Đồ án tốt nghiệp đại học nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng dụng phân tích phổ

Thông thường ta nhận được các tín hiệu rời rạc theo thời gian từ việc lấy mẫu một tín hiệu thời gian liên tục continuous-time signal kết hợp với bộ biến đổi tương tự – số ADC analog to d

M c L c ục Lục ục Lục

Mở đầu 3

Chương 1: Tổng quan về Tín hiệu số và hệ thống xử lý tín hiệu số 5

1.1 Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số 5

1.1.1 Tín hiệu rời rạc theo thời gian: 5

1.1.2 Các hệ thống xử lý tín hiệu số 14

1.2 Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu 19

1.2.1 Lấy mẫu 20

1.2.2 Khôi phục tín hiệu 22

1.3 Xử lý tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số 25

1.3.1 Xử lý tín hiệu trong miền thời gian 25

1.3.2 Xử lý tín hiệu trong miền tần số 32

Chương 2: Biến đổi Fourier rời rạc 44

2.1 Lấy mẫu trong miền tần số: Biến đổi Fourier rời rạc 44

2.1.1 Lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục lại tín hiệu rời rạc theo thời gian 44

2.1.2 Biến đổi Fourier rời rạc(DFT) 48

2.2 Phân tích tín hiệu trong miền tần số bằng DFT 49

2.3 Trình ứng dụng của DFT 53

2.3.1 Phân tích phổ của tín hiệu 53

2.3.2 Đáp ứng của hệ thống trong miền tần số 54

2.3.3 Công thức tổng chập trong miền tần số 56

Chương 3: thuật toán biến đổi nhanh Fourier( FFT ) - cấu trúc file wave 57

3.1 Tính toán nhanh DFT – các thuật toán FFT 57

3.1.1 Phương pháp tính trực tiếp của DFT 57

3.1.2 Phương pháp chia nhỏ để tính DFT 58

3.1.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian 64

3.1.4.Ví dụ về tính toán fft cơ số hai với n=16 71

3.2 Cấu trúc file Wave 78

3.2.1 Multimedia Windows 78

3.2.2 Cấu trúc Wave file 80

CHƯƠNG 4: Thiết kế và xây dựng chương trình hiển thị phổ

4.1 lưu đồ thuật giải và cấu trúc dữ liệu 87

4.1.1 Sơ đồ khối 87

4.1.2 Cấu trúc dữ liệu và định nghĩa 88

4.2 Giao diện và thuyết minh chương trình 91

Kết luận 94

Tài liệu tham khảo 96

Mở đầu

Cuộc cách mạng khoa học và công nghệ đang diễn ra một cách sôiđộng chưa từng thấy như hiện nay trên toàn thế giới thúc đẩy loài ngườinhanh chóng bước sang một kỷ nguyên mới Đó là kỷ nguyên của nền vănminh dựa trên cơ sở công nghiệp trí tuệ Mở đầu cho cho cuộc cách mạngkhoa học và công nghệ lần này có thể được đánh dấu bằng sự ra đời và pháttriển của máy tính cũng như các phương tiện xử lý thông tin khác, đặc biệt

là các hệ thống sử lý song song với tốc độ ngày càng cao Cùng với sự pháttriển ngày càng nhanh chóng các công cụ sử lý tín hiệu số hiện đại Đặcbiệt các phương pháp sử lý số này phải áp dụng có hiệu quả trong các lĩnhvực thông tin liên lạc,phát thanh truyền hình,tự động điều khiển và cácnghành công nghệ khác ở bất cứ nơi đâu bạn cũng sẽ gặp rất nhiều nhữngvật dụng trong cuộc sống được áp dụng kỹ thuật số, từ những vật dụng rấtđơn giản như những món đồ chơi trẻ em đến các vật dụng loại Hi – End đắttiền trong gia đình, ứng dụng trong truyền thông, các thiết bị chuyên dùngtrong truyền thông, phát thanh, truyền hình, các thiết bị của ngành khoahọc, y tế, giáo dục… đều được các nhà sản xuất tận dụng tối đa những ưuthế của công nghệ số đưa vào trong sản phẩm của mình Những chiếc máyảnh kỹ thuật số, máy tính số … với tốc độ phân giải cao nhưng kích thướcchỉ cỡ một bao thuốc lá, thậm chí là mỏng và nhỏ hơn, rất thời trang và rấtnhẹ đang dần thay thế những chiếc máy ảnh vận hành bằng cơ khí cổ điểnrất thịnh hành ở những năm cuối thế kỷ trước mà có lẽ bây giờ khi đi dulịch, mang theo nó là một vấn đề cần phải cân nhắc, xem xét Còn về cácdịch vụ viễn thông đa phương tiện, chắc chúng ta còn nhớ đến những chiếcmáy điện thoại để bàn quay tay, muốn thực hiện cuộc gọi thì phải đăng ký

dùng cách gọi trực tiếp quay số IDD hết sức dễ dàng, tiện dụng Sự phát

triển bùng nổ của công nghệ thông tin làm cho các dịch vụ Internet trở nêngần gũi và giúp cho con người trên toàn thế giới có thể trao đổi và cập nhậtthông tin trực tuyến

Đó chính là những thành quả thấy rất rõ của việc áp dụng kỹ thuật số

mà trong đó phân tích và xử lý tín hiệu số là vấn đề cốt lõi, căn bản của hệthống số Đề tài: “ Nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng

dụng phân tích phổ của tín hiệu” sẽ làm rõ hơn về vấn đề này

Trong phạm vi của đề tài, em đã giải quyết được một số vấn đề sau:

 Chương I: Tổng quan về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số

 Chương II: Biến đổi tín hiệu Fourier rời rạc

 Chương III: Thuật toán biến đổi nhanh Fourier (FFT) và Cấu trúc file Wave.

 Chương IV: Thiết kế và xây dựng chương trình hiển thị phổ tín hiệu file Wave.

Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu ứng dụng Đặc biệt được sự giúp

đỡ tận tình của Thầy giáo Tiến sỹ Dương Tử Cường, đề tài của em đãđược hoàn thành Tuy vậy, không thể không có những thiếu sót vì đây làmột vấn đề còn mới, ít tài liệu đề cập đến hoặc có đề cập thì cũng chỉ sơ sàichung chung, khó có thể thuật toán hoá, chương trình hoá Em rất mongđược sự đóng góp chân thành của các thầy cô giáo và những người quantâm đến vấn đề này để đề tài của em được hoàn thiện hơn Em xin chânthành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè, thầy cô giáo đặc biệt làThầy giáo TS Dương Tử Cường đã hướng dẫn và quan sát quá trình thựchiện đề tài của em

Chương 1: Tổng quan về Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu

số1.1 Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số.

1.1.1 Tín hiệu rời rạc theo thời gian:

Định nghĩa tín hiệu: Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin

Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiềubiến số độc lập Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tínhiệu là liên tục thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục Còn nếu tín hiệuđược biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó được gọi là tínhiệu rời rạc( rời rạc ở đây được hiểu là rời rạc theo biến số) Hàm của tínhiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu số

Tín hiệu rời rạc theo thời gian là một chuỗi số có chỉ số( được định chỉsố) các số thực hoặc số phức Như vậy tín hiệu rời rạc theo thời gian là hàm

của biến độc lập có kiểu số nguyên n( biến nguyên n), ta kí hiệu là x(n).

Một điều quan trọng cần phải lưu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian khôngđược định nghĩa ở các thời điểm nằm giữa hai mẫu liên tiếp nhau Cũng sẽ

không đúng nếu cho rằng x(n) sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của x(n) không phải là số nguyên Rất đơn giản, tín hiệu x(n) chỉ được định nghĩa đối với các giá trị nguyên của n Do vậy một tín hiệu có giá trị thực x(n) sẽ được biểu diễn bằng đồ thị ở dạng giản đồ lollipop như được trình bày

trong hình 1.1

Trong nhiều bài toán cũng như trong nhiều ứng dụng, để thuận lợi ta

xem x(n) như là một vector Các giá trị từ x(0) đến x(N-1) của chuỗi thường

được khảo sát như là các phần tử của một vector cột như sau:

x= [x(0), x(1), … , x(N-1)]T.Trong khi nghiên cứu, chúng ta giả sử rằng tín hiệu rời rạc theo thời

gian được định nghĩa đối với giá trị nguyên của n thuộc khoảng - ∞ < n < +

∞ Theo qui ước chúng ta cũng sẽ xem x(n) như là “ mẫu thứ n” của tín

hiệu, thậm chí nếu tín hiệu này vốn đã là tín hiệu rời rạc( không phải là kết

quả của quá trình lấy mẫu tín hiệu rời rạc) Nếu cho rằng x(n) là tín hiệu nhận được do quá trình lấy mẫu của tín hiệu tương tự x a (t) thì x(n) = x(nT), trong đó T là chu kỳ lấy mẫu( thời gian giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp nhau).

