Rèn luyện kỹ năng giải phương trình diophant dạng phân thức cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỲNH ANH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC Hà Nội, 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỲNH ANH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội, 2020 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập làm việc nghiêm túc, em hồn thành luận văn Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu − trường Đại học Khoa học Tự nhiên quan tâm sát tận tình hướng dẫn, động viên góp ý để em hoàn thành tốt luận văn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, cô giáo trường Đại học Giáo dục − Đại học Quốc gia Hà Nội giảng dạy, hướng dẫn, gợi ý cho em lời khuyên bổ ích suốt trình phấn đấu, học tập nghiên cứu trường Em cố gắng đầu tư nhiều công sức thời gian nghiên cứu song luận văn khó tránh thiếu sót Em mong nhận nhận xét góp ý thầy, giáo để em có định hướng tốt trình làm luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2020 Tác giả Nguyễn Quỳnh Anh i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt GV HOMC HS NXB SGK tr THCS THPT Viết đầy đủ Giáo viên Hanoi Open Mathematics Competition Học sinh Nhà xuất Sách giáo khoa Trang Trung học sở Trung học phổ thông ii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Đặc điểm học sinh nhóm đối chứng - nhóm thực nghiệm 59 Bảng 3.2 Kết điểm kiểm tra nhóm 73 Bảng 3.3 So sánh kết kiểm tra 45 phút nhóm 1, nhóm sau trình thực nghiệm 74 Bảng 3.4 So sánh kết kiểm tra 45 phút nhóm 3, nhóm sau trình thực nghiệm 75 iii DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 So sánh điểm kiểm tra 45 phút nhóm 1, nhóm 74 Biểu đồ 3.2 So sánh điểm kiểm tra 45 phút nhóm 3, nhóm 75 iv MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii DANH MỤC CÁC BẢNG iii DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, khách thể nghiên cứu Câu hỏi nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Mẫu khảo sát 10 Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Các vấn đề chung kỹ 1.1.1 Khái niệm kỹ 1.1.2 Đặc điểm kỹ 1.1.3 Sự hình thành kỹ 1.1.4 Những yếu tố tác động đến hình thành kỹ 1.2 Kỹ 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 5 5 giải toán Khái niệm kỹ giải toán Vai trò kỹ giải toán Các thành phần liên quan kỹ giải toán Các mức độ kỹ giải toán 10 v 1.3 Những khó khăn, sai lầm học sinh THCS giải phương trình Diophant dạng phân thức 10 1.3.1 Khó khăn 10 1.3.2 Các sai lầm thường gặp 11 Kết luận chương 12 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THƠNG QUA CHUN ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC” 13 2.1 Phương trình Diophant tuyến tính 13 2.1.1 Phương trình Diophant tuyến tính hai ẩn 13 2.1.2 Phương trình Diophant tuyến tính nhiều ẩn 19 2.1.3 Nghiệm ngun dương phương trình Dipophant tuyến tính 22 2.2 Phương trình Diophant dạng phân thức 2.2.1 Các dạng toán 2.2.2 Bài toán tổng quát 2.2.3 Biểu diễn đơn vị theo phân số Ai Cập 24 24 29 41 2.3 Rèn luyện kỹ giải phương trình Diophant dạng phân thức học sinh khá, giỏi 2.3.1 Phương pháp đưa dạng tích 2.3.2 Phương pháp dùng tính chia hết 2.3.3 Phương pháp đánh giá 2.3.4 Phương pháp dùng bất đẳng thức 2.3.5 Phương pháp tham số hóa 2.3.6 Phương