TUYỂN tập đề THI HSG

ĐỀ BẮC GIANG Câu (4 điểm) Tìm hàm số liên tục f : ¡ → ¡ thỏa mãn f ( x + y ) f ( x − y ) = f ( x ) f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ 2 n −1 + x n với n số lẻ, n ≥ Câu (4 điểm) Cho đa thức P ( x ) = + x + x + L + x Chứng minh P ( x ) bình phương đa thức khác Câu (4 điểm) Người ta dùng màu để tô đỉnh đa giác lồi có 2019 đỉnh cho đỉnh tô màu hai đỉnh kề tô hai màu khác Hai cách tô màu gọi khác tồn đỉnh đa giác có màu tơ khác hai cách Hỏi có tất cách tô màu? Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) H trực tâm tam giác ABC ¼ Gọi M điểm cung BHC đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC BM giao · AC , giao Kẻ phân giác AD góc BAC Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác a) Chứng minh TD ⊥ BC b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF OD Câu (4 điểm) Tìm tất số nguyên dương n > có tính chất: a, b ước nguyên dương n ( a, b ) = a + b − ước n …………………………………HẾT………………………………… ĐỀ BẮC NINH (DAY 1) Câu (5,0 điểm) Cho hai dãy số (un ), (vn ) xác định sau u0 = a; v0 = b với số thực a, b cho trước thỏa mãn < a < b un+1 = un + , +1 = un+1.vn với số tự nhiên n a) Chứng tỏ hai dãy cho hội tụ có giới hạn b) Tìm giới hạn theo a, b Câu (5,0 điểm) Cho số nguyên tố p Chứng minh tồn vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện 2020n +2019 ≡ n + 2018 (mod p) Câu (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H ,O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; D, E chân đường cao hạ từ đỉnh A, B tam giác ABC Các đường thẳng OD BE cắt K , đường thẳng OE AD cắt L Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểm K , L , M thẳng hàng bốn điểm C , D,O, H nằm đường tròn Câu (5,0 điểm) ( ) Tìm tất đa thức f x có hệ số thực bậc số tự nhiên lẻ cho: ( ) ( ) f x2 − = f x − 1, ∀x ∈ ¡ ĐỀ BẮC NINH (DAY 2) Câu (7,0 điểm) Tìm tất hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện: f (xy − 1) + f (x)f (y) = 2xy − với x, y ∈ ¡ Câu (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , D điểm cạnh BC Trên cạnh AC , AB lấy điểm E , F cho ED = EC , FD = FB Gọi I ,J , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , BDF ,CDE a) Gọi H trực tâm tam giác J DK Chứng minh tứ giác IJ HK nội tiếp b) Chứng minh D chuyển động BC , đường tròn ngoại tiếp tam giác IJ K qua điểm cố định khác điểm I Câu (6,0 điểm) Cho đa giác A1A2 A20 có 10 đỉnh đa giác tơ màu xanh, 10 đỉnh lại tơ màu đỏ Ta nối đỉnh với a) Gọi a số đoạn thẳng nối hai đỉnh màu đỏ liên tiếp, b số đoạn thẳng nối hai đỉnh màu xanh liên tiếp Chứng minh a = b b) Xét tập hợp S gồm đường chéo A1A4 tất đường chéo khác đa giác mà có độ dài với Chứng minh tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu màu đỏ với số đường chéo có hai đầu màu xanh Gọi k số đường chéo có hai đầu màu xanh , tìm tất giá trị có ĐỀ BÌNH DƯƠNG (DAY 1) Câu 1: (4 điểm) a Giải phương trình ( )( ) x + − x + x + x + 4x + = 2x b Cho số a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức 1 T= + + a +1 b +1 c +1 Câu 2: (4 điểm) a Tồn tạo hay không số nguyên dương n cho 2020 n biểu diễn dạng tổng lập phương 2019 số nguyên chẵn liên tiếp p b Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + c a, b, c số nguyên p số nguyên tố Biết P ( x ) có ba nghiệm nguyên x1 , x2 , x3 thỏa mãn ( x1 − x2 ) ( x2 − x3 ) ( x3 − x1 ) không chia hết cho p Chứng minh abc + ac chia hết cho p Câu 3: (4 điểm) Trong mặt phẳng cho 37 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hang a Chứng minh có 6438 tam giác khơng cân tạo thành b Chứng minh chọn tập gồm điểm cho khơng có điểm tạo thành tam giác Câu 4: (4 điểm) Tìm tất hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện f ( x − y ) = ( x − y )( f ( x) + f ( y )), ∀ x, y ∈¡ Câu 5: (4 điểm) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn ( O ) ( O ′ ) Gọi AA’ tiếp tuyến chung hai đường tròn ( A ∈ ( O ) ; A′ ∈ ( O ′ ) ) , K trung điểm AA’ Từ K kẻ hai tiếp tuyến KB, KB’ đến ( O ) , ( O ′ ) L = AB ∩ A′B ′, P = KL ∩ OO ′ Chứng minh B, B’, P, L nằm đường tròn ĐỀ BÌNH DƯƠNG (DAY 2) Câu 1: (5 điểm) Gọi x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình a, b, c số nguyên Chứng minh biểu thức x3 + ax + bx + c = , S n = x1n + x2n + x3n nhận giá trị nguyên với số nguyên dương n Câu (5,0 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định ( u1 ) = 2020, un +1 = un4 + 20192 , ∀n ∈ ¥ * un − un + 4038 n , ∀n ∈ ¥ * Tính lim u + 2019 k =1 Đặt = ∑ Câu 3 k { } (5 điểm) Cho tập hợp T = 1; 2; 3; ; 2020 gồm 2020 số nguyên dương a) Gọi A tập tập T thỏa mãn: với x, y, z ∈ A x < y < z x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Hỏi tập hợp A có nhiều phần tử? b) Gọi X tập tập T thỏa mãn: với x, y ∈ X x ≠ y có tam giác cân (không đều) xác định độ dài cạnh x, y Tìm giá trị lớn X Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có D, E tiếp điểm đường tròn nội tiếp ( I) với AB, AC H, K hình chiếu B lên AC C lên AB Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHK trực tâm tam giác ADE HẾT ĐỀ ĐỒNG THÁP Câu (3,0 điểm) Cho dãy số thực dương ( xn ) xác định công thc: ổ ữ ỗ ữ xn = ç 1, " n ³ ÷ ç ữ ỗ ố 2n + 4n +1 ứ t S n = x1 + x2 + + xn ( n ³ 1) a) Tính S 20 b) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n cho Sn nhận giá trị nguyên Câu (6,0 điểm) a) Giải hệ phương trình sau:  + y2 + y + x = y    + 2x + 4x + y = x  b) Tìm tất cặp ( a ; b ) với a, b số nguyên dương, cho M = a + 10a + 2b số phương Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: (ab + bc + ca ) + ≥ 18abc Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) dây cung BC cố định Điểm A (khác với B, C ) di động đường tròn ( O ) cho AB ≠ AC Gọi D, E , F chân đường cao hạ từ A, B, C tam giác ABC Đường thẳng EF cắt đường tròn ( O ) P Q Chứng minh rằng: a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQD qua điểm cố định b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQD chạy đường tròn cố định Câu (4,0 điểm) + Xét bảng vng kích thước × n   ( n ∈ Z ) (bảng gồm hàng n cột) Hỏi với n lát bảng viên gạch có dạng hình bên (hình xoay theo hướng)? - HẾT - ĐỀ HƯNG YÊN (DAY 1) Bài (5,0 điểm) Cho dãy số ( an ) ( a − 1) , ∀n ≥ Với số xác định a1 = an +1 = n 2 − an a + a2 + + an nguyên dương n , chứng minh ≥ 1− 2 n m , n Bài (5,0 điểm) Cho số nguyên dương, n < m a1 , a2 , , am số