồn với chu kỳ T = 2L, đơn điệu khúc bị chặn đoạn  L, L chứa đoạn a ,b  F(x) = f(x) x  a ,b  F(-x) = F(x): tức F(x) hàm số chẵn Chuỗi Fourier hàm F(x) có dạng đơn giản chứa hàm số cosin b) Phương pháp thác triển lẻ Lập hàm số F(x) có tính chất : tính chất đầu giống trường hợp a) tính chất thứ F(-x) = -F(x) , tức F(x) hàm số lẻ Chuỗi Fourier F(x) có mặt hàm số sin Ví dụ Khai triển hàm số f(x) = x , x  1,3 thành chuỗi Fourier trường hợp sau: a) có mặt hàm cosin b) có mặt hàm sin Giải a) Dùng phương pháp thác triển chẵn: Lập hàm số F(x) tuần hoàn với chu kỳ T =  xác định   ,  sau  x  x   tức F(x)  x   ,  F(x)    x    x  Khi F(x) hàm số chẵn y π x -3π -2π -π O 200 π 2π 3π GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Chuỗi Fourier hàm F(x) xem lại Ví dụ mục 8.1.2 F(x)       cos(2n -1)x  2n 1 n 1 Với x  1, 3 chuỗi Fourier hàm f(x) b) Dùng phương pháp khai triển lẻ: Lập hàm số F(x) tuần hoàn với chu kỳ T =  (hoặc T = = 2L), xác định   ,  F(x) = x,   x   Vậy F(x) hàm số lẻ y π x -3π -2π -π π O -π Chuỗi Fourier hàm F(x) xem lại ví dụ mục 8.1.2  F(x)    1 n 1 n 1 sin nx n Với x  1, 3 chuỗi Fourier hàm f(x) 201 2π 3π GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 8.1 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số tuần hoàn cho sau 1, a) f (x)   2, b)   x, f (x)   0, c) f (x)  | x |,  x  0x  x  0x 1  x  Bài 8.2 Khai triển hàm số f (x)  2x, (0  x  1) thành chuỗi Fourier a) có mặt hàm số sin b) có mặt hàm số cosin 202 GIẢI TÍCH TOÁN HỌC – Phần I TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thái Thanh Sơn – Giải tích toán học – Tập 1, – NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2004 [2] Tạ Ngọc Đạt -Tạ Văn Đĩnh - Ngô Đình Hiền - Nguyễn Đình Hiền Thái Thanh Sơn - Nguyễn Đình Trí – Giáo trình Toán học cao cấp – Tập 1, 2, – NXB Giáo dục, 2006 [3] C.Joulain & L.Lessieur – Mathematiques - Armand Colin, Paris, 1964 [4] Michel Charnay–Gérard Dubois - Cours d’analyse mathématiqueInstitut national des sciences appliquées de Lyon, 2012 [5] Godement R - Analyse mathematique: Calculus differentiel et integral, series de Fourier, fonctions holomorphes – Springer, 1998 [6] D J H Garling - A Course in Mathematical Analysis: Volume 1, Foundations and Elementary Real Analysis – Kindle Edition, 2013 [7] Norman B Haaeser – Joseph Sullivan – Real Analysis - Dover Books on Mathematics, 2008 [8] EBook: Free Math Practice Test - Free online math practice test Http://www.FreeMathPracticeTest.com [9] Giáo trình điện tử: Analyse Mathématique – Cours complet S1–2013 Https://www.youtube.com/watch?v=55gXHRx5Wm0 [10] Giáo trình điện tử: Lecture on Mathematical Analysis –University of Nottingham Https://www.youtube.com/watch?v=PiaPIleRhgQ&list=PL9E415A7A8E59D7B0 203 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương TỔNG QUÁT VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ 1.2 HÀM SỐ NGƯỢC 1.3 HÀM SỐ HỢP 10 1.4 CÁC DÁNG ĐIỆU CỦA ĐƯỜNG CONG 11 1.5 PHÂN LOẠI CÁC HÀM SỐ 13 BÀI TẬP CHƯƠNG 24 Chương GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC 27 2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 27 2.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 36 2.3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ (VCB) 46 2.4 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN (VCL) 49 2.5 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 52 BÀI TẬP CHƯƠNG 63 Chương ĐẠO HÀM, VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 69 3.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 69 3.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 80 3.3 QUY TẮC LÔ – PI – TAN (L’HOSPITAL) 83 3.4 KHẢO SÁT HÀM SỐ 85 3.5 ĐƯỜNG CONG CHO THEO THAM SỐ 87 3.6 ĐƯỜNG CONG TRONG TỌA ĐỘ CỰC 90 BÀI TẬP CHƯƠNG 102 Chương TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 105 4.1 NGUYÊN HÀM 105 4.2 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 105 4.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 106 4.4 BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN 107 4.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 108 4.6 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ 114 4.7 TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC 120 4.8 TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM VƠ TỈ 123 BÀI TẬP CHƯƠNG 129 Chương TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 131 5.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 131 5.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 133 5.3 CÔNG THỨC NIU TƠN – LAI NIT XƠ (NEWTON–LEIBNITZ) 136 5.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 137 5.5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 139 204 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I 5.6 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 145 BÀI TẬP CHƯƠNG 148 Chương CHUỖI SỐ 151 6.1 TỔNG QUÁT VỀ CHUỖI SỐ 151 6.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 154 6.3 CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ 162 BÀI TẬP CHƯƠNG 167 Chương CHUỖI HÀM SỐ 170 7.1 TỔNG QUÁT VỀ CHUỖI HÀM SỐ 170 7.2 CHUỖI LŨY THỪA 174 BÀI TẬP CHƯƠNG 188 Chương CHUỖI HÀM SỐ FU-RI-Ê (FOURIER) 192 8.1 CHUỖI FOURIER 192 8.2 KHAI TRIỂN FOURIER CHO MỘT HÀM SỐ 196 BÀI TẬP CHƯƠNG 202 TÀI LIỆU THAM KHẢO 203 MỤC LỤC 204 205 ...GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I LỜI NĨI ĐẦU Cùng với phân mơn Tốn học khác, Giải tích tốn học - GTTH công cụ cần thiết để học tập nghiên cứu ngành khoa học tự nhiên... định là: x  GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Một hàm số xác định nhiều cơng thức giải tích khác nhiều khoảng khác Ví dụ x ,  y   x,  1,  x0  x 1 x 1 Nếu biểu thức giải tích y giải hồn tồn... hàm a) f (x)  sin x  sin 2x  sin 3x 25 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I b) f (x)  sin x c) f (x)  sin x d) f (x)  sin x  sin(x 2) 26 GIẢI TÍCH TỐN HỌC – Phần I Chương GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC