Bài tập giới hạn

CHƯƠNG IV. GIớI HạN GIớI HạN CủA DãY Số I. Dãy số có giới hạn 0 Bài 1: Chứng minh: limu n =0 lim|u n |=0. Bài 2: Vì sao dãy số ( ) n u với ( ) n n u 1= không thể có giới hạn 0 khi n + . Bài 3: Cho hai dãy số (u n ) và (v n ). Chứng minh rằng nếu |u n | v n và limv n =0 thì limu n =0. Vận dụng: Chứng minh rằng các dãy số sau đây có giới hạn 0: ( ) ( ) ( ) n 2 2 n n 2 n n n n n n 1 n 1 n 3 1 sin n 1 sin n cosn 1 cosn n sin 2n 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; n 5 n! n 5 2n+1 n n n n n 1 n n n cos sin 1 sin n cosn 1 5 1 5 5 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12)u (0,99) ; 13) u . 3 1 2 3 (0,01) 2 n n n n + + + + + + + + + + = = + + Bài 4: Chứng minh rằng : 3 3 3 1 1 1 1 3 2n 1 a) lim . ; b) lim . . 0. 2 4 2n n 1 n 2 n n + + + = ữ ữ + + + Bài 5: Cho dãy số (u n ) với n n n u . 3 = CMR: a) n 1 n u 2 , n u 3 + . b) n n 2 0 u , n 3 < ữ . c) Dãy (u n ) có giới hạn 0. Bài 6: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 2 n 1 n 1 n u1 u v u u , n 4 2 + = = + . CMR: n 1 n n u1 3 a)0 u , n; b) , n. 4 u 4 + < Từ đó suy ra limu n =0. Bài 7: Cho dãy số (u n ) xác định bởi n 1 n 1 u1 u v u , n 2 n 1 + = = + a) Chứng minh rằng u n >0 và n 1 n u 1 , n. u 2 + b) Từ đó suy ra limu n =0. II. Dãy số có giới hạn hữu hạn Bài 8: Các dãy số (u n ) và (v n ) với n n u cosn , v sin n 2 = = + ữ có giới hạn hữu hạn không? Bài 9: a) Cho biết dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn, còn dãy (v n ) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u n +v n ) có thể có giới hạn hữu hạn không? b) Dãy số ( ) n 1 1 n + ữ có giới hạn hữu hạn hay không? c) Cho hai dãy số (u n ) và (v n ) không có giới hạn hữu hạn. Có thể kết luận rằng dãy số (u n +v n ) có giới hạn hữu hạn đợc không? Bài 10: áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: 2 2 2 n 2 2 2 n 2n n 1 2n 1 n n 2n 3 5.2 cos5n 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; 5)lim ; 6) lim . 2n 1 2n 1 n 1 2 3n 2(n 1) 2 + + + + + + + + Bài 11: Tính các giới hạn sau 2 2 3 2 5 2 2 3 5 3 2 3 2 2 2 2 2 3 4 3 2 4 2 3n 5n 4 6 3n n 2n 4n 3n 7 2n 6n 9 1) lim ; 2) lim ; 3)lim ; 4)lim ; 2 n 3n 5 n 7n 5 1 3n 2n 1 5n n 3n n n 3 2n n 2 5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8)lim ; 2n 3 5n 1 n 1 3n 1 n 3n 3n 5 n n sin n 1 9) lim ; 10) 2n n 7 + + + + + + + + + + + + ữ ữ + + + + + + + 2 2 4 2 4 2 1 4n 9n 2n n 4 n 2n 3 lim ; 11) lim ; 12) lim ; 1 2n 2n 3 2n n 1 + + + + + + 2 6 2 2 6 5 2 2n 1 n 3n 3 4n 1 n n 1 13) lim ; 14) lim ; 15) lim ; 16) lim ; 1 3n 2n n 2 n 1 3n 2 + + + + 1 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 (2n 1)(n 2) 5n 5n 1 (n n)(2n 1) 2n n 1 17)lim ; 18)lim ; 19)lim ; 20)lim ; 2n 3n 1 (5n 2)(n 4) n 3n 1 n n 3 2 n 3n 5 1 n n 1 3n n n 2 n 3 4n 1 21)lim 22)lim ; 23)lim ; 24)lim . 7n 6n 9 2n 3 n n 1 27n n 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Bài 12: Tính các giới hạn sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 . n 2 4 . 2n n 1) lim ; 2)lim n ; 3) lim ; n 1 n 2 1 2 3 . n 1 2 3 4 5 . 2n 1 2 3 . n 2 4 6 . 2n 4) lim ; 5) lim ; 6)lim ; 1 3 5 . 2n 1 n n n 2 n 1 4n 1 1 1 1 1 7) lim . ; 8)lim 1.2 2.3 n n 1 + + + + + + ữ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ữ ữ + ( ) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 (n 3)! . ; 9) lim ; 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 2(n 1)! (n 2)! 2 1 3 1 n 1 1 1 1 1 1 1 10)lim . . ; 11)lim 1 1 . 1 ; 12) lim 1 1 . 1 ; n n 1 2 1 3 1 n 1 3 6 2 3 n 2 13) l + + + + ữ + + + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ + + + ữ ữ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 . n 1 3 . (2n 1) 1 1 1 im ; 14) lim ; 15)lim 1 1 1 . 2 4 . (2n) 2 4 . (2n) 4 9 n 1 + + + + + + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + + Bài 13: Tính các giới hạn sau: ( ) n n n 2 n n n n n n n n n 1 n 1 n n 1 n n n n n n 2n n n n n n n n n n n n 5 2 1 7 7.2 4 5.2 3 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; 3 3 7 2.3 4 2 3 3 4 a b 2 3 3.5 2.3 5)lim ; 6)lim a, b 0 ; 7)lim ; 8)lim ; 2 10.3 7 a b 2.3 5.2 5 5.3 7.5 2.7 9)lim ; 10 5 5.7 + + + + + + ữ + ữ ữ ữ + + + > + + + + + n n n n n n 1 n n n 1 n 1 n n n n 2 n n n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 7.3 2.6 ( 2) 5 4.3 7 )lim ; 11) lim ; 12)lim ; 5.3 5.6 3 5 2.5 7 ( 3) 5 2 3 4 ( 3) 5 5 7 1 13)lim 14)lim ; 15)lim ; 16)lim . ( 3) 5 1 2 3 4 3 5 3 7 3.2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Bài 14: Tính các giới hạn sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3n 1 n 1 2n 1 n 1 1) lim n n n ; 2)lim ; 3) lim ; n n 1 5)lim n n 1 n 1 ; 6) lim( n n n 1); 7) lim n 1( n 2 n ); 1 7) lim ; 8) lim n 2n n ; 9) lim n n n . n n 1 n 1 + + + + + + + + + + + Bài 15: Các dãy số sau có giới hạn không khi n + ? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó. 1) Dãy số (u n ) xác định bởi 1 n 1 n u 2 u 2 u , n 1 + = = + ; 2) Dãy số (u n ) xác định bởi 1 n n 1 u 0 u 3 u , n 1 4 + = + = ; 3) Dãy số 1 1 1 2,2 , 2 , 2 , . 1 1 2 2 2 1 2 2 2 + + + + + + ; 4) Dãy số (u n ) xác định bởi 1 n 1 n n 1 1 x 0, x x 2 x + > = + ữ ; 5) Dãy số (u n ) xác định bởi 1 n n 1 u 2 ; u 1 u , n 1 2 + = + = 6) Dãy số (u n ) xác định bởi 1 n 1 n 1 u 2 1 u , n 1. 2 u + = = 2 Bài 16: Cho dãy (u n ) xác định bởi 2 n n 1 1 u 1 u 1,u . 2 3 + = = CMR dãy số (u n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 17: Cho dãy số n (x ) xác định nh sau 1 n 1 n 1 x 1, x . 1 x + = = + Tìm n 1 lim . 1 x+ III. Cấp số nhân lùi vô hạn Bài 16: Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn (u n ), biết tổng của nó bằng 2 2 2 1+ và u 2 2= . Bài 17: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội 2 q 3 = . Bài 18: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 3 4 và số hạng đầu là một số dơng. Bài 19: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 1 n 1 n 2 u 5, u u 6, n 1. 3 + = = Gọi (v n ) là dãy số xác định bởi v n =u n +18. a)Chứng minh (v n ) là cấp số nhân lùi vô hạn; b)Tính tổng của cấp số nhân (v n ) và tìm limu n . Bài 20: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 1 n 1 n u 3 2u u 1, n 1. + = = + Gọi (v n ) là dãy số xác định bởi v n =u n -1. a)Chứng minh (v n ) là cấp số nhân lùi vô hạn; b)Gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số (u n ). Tìm limS n . Bài 21: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dới dạng phân số: a)2,131313; b)34,121212; c)0,222; d)0,393939; e)0,27323232 Bài 22: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 2 3 n n 1 2 n 2 3 n 2 n 2 n 1 1 1 1 1) lim 1 0,9 0,9 0,9 . 0,9 ; 2) lim 1 . ; 3 9 27 3 1 3 5 2n 1 3) lim sin sin . sin , k ; 4) lim . ; 2 2 2 2 2 1 a a . a 5)lim a 1, b 1 . 1 b b . b + + + + + + + + ữ ữ + + + + + + + + ữ ữ + + + + < < + + + + IV. Dãy số có giới hạn vô cực Bài 23: Tìm giới hạn của dãy (u n ) với n 1 1 1 u . . 1 2 n = + + + Bài 24: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 2 n 3 33 2 3 2 3 3 5 4 n n 1 n n 3 2 4 2 1) lim 3n 101n 51 ; 2) lim 2n 3n 5 ; 3) lim n 50n 11 ; 4) lim 5n 3n 7; 5)lim 2n n 2; 6) lim 1 2n n ; 7) lim 7n n ; 8)lim 1,001 ; 3n n n n 3n 2 9) lim 2 4.3 ; 10) lim 2.3 4 ; 11) lim ; 12) lim ; 2n 15 4n 6n 9 2n n 13) lim + + + + + + + + + + + ( ) ( ) 3 2 6 3 32 3 2 n n 1 n n n n 2 n n 2n 1 1 3n 7 2n 15n 11 n 7n 5n 8 ; 14)lim ; 15)lim ; 16) lim ; 3n 5 n 12 3n n 3 n 7n 5 3 11 2 3.5 3 1 101 17) lim ; 18)lim ; 19) lim ; 20)lim ; 1 7.2 3.2 7.4 n n 2 7.2 5 + + + + + + + + + + + + + + 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 4 2 n 1 n 4 3 2 n 2 1 21) lim n n 1 n 1 ; 22) lim 2n 3 n 1 ; 23) lim n 1 n n; 24) lim ; n 2 n 1 1 n 1 n 1 2n n 2 25)lim ; 26) lim n n n n ; 27) lim ; 28) lim ; 3n 2 3 2n 3n 2 2n 1 2n 11 n 2n n 20 2 3 11 29) lim ; 30) lim ; 31) lim n 3n n 2 2n n 7 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + n n 3 n n n n 1 4 n 4 2 n 1 13.3 5n ; 32) lim ; 2 4 3.2 5.4 2n 3 3 2 33) lim 2n n 3; 34)lim 3.4 n 2; 35) lim(2n 1) ; 36)lim . n n 2 5n 3 + + + + + + + + + + GIớI HạN CủA HàM Số V. Tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa Bài 25: Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 2 2 x 2 x x x x 3x 2 x 5x 4 x 3x 4 1 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4)lim ; x 1 x 3x 2 x 1 5 x x 1 x 1 3 5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim x x 1 . x 1 2x 1 x 2 + + + + + + + + + + + + + + + VI. Chứng minh giới hạn của hàm số không tồn tại Bài 26: Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại: x 0 x x x x 0 x 0 1 1 2 1) lim sin ; 2) lim cos x; 3) lim sin 2x; 4) lim cos3x; 5) lim cos ; 6) lim sin . x 2x x + + + Bài 27: Chứng minh rằng hàm số f(x) không tồn tại giới hạn khi x 0 : ( ) ( ) ( ) 2 2 x, x 0 x , x 0 x 1, x 0 a)f x b)f x c)f x 1 x, x 0. 2x, x 0. x 1, x 0. + = = = < < < . VII. Các phơng pháp tìm giới hạn của hàm số 1-Tìm giới hạn dạng xác định Bài 28: Tính các giới hạn sau: 1) 2 1 lim( 2 1) x x x + + 2) 1 lim( 2 1) x x x + + 3) ( ) 2 3 lim 3 4 x x 4) 1 1 lim 2 1 x x x + ; 5) 2 5 1 1 lim ; 2 3 + + + x x x x 3 4 2 4 2 x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 1 1 1 x x x 3x 1 x 6) lim x 1 ; 7) lim ; 8)lim ; 9) lim x 4 ; 10)lim . 1 x (2x 1)(x 3) 2x 1 1 x + + ữ + 2-Tìm giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức đại số Bài 29: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 x 1 x 3 x 2 x 1 3 3 3 2 3 x 1 x 1 x 0 h 0 2 3 2 3 2 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 3x 2 x 1 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4)lim ; x 1 x 2x 15 x 2x 3 x 2 x 2 8 2 x h 2x x x 1 3 5) lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8)lim ; 1 x 1 x x h x 1 2x 3x 1 x x 2x 8 9) lim ; 10) lim x x x 1 x + + + + + ữ + + + 3 2 3 2 2 1 x 3 x 2 x 4x 4x 3 8x 1 ; 11) lim ; 12) lim ; 3x 2 x 3x 6x 5x 1 + + + 4 ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 3 4 3 2 2 4 x 1 x 3 x 1 3 100 3 50 x 2 x 0 x 1 2 n x 1 x 1 2x 5x 3x x 1 x 5x 6 x 3x 2 13) lim ; 14) lim ; 15)lim ; 3x 8x 6x 1 x 8x 15 x 4x 3 1 x 1 2x 1 3x 1 x 3x 9x 2 x 2x 1 16) lim ; 17) lim ; 18) lim ; x x 6 x x 2x 1 x x . x n x 19) lim ; 20)lim x 1 + + + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) m n m n x 1 n n n 1 n n n m 2 2 x a x a x 0 x 4 x 0 x 0 1 m n ; 21) lim ; x 1 1 x 1 x x a n.a x a x a (1 mx) (1 nx) 22) lim ; 23) lim ; 24) lim ; x a x x a 3 x 1 1 sin 2x cos2x 2 25)lim ; 26)lim ; 28)lim c otx . x 2 2 1 sin 2x cos2x sin 2x ữ + + ữ + 3-Tìm giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai Bài 30: Tính các giới hạn sau 2 2 x 0 x 1 x 7 x 1 2 3 2 2 x 6 x 5 x 2 x 0 2 2 x 1 x 1 x 0 x 4 2 x 3 2 2 x 2 x 2x 1 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x x 1 x 49 x 12x 11 x 2 2 x 4 3 x 5 3 x 1 1 5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim ; x 6 x 25 x 2 x x x 2x 1 2x 1 x 1 9) lim ; 10)lim ; 11) lim 1 x x x 1 x + + + + + + + + ( ) x 2 2 2 2 2 x 0 x 1 x 2 x a 2 2 x 1 x 3 x 1 x 0 x 2 2 x 1 x ; 12)lim ; x 7 3 x 1 1 4 x 2 x 2 2x x a x a 13) lim ; 14) lim ; 15) lim ; 16) lim ; 3 2x 9 x 1 3 x 9 x 3 x a 4x 5 3x 5 x 1 3x 5 x x 1 1 x 1 1 17) lim ; 18)lim ; 19) lim 20) lim x 3 2 2x 3 x 6 x 1 + + + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 x 2 x 1 x 1 x 3 ; x x 7 3 x 2 1 2x 2 3x 1 x 2x 6 x 2x 6 21) lim ; 22) lim ; 23) lim ; 24)lim . x 4 x 1 x 4x 3 x 5 2 + + + + + + + + 4-Tìm giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao Bài 31: Tính các giới hạn sau 3 3 3 3 3 x 2 x 0 x 1 x 1 2 3 3 3 3 3 3 x 1 x 0 x 1 x 8 5 4 x 0 x 1 4x 2 1 x 1 2x 1 1 x 1 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x 2 x x 1 x 2 1 2x 1 x x 1 x 1 x x x 1 9 2x 5 5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8)lim ; x 1 x 1 2x 1 x 1 x 2 5x 1 1 4x 3 1 9) lim ; 10)lim ; 11) li x x 1 + + + + + + + + + + + 7 4 x 1 x 1 3 n m n n 1 n x 0 x 1 4x 3 1 2 x 1 m ; 12)lim ; x 1 x 1 1 x 1 x 1 (1 x )(1 x ) .