thực phân biệt Tìm tất đa thức P ( x) với hệ số thực có bậc nhỏ n thỏa mãn điều ( ) kiện P ( ) − P a j = − a j với ≤ i < j ≤ m Bài (5,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) cố định ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên AB, AC lấy điểm E , F cho DE ⊥ AC DF ⊥ AB a) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF thuộc đường tròn cố định điểm A di động B, C cố định đường tròn ( O ) b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt cạnh BC G ; đường thẳng AG cắt đường tròn ( O ) M ; đường cao đỉnh A tam giác ABC cắt đường tròn ( O ) N ( N khác A ) Các tiếp tuyến M , N đường tròn ( O ) cắt P Các tiếp tuyến B đường tròn ngoại tiếp tam giác BGM tiếp tuyến C đường tròn ngoại tiếp tam giác CGM cắt Q Chứng minh giao điểm PQ AD nằm đường tròn ( O ) Bài (5,0 điểm) Tập hợp X khác rỗng chia thành tập đôi không giao A1 , A2 , , An đồng thời chia thành tập đôi không giao B1 , B2 , , Bn Biết hợp hai tập không giao Ai , B j ( ≤ i, j ≤ n ) chứa n2 n khơng phần tử Chứng minh số phần tử tập X không nhỏ Khi số n2 phần tử tập X , cách chia tập X thỏa mãn toán ĐỀ HƯNG YÊN (DAY 2) Câu (6,0 điểm) Tìm tất hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn f ( x + yf ( x)) = f ( xf ( y )) − x + f ( y + f ( x ))∀x, y ∈ ¡ Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng l đối xứng với đường thẳng AC qua đường thẳng BC, l cắt BO X Điểm E tùy ý đoạn BO, đường tròn ngoại tiếp tam giác XAE cắt đường thẳng l Q khác X Đường thẳng QE cắt đường thẳng OC Y a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AYE qua điểm cố định E thay đởi BO b) Gọi M điểm cung AE khơng chứa Y đường tròn ngoại tiếp tam giác AYE CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AYE điểm K khác M Chứng minh E di chuyển đường thẳng KE qua điểm cố định Câu (7,0 điểm) Tìm số nguyên (a, b, c) với c ≥ cho b 2n + c chia hết cho a n + 2n với n nguyên dương ĐỀ LÂM ĐỒNG Câu (4,0 điểm) Cho số thực a dãy số thực ( un ) xác định bởi: ìï u = a ï í ïï un+1 = ln( + cosun + sin un ) + 2019, " n = 1,2,3,K ïỵ Chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn Câu (3,0 điểm) Tìm tất hàm số f : R ® R thỏa mãn: ( ( x) f ( y) ) + f ( x + y) = f ( xy) , " x,y Ỵ ff R Câu (3,0 điểm) Tìm tất đa thức P ( x) với hệ số thực thỏa mãn: ( ) ( ) P x2 + x + P ( 3x + 1) = P 6x3 + 7x2 + 16x + , " x Ỵ ¡ Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân Gọi E , F điểm thuộc cạnh AC , AB cho EF song song BC Các tiếp tuyến E , F đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường thẳng BC M N Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳng FN K đường thẳng CF cắt đường thẳng EM L a) Chứng minh ÐK AB = ÐLAC b) Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳng CF X đường thẳng EN cắt đường thẳng FM Y Chứng minh đường thẳng XY qua điểm cố định E , F thay đởi ( ) Câu (3,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên m, n với m, n ³ để tồn vô hạn số xm + x - x nguyên dương cho n số nguyên dương x + x2 - Câu (3,0 điểm) Tìm số hốn vị ( a1,a2, ,a2020 ) 2020 số nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) +1 - £ với i = 1,2,3, ,2019 ii) Tồn hai số i j với £ i < j £ 2020 cho = i aj = j ĐỀ 10 NINH BÌNH VỊNG (DAY 1) Câu (5,0 điểm).Tìm x, y, z nguyên thỏa mãn hệ phương trình:  x − 4x − 16x + 60 = y   y − 4y − 16y + 60 = z z − 4z − 16z + 60 = x  Câu (5,0 điểm) Xét phương trình x n = x + x + , n ∈ ¥ , n > a) Chứng minh với số tự nhiên n lớn phương trình có nghiệm dương b) Gọi x n nghiệm dương phương trình Tính lim x n Câu (5,0 điểm).Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD (D thuộc BC) hai điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho MN song song với BC Điểm P chuyển động đoạn thẳng MN Lấy điểm E, F cho EP ⊥ AC, EC ⊥ BC, FP ⊥ AB, FB ⊥ BC a) Gọi I giao EF AD Chứng minh I cố định P chuyển động đoạn MN b) Đường thẳng qua A vng góc với EF cắt BC Q Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng BC qua trung điểm đoạn thẳng PQ Câu (5 điểm) Cho số nguyên dương n tập hợp S = {1; 2; n} Tìm số tập S không chứa hai số nguyên dương liên tiếp -Hết 10 ĐỀ 21 SÓC TRĂNG (DAY 1) Câu (7,0 điểm) a) Một lớp học gồm 35 học sinh xếp thành hàng ngang Giáo viên phụ trách lớp cần chọn đội để tham gia trò chơi Hỏi cso cách chọn biết đội gồm học sinh đứng liền kề hàng ngang ban đầu? b Có 12 học sinh xếp thành hàng ngang Giáo viên phụ trách cần chia học sinh thành nhóm cho nhóm học sinh học sinh đứng liền kề hàng đầu Hỏi có cách chia nhóm ? Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) Tia phân giác góc BAC cắt đường tròn ( O ) điểm D khác A Gọi E hình chiếu D đường Câu thẳng AC, F điểm đối xứng với C qua E Đường thẳng BF cắt đường tròn ( O ) G khác B Gọi I điểm đối xứng với D qua O a Chứng minh E, E, G thẳng hàng b Đường thẳng qua C song song với AG cắt DG M FM ∩ BC = N IF ∩ ( O ) = P Chứng minh B, F, N, P nằm đường tròn (7,0 điểm) a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x = y + 2020 (1)  a1 = 5; a2 = 13 , ∀n ∈ ¥ * b) Cho dãy số ( an ) xác định sau   an + = 5an +1 − 6an Chứng minh với k nguyên dương bất kỳ, p ước nguyên tố a2 k + 2.6k p ước nguyên tố a2 k +1 + 5.6k ~ HẾT 21 ĐỀ 22 SÓC TRĂNG (DAY 2) Câu : (5,0 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số thực :  y + − xy = ( 1)    y + − xy + x + y = x − y + x ( ) Câu Câu Câu u1 = 2020 (5,0 điểm) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn:   2020un +1 = 2019un + un , n uk lim Tính n →+∞ ∑ k =1 uk +1 − ∀n ∈ ¥ * (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi E điểm nằm cạnh AB ( E không trùng với A B );tia CB cắt tia DE F ; G giao điểm CE AF Chứng minh giao điểm H BG DE nằm đường tròn ( O ) (5,0 điểm) Cho đa thức P ( x ) = x + a5x + a4x + a3x + a2x + a1x + a0 thỏa mãn điều kiện sau :  1 i) P ( 1− x ) = P ( x ) ii) P  ÷ = P ( x ) iii) P ( −1) = −1 x x a Hãy tìm đa thức P ( x ) b Giả sử P ( x ) có nghiệm α Hãy tìm tất nghiệm lại P ( x ) HẾT 22 ĐỀ 23 TP HÀ NỘI Bài (4 điểm) 3  Cho hàm số y = x + 3x + ( m + 4) x + m + có đồ thị ( Cm ) điểm M  2; − ÷ Tìm 2  m để đường thẳng y = 2x + cắt ( Cm ) ba điểm phân biệt A ( −1; 0) , B , C cho tam giác MBC tam giác Bài (5 điểm) 1) Giải phương trình: x + 22 x + 29 − x − = 2 x + ( 1) ( x + y ) − ( y + x ) = ( x − x ) − ( y − y ) ( 1)  2) Giải hệ phương trình:  8 x + y + x + y = − 16 xy ( x + y ) ( ) Bài (3 điểm) Cho dãy số ( un ) un2 + − xác định u1 = , un +1 = ; n = 1, 2, un 1) Chứng minh ( un ) dãy số bị chặn 2) Chứng minh 1 + + + < 22020 u1 u2 u2019 Bài (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm I với M , N ( 1; −1) trung điểm đoạn thẳng IA , CD Biết điểm B có hồnh độ dương đường thẳng MB có phương trình x − y + = , tìm tọa độ điểm C 2) Cho hình chóp S ABC có CA = CB = , AB = , ∆SAB tam giác đều, ( SAB ) ⊥ ( ABC ) Gọi D chân đường phân giác hạ từ đỉnh C tam giác SBC a) Tính thể tích khối chóp D ABC b) Gọi M điểm cho góc tạo mặt phẳng ( MAB ) , ( MBC ) , ( MCA ) với mặt phẳng ( ABC ) Tìm giá trị nhỏ uuur uuur uuur uuuu r MA + MB + MS − MC Bài (2 điểm) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn 3 P = a3 + b3 + c3 − − − a b c 23 ĐỀ 24 PHÚ THỌ (DAY 1) Bài (5,0 điểm) ( ) a) Cho hàm số f x liên tục ¡ Chứng minh hàm số f ( ) ( x) liên tục ¡ b) Tồn hay không hàm số f x gián đoạn x ∈ ¡ mà hàm số f ( x) liên tục x ∈ ¡ ? Bài (5,0 điểm) Cho số nguyên dương k, n ( k < n ) bảng vng × n hình vẽ Tính số cách chọn k vng cho khơng có hai ô vuông chung đỉnh Bài ( 5,0 điểm) Cho ba số thực a,b,c khác 0, đôi phân biệt thỏa mãn a3 + b3 + c3 + = = a b c Chứng minh a2 + b2 + c2 > ( ) Bài (5,0 điểm) Tìm tất ba số tự nhiên m;n;k thỏa mãn 5m + 7n = k3 - Hết 24 ĐỀ 25 PHÚ THỌ (DAY 2) Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC > BC I tâm đường tròn nội tiếp Gọi D giao điểm BI AC , J điểm đối xứng I qua AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDJ cắt đoạn thẳng AI E a) Chứng minh ED song song với IJ b) Chứng minh AE ≥ AI Bài (7,0 điểm) Có nhóm người mà đó, cặp khơng quen có hai người quen chung, cặp quen khơng có người quen chung Chứng minh số người quen người Bài (6,0 điểm) Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn ( ) ( ) ( ) f y cos x − y ≤ f x , ∀x, y ∈ ¡ - Hết 25 ĐỀ 26 QUẢNG NINH (DAY 1) Bài (5 điểm): Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; un+1 = tồn N ∈ ¥ * cho: , ∀n ≥ Chứng minh u1 + u2 + + un u1 + u2 + + u N > 2020 Bài (5 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, không cân, đường cao AD , trực tâm H Dựng đường tròn tâm M đường kính BC Từ A kẻ tiếp tuyến AE , AF tới đường tròn ( M ) ( E , F tiếp điểm) Các đường thẳng EF BC cắt N I trung điểm AH Đường thẳng qua D vng góc với IM cắt đường thẳng AB , AC P Q Chứng minh điểm M , N , P, Q nằm đường tròn Bài (5 điểm): ( ) ( ) với m tham số Tìm tất giá trị nguyên dương m để Pm ( x ) viết thành tích hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn Cho đa thức Pm ( x ) = x − 2m + x + m − 2 Bài (5 điểm): Cho phương trình: x +1 y +1 + =3 y x với x, y số nguyên dương a Tìm nghiệm ( x; y ) phương trình cho x, y nguyên tố nhau; b Chứng minh phương trình cho có vơ số nghiệm Hết 26 ĐỀ 27 QUẢNG NINH (DAY 2) Bài (5 điểm): Chứng minh rằng: 3a + 3b2 + 3c2 + + + ≥6 b + c c + a a + b2 với số thực a, b, c thỏa mãn a + b > 0; b + c > 0; c + a > Bài (5 điểm): Tìm tất hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn: ( ) xf ( x + xy ) = xf ( x ) + f x f ( y ) ; ∀x, y ∈¡ Bài (5 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) , tiếp