pháp sử dụng nguyên tắc cực hạn 2.3.7 Phương pháp quy nạp toán học cho 45 45 47 48 50 51 51 52 2.4 Một số đề thi tuyển chọn 53 Kết luận chương 57 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 58 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm vi 58 58 58 3.2 Hoạt động thực nghiệm sư phạm 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 58 58 60 3.3 Kết thực nghiệm 3.3.1 Đánh giá định lượng 3.3.2 Đánh giá định tính 73 73 76 Kết luận chương 78 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 79 Kết luận 79 Khuyến nghị 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 vii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giáo dục nhận nhiều quan tâm lẽ ngành giáo dục không trực tiếp tạo cải vật chất nhân tố quan trọng việc đào tạo hệ tương lai mà từ ảnh hưởng trực tiếp đến phát triển hai mươi đến ba mươi năm quốc gia, dân tộc Trong hệ thống giáo dục, Tốn học mơn khoa học đóng vai trò quan trọng việc phát triển lực tư phát huy sáng tạo để giải vấn đề sống Những kiến thức, kỹ toán học giúp giải vấn đề khoa học, sản xuất thực tế sống cách có hệ thống xác Dạy học giải toán vấn đề trọng tâm dạy học mơn Tốn trường THCS việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Một điều kiện để thực mục đích dạy học tốn trường phổ thơng việc tổ chức dạy học giải tốn; có tác dụng phát triển tư duy, phát huy sáng tạo, yêu cầu học sinh có kỹ vận dụng kiến thức vào tình cụ thể, có khả phát giải vấn đề, độc lập suy nghĩ lựa chọn phương án tối ưu Do việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh việc làm cần thiết, từ tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Việc phát triển lực giải toán cho học sinh trường THCS quan tâm, cụ thể: nhiều buổi tập huấn tổ chức, đổi cách thức sinh hoạt tổ nhóm chun mơn, đổi phương pháp giảng dạy coi người học trung tâm Tuy nhiên chương trình tốn học trải dài với nhiều mảng kiến thức nội dung khác đảm bảo cho trình độ, độ tuổi nên việc dạy học nhằm phát triển lực cho học sinh chưa đáp ứng yêu cầu học tập nhu cầu xã hội Số nguyên mảng kiến thức số học vơ quan trọng Tốn học Thực tế học sinh làm việc với số nguyên không âm (số tự nhiên) từ chương trình tiểu học Từ lớp 6, học sinh bước đầu làm Hoạt động giáo viên giới hạn nghiệm nguyên dương cần lưu ý việc kết luận số nghiệm Sai lầm học sinh chỗ chưa ý đến điều kiện x, y = nên không loại trừ Câu c: (?) Vận dụng câu trên, tương tự ta biến đổi câu c để đưa dạng biết? Hoạt động học sinh Nội dung cần đạt Vậy phương trình ban đầu có 29 nghiệm nguyên (Tổ 2) Lời giải: - Cách 1: Nghịch *Cách 1: Do x, y = 2017 xy đảo đưa dạng = x+y 2018 giống câu a,b x+y 2018 ⇔ = xy 2017 1 ⇔ + =1 (1) x y 2017 Giả sử x ≤ y +Với x = suy x = 2017 + Với x ≥ y ≥ Ta có 1 1 + ≤ + =1 ta (3 điểm) 2 + + + =3 xy yz xz xyz Giả sử x ≥ y ≥ z ≥ Ta có 3= 2 2 15 + + + ≤ 3+ 3+ 3+ 3= xy yz xz xyz z z z z z Suy 15 ≥ 3x3 ≤ 15 nên z = z = z 71 Điểm 2,0 1,0 1,0 1,0 Thay z = vào phương trình ta có: 2x+2y+11 = 3xy ⇒3= 1,0 2 11 15 + + ≤ ⇒ 3y ≤ 15 ⇒ y ≤ y x xy y Ta có y = y = nên y = y = Với y = x = 13 Với y = x = 3, 75 (Không thỏa mãn) Vậy nghiệm (x; y; z) phải tìm (1; 1; 13), (13; 1; 1), (1; 13; 1) x−3 a Bài Giả sử = với a ∈ N, b ∈ N∗ 4x + b (3 điểm) Xét a = x = Xét a = Khơng tính tổng qt, giả sử (a, b) = nên (a2 , b2 ) = Do đó: x − a = a2 k (1) 4x + = b2 k (2) với k số nguyên Từ (1) (2) suy (4x + 6) − (4x − 12) = (b2 − 4a2 )k nên ta có 18 = (b + 2a)(b − 2a)k Ta thấy b + 2a b − 2a ước 18 Chú ý (b + 2a) − (b − 2a) = 4a số chẵn nên b + 2a b − 2a tính chẵn lẻ Ta lại có b + 2a > b − 2a b + 2a > Có trường hợp: Xét b + 2a = a = b = x = −3 Xét b + 2a > ta có bảng giá trị b + 2a b − 2a k 4a a b > x = a2 k + 11 −1 −2 10 (Loại) Có ba đáp số: 3−3 x = = = 02 12 + 18 72 1,0 1,0 1,0 1,0 −3 − = = 12 −12 + 11 − x = 11 = = 44 + 25 x = −3 3.3 Kết thực nghiệm 3.3.1 Đánh giá định lượng - Kết cụ thể Bảng 3.2 Kết điểm kiểm tra nhóm Điểm Nhóm Thực nghiệm Đối chứng Thực nghiệm Đối chứng 10 Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm 0 0 0 0 0 0 0 2 5 3 4 3 2 1 0 Số 15 15 18 18 + Điểm trung bình (x): Là giá trị trung bình điểm số thu sau học sinh kiểm tra, tính theo công thức: x= N n ni xi i=1 + Phương sai (s2 ): Biểu thị mức độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên X quanh giá trị trung bình Mức độ phân tán số liệu phương sai có giá trị nhỏ s = N n 2 ni (xi − x) i=1 + Độ lệch chuẩn (s): Thể phân tán số liệu quanh giá trị trung bình cộng √ s = s2 + Hiệu trung bình (d): giá trị so sánh độ chênh lệch điểm trung bình cộng nhóm thực nghiệm so với nhóm đối chứng kết kiểm tra d = xTN − xĐC 73 - Kết luận sơ : + Tại THCS Lê Q Đơn: Lớp thực nghiệm có điểm trung bình kiểm tra 7,2 với 100% học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên, có 60% giỏi Lớp đối chứng có điểm trung bình kiểm tra 6,6 với 86,7% học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên, có 53,3% giỏi + Tại THCS Cự Khối: Lớp thực nghiệm có điểm trung bình kiểm tra 6,78 với 94,4% học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên, có 61,1% giỏi Lớp đối chứng có điểm trung bình kiểm tra 5,83 với 83,3% học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên, có 33,3% giỏi Như kết kiểm tra hai nhóm thực nghiệm cao so với hai nhóm đối chứng tương ứng - Nhận định chung kết thực nghiệm Qua xử lý kết phương pháp thống kê cho thấy: Số học sinh đạt điểm cao lớp thực nghiệm nhiều lớp đối chứng, chứng tỏ chất lượng dạy học lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng 3.3.2 Đánh giá định tính Qua kiểm tra dù khơng thể đánh giá hết khác biệt học sinh nhóm thực nghiệm học sinh nhóm đối chứng thơng qua dự giờ, quan sát, tác giả quan tâm đến hoạt động học sinh, quan tâm đến thể em hoạt động cụ thể học từ hoạt động nhóm đến hoạt động cá nhân Trong tiết thực nghiệm tác giả nhận thấy học sinh trao đổi nhiều hơn, thoải mái bộc lộ quan điểm, có nhiều hội để thể ý kiến cá nhân nhóm Qua vấn số em sau tiết thực nghiệm, thu nhận kết chung là: lượng tập đưa tiết dạy chuyên đề nhiều kiến thức tổng hợp song thú vị, mức độ từ đến nâng cao, sau liên quan vận dụng trước Các hoạt động giáo viên nhằm hướng dẫn phân tích tốn, phân tích tìm đường lối giải, phân tích điểm mấu chốt lời giải, nghiên cứu lời giải từ tổng hợp phương pháp bước đầu định hình cho em “con đường” đề giải toán tương tự, với học sinh trình độ giỏi giúp 76 em hình dung số hướng phát triển tốn góp phần phát triển tính mềm dẻo nhuần nhuyễn cho em Bên cạnh đó, tập