(1 x ) 13) lim ; 14)lim ; 15)lim . x (1 x) x 1 + 5-Tính giới hạn dạng 0 0 của hàm số sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng Bài 32: Tính các giới hạn sau 5 43 3 3 2 x 0 x 1 x 1 x 0 2 1 x 8 x 2x 1 x 2 2x 2 7x 1 1 2x 1 3x 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x x 1 x 1 x + + + + + 5 ( ) 2 7 3 3 2 3 3 2 x 1 x 0 x 0 2 m 3 n 2 3 4 x 7 x 0 x 1 x 2009 1 2x 2009 2 5 x x 7 1 2x 1 3x 1 4x 1 5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x 20 2x 1 x 3x 1 8)lim ; 9)lim ; 10) lim . x x 9 2 x 2 x x 1 → → → → → → + − − − − + + + + − − + α +β − + − + − + − + + − − + − + → − − + − 3 1 2 2 1. 5 3 11) lim 1 x x x x → + − + − − 3 2 2 3 2 2 12) lim ; 2 x x x x x → + + + − − 1 4 5 3 1 5 13) lim 1 x x x x 6-TÝnh giíi h¹n d¹ng ∞ ∞ cña hµm sè Bµi 33: TÝnh c¸c giíi h¹n sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →−∞   − + + − + − + + +   − − + − +   + +   + + + + + + − + + + + + + + 2 5 3 2 2 5 4 2 2 2 100 100 100 2 3 2 100 10 2 2 2 1 3 1 6 7 4 3 3 2 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 8 5 2 1 2 1 4 8 5 2 1 2 . 100 2 3 4 7 2 3 4) lim ; 5) lim ; 6) lim 10 100 3 1 10 9 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ + − + − − − − − + + + + + + − − + − + − + − + + + + − + − − + + 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 ; 1 2 1 2 3 4 5 1 7) lim ; 8) lim ; 9) lim ; 2 1 5 1 3 1 4 1 2 1 5 3 1 4 5 2 1 10) lim ; 11) lim ; 12) lim ; 13) lim ; 1 4 3 1 3 2 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 6 6 4 3 2 2 2 3 x x x x 2 4 5 2 2 x x x x 2 x x 3x x 3x x x 11 2x x 10 14) lim ; 15) lim ; 16) lim ; 17) lim ; 2x 1 2x 1 2x 7 9 3x x 7x 12 x 4 x x 11 3x 1 18) lim ; 19) lim ; 20) lim ; 21) lim ; 3 x 17 x 4 2x x 1 1 x 4x x x x x 22) lim x 10 →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ − − − + + − + + − − − + + + − + − + + + − + − + + + 4 2 2 2 x x x 2x x 1 x x 5 x x 1 ; 23) lim ; 24) lim ; 25) lim . 1 2x 2x 1 x →+∞ →−∞ →−∞ + − − + + + − − 7-TÝnh giíi h¹n d¹ng ∞ − ∞ cña hµm sè Bµi 34: TÝnh c¸c giíi h¹n sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x x 2 2 2 x x x 2 2 2 2 2 2 x x x 3 3 2 x 1) lim x 1 x ; 2) lim x x 1 x ; 3) lim x 1 x 1 ; 4) lim 3x x 1 x 3 ; 5) lim 3x x 1 x 3 ; 6) lim 2x 1 x ; 7) x x x 4 ; 8) lim x 2x 4 x 2x 4 ; 9) lim x 8x 4 x 7x 4 ; lim 10) lim x 3x x 2x ; →+∞ →+∞ →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + − + + − + + − + + − + + + + + + − + + + − − + + + − + + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 2 2 2 n x x n 1 2 n x x x 2 2 2 x x x 2 x x x 1 x x 1 11) lim x( x 2x 2 x x x); 12) lim ; x 13) lim (x a )(x a ) .(x a ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ; 16) lim 2x 5 4x 4x 1 ; 17) lim x 4x 9 2x ; 18) lim x x 1 x ; 19) lim x 3 →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ − − + + − + − + + + + + − + − + + − − − − − + + + − ( ) ( ) ( ) 3 4 4 2 2 3 x x x 5 3x 2 ; 20) lim x x 2x x 2 x x ; 21) lim x 1 x . →+∞ →−∞ + − − + + − + + − 8-TÝnh giíi h¹n d¹ng 0.∞ cña hµm sè Bµi 35: TÝnh c¸c giíi h¹n sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 x x x 2 x 1 x x x 1 2x 1 1) lim x 2 ; 2) lim x 1 ; 3) lim x 2 ; 4) lim x 1 ; x 4 x 1 x x x x 2 + + →+∞ →−∞ → → − − + − + + + − − + + + 6 ( ) ( ) 3 2 3 5 2 x x x 2 3x 1 2x x 3 x 4 5) lim 1 2x ; 6) lim x ; 7) lim . x 1 x x 3 4 x x 2 + + + + + + VIII. Giới hạn một bên Bài 36: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau ( ) x 1 x 5 x 3 x 1 1 1 a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim . x 3 x 3 + + + Bài 37: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 4 x 0 x 2 x 3 x 1 2 2 x 2 x 2 x 1 x 1 2 3 2 2 x 2 x 1 x 2 x 4 x x 7x 12 x 3x 2 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x x 2 x 9 x x x 3x 6 3x 6 x 3x 2 x 3x 2 5) lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim ; x 2 x 2 x 1 x 1 x 4 x 1 9) lim ; 10) lim ; 11) x 1 x 1 2 x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 3 x 3 x 1 1 x x 1 9 x lim ; 12) lim 2x 7x 3 x x + + + Bài 38: Gọi d là hàm dấu: ( ) < = = > 1với x 0 d x 0 với x 0 1 với x 0 . Tìm ( ) ( ) ( ) + x 0 x 0 x 0 lim d x , lim d x và lim d x (nếu có). Bài 39: Cho hàm số ( ) = 3 2 x với x<-1 f x 2x 3 với x 1 . Tìm ( ) ( ) ( ) + x 1 x 1 x 1 lim f x , lim f x và lim f x (nếu có). Bài 40: Cho hàm số ( ) = + > 2 2 x 1 với x -2 f x 2x 1 với x 2 . Tìm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + x 2 x 2 x 2 lim f x , lim f x và lim f x (nếu có). Bài 41: Cho hàm số ( ) + = > 2 x 2x 3 với x 2 f x 4x 3 với x 2 . Tìm ( ) ( ) ( ) + x 2 x 2 x 2 lim f x , lim f x và lim f x (nếu có). Bài 42: Cho hàm số ( ) = = > 2 2 9 x với -3 x<3 f x 1 với x 3 x 9 với x 3 . Tìm ( ) ( ) ( ) + x 3 x 3 x 3 lim f x , lim f x và lim f x (nếu có). Bài 43: Tìm giới hạn một bên của hàm số ( ) + = 2 2 2x 3 với x 1 5 f x 6-5x với 1<x<3 x-3 với x 3 x 9 khi x 1 và x 3 . Bài 44: Ta gọi phần nguyênn của số thực x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và kí hiệu nó là [x]. Chẳng hạn [5]=5; [3,12]=3; [- 2,587]=-3. Vẽ đồ thị hàm số y=[x] và tìm [ ] [ ] [ ] + x 3 x 3 x 3 lim x , lim x và lim x (nếu có). IX. Một vài qui tắc tìm giới hạn Bài 45: Tìm các giới hạn sau ( ) 33 2 2 3 x x x 3 2 2 3 3 2 x x x 1) lim 3x 5x 7 ; 2) lim 2x 3x 12; 3) lim 1000 x ; 1 4) lim ; 5) lim 3x 5x; 6) lim x 3x ; 2x x 3x 5 + + + + + + + Bài 46: Tìm các giới hạn sau 2 2 x 0 x 2 x 2 x 2 2x 1 2x 1 1 1 1 1 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x 2 x 2 x x x 2 x 4 + + + ữ ữ ( ) 2 2 2 2 3 2 x 0 x 2 x 3 x 2 2 x x 3 1 2x x 4 5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim . x x x 3 x 2 x 2 + + + Bài 47: Tìm các giới hạn sau 3 4 4 2 2 2 x x x x x 5 x x 2x x 1 x 5x 2 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim . x 1 1 2x x x 1 2 | x | 1 + + + + + + 7 Bài 48: Tìm các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 2 2 x 1 x 1 x 1 x 2 1 2x 3 5 1 1 1 4x 3 1)lim . ; 2) lim ; 3) lim . ; 4) lim . 2x 3 x 3 2x 3x 2 x 1 x 3x 2 x 1 x 3 + + + ữ + + X. Hàm số liên tục tại một điểm Bài 49: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trớc ( ) ( ) = + = + 3 3 2 x 1 1)f x x x 3 và g x x 1 tại điểm Ă 0 x . ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = = 2 3 x 3x 2 x 1 với x 2 với x 1 2)f x tại điểm x=2; 3)f x tại điểm x=1; x 2 x 1 1 với x=2 2 với x=1 1 với x 0 4)f x tại điểm x=0; 5)f x | x | tại điểm x=0; x 0 với x=1 ( ) ( ) + = = 2 1 1 x x 1 với x 1 với x 0 x 6)f x tại điểm x=0; 7)f x tại điểm x=-1; 1 với x=-1 1 với x=0 2 2 ( ) = + 2 x 4 với x -2 8)f x tại điểm x=-2. x 2 4 với x=-2 Bài 50: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1 ( ) ( ) + + = = + 3 2 2 x a với x=1 x x 2x 2 với x 1 1)f x ; 2)f x . x 1 x 1 với x 1 3x a với x=1 x 1 Bài 51: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3 ( ) = 2 2 2 a với x=0 x x 6 f x với x 3x 0 . x 3x b với x=3 Bài 52: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trớc ( ) ( ) ( ) ( ) + + < = = + = = 2 2 2 2 3 x 1với x 1 x 4 với x 2 1)f x tại điểm x=1; 2)f x tại điểm x=2; x 1 với x>1 2x 1 với x 2 x với x<0 4 3x với x -2 3)f x tại điểm x=0; 4) f x tại điểm x=-2. x với x>-2 1 x với x 0 . Bài 53: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0 ( ) ( ) 2 2 x a khi x 0 x 2a khi x 0 a)f x ; b)f x . x 1 khi x 0 x x 1 khi x 0 + < + < = = + + + Bài 54: Cho hàm số ( ) 2 x 3x 2 khi x 1 x 1 f x a khi x 1 + = = . a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1; c)Tìm a để hàm số liên tục trên .R Bài 55: Tổng của hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x 0 đã cho hay không nếu: a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn tại điểm x 0 . b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn tại điểm x 0 . Nêu ví dụ tơng ứng. XI. Hàm số liên tục trên một khoảng Bài 56: Chứng minh rằng: a)Hàm số f(x)= 4 2 x x 2 + liên tục trên .R b)Hàm số ( ) 2 1 f x 1 x = liên tục trên khoảng (-1; 1). 8 c)Hàm số f(x)= 2 8 2x liên tục trên nửa khoảng 1 [ ; ) 2 + . Bài 57: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó: ( ) ( ) ( ) 2 2 x 3x 4 1 a)f x ; b)f x 1 x 2 x; c)f x x x 3 . 2x 1 x 2 + + = = + = + + + + Bài 58: Giải thích vì sao: a)Hàm số f(x)= 2 2 x sinx-2cos x+3 liên tục trên .R b)Hàm số ( ) + = 3 x xcosx+sinx g x liên tục trên . 2sinx+3 R c)Hàm số ( ) ( ) + = 2x 1 sinx-cosx h x liên tục tại mọi điểm x k , k . xs inx R Bài 59: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = + + = + + + 2 2 x 1 a)f x ; b)f x 3x 2; c)f x x 2 x 3; d)f x x 1 sinx. x 7x 10 Bài 60: Hàm số ( ) + = + 3 x 8 với x 2 f x 4x 8 3 với x=2 có liên tục trên R không? Bài 61: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + < = = = + + = = = + 2 2 2 2 2 2 2 2 a x với x 2 x x khi x 1 x với x<1 1)f x ; 2)f x ; 3)f x ; 1 a x với x>2 ax+1 khi x 1 2ax+3 với x 1 x 3x 2 2x a với 0 x<1 x với 0 x 1 với x<2 4)f x ; 5)f x ; 6)f x x 2x 2-x với 1<x 2 ax 2 với 1 x 2 mx+m+1 với x 2 . Bài 62: Xét tính liên tục của hàm số + = + 2 2 2x 1 2x 2 nếu x > 1 x 1 f(x) x mx nếu x 1 2 trên Ă . XII. ứng dụng hàm số liên tục Bài 63: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c thuộc [0; 1] sao cho f(c)=c. Bài 64: Chứng minh rằng: 1)Phơng trình + = 5 x x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). 2)Phơng trình sinx-x+1=0 có nghiệm. 3)Phơng trình + + = 3 2 x 1000x 0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm. 4)Phơng trình = 3 2 1 x 1000x 0 100 có ít nhất một nghiệm dơng. 5)Phơng trình + = 4 2 x 3x 5x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). 6)Phơng trình + + = 3 x x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. 7)Phơng trình 4 2 4x 2x x 3 0+ = có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1). 8)Phơng trình 2x+ 3 6 1 x =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9). 9)Phơng trình + = 3 2x 6x 1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2). 10)Phơng trình + = 3 2 x mx 1 0 luôn có nghiệm dơng. 11)Phơng trình + + + = 3 2 x ax bx c 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c. 12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phơng trình 2 atan x+btanx+c=0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng k ; k , k . 4 + ữ R Bài 65: Cho hàm số ( ) = 1 với x 0 f x . x 1 với x=0 a)Chứng tỏ f(-1).f(2)<0. b)Chứng tỏ f(x) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2). c)Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục không? Bài 66: Cho a, b là hai số dơng khác nhau. Ngời ta lập hai dãy (u n ) và (v n ) bằng cách đặt 9 n n 1 1 n 1 n 1 n n u v u a, v b, u , v u v (n 1, 2,3, .) 2 + + + = = = = = . Chứng minh rằng n n lim u lim v .= Bài 67: Cho dãy (s n ) với k n n n 1 k 1 n 1 2 s , n *. 2 k + = + = Ơ Tính n lims . Bài 68: Tính các giới hạn p p p p 1 n! 1 2 . n a)lim ; b) lim , p *. (2n 1)!! n + + + + + Ơ CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN Hệ VUÔNG GóC TRONG KHÔNG GIAN Bài 69: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lợt thuộc AB và CD sao cho MA 2MB,= uuuur uuur ND 2NC= uuur uuur ; Các điểm I, J, K lần lợt thuộc AD, MN, BC sao cho IA kID, JM kJN,= = uur uur uuur uur KB kKC= uuur uuur . Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 70: Cho hình hộp ABCD.ABCD; Các điểm M, N lần lợt thuộc các đờng thẳng CA, DC sao cho MC mMA, ND mNC'.= = uuur uuuur uuur uuuur Xác định m để các đờng thẳng MN, BD song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết ã ã ã = = = = = = 0 ABC ABB' CBB ' 60 và BA a,BB' b, BC c. Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC.ABC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của BB, AC. Điểm K thuộc BC sao cho = uuuur uuuur KC' 2KB'.Chứng minh bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng. Bài 72: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lợt tại các điểm 1 1 1 1 A ,B , C ,D . CMR: + = + 1 1 1 1 SA SC SB SD . SA SC SB SD Bài 73: Cho hình hộp ABCD.ABCD có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 60 0 ã ã =(BAD A' AB ã = = 0 A' AD 60 ) . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi AP D'A, C'Q DC'.= = uuur uuuur uuuur uuuur Chứng minh rằng đờng thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB. Tính độ dài đoạn thẳng PQ. Bài 74: Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi D 1 , D 2 , D 3 lần lợt là điểm đối xứng với của điểm D qua A, B, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D 1 D 2 D 3 D. Bài 75: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD. Gọi M, N lần lợt là các điểm thuộc AD và DB sao cho ( ) MA kMD', ND kNB k 0, k 1 .= = uuuur uuuur uuur uuur a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(ABC). b) Khi đờng thẳng MN song song với đờng thẳng AC, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD và DB. Bài 76: Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD. a) Tính độ dài MN. b) Tính góc giữa đờng thẳng MN với các đờng thẳng BC, AB và CD. Bài 77: Cho hình tứ diện ABCD; I và J lần lợt là trung điểm của AB và CD; M là điểm thuộc AC sao cho 1 MA k MC;= uuuur uuur N là điểm thuộc BD sao cho 2 NB k ND= uuur uuur . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi 1 2 k k= . Bài 78: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. a) Đặt ã ã ã = = = > 3 xOy , yOz , zOx . Chứng minh rằng cos +cos +cos . 2 b) 1 1 1 Gọi Ox ,Oy ,Oz lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox 1 và Oy 1 vuông góc với nhau thì Oz 1 vuông góc với cả Ox 1 và Oy 1 . Bài 79: Cho hai đờng thẳng 1 , cắt ba mặt phẳng song song ( ) ( ) ( ) , , lần lợt tại A, B, C và A 1 , B 1 , C 1 . Với điểm O bất kì trong không gian, đặt 1 1 1 OI AA , OJ BB , OK CC .= = = uur uur uuuur uuur uuuur uuuuv Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 80: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB CD AC BD BC AD 4 IJ HK EF .+ + + + + = + + Bài 81: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lợt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho 1 AM AB, 3 = uuuur uuur 2 1 BN BC, AQ AD, DP kDC. 3 2 = = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên mặt phẳng. 10 [...]... 