Idean nguyên tố đối liên kết và Đồng điều địa phương

Idean nguyên tố đối liên kết và Đồng điều địa phương

MỤC LỤC Bảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn .ii MỞ ĐẦU . iii Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN .1 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis 1 1.2 Môđun compăc tuyến tính và đồng điều địa phương .4 Chương 2: IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 19 2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết .19 2.2 Iđêan nguyên tố đối liên kết và môđun đồng điều địa phương 39 KẾT LUẬN .48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .49 MỤC LỤC iiBảng các ký hiệu toán học thường dùng trong luận vănlim←−tMt: giới hạn ngược của hệ ngược các môđunMtlim−→tMt: giới hạn thuận của hệ thuận các môđunMtΛI(M) : đầy đủ I − adic của môđun MM : đầy đủm−adic của môđun MR : vành đầy đủm−adic của vành địa phương (R,m)ΛI: hàm tử làm đầy I − adicLIi: hàm tử dẫn xuất trái thứ i của ΛIHiI(M) : môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun Mtheo iđêan IHIi(M) : môđun đồng điều địa phương thứ i của môđun Mtheo iđêan IE(R/m) : bao nội xạ của R/mD(M) : đối ngẫu Matlis của môđun ML(M) : tổng tất cả các môđun con Artin của môđun MSpec(R) : tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành RCoassR(M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun MAssR(M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với môđun MMax(R) : tập tất cả các iđêan tối đại của vành RV (p) : tập tất cả các iđêan nguyên tố chứap MỞ ĐẦULý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck đóng một vaitrò quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hoán. Sau đó lýthuyết đồng điều địa phương, được xem như đối ngẫu với đối đồng điềuđịa phương, được nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974),Greenlees - May (1992), Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman(1999), Tuy nhiên kết quả rất hạn chế và chủ yếu nghiên cứu trênlớp môđun artin vì giới hạn ngược lim←−không khớp phải trên phạm trùcác môđun.Năm 1999 - 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã phát triểnlý thuyết đồng điều địa phương trên các môđun compăc tuyến tính làlớp môđun rất rộng, chứa cả lớp môđun artin và chứa cả lớp môđun hữuhạn nếu vành R đầy đủ. Và bằng đối ngẫu Matlis, các tác giả đã thuđược một số kết quả đối với môđun đối đồng điều địa phương.Khái niệm về iđêan nguyên tố đối liên kết đã được nhiều nhà toánhọc nghiên cứu đến như Chamless (1981), Z¨oschinger (1988), Yassemi(1995), ., đến năm 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã nghiêncứu các iđêan nghiên tố đối liên kết với các môđun compăc tuyến tính.Trong [27], Yassemi đã định nghĩa iđêan nguyên tố đối liên kết như sau:iii MỞ ĐẦU ivMột R−môđun L được gọi là cocyclic nếu L là một môđun con củaE(R/m) vớim∈ Max(R). Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyêntốpcủa R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu có một ảnh đồngcấu cocyclic L của M sao chop= AnnR(L). Tập các iđêan nguyên tốđối liên kết với M được kí hiệu là CoassR(M) hoặc Coass(M). M đượcgọi làp−đối nguyên sơ nếu CoassR(M) = {p}.Luận văn này tiếp tục nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết, tìmđiều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđunđồng điều địa phương HIi(M) của môđun compăc tuyến tính nửa rời rạcM. Luận văn gồm hai chươngChương 1: Kiến thức cơ bản. Phần này ôn lại các kiến thức cơ bản vềđối ngẫu Matlis, giới hạn thuận lim−→, giới hạn ngược lim←−, môđun