SKKN một số DẠNG PHƯƠNG TRÌNH mũ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

MẪU 1.1CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúcĐƠN ĐỀ NGHỊ

CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến Sở GD&ĐT Tỉnh Vĩnh Phúc

Tên tôi là: Lê Xuân HưngChức vụ : Tổ phó

Đơn vị/địa phương: Trường THPT Yên LạcĐiện thoại: 0969126082

Tôi làm đơn này trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến Sở GD&ĐT TỉnhVĩnh Phúc xem xét và công nhận sáng kiến cấp cơ sở cho tôi đối với sángkiến/các sáng kiến đã được Hội đồng Sáng kiến cơ sở công nhận sau đây:

Tên sáng kiến : MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNGTRÌNH LOGARIT

(Có Báo cáo Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kèm theo)

Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật,không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn chịu tráchnhiệm về thông tin đã nêu trong đơn.

Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị

BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Lê Xuân Hưng

39

1 Mục đích và phương pháp thực hiện………

40

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do ápdụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả ………

4010.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do ápdụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân ………

4011 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc ápdụng sáng kiến lần đầu ……….

41

BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong những năm gần đây, tỉnh Vĩnh Phúc luôn đứng trong tốp đầu cảnước về chất lượng thi đại học, cao đẳn và thi Trun học phổ thông (THPT) Quốcgia Trường THPT Yên Lạc luôn nỗ lực để duy trì và nâng cao hơn nữa chấtlượng giáo dục mọi mặt của nhà trường Nhiệm vụ ấy vừa là trách nhiệm, vừa làniềm vinh dự của mỗi giáo viên Bộ Giáo dục và Đào tạo thay đổi hình thức thimôn toán sang thi trắc nghiệm, trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốcgia, tôi nhận thấy cách dạy và học môn toán cần có sự thay đổi so với các nămtrước Đặc biệt, đề thi môn Toán trong kì THPT Quốc gia được thi theo hìnhthức trắc nghiệm, đề thi có phổ kiến thức rộng và sâu, khác nhiều so đề thi theohình thức tự luận trước đây Do đó việc dạy và học kiến thức lớp cho học sinhlớp 12 cần có sự thay đổi để phù hợp với hình thức thi mới Kiến thức ôn tập từcơ bản đến nâng cao nhằm phù hợp với các mức độ nhận thức của từng học sinh.Trường THPT Yên Lạc ngoài việc tập trung nâng cao chất lượng đầu cao cònchú trọng nâng cao kết quả học tập của các học sinh có học lực yếu và trungbình Trong phần kiến thức phương trình mũ và phương trình logarit luôn có mặtở mức độ thông hiểu, nhận biết và mức độ vận dụng cao trong đề thi THPTQuốc gia

Để giúp học sinh lớp 12 có có kỹ năng tốt hơn trong việc học phần kiến

thức phương trình mũ và phương trình logoarit tôi chọn viết đề tài “Một số

dạng phương trình mũ, phương trình logarit” nhằm góp phần giúp học sinh

nắm trắc kiến thức và kỹ năng về phần kiến thức này, qua đó giúp các em họcsinh có thể đạt kết quả tốt THPT Quốc gia sắp tới.

2 Tên sáng kiến: “Một số dạng phương trình mũ, phương trình logarit”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Xuân Hưng

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc- Số điện thoại: 0969126082

- Email: hunglxyl@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Xuân Hưng

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc- Số điện thoại: 0969126082

PHẦN 3: THỰC NHIỆM – ĐÁNH GIÁ

PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

Dạy học giải quyết vấn đề là con đường quan trọng để phát huy tính tíchcực của học sinh Quan điểm dạy học này là không xa lạ ở Việt Nam Các nộidung cơ bản dạy học giải quyết vấn đề làm cơ sở cho những phương pháp dạyhọc phát huy tính tích cực khác.

Với hình thức thi trắc nghiệm môn Toán ngoài việc học sinh cần nắm trắckiến thức cơ bản, ngoài ra học sinh cần nắm được một số cách thức làm bài ngắngọn và chính xác để đạt được kết quả đúng

Đối với dạng toán phương trình mũ và logarit học sinh cần nắm đượccông thức logarit, tính chất hàm số mũ, hàm số logarit, tính chất hàm số Trongcác bài toán nâng cao học sinh cần biết kết hợp nhiều kiến thức như kiến thứchàm số (tính đơn điệu), bất đẳng thức…để giải dạng toán này.

PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNHLOGARIT

Thời lượng: 03 tiết

Tiết 01 “Phương trình mũ, phương trình logarit đưa về cùng cơ số”

Tiết 02 “Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng cách đặt ẩnphụ”

Tiết 03 “Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng phương pháphàm số”

Vấn đề 1 Phương trình mũ, phương trình logarit đưa về cùng cơ số1 Phương pháp:

+ Phương trình: af x( ) =ag x( ) Û 1

é =ê

êì < ¹ïïêíêïïîë =

íï = >ïî

Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f x( )>0 hoặc g x( )>0 tuỳ thuộc vào độ phức

ì < ¹ïï

íï =ïî

é =êÛ

ê =

Vậy tập nghiệm là S ={2;3}.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình ()21

7 4 3+ x+ = -2 3.

Lời giải

Ta có

7 4 3+ x+ = -2 3 ()42 () 12 2 3 x+ 2 3 -

Û + = + Û 4x+ =-2 1

4x 3Û =-

Û

=-Vậy nghiệm của phương trình là

x

=-Ví dụ 3: Giải phương trình 4x-1=83 2- x.

Lời giải

Ta có

213 2

Û =.

Vậy phương trình có nghiệm

x=

8 0,25 2

+ =

có tích các nghiệm bằng?

Lời giải

Ta có 2 1 ( )73.2 1 72

Ví dụ 6: (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG LẦN 01 NĂM 2018) Cho phương trình

log m+6x +log 3 2- x- x =0 ( m là tham số) Có bao nhiêu

giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm thực?

Lời giải Chọn A

Từ BBT suy ra phương trình ( )* có nghiệm trên (- 3;1) Û - < <6 m 18.

Do m nguyên dương nên mÎ {1;2; ;17}.

Ví dụ 7: Tìm tham số m để phương trình log 5(x- 1) =log5(mx+4x)

cónghiệm.

ì - >ïï

ì - >ïï

Û íï

- + =ïî

ì >ïïï

f x¢ 0 +

( )

f x - 4 +¥

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm khi m>- 4

Ví dụ 8: (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1-2018) Số các giá trị nguyên

của tham số m để phương trình log 2(x- 1)=log2(mx- 8)có hainghiệm phân biệt là

Lời giải

Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực lớn hơn 1 thì điều kiện sauthỏa mãn

ïïîVì mÎ ¢Þ mÎ {5,6,7}.

Ví dụ 9: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Hỏi có bao nhiêu

giá trị m nguyên trong [- 2017;2017] để phương trình

log mx =2log x+1 có nghiệm duy nhất?

Lời giải Chọn C

xx

Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

é =êê <ë

Vì mÎ -[ 2017;2017] và m Î ¢ nên chỉ có 2018 giá trị m nguyên thỏayêu cầu là

nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng 2

nghiệm phân biệt?

Lời giải Chọn A

Điều kiện: 50log

ì >ïïíï ³ïî

Phương trình

5log 1

Û ê ê

=-ê =

é =êêêÛ ê =

êê =

TH1: Nếu m= thì 1 x=log5m=0 (loại) nên phương trình đã cho có 2

nghiệm phân biệt.

TH2: Nếu m> thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt 1khi và chỉ khi

B

Câu 3: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình

2log log log log

S ìïï üïï= -í ý

S ìïï üïï= -í ý

î þ.

Câu 6: Tập nghiệm của phương trình

xx x- æöç ÷

= ÷ç ÷çè ø là

A

3ì üï ïï ïí ýï ïï ï

2ì üï ïï ïí ýï ïï ï

î þ C {0;2} D

2ì üï ïï ïí ýï ïï ïî þ.

Câu 7: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Giải phương trình 4x-1=83 2- x.

A

C

Câu 8: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Nghiệm

của phương trình 2x +2x+1= +3x 3x+1 là.

A 343log

C 323log

Câu 11: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Tìm tập nghiệm S

của phương trình log2(x- 1)+log2(x+ =1) 3.

A S= -{ 3;3} B S={ }4

ç ç

A

S ìïï üïï= -í ýï ïï ï

C

1 1;2 2

S ìïï üïï= -í ý

Câu 16: (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên năm 2017-2018) Tìm tập

nghiệm S của phương trình ( 2 )()

Câu 18: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018)

Tìm tham số m để phương trình log 2018(x- 2)=log2018( )mx có

nghiệm thực duy nhất.

A 1< <m 2. B m>1 C m>0 D m<2.

Câu 19: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 –

2018)Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để

Câu 21: (SGD Bắc Giang - 2018) Cho phương trình

log m+6x +log 3 2- x- x =0 ( m là tham số) Có bao nhiêu

giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm thực?

nghiệm phân biệt

hai nghiệm phân biệt?

A 79.B 80 C Vô số.D 81.Câu 24: (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho phương trình

2log x- log x- 1 4x- m =0

( m là tham số thực) Có tất cả baonhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai

nghiệm phân biệt

Câu 25: (THPT Lương Thế Vinh Đồng Nai lần 2 – 2019) Có bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

Vấn đề 2 Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng cách đặt ẩn phụ1 Phương pháp:

-+ + = , khi đó đặt t= , điều ax

kiện t> , ta được: 0 1 ( 1 1)

điều kiện t> , suy ra 0

, ta được:

1ta + t2

+ Phương trình 2 ( ) 21ax 2 abxa3bx 0

a +a + = Khi đó chia hai vế của phương trình cho b2x> (hoặc 0 a2x, ( )a b ), ta được: x

aba æöç ÷ç ÷÷

çè ø + 2

aba æöç ÷ç ÷÷

çè ø + a3 = 0 Đặt

=ç ÷çè ø , điều kiện 0÷ t> , ta được a1t2+a2t+a3=0.

* Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử

( )( ) () ( )

f xf x

aba b , ta thực hiện theo các bước sau:

- Chia hai vế của phương trình cho b2f x( ) >0 (hoặc( ) () ( )

= ÷ç ÷çè ø , điều kiện hẹp 0t>

Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t> cho trường hợp đặt 0 t=af x( )chẳng hạn:

Nếu đặt t= thì axt> là điều kiện đúng.0

Nếu đặt t=2x2+1 thì t> chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều0kiện cho t phải là t³ 2 Điều này đặc biệt quan trong cho lớp các bài toán có

Vậy phương trình có nghiệm x= 0

Ví dụ 2: Tính tích các nghiệm của phương trình () 225

log 125 logxxx=1.

Lời giải

é =êÛ ê

ê =

Vậy tích các nghiệm của phương trình là: 1125

Ví dụ 3: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2x2- x +2x2- -x 2=4x2- -x 1+1.

Ví dụ 4: Tìm số nguyên m để phương trình 4x- m.2x+1+2m=0 có hai

nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1+ =x2 3.

Lời giải

Phương trình Û 4x- 2 2mx +2m=0 1( )

Đặt t= , 2xt> phương trình trở thành 0 t2- 2 m t+2m=0 2( ).Để phương trình ( )1 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1+ =x2 3 điều

kiện là phương trình ( )2 có hai nghiệm t t1, 2>0 thỏa mãn

ï ¢D = - >ïï

ïïï- = > Û =íï

ïï = =

Vậy m= 4

Ví dụ 5: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá

trị của tham số m để phương trình 4x- 3.2x+1+ =m 0

có hai nghiệmthực x1, x2

thỏa mãn x1+ <x2 2.

A m< 9 B 0< < m 4 C 0< < m 2 D m>0

Lời giải Chọn B

Ví dụ 6: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tất cả

các giá trị của tham số m để phương trình

Lời giảiChọn C

Điều kiện: x> 0

Đặt log x3 =t ta có phương trình t2- (m+2)t+3m- =1 0.

Phương trình 2 ()

log x- m+2 log x+3m- =1 0 có hai nghiệm x1, x2

thỏa mãn x x1 2=27 Û t2- (m+2)t+3m- =1 0 có hai nghiệm phân

biệt t1, t2thỏa mãn t1+ =t2 3 120

ì D >ïïÛ í

ï + =ïî

Û í

ï + =ïî

4 2 24 2 21

ì éï < -ï êïï ê

Û íê > +ïï

Do với mỗi t> thì có hai nghiệm 1 x=± log2t , còn với t= chỉ có1một nghiệm x= Nên để phương trình ban đầu có đúng 3 nghiệm thì0phương trình ( )1 có một nghiệm t1=1 và một nghiệm t2>1.

Phương trình ( )1 có nghiệm t= khi 1 1 4 6- + - m=0 Û m= 3

Thay m= vào 3 ( )1 , ta có: t2- 4t+ =3 0

ë Vậy m= thỏa3mãn

Ví dụ 8: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Có bao nhiêu giá

trị nguyên dương của tham số m để phương trình

16x- 2.12x+(m- 2).9x =0 có nghiệm dương?

Lời giải Chọn B

Phương trình có nghiệm " Ît (1;+¥ ) khi 2- m>- Û1 m< 3Do đó mÎ {1; 2}

Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

9x- 2.6x +m.4x =0 có hai nghiệm trái dấu.

Đặt 32

æö÷ç ÷=ç ÷

çè ø , điều kiện t> ta được phương trình 0 t2- 2.t+ =m 0

Dựa vào bảng biến thiên ta có: 1- <- m< 00 Û < < m 1

Ví dụ 10: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Phương

trình 2sin2x +21 cos+ 2x =m có nghiệm khi và chỉ khi

A 4£ m£ 3 2. B 3 2£ £ C m 5 0< £m 5. D.4£ m£ 5.