3 số hạng a 2 cos , b 2 cos , c 2 cos có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại Bài 91: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD Lấy các điểm I, J, ur u ur u r u u ur u u u ur uu ur K lần lợt thuộc các đờng thẳng BC, CA, AD sao cho IB = kIC, JA = kIC, KA = kKD trong đó k là một số khác 0 cho trớc Chứng minh rằng: a)MN IJ và MN JK b)AB CD Bài. .. Bài 88: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, Klần lợt là trung điểm của BC, CA, AD, DB Tính góc giữa hai đờng thẳng AB và CD trong các trờng hợp sau: a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đờng chéo IH = 3IJ b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật Bài 89: Cho tứ diện ABCD có CD = 4 5 AB Gọi I, J, Klần lợt là trung điểm của BC, CA, AD, DB Cho biết JK = AB , 3 6 tính góc giữa đờng thẳng CD với các đờng thẳng IJ và AB Bài. .. cạnh bằng nhau Bài 95: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông tại A a) Chứng minh ASC là tam giác vuông ã ã b) Tính SA, SB, SC biết rằng ACB = , ACS = và BC=a ã Bài 96: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), SA=a, và ABC = 60 0 a)Tính độ dài các cạnh SB, SC, SD b)Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh rằng IB=ID Bài 97: Chứng... MN A 'C Bài 100: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Trên DC và BB' ta lần lợt lấy các điểm M và N sao cho DM=BN=x với 0 x a Chứng minh hai đờng thẳng AC' và MN vuông góc với nhau Bài 101: Cho hình thang ABCD vuông ở A và D, AB=AD=a, DC=2a Trên đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại D lấy một điểm S sao cho SD=a Các mặt bên của tam giác là những tam giác nh thế nào? Bài 102:... minh rằng góc góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I, J ã ã ã Bài 84: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a, BAD = 600 , BAA' = DAA' = 120 0 a) Tính góc giữa các cặp đờng thẳng AB với A'D và AC' với B'D b) Tính diện tích của các hình A'B'CD và ACC'A' c) Tính góc giữa đờng thẳng AC' và các đơng thẳng AB, AD, AA' Bài 85: Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đờng thẳng AB và CD bằng ... mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD) Chứng minh rằng SO mp(d, d1) Bài 93: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đờng chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác BCE và ADF Chứng minh rằng: a)ACH và BFK là các tam giác vuông b)BF AH và AC BK Bài 94: a)Cho tứ diện DABC có cạnh bằng nhau Gọi H là hình chiếu của D trên... thuộc vào x khi và chỉ khi AB=CD Bài 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA và CD a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (P) là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB=a, SB=b, M là trung điểm của AD Bài 87: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm... nhọn (cả ba góc của nó đều nhọn) 12 6 5 Bài 98: Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và DA mp(ABC), AB=AC=a, BC= a Gọi M là trung điểm của BC Vẽ AH vuôngg góc với MD (H thuộc đờng thẳng MD) a) Chứng minh rằng AH mp(BCD) b) Cho AD= 4 a Tính góc giữa hai đờng thẳng AC và DM 5 c) Gọi G1, G2 lần lợt là các trọng tâm của các tam giác ABC và DBC CMR: G1G2 mp(ABC) Bài 99: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'...11 Bài 82: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Một đờng thẳng d cắt các đơng thẳng AA', BC, C'D' lần lợt tại M, N, P sao cho u ur uu uu ur MA NM = 2NP Tính MA ' Bài 83: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA=SB và SA vuông góc với BC a) Tính góc giữa hai đờng thẳng SD và... phẳng (ABCD) Gọi H, I và K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD Chứng minh: a)BC (SAB), CD (SAD) và BD (SAC) b)SC (AHK) và I (AHK) c)HK (SAC), từ đó suy ra HK AI Bài 103: Cho tam giác ABC vuông tại C Trên nửa đờng thẳng At vuông góc với (ABC) lấy điểm S Gọi H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC Chứng minh AK vuông góc với (SBC) và KH vuông góc . có giới hạn hữu hạn, còn dãy (v n ) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u n +v n ) có thể có giới hạn hữu hạn không? b) Dãy số ( ) n 1 1 n + ữ có giới. =0. II. Dãy số có giới hạn hữu hạn Bài 8: Các dãy số (u n ) và (v n ) với n n u cosn , v sin n 2 = = + ữ có giới hạn hữu hạn không? Bài 9: a) Cho biết