tuyến B C (O) cắt M , tiếp tuyến A C (O) cắt N Các đường thẳng AM BC cắt D Các đường thẳng BN CA cắt E Các điểm I , J trung điểm AD , BE Chứng minh ·ABI = ·BAJ Tính tỉ số cạnh tam giác ABC để góc ·ABI có số đo lớn Bài (5 điểm): Cho số nguyên dương n ≥ Tìm số tập tập S n = {1;2;3; ; n} chứa hai số nguyên dương liên tiếp Hết 27 ĐỀ 28 HẢI PHỊNG KHƠNG CHUN Bài (2,0 điểm) 2 a) Cho hàm số y = x − x + ( m − ) x + m + 2019 Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) 2mx − − 2m b) Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Tìm tất giá trị thực tham số x+2 m để đường thẳng d : y = x − cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B cho góc hai đường thẳng OA OB 450 Bài (2,0 điểm) ( − 2sin x ) cos x = a) Giải phương trình lượng giác sau ( + 2sin x ) ( − sin x )  x − y + x y + y + = b) Giải hệ phương trình sau tập số thực   x + x − y + + x − = Bài (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có AB = a; AC = 2a; AA ' = 2a góc · 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC ' BAC a) Chứng minh MB vng góc với A ' M b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A ' BM ) theo a Bài (1,0 điểm) Từ tập hợp tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác , lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Bài (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi H , K hình chiếu vng góc A đường thẳng BD CD Biết A ( 4;6 ) ; đường thẳng HK có phương trình x − y − = 0; điểm C thuộc đường thẳng d1 : x + y − = điểm B thuộc đường thẳng d : x − y − = 0; điểm K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm B C u1 = −  Bài (1,0 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định  + un , ∀n ∈ ¥ , n ≥ un +1 =  n Hai dãy số ( ) , ( wn ) xác định sau: = ( − un ) ; wn = u1.u2 u3 un , ∀n ∈ ¥ , n ≥ Tìm giới hạn lim ; lim wn Bài (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4a + 3b3 + 2c − 3b c P= ( a + b + c) 28 ĐỀ 29 HẢI PHÒNG CHỌN ĐỘI TUYỂN Bài 1: (5.0 điểm) Xác định đa thức P ( x ) , Q ( x ) hệ số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) Q ( x ) khác đa thức không deg Q ( x ) < ( ) 3 ii) P x − − x P ( x − 1)  P ( x + 1) + 4 = x Q ( x ) ∀x ∈ ¡ Bài 2: (5.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC); đường cao AD, BE, CF đồng quy H Đường thẳng EF cắt đường thẳng AH, BC L G Gọi M trung điểm BC AM cắt GH I; LI cắt AG K a) Chứng minh bốn điểm E, K, F, I thuộc đường tròn b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LID cắt GH J ( J ≠ I ) Chứng minh J nằm đường trung trực LD Bài 3: (5.0 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên a thoả mãn 3a + 4a + số phương b) Chứng minh số tự nhiên a thoả mãn 3a + 4a + số phương a ( a − ) M13 Bài 4: (5.0 điểm) Cho X bát giác tâm O Gọi A tập tất đỉnh X giao điểm hai đường chéo X Gọi B tập điểm thuộc A khơng trùng O gần O (hình vẽ) Gọi Y tập tất cạnh X đoạn thẳng nối hai điểm thuộc A kề đường chéo X Mỗi điểm thuộc A tô hai màu xanh đỏ Có tất 26 điểm đỏ Biết O tô đỏ, hai số điểm đỏ đỉnh X , ba số điểm đỏ thuộc B Các đoạn thẳng thuộc Y tô màu theo quy tắc: đoạn thẳng có hai đầu mút đỏ tơ màu đỏ, hai