Lời giải Chọn D

+ =

Xét hàm số f t( ) t 4t

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( )* có nghiệm tÎ [ ]1;2

Ví dụ 11: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Tìm tập

hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình

Đặt ( )

12 x 1

, [1; ) \ 32

Î +¥ í ýï ï

é=ê¢ = Û

Bảng biến thiên

Phương trình 4x2- 2x+1- m.2x2- 2x+2 +3m- 2=0 có bốn nghiệm phân

biệt khi và chỉ khi phương trình ( )1 hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 và

khác 3

C 4log 23 . D 2log 32 .

Câu 4: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Biết

phương trình 2log2x+3log 2x =7 có hai nghiệm thực x1<x2 Tính

giá trị của biểu thức ( ) 2

Câu 5: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các

nghiệm của phương trình log 7 33( - x)= -2 x bằng

Câu 7: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Tính tổng tất

cả các nghiệm của phương trình sau 32x+8- 4.3x+5+27=0

Câu 8: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 9x+1- 20.3x + =8 0 Trong

các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?

x + =x

x + =x

C 1 2 3

x x =

x x =.

Câu 9: Phương trình 9x+1- 13.6x +4x+1=0 có 2 nghiệm x1, x2 Phát biểu nào

sau đây đúng?

A Phương trình có 2 nghiệm nguyên.B Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ.C Phương trình có 1 nghiệm dương.D Phương trình có 2 nghiệm dương.

Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

(m+1 4) x +2.9x- 5.6x =0 có hai nghiệm thực phân biệt?

Câu 13: (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018) Cho phương trình

(m- 3 9) x +2(m+1 3) x - m- =1 0( )1 Biết rằng tập các giá trị của

tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là một khoảng

(a b; ) Tổng S = +a b bằng

Câu 14: (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Gọi S là tập hợp tất cả giá trị

nguyên của tham số m sao cho phương trình

16x - m.4x+ +5m - 45 0= có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao

nhiêu phần tử?

Câu 15: (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá

trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

9x- m.3x+ +3m - 75=0 có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao

nhiêu phần tử?

A 8B 4C 19D 5Câu 16: [2D2-5.3-3] (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Tìm các giá trị

thực của tham số m để phương trình log32x m- log3x+2m- 7=0 có

hai nghiệm thực x x1, 2 thỏa mãn x x1 2 =81

Câu 18: Cho phương trình 4 1- x2 - (m- 2 2) 1-x2 +2m+ = Có bao nhiêu 1 0

giá trị nguyên của m thuộc đoạn [- 10;20] để phương trình có nghiệm ?

Câu 19: (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2017) Xét các số nguyên dương ,a bsao

cho phương trình aln2 x b x+ ln + =5 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

và phương trình 5log2x+blogx+ =a 0 có hai nghiệm phân biệt x3,

Vấn đề 3 Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng phương pháphàm số

1 Phương pháp:

Ta sử dụng các tính chất sau:

+ Tính chất 1: Nếu hàm f x( ) tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a b, ) thìphương trình f x( ) =k có không quá một nghiệm trong khoảng (a b, ).

Phương pháp áp dụng: ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f x( )=k.

Bước 3: Vậy x=x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

+ Tính chất 2: Nếu hàm f x( ) tăng trong khoảng (a b; ) và hàm g x( ) là hàmhằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a b; ) thì phương trình f x( )=g x( )có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a b; ) (do đó nếu tồn tại

Xét hàm số f x( )= +3x 4x có f x¢ =( ) 3 ln 3 4 ln 4 0x + x > với mọi

xÎ ¡ nên hàm số f x( ) liên tục và đồng biến trên ¡

Vậy phương trình f x( )=25 có duy nhất một nghiệm.

Nhận xét f ( )2 =25 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 2

Ví dụ 2: Giải phương trình log(x2- x- 6)+ =x log(x+ +2) 4.

Lời giải

Điều kiện:

3.2 0

ìï - - >

íï + >ïî

Phương trình đã cho tương đương với

log x+2 (x- 3)+ =x log x+ +2 4Û log(x- 3)= -4 x( )*

Nhận xét hàm số y= f x( )=log(x- 3) đồng biến trên (3;+¥ ), hàm số y=g x( ) = -4 x nghịch biến trên (3;+¥ ) Mặt khác f( )4 =g( )4 .

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x=4.

Ví dụ 3: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Hỏi phương trình

3x - 6x+ln x+1 + = có bao nhiêu nghiệm phân biệt?1 0

Lời giảiChọn C

Điều kiện: x>- 1

Phương trình đã cho tương đương với 3x2- 6x+3ln(x+ + =1) 1 0.

Xét hàm số y=3x2- 6x+3ln(x+ +1) 1 liên tục trên khoảng