Đề thi HSG môn Toán lớp 12 - Sở GD&ĐT Gia Lai

Gửi đến các bạn học sinh Đề thi HSG môn Toán lớp 12 - Sở GD&ĐT Gia Lai được TaiLieu.VN chia sẻ dưới đây nhằm giúp các em có thêm tư liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì thi. Cùng tham khảo giải đề thi để ôn tập kiến thức và làm quen với cấu trúc đề thi các em nhé, chúc các em thi tốt!

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

SỞ GD&ĐT GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN: TOÁN –THPT Thời gian: 180 phút

ĐỀ BÀI

Câu 1: ( 2,0 điểm) Cho hàm số 3 2

y=x − mx + có đồ thị ( )C Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y: =x cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Câu 2: (4.0 điểm)

a) Giải phương trình sau trên tập số thực ( 2 ) ( )

2 x +1 x− + = +1 8 5 4 x−1 x

b) Giải hệ phương trình trên tập số thực ( )

( )

2 2 2

2 2

2020

2020

y

−

=





Câu 3: (2,0 điểm)

Tìm hệ số của 10

x trong khai triển ( ) 1 2 2( )3

4

n

  với n là số tự nhiên thỏa mãn 3 2

14

n

Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có sin A+sinC=2 sinB và tan tan 2 3

+ = Chứng minh rằng tam giác ABC đều

Câu 5: (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi

1

1

2

n n

n

u

u

u

+

=





−



2

A

n

Câu 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là

hình chiếu vuông góc của B lên AC, M và N lần lượt là trung điểm của BH

và AH Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho tứ giác MNCK là hình bình hành Biết

9 2

;

5 5

 , K( )9; 2 , điểm B thuộc đường thẳng d1: 2x− + = và điểm y 2 0 C thuộc

2: 5 0

d x− − = và hoành y độ đỉnh C lớn hơn 4 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Câu 7: (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi I là điểm thuộc miền trong của tứ

diện ABCD, các đường thẳng AI, BI, CI, DI lần lượt cắt các mặt phẳng

nhất của biểu thức 1 2 1 2 2 2

ab P

-HẾT -

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

SỞ GD&ĐT GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN: TOÁN –THPT Thời gian: 180 phút

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: ( 2,0 điểm) Cho hàm số 3 2

y = − x mx + có đồ thị ( )C Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y: =x cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Lời giải

Ta có phương trình hoành độ 3 2 3 2

x − mx + = ⇔x x − mx − + =x , (1)

Do phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3 theo thứ tự lập thành cấp số

cộng suy ra

2x = + x x ,(2)

Mặt khác theo định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba ta có

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

3

1 3

x x x

+ + =







Thay (2) vào phương trình đầu tiên ta được x2 = m, mà x2 là nghiệm của phương

trình (1) ta được 3

2

1

m

=



Thử lại với m=1 ta được phương trình hoành độ

1

3 2

2 3

1

3

x

x

= −





− − + = ⇔ =

 =



dễ thấy

ba nghiệm này lập thành cấp số cộng với công sai d =2

Câu 2: (4.0 điểm)

a) Giải phương trình sau trên tập số thực ( 2 ) ( )

2 x + 1 x− + = 1 8 5 + 4 x− 1 x

Lời giải

Cách 1

Điều kiện x≥1

PT ( 2 )

Đặt t= x−1(t≥0), phương trình trở thành

2 t + 4 t + + > ∀ ≥ 6 t 3 0, t 0

Cách 2

Điều kiện x≥1

− −

− +

2

− +

− +

x

− + ( ) (2 2 2) 1 4 1

x

− +

2 0

x

⇔ − = vì 2( 2) 1 4 1

x

> ∀ >

− +

2

x

⇔ = (TM)

Vậy phương trình có nghiệm x=2

b) Giải hệ phương trình trên tập số thực ( )

( )

2 2 2

2 2

2020

2020

y

−





Lời giải

Điều kiện

1

3

x x

y

y

 ≥



− ≥



2

2

2

2019 2020 2019 2020 2020

2019

y

x

x

y

+

Nếu x> ⇒y VT(*) >VP(*). Ngược lại nếu x< ⇒y VT(*) <VP(*).

Mặt khác với x= ⇒y VT(*) =VP(*). Vậy x=y

Thay x= y vào phương trình (2), ta có

2

2

1

3

3 5

2

±

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm 3 5 3; 5 ; 3 5 3; 5

Câu 3: (2,0 điểm)

Tìm hệ số của 10

x trong khai triển ( ) 1 2 2( )3

4

n

  với n là số tự nhiên thỏa mãn 3 2

14

n

n n

Lời giải

Ta có

3 ! 2 !.2!

n

−

− − với n≥ 3,n∈ 

2

n n

( ) ( )

2

5

2

n tm

n n

=







Với n=5 suy ra ( ) 1 2 2( )15 1 ( 2 )2( )15

19 1

k k k k

=

⇒ số hạng tổng quát 19

1 2 16

k

T+ = C x − Cho 19− =k 10⇒ =k 9 ta được số hạng chứa 10

x là 9 9 10 9 5 10

1

16

T = C x =C x Vậy hệ số của số hạng chứa 10

x là 9 5

192 2956096

Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có sin A+sinC =2 sinB và tan tan 2 3

A+ C = Chứng minh rằng tam giác ABC đều

Lời giải

Ta có sin sin 2 sin 2 sin cos 4 sin cos

A C− B

A C

+

( )

Vậy tam giác ABC có ,

3

A=C B=π suy ra tam giác ABC đều

Câu 5: (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi

1

1

2

n n

n

u

u

u

+

=





−



2

A

n

Lời giải

1

n n

n

u u

u

+

−

n n

u u

−

=

− +

Đặt vn = − un 1 1

n n

n

v v

v

+

3

v + v

⇒ = + Vậy ( 1

n

v ) là 1 CSC

1

1

d v

1

n

v = + − = −

1

n

n

−

Ta có

u + u + +u

− − − = 3.1 2 − + 3.2 − + + 2 3 n − 2

3 1 2 3 n 2 n

n

Do đó

2

n

A

Câu 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là

hình chiếu vuông góc của B lên AC , M và N lần lượt là trung điểm của BH

và AH Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho tứ giác MNCK là hình bình hành Biết

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5

9 2

;

5 5

M 

 , K( )9; 2 , điểm B thuộc đường thẳng d1: 2 x y − + = 2 0 và điểm C

thuộc d x y2: − − = 5 0 và hoành độ đỉnh C lớn hơn 4 Tìm tọa độ các đỉnh của

hình chữ nhật ABCD

Lời giải

B b b+ ; C c c( ; −5), (c>4) Ta có MN//CK nên MN BC⊥ , mà BH AC⊥ nên N

là trực tâm tam giác MBC Vậy CN BM⊥ ⇒MK ⊥BM

+) 36 8;

5 5

MK  



MB=b− b+ 



MK ⊥BM ⇒MK BM  = 0 36 9 8 8

+) KC= −(c 9;c−7)

; BC= −(c 1;c−9)

CK ⊥CB⇒KC BC  = 0 ⇔ −(c 9)(c− + −1) (c 7)(c− =9) 0⇔ −(c 9 2)( c− =8) 0

9 4

c c

=



⇔ 

=



NhËn Lo¹i Vậy C( )9; 4 +) K là trung điểm CD nên ta được D( )9; 0

+) Giả sử A x y( ; ), ta có BA  =CD 1 0

4 4

x y

− =



⇔  − = −



1 0

x y

=



⇔  =

 Vậy A( )1;0 Kết luận: A( )1;0 , B( )1; 4 , C( )9; 4 , D( )9; 0

Câu 7: (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi I là điểm thuộc miền trong của tứ

diện ABCD, các đường thẳng AI, BI , CI , DI lần lượt cắt các mặt phẳng (BCD),

(ACD), (ABD), (ABC) tại các điểm M , N , P, Q thỏa mãn AI MI CI DI

MI = NI = PI =QI

Biết IBCD a

b

= , với a b , ∈∗ và a

b tối giản Tính S a b= +

Lời giải

H

C

I

M

- Đặt VIBCD = V V1, IACD = V V2, IABD = V V3, IABC = V4, ta có: V V V = + + +1 2 V3 V4

,

,

ABCD

IBCD

d A BCD V

MI + = IM = d I BCD =V =V ⇒ MI = −V

- Tương tự:

BI V CI V DI V

NI =V − PI =V − QI =V −

1 4

AI MI CI DI V V V V

MI = NI = PI =QI ⇒V =V =V =V ⇒ = = = =

4 4

IBCD

a

b

=



= ⇒  =

 Vậy S = + =a b 5

Câu 8: (4,0 điểm) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn ( 4 4)

8ab− =2 3 a +b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 2 2 2

ab P

Lời giải

Từ giả thiết suy ra ( 4 4) 2

AM GM

−

Đặt ab=t t, > 0 Từ (1) suy ra 2 1

3

− + −  ⇔   (2)

Với a b, > 0,ab 1 ta chứng minh được 1 2 1 2 2

+ +  + (3)

Thật vậy (3) 1 2 1 1 2 1 0

0

2

( a b ) ( ab 1) 0

⇔ − −  (đúng)

( )

t t

+

3

t  

Do ( ) 1 2 0, 1;1

t

∈  

1 ,1 3

( )

f t

 

 

 

  Suy ra,

7 4

P

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 7

4 đạt được khi 3

3

a= =b