Đề thi HSG môn Toán lớp 12 - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi

Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập nhanh nhất và chuẩn bị cho kì thi sắp tới được tốt hơn. Hãy tham khảo Đề thi HSG môn Toán lớp 12 - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi để có thêm tài liệu ôn thi.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI U U ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2019 - 2020 Ngày thi: 06/12/2019 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút U (Đề thi có 02 trang) Câu 1: (5,0 điểm) a) Giải hệ phương trình sau (với x, y ∈  )  y + x y + x + y + 4= x +  2 6y + x 6 y + yx = b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt nhỏ 9.3x −2 x + ( 2m + 11) 3− x +2 x−2 − 4m + = Câu 2: (5,0 điểm) a) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm  hàm f '( x) có đồ thị hình bên Tìm điểm cực trị hàm số = g ( x) f ( x − 1) + x − x + 2019 b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng triệu đồng theo thể thức lãi kép, kì hạn tháng với lãi suất 0, 65% / tháng Tính tổng số tiền anh Giàu nhận gửi 20 tháng Câu 3: (5,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác ABC vng cân B, SB = a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) α a) Tính theo a α thể tích khối chóp G ANC với G trọng tâm tam giác SBC , N trung điểm BC b) Gọi M trung điểm AC Tìm giá trị α để khoảng cách hai đường thẳng MN , SC đạt giá trị lớn Trang Câu 4: (3,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn chia hết cho 15 Câu 5: (2,0 điểm) Cho hàm số = f ( x ) 2019 x − 2019− x Các số thực a, b thỏa mãn a + b > ( ) Tìm giá trị lớn biểu thức P = f a + b + ab + + f ( −9a − 9b ) = 4a + 3b + a + b + 10 a, b thay đổi ……………………… HẾT……………………… Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Nội dung Điểm 5,0 đ a) Giải hệ phương trình sau (với x, y ∈  )  y + x y + x + y + 4= x +  2 y + x 6 y + yx = b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt nhỏ 9.3x 1.a −2 x + ( 2m + 11) 3− x Điều kiện y ≥ −2 Ta có y + x y + x + y + 4= x + ⇔ ( y + − x2 + )( +2 x−2 − 4m + = 1,0 ) y + + x2 + = 0,75 Do y = x , thay vào phương trình sau ta x + x − x = x = Suy   x − 3x =  Ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc đoạn [-1;1] (dùng đồ thị hàm số) Với −1 ≤ x ≤ ta đặt x = cost (với t ∈ [ 0; π ] ), phương trình trở thành cos3t = 5π 7π = ,t = ,t 9 Như hệ có nghiệm π π 5π 5π 7π 7π ( 0;0 ) ,  cos ;cos  ,  cos ;cos  ,  cos ;cos  9  9   9   = t π Trang 0,5 suy 0,75 2.b Viết lại phương trình 3x Đặt t = Xét= t' x2 − x + ( x − x ) −2 x+ + 2m + 11 3x −2 x+ − 4m + = (1) 0,5 x2 − x + ln Từ bảng biến thiên suy giá trị t0 ∈ ( 3;9 ) phương trình 3x nghiệm phân biệt nhỏ + Phương trình (1) trở thành t + (1 − 2m ) t + 2m + 11 = −2 x+ = t0 có hai 0,5 t + 2t + 11 ⇔ = 2m (2) 2t − + Phương trình (1) có nghiệm phận biệt nhỏ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thuộc khoảng ( 3;9 ) + f (t ) = 0,5 t = −3 t + 2t + 11 2t − 2t − 24 , t ∈ ( 3;9 ) f ' ( t )= = 0⇒  2t − ( 2t − 1) t = Bảng biến thiên 0,5 Từ bảng biến thiên suy (2) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thuộc khoảng ( 3;9 ) < 2m < 26 13 ⇔ , ∀x ∈  Suy f ( x ) đồng biến  Lại có f ( − x ) = − f ( x ) Suy f ( x ) hàm số lẻ 2019− x − 2019 x = ( ) ( ) f a + b + ab + + f ( −9a − 9b ) =⇔ f a + b + ab + = − f ( −9a − 9b ) = f ( 9a + 9b ) 0,5 0,5 ⇔ a + b + ab + = 9a + 9b ⇔ a + b + ab + − 9a − 9b = 2 ⇔ 4a + 4b + 4ab + − 36a − 36b = ⇔ (2a + b) − 18(2a + b) + 3(b − 3) − 19 = ⇔ (2a + b) − 18(2a + b) − 19 = −3(b − 3) ≤ ………………………………… ⇒ (2a + b) − 18(2a + b) − 19 ≤ ⇒ −1 ≤ 2a + b ≤ 19 ⇒ 2a + b ≤ 19 ⇔ 2a + b − 19 ≤ 2a + b − 19 Mặt khác = P−2 ≤ ⇒ P ≤ Dấu xảy a + b + 10 a + b 19 = 2= a ……………………………………………………… ⇔  = a − = b 0,5 Chú ý: U Mọi lời giải đúng, khác với hướng dẫn chấm, cho điểm tối đa theo câu phần tương ứng Trang 0,5 Tổ chấm thảo luận để thống tình làm xảy học sinh Trang ... (3,0đ) Suy g '( x) = x −= hay x = 3, x −= 1 x − = −1, x = 1, x = 1,0 Do bảng biến thi n hàm số x y' –∞ -1 + g (-1 ) – +∞ + g(2) – y g(1) Suy x = điểm cực tiểu; x = −1, x = điểm cực đại hàm số Trang... 2t + 11 2t − 2t − 24 , t ∈ ( 3;9 ) f ' ( t )= = 0⇒  2t − ( 2t − 1) t = Bảng biến thi n 0,5 Từ bảng biến thi n suy (2) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thuộc khoảng ( 3;9 ) < 2m < 26 13 ⇔