com-păc tuyến tính, môđun đối đồng điều địa phương HiI(M), môđun đồngđiều địa phương HIi(M), cùng một số tính chất quan trọng cần thiết chochương 2.Chương 2: Iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địaphương. Chương này nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đốiliên kết và sự hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđunđồng điều địa phương HIi(M). Phần đầu tiên của chương này dành choviệc nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết trên phạmtrù các môđun, cụ thể như xây dựng mối liên hệ giữa các iđêan nguyêntố đối liên kết với các iđêan nguyên tố liên kết MỞ ĐẦU vBổ đề 2.1.5: Cho M là một R−môđun. Các khẳng định sau là tươngđương(i)p∈ CoassR(M).(ii) Tồn tạim∈ Max(R) ∩ V (p) sao chop∈ AssR(D(M)).Bổ đề 2.1.6: Cho M là một R−môđun. Nếup∈ Ass(M) thìp∈Coass(D(M)) với mọim∈ Max(R) ∩ V (p).Đối với các dãy khớp ngắn, tập các iđêan nguyên tố đối liên kết cómột số tính chất sauBổ đề 2.1.8: Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun0 −→ M−→ M −→ M” −→ 0.Khi đóCoassR(M”) ⊆ CoassR(M) ⊆ CoassR(M) ∪ CoassR(M”).Mệnh đề 2.1.27: Cho một dãy khớp các R−môđun0 −→ N −→ M −→ K −→ 0.Khi đó, nếu K là một R−môđun hữu hạn thìCoassR(M) = CoassR(N) ∪ CoassM(K)Phần thứ hai là nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết với cácmôđun compăc tuyên tính, cho ta được một số kết quả quan trọng, cụthể như sau:Mệnh đề 2.1.29: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính I−tách.Nếu có một phần tử x ∈ I sao cho CoassR(M/xM) là hữu hạn thìCoassR(M) hữu hạn. MỞ ĐẦU viHệ quả 2.1.32: Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc,thì tập hợp CoassR(M) hữu hạn.Phần thứ ba là nghiên cứu các điều kiện để tập các iđêan nguyên tốđối liên kết với môđun đồng điều địa phương của môđun compăc tuyếntính nữa rời rạc là hữu hạn.Định lý 2.2.3: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rờirạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết vớiR−môđun đồng điều địa phương HIi(M) hữu hạn khi R−môđun HIj(M)hữu hạn với mọi j < iĐịnh lý 2.2.4: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rờirạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết vớiR−môđun đồng điều địa phương HIi(M) hữu hạn khiI ⊆ Rad(AnnR(HIj(M))), ∀j < i.Phần cuối, bằng đối ngẫu Matlis ta mở rộng được một số tính chấthữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điềuđịa phương.Hệ quả 2.2.6: Cho (R, m) là một vành địa phương đầy đủ với tôpôm−adic và M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Cho ilà một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết với môđun đốiđồng điều địa phương HiI(M) là hữu hạn khiI ⊆ Rad(AnnR(HjI(M))), ∀j < i.Hệ quả 2.2.8: Cho M là một R−môđun hữu hạn trên một vành địaphương (R, m) và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên MỞ ĐẦU viikết của môđun đối đồng điệu địa phương HiI(M) là hữu hạn khi môđunHjI(M) là hữu hạn với mọi j<i.Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thứcnên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiếnđóng góp, xây dựng của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại HọcSư Phạm TP. Hồ Chí Minh, lãnh đạo Phòng Khoa học - Công nghệ vàsau đại học, lãnh đạo Khoa Toán - Tin học của Trường đã tạo mọi điềukiện tốt nhất cho Khóa Cao học 16 nói chung và Cao học Đại số và líthuyết số nói riêng hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.Xin được gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Toán - Tin học đã tậntình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập của mình.Và đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tiến sĩ Trần TuấnNam, người đã ra đề tài và tận tâm hướng dẫn tôi trong suốt quá trìnhhoàn thành luận văn này. Chương 1KIẾN THỨC CƠ BẢN1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu MatlisIđêan nguyên tố liên kếtCho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tốpcủa R được gọi lànguyên tố liên kết với M nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tươngđương sau:(i) Tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) =p;(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p.Tập các nguyên tố liên kết với M được kí hiệu là AssR(M) hoặc Ass(M).Bổ đề 1.1.1. (xem [14, 7.B]) Choplà phần tử tối đại của tập các iđêan{Ann(x)|x ∈ M, x = 0}.Khi đóp∈ Ass(M).Bổ đề 1.1.2. (xem [14, 7.B])Ass(M) = ∅ ⇔ M = 0.1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 2Cho M là một R−môđun. Support của M, kí hiệu Supp(M), là tậpcác iđêan nguyên tốpcủa R sao cho Mp= 0 (Mplà địa phương hóa củaM tạip).Bổ đề 1.1.3. (xem [2, §3]) Cho dãy khớp ngắn0 −→ M−→ M −→ M” −→ 0Khi đóSupp(M) = Supp(M) ∪ Supp(M”).Bổ đề 1.1.4. (xem [14, 7.D]) Cho R là một vành Noether và M là mộtR−môđun. Khi đó Ass(M) ⊆ Supp(M), và bất kỳ phần tử nhỏ nhất củaSupp(M) đều nằm trong Ass(M).Bổ đề 1.1.5. (xem [14, 7.F]) Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun0 −→ M−→ M −→ M” −→ 0.Khi đóAss(M) ⊆ Ass(M) ∪ Ass(M”).Bổ đề 1.1.6. (xem [14, 7.G]) Cho R là một vành Noether và M là mộtR−môđun hữu hạn thì Ass(M) cũng là một tập hữu hạn.Cho f : R −→ Rlà một đồng cấu của các vành, với mỗip∈ Spec(R)ta có f−1(p) ∈ Spec(R). Do đó, ta có thể xác định được một ánh xạf∗: Spec(R) −→ Spec(R)liên tục. Điều này dẫn đến các bổ đề sau CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 3Bổ đề 1.1.7. (xem [14, 9.A]) Cho φ : R −→ Rlà một đồng cấu cácvành Noether và M là một R−môđun. Chúng ta có thể xem M như mộtR−môđun theo nghĩa của φ. Khi đóAssR(M) = φ∗(AssR(M)).Bổ đề 1.1.8. (xem [14, 9.B]) Cho φ : R −→ Rlà một đồng cấu cácvành Noether, E là một R−môđun và F là một R−môđun. Giả sử F làmột R−môđun phẳng. Khi đó:(i) Với bất kỳ iđêan nguyên tốpcủa R,φ∗(AssR(F/pF )) = AssR(F/pF ) ={p} nếu F/pF = 0∅ nếu F/pF = 0.(ii) AssR(E ⊗RF ) =p∈Ass(E)AssR(F/pF ).Đối ngẫu MatlisĐịnh nghĩa 1.1.9. Cho M là một R-môđun. Đối ngẫu Matlis của M làmôđunD(M) = HomR(M; E(R/m))trong đó E(R/m) là bao nội xạ của R/mvàm∈ Max(R).Bổ đề 1.1.10. (xem [24, 3.4.2]) Với mọi môđun M ta cóAnn(D(M)) = Ann(M) [...]... Chương 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết Định nghĩa 2.1.1 Một R−môđun L được gọi là cocyclic nếu L là một môđun con của E(R/ m) với m ∈ M ax(R) Cho M là một R−môđun Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu có một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p = AnnR (L) Tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí... tìm một ảnh đồng cấu L của K và m ∈ M ax(R) sao cho L ⊆ E(A/ m) và Ann(L) = p Chúng ta chứng minh điều này bằng qui CHƯƠNG 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 21 nạp theo n Nếu n = 1, đặt L = K và m = Ann(S1 ) Nếu n > 1, đặt G = E(Sn ) và E = E(S1 ) ⊕ · · · ⊕ E(Sn−1 ) Dẫn đến ta có một sơ đồ giao hoán G δ ↑ K −→ E ⊕ G ε ↓ E trong đó các ánh xạ thẳng đứng là các phép chiếu và ánh xạ... , và do đó a ∈ {x ∈ R| xM = M } Ngược lại, cho a ∈ {x ∈ R| xM = M } Vì M/aM = 0 nên ta có CHƯƠNG 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 25 Coass(M/aM ) = ∅ theo 2.1.7 Cho p ∈ Coass(M/aM ) Khi đó, a ∈ p và p ∈ Coass(M ) theo 2.1.8 Do đó, a ∈ p p∈Coass(M ) Một R−môđun M = 0 được gọi là môđun thứ cấp nếu với mỗi a ∈ R hoặc aM = M hoặc aM = 0 Khi đó p = Ann(M ) là một iđêan nguyên tố và. .. Coass(L) thì tồn tại một ảnh đồng cấu cocylic K của L sao cho Ann(K) = q Vì L là bất khả tổng và {x ∈ R|xM = M } = p nên ta có K là một bất khả tổng và {x ∈ R|xM = M } = p theo [4, prop 1] Do đó p = q Dẫn đến p ∈ Coass(L) và do đó p ∈ Coass(M ) (theo 2.1.8) Bổ đề 2.1.14 Cho M là một R−môđun hữu hạn và E là một R−môđun CHƯƠNG 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 27 nội xạ Khi đó có một... theo i I, ký hiệu HI (M ), được xác định theo công thức i HI (M ) = − Exti (R/I t ; M ) lim R → t Từ đây ta đưa ra một định nghĩa về đồng điều địa phương như một đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.2.19 Cho I là một iđêan của R, môđun đồng điều địa phương thứ i của một R−môđun M theo I, ký hiệu HiI (M ), được xác định theo công thức R HiI (M ) = ← T ori (R/I t , M ) lim − t Kí... Khi đó, tồn tại một môđun con hữu hạn N của M và p ∈ Ass(N ⊗ F ) Dẫn đến, p ∈ Ass(N ) và p ⊆ q với q ∈ Coass(F ) Vì Ass(N ) ⊆ Ass(M ) nên ta có p thuộc tập bên phải CHƯƠNG 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 29 Bổ đề 2.1.17 Cho M là R−môđun hữu hạn và N là R−môđun bất kỳ Khi đó Coass(M ⊗ N ) = Supp(M ) ∩ Ass(N ) Chứng minh Sử dụng 2.1.5 và tính chất D(M ⊗ N ) ∼ Hom(M, D(N )) = Bổ... khác Att(M ) = {p} Vì Coass(M ) = ∅ và Coass(M ) ⊆ Att(M ), nên ta có Coass(M ) = {p} Cho M có một biểu diễn thứ cấp và p ∈ Att(M ) Khi đó tồn tại ảnh đồng cấu p −thứ cấp L của M theo [11, 2.2] Do đó Coass(L) = {p} Dẫn đến, p ∈ Coass(M ) Bổ đề 2.1.12 Nếu M là một R−môđun Artin thì Coass(M ) ⊇ Ass(R/Ann(M )) CHƯƠNG 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 26 Chứng minh Theo [11, 5.2]... tồn tại một ảnh đồng cấu Artin K của M sao cho p = Ann(K) Chứng minh (⇒) là hiển nhiên CHƯƠNG 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 22 (⇐) K là Artin mà p = Ann(K) nên tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L sao cho p = Ann(L) (theo 2.1.3) Vì K là ảnh đồng cấu của M nên L cũng là một ảnh đồng cấu của M mà Ann(L) = p, dẫn đến p ∈ Coass(M ) Bổ đề 2.1.5 Cho M là một R−môđun Các khẳng định sau... là CoassR (M ) hoặc Coass(M ) M được gọi là p đối nguyên sơ nếu CoassR (M ) = {p} Bổ đề 2.1.2 (i) Nếu M là một môđun cocyclic thì bất kỳ môđun con của M cũng là cocyclic (ii) Nếu M là một R−môđun Artin thì M có thể nhúng được vào trong một tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con cocyclic của M 19 CHƯƠNG 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 20 Chứng minh (i) Hiển nhiên (ii) Vì M... hạn trong trường hợp R là vành địa phương đầy đủ Kí hiệu L(M ) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M , chúng ta có tính chất sau của các môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc Bổ đề 1.2.18 (xem [5, 2.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc Khi đó L(M ) là một môđun Artin CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 14 Đồng điều địa phương Với mỗi R-môđun M, môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo . BẢN1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu MatlisIđêan nguyên tố liên kếtCho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tốpcủa R được gọi l nguyên tố liên kết với. 2.Chương 2: Iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địaphương. Chương này nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đốiliên kết và sự hữu hạn của