Chú ý: Chúng ta sẽ sử dụng x(n) như là cách viết đơn giản của x(nT)

hoặc hiểu là với T = 1.

Thông thường ta nhận được các tín hiệu rời rạc theo thời gian từ việc

lấy mẫu một tín hiệu thời gian liên tục( continuous-time signal) kết hợp với

bộ biến đổi tương tự – số ADC( analog to digital converter) Thí dụ như tín hiệu liên tục x a (t) được lấy mẫu với tần số lấy mẫu là f s = 1/T s( nghĩa là

Hình 1.1 Bi u di n ểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ị của tín hiệu rời rạc theo thời ủa tín hiệu rời rạc theo thời th c a tín hi u r i r c theo th i ệu rời rạc theo thời ời rạc theo thời ạc theo thời ời rạc theo thời

-2

-3 -4 -5

1.3 1.8

2.5 1.8

- 1.3

- 1.8

3

0.5 2

trong 1 giây ta có f s mẫu) để tạo ra tín hiệu được lấy mẫu ( rời rạc theo thời

gian ) x(n), x(n) quan hệ với x a (t) như sau: x(n) = x a (nT s ).

Tuy nhiên không phải tất cả các tín hiệu rời rạc theo thời gian đều cóđược theo cách trên Một số tín hiệu được khảo sát là các chuỗi xuất hiệnmột cách tự nhiên rời rạc theo thời gian mà không cần đến bộ biến đổitương tự - số để biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu rời rạc theo thờigian Ví dụ cho tín hiệu loại này như giá cả hàng ngày trên thị trường cổphiếu, thống kê dân số, kiểm kê kho hàng và các số vệt đen ở bề mặt củamặt trời.v.v…

Ngoài phương pháp sử dụng đồ thị như mô tả trên hình 1.1 còn có một

số phương pháp khác tương đối thuận tiện được dùng để biểu diễn tín hiệu(hoặc dãy) rời rạc theo thời gian Các phương pháp này bao gồm:

Tín hiệu hoặc dãy vô hạn được mô tả qua ví dụ dưới đây:

x(n) = { 0, 0, 0, 1, 3, 0, 1, 0, 0, } (1.1.2)

Trong đó kí hiệu dùng để chỉ thời điểm gốc( n = 0).

Dãy x(n) có giá trị bằng 0 với n < 0 được biểu diễn bằng cách sau:

x(n) = {0, 1, 3, 0, 1, 0, 0, } (1.1.3)

ở đây thời điểm gốc đối với dãy x(n) với giá trị bằng 0 nếu n < 0 được

hiểu như là điểm bên trái nhất của dãy

Dãy hữu hạn có thể được biểu diễn bằng cách:

x(n) = {3, -1, -2, 5, 0, 1, 0, 9} (1.1.4)

Nếu dãy hữu hạn thoả mãn điều kiện x(n) = 0 với n < 0 thì dãy có thể

được biểu diễn theo cách như sau:

Tín hiệu trong (1.1.4) có chứa 8 giá trị mẫu hoặc tám điểm (theo thờigian) và được gọi là dãy có tám điểm Cũng tương tự như vậy, dãy biểudiễn bởi (1.1.5) là dãy 5 điểm

1 Tín hiệu phức

Một cách tổng quát, tín hiệu rời rạc theo thời gian có thể có giá trịphức Thật vậy, trong một số ứng dụng quan trong như thông tin số, các tínhiệu phức phát sinh một cách tự nhiên Tín hiệu phức có thể được biểu diễn

bằng các phần thực ( real part ) và phần ảo( imaginary part).