đầu mút xanh tơ màu xanh, đầu mút đỏ đầu mút xanh tơ màu vàng Biết có 20 đoạn thẳng Y màu vàng Hỏi có đoạn thẳng Y màu xanh? - HẾT - 29 ĐỀ 30 CAO BẰNG Câu 1: Câu (4 điểm) Giải hệ phương 3  x − y − x + 13x = y + 10   x + x + 2019 x − 2020 = y + trình sau tập số thực: u1 = 1; u2 = (4 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định  un + = 10un +1 − un , ∀n ≥ a Tính giá trị A = un + 2u n − un +1 b Chứng minh 6un − số phương Câu 3: ( 4,0 điểm) a) Chứng minh số ngun dương bất kì, ln tồn số có tởng chia hết cho b) Chứng minh 13 ước nguyên dương 62019, ln tồn số có tích lập phương số tự nhiên Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) có trung điểm cạnh AC , AB M N Đường thẳng qua A lầm lượt vng góc với AC , AB cắt đường thẳng BC X Y Gọi XM ∩ AB = P, YN ∩ AC = Q Chứng minh O, P, Q thẳng hàng Câu 5: (4 điểm) Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện f ( ( x − y) ) = x 2 − yf ( x ) + ( f ( y ) ) , ∀x, y ∈ ¡ 30 ĐỀ 31 KON TUM Câu (6,0 điểm) Cho dãy số ( an ) xác định a1 = 2019 an+1 = an2 ,n∈¥* an − a n + 1) Chứng minh dãy số ( an ) dãy số giảm bị chặn Tìm lim an 2) Tính giới hạn dãy số ( S n ) n với Sn = ∑ ak k =1 Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c số dương cho a + b + c = abc , chứng minh 1+ 1 + 1+ + 1+ ≥ a b c Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) cố định, tam giác ABC tam giác nhọn thay đổi nội tiếp đường tròn ( O ) 1) Tìm giá trị lớn biểu thức ma2 + mb2 + mc2 với ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC 2) Cho điểm H trực tâm tam giác ABC M trung điểm BC Điểm P · thuộc đường thẳng HM cho AP đường phân giác góc BAC Đường thẳng d qua H vng góc với AP cắt đường thẳng AB, AC E , F Gọi N giao điểm hai đường thẳng AO EF Chứng minh PH = PN tứ giác AEPF nội tiếp Câu (5,0 điểm) 1) Viết số 20192020 thành tổng n số nguyên dương tùy ý sau n 20192020 = ∑ ak Tìm số dư chia k =1 n ∑a k =1 k cho 2) Đặt an = 2019 n + với n số nguyên dương Tìm số nguyên tố p thỏa mãn a p Mp Hết - 31 ĐỀ 32 QUẢNG TRỊ Câu 1: (5,0 điểm) Tìm giá trị lớn hàm số y = − x + x Cho bất phương trình + x + − x + + x − x ≤ m Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình nghiệm với x ∈ [ −1;8] Câu 2: (5,0 điểm) ( ) x + x − ( x − 1) Giải phương trình x + x − = x−2 x −1 −1 Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có bốn ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh gồm nam nữ ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Tính xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ Câu 3: (6,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi với ·ABC = 60° , BC = a Biết tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông C nằm mặt phẳng hợp với mặt phẳng đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAD ) theo a Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) có đường cao AD, BE, CF đồng quy H BH ∩ DF = G; BC ∩ FE = L ; O tâm ( BCH ) , K trung điểm BC Chứng minh H trực tâm tam giác AKL LG ⊥ AO Câu 4: (2 điểm) Cho dãy số ( xn )  x1 =  thỏa mãn  xn + xn2 + 16  xn +1 =  Tìm số hạng tởng qt ( xn ) tìm giới hạn dãy số Câu 5: (2 điểm) Cho ba số thực a , b , c > thỏa mãn Chứng