Quy hoạch tuyến tính

Quy hoạch tuyến tính

BỘ CÔNG THƯƠNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢNBỘ MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNHViện Công nghệ Sinh học – Thực phẩmLớp : 211301202GVHD : TS. Võ Văn Tuấn DũngTP. HCM, ngày 25 tháng 4 năm 2009 BỘ CÔNG THƯƠNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢNBỘ MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNHViện Công nghệ Sinh học – Thực phẩmLớp : 211301202GVHD : TS. Võ Văn Tuấn Dũng1. Nguyễn Trung Nhân : 07716372. Mai Hạnh Nguyên : 07706133. Huỳnh Thành Trung : 07717574. Hồ Thị Thanh Hiếu : 07717255. Dương Thị Hà Như : 07714966. Cao Thị Ngọc Tuyền : 07708347. Mai Nguyễn Thục Hiền : 07707708. Vũ Kim Hường : 0771102TP. HCM, ngày 25 tháng 4 năm 2009 LỜI MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tàiTrong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số những quyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản xuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủ là một kẻ thông minh và nguy hiểm…Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính để có được phương án tối ưu cần thiết. Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sự có hiệu quả để giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế mà ta thường gặp, như để vận chuyển hàng hóa đầy đủ nhưng có tổng chi phí là nhỏ nhất – đây chính là bài toán vận tải. Hoặc trong kinh doanh phải lập kế hoạch sản xuất đối với các nguyên liệu và sản phẩm để thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất…Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rất quan trọng để xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳ bài toán phức tạp nào trong thực tế, chỉ cần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữ nhờ việc lập trình trên máy tính ta có thể giải quy hoạch tuyến tính một cách dể dàng nhanh chóng và chính xác. Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những hiệu quả kinh tế rất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách.2. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu.Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu là vấn đề được quan tâm nhất và các ràng buộc là các yêu cầu ,điều kiện của kế hoạch đặt ra, đều là hàm và các phương trình, bất phương trình tuyến tính. Các bước để nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là:Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu .Lập mô hình toán học thật chính xác. Xây dựng các thuật toán để giải bài toán trên các lập trình máy tính.Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần .Áp dụng để giải các bài toán thực tế . CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNHA. LÝ THUYẾT1. ĐỊNH NGHĨABài toán quy hoạch tuyến tính (qhtt) tổng quát có dạng:Tìm xj, j=1,2,…,n sao cho: f=min1→∑=jnjjxc(max) (1)Với hệ ràng buộc: injjijbxa≥=≤∑=1, i=1,2,…,m (2) ≤≥tùyýxj00, j=1,2,…,n (3)(1) được gọi là hàm mục tiêu, nó có thể là cực tiểu (min) hay cực đại (max).(2) được gọi là các ràng buộc chung hay ràng buộc hàm, nó có thể có dạng bất đẳng thức (≤ hay ≥) hoặc có dạng đẳng thức (=).(3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến), nó có thể không âm (≥0), không dương (≤0) hay tùy ý.Như vậy, bài toán QHTT là bài toán có các biểu thức xác định hàm mục tiêu và các ràng buộc chung đều ở dạng tuyến tính.Véctơ x=(x1, x2,…,xn)T được gọi là phương án (pa) hay lời giải chấp nhận được của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán.Phương án x*=(Tnxxx ), .,,**2*1được gọi là phương án tối ưu (patư) hay lời giải tối ưu, nghiệm tối ưu của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt nhất. Tức là: f(x*)=jnjjjnjjxcxfxc∑∑===≥≤1*1)( là giá trị hàm mục tiêu tại phương án x=(x1,x2,…,xn)T bất kỳ. (Dấu ≤ ứng với bài toán cực tiểu. Dấu ≥ ứng với bài toán cực đại).Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có).Hai bài toán QHTT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung tập hợp các phương án tối ưu.Mệnh đề: (Quan hệ giữa bài toán cực đại và bài toán cực tiểu)(Trong đó: X là tập hợp các phương án)Tức là: nếu đổi dấu hàm mục tiêu và đổi loại hàm mục tiêu thì ta được bài toán tương đương. Vì lí do này mà khi nghiên cứu cách giải bài toán qhtt, người ta chỉ xét bài toán có loại hàm mục tiêu là cực tiểu (hay chỉ xét bài toán có loại hàm mục tiêu là cực đại)2. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 2 BIẾNBài toán có dạng: tìm x=(x1,x2)T sao cho f(x)=c1x1+c2x2 min (max)Với hệ ràng buộc: ai1x1+ai2x2≥bi, i=1,2,…,mChú ý:- Ràng buộc chung có dạng: a≤b, ta đưa về dạng tương đương là: -a≥-b. - Ràng buộc chung có dạng: a = b thì tương đương với: a≥b và –a≥-b. - Còn các ràng buộc biến có thể xem là các trường hợp riêng của các ràng buộc chung.Như vậy, hệ ràng buộc của bài toán QHTT có 2 biến luôn luôn có thể giả thiết là có dạng: ai1x1+ai2x2≥bi; i=l, 2 ., m2.1. Xác định miền phương ánĐưa các điểm (x1,x2) lên hệ trục tọa độ vuông góc. Ta xác định được các điểm thỏa mãn phương trình: ai1x1+ai2x2=b, hình thành nên một đường thẳng chia mặt phẳng tọa độ thành 2 nửa mặt phẳng (mp). Một nửa mp bao gồm các điểm (x1, x2) thỏa mãn bất phương trình: ai1x1+ai2x2≥bi, và nửa kia bao gồm các điểm (x1, x2) thỏa mãn bất phương trình: ai1x1+ai2x2≤bi.f (x) max g(x) f (x) min(1) (2)x X x X→ = − → ⇔ ∈ ∈  Trong thực hành, để xác định nửa mp nào ứng với bất phương trình: ai1x1+ai2x2≥bi. Ta thường lấy một điểm đặc biệt như (0,0); (0,1); (1,0);… thay vào bất phương tình, nếu nó thỏa mãn thì nửa mp chứa điểm đặc biệt đó là nửa mp phải tìm; còn nếu nó không thỏa mãn thì nửa mp phải tìm là nửa mp không chứa điểm đặc biệt đó.Các điểm thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán là các điểm thuộc miền giao của các nửa mp xác định các bất phương trình tương ứng, nó tạo nên một hình đa giác lồi có thể bị giới nội hay không bị giới nội; hoặc miền giao là rỗng ứng với trường hợp hệ ràng buộc không tương thích. Trường hợp miễn phương án X không rỗng ta thực hiện tiếp bước sau.2.2. Xác định phương án tối ưuMột điểm x=(x1,x2)T bất kỳ nằm trong mp tọa độ sẽ cho ta giá trị hàm mục tiêu là: c1x1+c2x2 =f.Tập hợp tất cả các điểm có cùng giá trị hàm mục tiêu là f hình thành nên một đường thẳng vuông góc với véctơ OC với C=(c1,c2)T. Đường thẳng này được gọi là đường thẳng mục tiêu có mức là f.Đặc điểm của các đường thẳng mục tiêu là: nếu tịnh tiến đường thẳng mục tiêu theo cùng hướng vectơ OC thì giá trị hàm mục tiêu sẽ tăng lên. Còn nếu tịnh tiến theo hướng ngược với vectơ OC thì giá trị hàm mục tiêu sẽ giảm đi.3. CÁCH ĐƯA BÀI TOÁN QHTT BẤT KỲ VỀ DẠNG CHÍNH TẮCBài toán qhtt dạng chính tắc là bài toán qhtt có tất cả các ràng buộc chung đều ở dạng đẳng thức và tất cả các biến đều không âm.Tức là bài toán có dạng: f=min1→∑=jnjjxc(max)Với hệ ràng buộc: injjijbxa =∑=1, i=1,2,…,m x≥0, j=1,2,…,n  Trường hợp ràng buộc chung có dấu bất đẳng thức ≤ (hay ≥) thì ta cộng thêm (hay trừ đi) một biến phụ (biến