có nhiều dạng khác chủ đề giúp học sinh hình thành phát triển tính mềm dẻo, không rập khuôn suy nghĩ quan tâm đến tính độc đáo tốn Qua trao đổi với giáo viên dạy lớp thực nghiệm khó khăn thực theo giáo án thực nghiệm giáo viên dạy lớp đối chứng kết hợp trao đổi với giáo viên dự thực nghiệm, giáo viên thống cho biện pháp áp dụng tiết thực nghiệm thực Với cách học tất học sinh hướng dẫn cách thực hành, thực hành thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, khái qt hóa học góp phần phát triển tư sáng tạo Các giáo viên đồng ý thực nghiệm học sinh làm việc tích cực, chủ động hơn, khơng khí làm việc thoải mái mà phát triển tư sáng tạo học sinh.Nếu vận dụng thường xuyên, chắn học sinh mạnh dạn bày tỏ ý kiến mình, hiểu sâu sắc giúp cho tư em phát triển tốt Lấy ý kiến học sinh tham gia tiết học thực nghiệm, em học sinh cho biết hào hứng, khơng khí học tập sơi bạn lớp chủ động, hứng thú thi đua với tốc độ, hướng giải, tích cực làm bài, suy nghĩ sáng tạo thể Hiệu rõ ràng đa phần em thực chắn việc giải tốn phương trình Diophant dạng phân thức, thể suy nghĩ sáng tạo việc tìm tòi cách giải hay, lạ dùng nhiều cách giải cho toán, cảm giác mơn tốn khơng khơ khan mà thú vị 77 Kết luận chương Qua việc tiến hành thực nghiệm sư phạm kết có sau thực nghiệm cho thấy: Việc thực nghiệm sư phạm hồn thành đạt mục đích Cụ thể, thực nghiệm sư phạm cho thấy giả thiết mặt lý thuyết chứng minh tính đắn thông qua thực tiễn Các biện pháp dạy học tốn giải phương trình Diophant dạng phân thức nhằm rèn luyện kỹ cho học sinh khả thi Các kết định lượng định tính cho thấy việc giảng dạy có đổi phương pháp đạt hiệu tốt, đảm bảo tiếp thu kiến thức rèn luyện kỹ cách mềm mại, linh hoạt, từ phát triển tư tồn diện cho người Quá trình thực nghiệm sư phạm bộc lộ nhiều khó khăn, khúc mắc đòi hỏi người trực tiếp giảng dạy phải kiên trì, có phương pháp sư phạm phù hợp, có chuẩn bị chu đáo, thường xuyên trau dồi nắm đối tượng học sinh Tính thiết thực, khả thi việc rèn luyện kỹ cho học sinh giỏi lớp qua dạy học tốn phương trình Diophant dạng phân thức khẳng định Việc thực nghiệm sư phạm cho thấy, hiệu rõ rệt áp dụng phương pháp theo đường hướng đổi mới, không rèn kỹ tư cá nhân mà rèn kỹ mềm cho học sinh Kết thực nghiệm sư phạm cho thấy tính khách quan, số lượng so sánh đối chiếu cụ thể ta thấy kết học tập học sinh có khác biệt rõ rệt đồng thời tiền đề để học sinh u thích mơn tốn tiếp tục hứng thú cho chuyên đề nội dung học tập 78 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Qua nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện kỹ giải phương trình Diophant cho học sinh khá, giỏi trường trung học sở”, luận văn trình bày vấn đề sau: - Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng, lịch sử nghiên cứu phương trình Diophant qua thời kì - Hệ thống số định nghĩa tính chất số học - Tổng hợp số phương pháp để giải phương trình Diophant dạng phân thức, đưa biện pháp rèn luyện kỹ phát triển lực giải vấn đề cho học sinh nhằm nâng cao hiệu dạy học nội dung Số học Đại số, tăng cường tính vận dụng tốn học chương trình mơn tốn trường THCS - Xây dựng hệ thống tập phương trình Diophant dạng phân thức, đưa gợi ý, dẫn việc vận dụng kiến thức giải hệ thống tập - Bước đầu khẳng định tính khả thi hiệu phương pháp đề xuất qua thực tế - Luận văn làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh trình giảng dạy học tập toán, giảng dạy chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Từ kết cho phép người viết đề tài xác nhận rằng: Giả thuyết khoa học luận văn chấp nhận có tính hiệu quả, mục đích nghiên cứu hồn thành Khuyến nghị * Đối với Nhà trường - Tạo điều kiện chủ trương đạo tổ nhóm chun mơn thực tài liệu theo chuyên đề thực hành hội giảng cấp trường với chủ đề "Phương trình Diophant dạng phân thức" - Đưa phương trình Diophant dạng phân thức vào nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi, bồi dưỡng đội tuyển kì thi để đào tạo mũi nhọn 79 * Đối với Giáo viên - Có thể đưa số tập phương trình Diophant dạng phân thức xen kẽ vào chương trình khoá với mức độ phù hợp thời lượng trình độ học sinh - Có thể đưa nhiều tình tốn thực tế có ứng dụng giải phương trình Diophant vào tự chọn để tránh nhàm chán, tạo hứng thú cho học sinh, em tiếp cận việc học tập giải vấn đề Các phương pháp giải phương trình Diophant dạng phân thức đa dạng ứng dụng rộng rãi, phổ biến nhiều toán, dạng toán thực tế Chắc chắn nhiều phương pháp hay để giải phương trình nhiều ví dụ hấp dẫn khác lực thân điều kiện nghiên cứu có hạn nên trình bày luận văn khơng tránh khỏi điểm thiếu sót khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý q thầy hội đồng khoa học 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO Danh mục tài liệu tiếng Việt [1] Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn, Hà Nội [2] Vũ Hữu Bình (2017), Phương trình nghiệm nguyên kinh nghiệm giải, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Lê Hải Châu, Nguyễn Xuân Quỳ (2001), Cách tìm lời giải toán THCS Tập Số học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hà Huy Khoái (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học phổ thông Số học, NXB Giáo dục [5] Hà Huy Khoái (2008), Số học, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Đức Sơn, Lê Minh Nguyệt, Nguyễn Thị Huệ, Đỗ Thị Hạnh Phúc, Trần Quốc Thành, Trần Thị Lệ Thu (2017), Giáo trình tâm lý học giáo dục, NXB Đại học Sư phạm [8] Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thuỷ (2010), Bài giảng số học, NXB Giáo dục [9] Bùi Văn Tuyên (2017), Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 8, NXB Giáo dục [10] Dương Quốc Việt, Đàm Văn Nhỉ (2014), Cơ sở lí thuyết số đa thức, NXB Đại học Sư phạm [11] Viện ngôn ngữ học (2005), Từ điển Tiếng Việt, NXB Thành phố Hồ Chí Minh Danh mục tài liệu tiếng Anh [12] Hội Toán học Hà Nội (2018), Hanoi Open Mathematics Competition 2018, Library HOMC Scientific Seminar Hanoi 26-30/03/2018 [13] Nguyen Van Mau (2016), Hanoi Open Mathematics Competition, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [14] Nathanson M.B (1999), Elementary methods in number theory, Springer 81 ... phương trình Diophant dạng phân thức cho học sinh giỏi trường THCS trình bày cụ thể chương 12 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỲNH ANH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN... CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC” 13 2.1 Phương trình Diophant tuyến tính 13 2.1.1 Phương