minh ( n ( ∀n ∈ ¥ , n ≥ 1) ) xn a b c + + =5 b c a 17 a b c ≤ + + ≤ 1+ c a b 32 ĐỀ 33 ĐĂK LĂK (DAY 1) 3 y ( y + x ) = x ( x + 3)  Câu Giải hệ phương trình  x y − x + − x + = 4040  2020 ( ) ( 1) ( 2) Câu Tìm hàm số f liên tục ¡ thỏa mãn f ( x + 1) + x + x = f ( x + 1) ; ∀x ∈ ¡ Câu Cho tam giác ABC có µA = 600 , AB > AC , H giao điểm hai đường cao BE CF Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trên đoạn thẳng BH HF lấy hai điểm M , N cho BM = CN Tính MH + NH OH Câu Cho M tập hợp gồm n điểm mặt phẳng thỏa mãn: (1) Tồn điểm thuộc M đỉnh thất giác lồi; (2) Với điểm thuộc M đỉnh ngũ giác lồi, tồn điểm thuộc M mà nằm miền ngũ giác Tìm giá trị nhỏ n 33 ĐỀ 34 ĐĂK LĂK (DAY 2)  2  n  Câu Cho dãy số ( xn ) xác định xn = 1 + ÷ + ÷  + ÷ Tính lim ( ln xn )  n  n   n  Câu Cho đa thức P ( x ) có tất hệ số số nguyên dương đa thức Q ( x ) = + x + x + x + x Chứng minh rằng: đa thức P ( x ) chia hết cho đa thức Q ( x ) đa thức P ( x 2019 ) chia hết cho đa thức Q ( x ) Câu Cho trước p số nguyên tố lớn Tìm tất số nguyên dương k cho k − pk số nguyên dương Câu Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, có đường cao BM, CN phân giác AD Các điểm E, F hình chiếu D AB, AC Chứng minh đường thẳng MN, EF BC đồng quy 34 ĐỀ 35 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Câu (4.0 điểm) Cho hai dãy số ( an ) , ( bn ) Với n ∈ ¥ , đặt cn =   ao = 1; a1 =   thỏa mãn bn = + 2an +1 , ∀n ∈ ¥   2bn +1 = 2bn − an , ∀n ∈ ¥  n bi ∑ Tìm lim cn 2n +1 i =0 Câu (4.0 điểm) Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn f ( f ( x ) − y ) = f ( x ) + y f ( y ) − f ( xy ) , với x, y ∈ ¡ ( O ) với đường cao đường kính đường tròn ( O ) Các đường thẳng Câu (4.0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn AD, BE , CF đồng quy H ; AA ' A ' B, A ' C cắt đường thẳng AC , AB tương ứng M , N Các điềm P, Q thuộc đường thẳng EF cho PB, QC vng góc với BC Đường thẳng qua A vng góc với QN PM cắt đường tròn ( O ) điểm X , Y Các tiếp tuyến với đường tròn ( O ) X , Y cắt J 1) Gọi S trung điểm đoạn AH Chứng minh SB || AY 2) Chứng minh JA ' ⊥ BC Câu (4.0 điểm) Cho dãy số (an ) xác định bởi: a1 = 34, an+1 = 4an3 − 104an2 − 107an với ( ) số n nguyên dương Tìm tất số nguyên tố p thỏa mãn hai điều kiện p ≡ mod4 a2020 + chia hết cho p Câu (4.0 điểm) Một thi giải Tốn gồm vòng, vòng vòng với tởng cộng 28 tốn Mỗi thí sinh giải số thí sinh giải Với hai tốn bất kì, có thí sinh giải hai 1) Hỏi có tất thí sinh tham dự thi? 2) Chứng minh vòng có thí sinh khơng giải giải toán ……… Hết……… 35 ... Cho tập hợp T = 1; 2; 3; ; 2020 gồm 2020 số nguyên dương a) Gọi A tập tập T thỏa mãn: với x, y, z ∈ A x < y < z x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Hỏi tập hợp A có nhiều phần tử? b) Gọi X tập tập... đường tròn ( O ) Bài (5,0 điểm) Tập hợp X khác rỗng chia thành tập đôi không giao A1 , A2 , , An đồng thời chia thành tập đôi không giao B1 , B2 , , Bn Biết hợp hai tập khơng giao Ai , B j ( ≤ i,... ≤ i, j ≤ n ) chứa n2 n khơng phần tử Chứng minh số phần tử tập X không nhỏ Khi số n2 phần tử tập X , cách chia tập X thỏa mãn toán ĐỀ HƯNG YÊN (DAY 2) Câu (6,0 điểm) Tìm tất hàm f : ¡ → ¡ thỏa