bù) vào vế trái để cân bằng. Biến phụ phải ≥ 0 và hệ số tương ứng trong hàm mục tiêu phải bằng 0. Trường hợp biến có điều kiện ≤ 0 (hay tùy ý) thì ta thay biến đó bằng “đối” của biến không âm (hay bằng hiệu của biến không âm) Kết luận: Mọi bài toán qhtt đều đưa được về dạng chính tắc và việc giải bài toán qhtt đã cho tương đương với việc giải bài toán qhtt dạng chính tắc tương ứng với nó, theo nghĩa là nếu bài toán dạng chính tắc có patư thì từ đó suy ra được patư của bài toán ban đầu, còn nếu bài toán dạng chính tắc không có phương án tối ưu thì bài toán ban đầu cũng không có patư. Nói cách khác: Bài toán ban đầu có patư khi và chỉ khi bài toán dạng chính tắc tương ứng với nó có patư. Như vậy ta chỉ cần tìm cách giải bài toán qhtt dạng chính tắc.4. PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS-JORDAN. NGHIỆM CƠ BẢN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH4.1. Phương pháp khử Gauss-JordanXét hệ thống gồm m phương trình tuyến tính, n biến:Dạng bảng:b x1x2… xv… xn=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa .22112222212111212111 a10a20…ar0…am0a11a21…ar1…am1a12a22…ar2…am2………………a1va2v…arv…amv………………a1na2n…arn…amna’10a’20…ar0/arv…a’m0a’11a’21…ar1/arv…a’m1a’12a’22…ar2/arv…a’m2………………00…1…0………………a’1na’2n…arn/arv…a’mnTrong đó: ai0 =bi, i=1,2,…,mPhép khử Gauss –Jordan (gọi tắt là phép khử) với phần tử trục (Phần tử giải; Phần tử chủ yếu) là arv≠0 (Dòng r được gọi là dòng xoay, cột v được gọi là cột xoay) cho bảng mới tương đương với bảng cũ, theo nghĩa là 2 hệ thống tương ứng với 2 bảng là tương đương với nhau.Quy tắc thực hiện:- Các phần tử trên dòng xoay đều chia cho phần tử trục.- Các phần tử còn lại trên cột xoay đều biến thành 0.- Các phần tử khác tính theo qui tắc đường chéo hình chữ nhật rồi chia cho phần tử trục: [ ]rvivrjrvijrvrvrjvijijaaaaaaaaaaa−×==1' (i=1,2,…,m; j=0,1,2,…,n; i≠r; j≠v)Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính: Lần lượt thực hiện các phép khử Gauss-Jordan với các phần tử trục nằm trên các dòng khác nhau, bảng cuối cùng sẽ cho ta lời giải của hệ phương trình (không chọn phần tử trục nằm trên cột b)Lưu ý: - Trong trường hợp có nhiều phần tử có thể được chọn làm phần tử trục, ta nên chọn phần tử sao cho dễ thực hiện phép chia nhất.- Trên dòng xoay, nếu có phần tử bằng 0 thì cột tương ứng (tức là cột có phần tử =0 này) được giữ nguyên giá trị.- Trên cột xoay, nếu có phần tử bằng 0 thì dòng tương ứng (tức là dòng có phấn tử =0 này) được giữ nguyên giá trị.4.2. Nghiệm cơ sở của hệ phương trình tuyến tínhNghiệm cơ sở (nghiệm cơ bản) của 1 hệ phương trình tuyến tính là nghiệm nhận được từ dạng nghiệm tổng quát khi có các biến tự do nhận giá trị 0.Biến cơ sở (biến cơ bản) ứng với một phương trình là biến có hệ số là 1 ở phương trình đó và có hệ số là 0 ở các phương tình còn lại (nói cách khác: các hệ số tương ứng với biến cơ sở tạo nên các vectơ đơn vị)Các biến không có đặc điểm trên được gọi là các biến phi cơ sở.Trong dạng nghiệm tổng quát, các biến cơ sở đóng vai trò là các biến phụ thuộc còn các biến phi cơ sở là các biến tự do.Nhận xét: khi thực hiện phép khử với 1 phần tử trục thì biến ở cột xoay sẽ trở thành biến cơ sở tương ứng với dòng xoay.Ta thấy một nghiệm cơ sở tương ứng với một dạng nghiệm tổng quát, mà các dạng nghiệm tổng quát khác nhau là do hệ các biến tự do (hay hệ các biến cơ sở) là khác nhau. Do đó để tìm tất cả nghiệm cơ sở ta đưa vào bảng tính cột xB chứa các biến cơ sở tương ứng với mỗi phương trình và tiến hành thực hiện các phép khử với các phần tử trục được chọn sao cho thu được các hệ biến cơ sở khác nhau.Nghiệm cơ sở tương ứng với mỗi bảng sẽ được xác định bằng các cho các biến cơ sở nhận giá trị tương ứng ở cột b, các biến không nằm trong hệ biến cơ sở nhận giá trị 0.- Nghiệm cơ sở suy biến là nghiệm cơ sở tương ứng với nó nhiều hơn 1 hệ biến cơ sở.- Nghiệm cơ sở không suy biến là nghiệm cơ sở có tương ứng với nó đúng 1 hệ biến cơ sở.5. PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊNPacb (phương án cơ sở; phương án cơ bản) của bài toán qhtt dạng chính tắc là phương án đồng thời là nghiệm cơ sở của hệ các ràng buộc chung. Nói cách khác, pacb là nghiệm cơ sở của hệ các ràng buộc chung có thỏa điều kiện về dấu của các biến. - Pacb không suy biến là pacb có tương ứng với nó đúng một hệ biến cơ sở.- Pacb suy biến là pacb có tương ứng với nó nhiều hơn một hệ biến cơ sở.Do số nghiệm cơ sở của một hệ phương trình tuyến tính là hữu hạng nên số pacb là hữu hạng.Số thành phần dương (>0) trong một pacb không vượt quá hạng của hệ ràng buộc chung.Pacb có số thành phần lớn hơn 0 đúng bằng hạng của hệ ràng buộc chung sẽ là pacb không suy biến. Ngược lại, pacb có số thành phần lớn hơn 0 nhỏ hơn hạng của hệ ràng buộc chung có thể là phương án cực biên suy biến.6. CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒITập hợp lồi: Là tập hợp phương án thỏa điều kiện: Nếu có 2 điểm bất kỳ thuộc nó thì cả đoạn thẳng nối 2 điểm cũng thuộc tập hợp đó.Định nghĩa: Điểm cực biên của một tập lồi X là điểm thuộc X, nhưng không phải là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong X.Đỉnh của 1 tập lồi X là điểm thuộc X và tồn tại 1 siêu phẳng sao cho X nằm hoàn toàn về 1 phía của nó và siêu phẳng cắt X chỉ tại điểm đó.Lưu ý: phương trình đoạn thẳng có thể viết dưới dạng: x=xo+αz, ∀α[ ]21,αα∈Đây là đoạn thẳng nằm trên đường thẳng đi qua điểm xo và có vectơ chỉ phương là z.7. CÁC ĐỊNH LÝ Định lý 1 (dấu hiệu của pacb): Một phương án của bài toán qhtt dạng chính tắt là pacb khi và chỉ khi hệ véctơ cột tương ứng với các thành phần dương (>0) là độc lập tuyến tính. Định lý 2 (Điều kiện tồn tại pacb): Bài toán qhtt dạng chính tắc nếu có pa thì sẽ có pacb. Định lý 3 (ý nghĩa hình học của pacb): một pacb tương ứng với 1 điểm cực biên (đỉnh) của tập phương án. Định lý 4 (định lý biểu diễn): iKiLiiiizxxXx∑ ∑= =+=⇔∈1 1βα [...]... = α, x 3 = 2, x 4 = −3α, α ∈ R} 5 Vẽ miền thỏa mãn các bất phương trình tuyến tính (bậc nhất) sau: - 2x1 + 5x2 ≤ 10, - x1 + 3x2 ≤ 3, 2x1 + x2 ≤ 6, x1 + 2x2 ≥ 2 Chỉ rõ các điểm cực biên (đỉnh) của miền này Giải Điểm cực biên của miền này là A(15/7,12/7); B(10/3,-2/3); C(0,1) 6 Dùng phương pháp hình học giải các qui hoạch tuyến tính 2 biến sau: a F(x) = - x1 + x2  max  x1 + x2 ≤ 1 3 x + 2 x ≤ 6 ... cực biên không suy biến của bài toán qui hoạch tuyến tính với điều kiện ràng buộc sau đây:  x1 − x2 − x3 = 1  a Điều kiện:  x1 + x2 + x3 = 3  x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0 2 3  1 Giải Nhận xét: phương án cực biên của bài toán có nhiều nhất 2 thành phần > 0  có ít nhất 1 thành phần = 0 Cho x1=0  VN Cho x2=0  x1 = 2, x3 =1  x1= (2,0,1) Xét hệ {A1,A3} độc lập tuyến tính và x1, x3 > 0 x1 là phương án cực... bài toán ( D, f ) có chứa k vectơ cột đơn vị khác nhau ( k < m )thì ta cần đưa m – k biến giả vào bài toán (M) - Trong bài toán (M), do hàm mục tiêu F phụ thuộc tuyến tính vào M nên các ước lượng của các biến cũng phụ thuộc tuyến tính vào M : Quy tắc xét dấu và ước lượng > 0 nếu nếu ( như sau : ) hoặc ( , ) hoặc , Trong bảng đơn hình: Tách dòng mục tiêu ( dòng cuối ) thành hai dòng riêng: dòng đầu ghi... x3= (8, 2, 0) Xét hệ {A1,A2} độc lập tuyến tính và x1, x2 > 0 x3 là phương án cực biên không suy biến x 1 + x 2 + x 3 = 4  c Điều kiện: x 1 − x 2 = 0 x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0 2 3  1 Giải Nhận xét: phương án cực biên của bài toán có nhiều nhất 2 thành phần > 0  có ít nhất 1 thành phần = 0 Cho x1 = 0  x2 = 0, x3 = 4  x1= (0,0,4) Xét hệ {A2, A3} độc lập tuyến tính và chỉ có x3 > 0 x1 là phương án... tuyến tính và chỉ có x3 > 0 x1 là phương án cực biên suy biến Cho x2 = 0  x1 = 0, x3 = 4  x2 = x1 = (0,0,4) Xét hệ {A1, A3} độc lập tuyến tính và chỉ có x3 > 0 x2 là phương án cực biên suy biến Cho x3 = 0  x1 = x2 = 2  x3= (2,2,0) Xét hệ {A1,A2} độc lập tuyến tính và x1, x2 > 0 x3 là phương án cực biên không suy biến 8 Cho bài toán: f(x) = x1 + 6x3 - 5x4  min (P)  x1 + 2 x3 + 3 x4 = 5  Điều... x3 = -2, x4 = 3  không thỏa điều kiện x3 > 0 Cho x1 = x3 = 0  x2 = 14/3, x4 = 5/3  x1= (0,14/3,0,5/3) Xét hệ {A2, A4} độc lập tuyến tính x1 là phương án cực biên không suy biến Cho x1 = x4 = 0  x2 = 21/2, x3 = 5/2  x2 = (0, 21/2, 5/2, 0) Xét hệ {A2, A3} độc lập tuyến tính x2 là phương án cực biên không suy biến Cho x2 = x3 = 0  x1 = -7, x4 = 4  x3 = (-7, 0, 0, 4)  không thỏa điều kiện x1 >0... x2= (2,1,0) Xét hệ {A1,A2} độc lập tuyến tính và x1, x2 > 0 x2 là phương án cực biên không suy biến  x1 + x2 + x3 = 10  b Điều kiện: 2 x1 − x2 + 3 x3 = 14  x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0 2 3  1 Giải Nhận xét: phương án cực biên của bài toán có nhiều nhất 2 thành phần > 0  có ít nhất 1 thành phần = 0 Cho x1 = 0  x2 = 4, x3 = 6  x1= (0, 4, 6) Xét hệ {A2,A3} độc lập tuyến tính và x2, x3 > 0 x1 là phương...  x j ≥ 0, j = 1,2,3,4  Dạng chuẩn tắc: f(x) = 3x1 + x2  min x 1 ≥ 3   − x 1 − x 2 ≥ −4  Điều kiện: 2 x 1 − x 2 ≥ 5  − 2 x + x ≥ −5 1 2  x j ≥ 0, j = 1,2,3,4  3 Viết các bài toán qui hoạch tuyến tính sau ở dạng chính tắc: a f(x) = 4x1 + 3x2 - 2x3  min  − x1 − x 2 + 4x 3 = 6  2x + x − 3x ≤ 8  1 2 3 Điều kiện:  3x1 + 4x 2 − 2x 3 ≥ 3  x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 tùyý  Giải Đặt x3=x4-x5 (x4,... 3x1 + x4 – x5 min  4 x1 − x3 + 2 x4 − 2 x5 + x6 = 15  5 x − x + 2 x − 2 x = 10  1 3 4 5 Điều kiện:  −3 x1 + 2 x3 − 6 x4 + 6 x5 − x7 = 25  x j ≥ 0, j = (1,3, 4,5, 6, 7)  4 Cho bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc: f(x) = 2x1 + x2 - x3 + x4  max  x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 6 x + x + x = 2  1 2 4 Điều kiện:   x1 − 2 x2 + x3 = 4  x j ≥ 0, j = 1,2,3  a Hãy chỉ rõ 1 phương án của bài toán... tập ( D,f ): Bước 1: Tìm một phương án cực biên ban đầu với cơ sở gồm m vectơ độc lập tuyến tính của A Giả sử =( ), với Ký hiệu: J0 = ( j = 1,…, m ) = { 1, 2,…, m } Hệ là cơ sở của biến là biến cơ sở Mỗi vectơ cột Ak (k = 1, 2, … , n) của A được biểu diễn qua cơ sở Ak = z1kA1 + z2kA2 + … + zmkAm , k = 1, 2, …, n Tính Lập bảng đơn hình ứng với Cơ Hệ Phương sở A1 A2 … Ai … Am số cj c1 c2 … ci … cm án . lập trình trên máy tính ta có thể giải quy hoạch tuyến tính một cách dể dàng nhanh chóng và chính xác. Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng,. cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sự có hiệu quả để giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế mà