z(n) = a(n) + jb(n) = Re{z(n)} + jIm{z(n)}

hoặc được biểu diễn ở dạng cực( polar form) theo biên độ( amplitude) và pha( phase)

z(n) = │z(n)│exp[jarg{z(n)}]

Biên độ có thể được suy ra từ các phần thực và phần ảo như sau:

│z(n)│2 = Re2{z(n)} + Im2{z(n)}

Trong khi đó pha được tính theo công thức

arg{z(n)} = tan-1Im{z(n)}/Re{z(n)}

Nếu z(n) là một chuỗi phức, liên hợp phức( complex conjugate) ký hiệu là z * (n) được thành lập bằng cách thay đổi dấu trong phần ảo của z(n)

z*(n) = Re{z(n)} - jIm{z(n)} = │z(n)│exp[- jarg{z(n)}]

2 Một vài tín hiệu rời rạc cơ bản.

Mặc dù hầu hết các tín hiệu mang thông tin trong thực tế là các hàm

phức tạp theo thời gian( complicated functions of time ), nhưng dưới đây là

một số tín hiệu rời rạc theo thời gian tuy đơn gian nhưng rất quan trọng Nórất hay xuất hiện và thường được sử dụng trong lý thuyết về tín hiệu và hệthống rời rạc theo thời gian để biểu diễn và mô tả các tín hiệu phức tạp hơn

Các tín hiệu cơ bản này là: xung đơn vị( unit sample), nấc đơn vị( unit step), tín hiệu dốc đơn vị và hàm mũ( exponential)

a Dãy mẫu đơn vị

Tín hiệu này còn được gọi là dãy xung đơn vị và được định nghĩa nhưsau:

Như vậy, dãy mẫu đơn vị là tín hiệu chỉ có một giá trị duy nhất bằng 1

đơn vị tại thời điểm n = 0 trong khi tất cả các giá trị còn lại đều bằng 0 Khác với xung đơn vị (n) của tín hiệu tương tự, dãy mẫu đơn vị về mặt

toán học không vướng và phức tạp như tín hiệu này Tín hiệu dãy xung đơn

vị đóng một vai trò hết sức quan trọng và được mô tả bằng đồ thị như trênhình 1.2

(n) =

1, v i n = 0ới n = 1, 4

0, v i n 0ới n = 1, 4 ≠ 0 (1.1.6)

b Dãy nhảy bậc đơn vị

Dãy này còn được gọi là tín hiệu nhảy bậc đơn vị hay hàm bậc thang

và được định nghĩa qua hàm sau:

Giữa tín hiệu nhẩy bậc đơn vị và tín hiệu xung đơn vị có mối quan hệ:

k n n

u

0

)(

1

Hình 1.3 Bi u di n b ng ểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ằng đồ thị tín hiệu nhẩy bậc đơn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ị của tín hiệu rời rạc theo thời th tín hi u nh y b c ệu rời rạc theo thời ẩy bậc đơn ậc đơn đơn n

vị của tín hiệu rời rạc theo thời

Tín hiệu này được ký hiệu bằng u r (n) và được định nghĩa qua công

thức:

Tín hiệu này được mô tả trên hình 1.4

d Hàm mũ

Chuỗi hàm mũ được định nghĩa bởi x(n) = a n trong đó a là số thực

hoặc số phức Chuỗi hàm mũ có tầm quan trọng đặc biệt khi a  ej0 với

0

 là một số thực Trong trường hợp này, x(n) là một hàm mũ phức:

)sin(

Nghiên cứu các hàm mũ phức rất hữu ích trong việc phân rã

Fourier( Fourier decomposition) các tín hiệu.

3 Phân loại tín hiệu rời rạc

Các phương pháp toán học được dùng trong việc phân tích tín hiệu và

hệ thống rời rạc theo thời gian hoàn toàn phụ thuộc vào đặc thù của tín

-1-2-3Hình 1.4 Bi u di n b ng ểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ằng đồ thị tín hiệu nhẩy bậc đơn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ị của tín hiệu rời rạc theo thời th tín hi u d c ệu rời rạc theo thời ốc đơn vị đơn n vị của tín hiệu rời rạc theo thời

hiệu Dưới đây chúng ta sẽ phân loại các tín hiệu rời rạc theo thời gian tuỳtheo các đặc thù này.

a Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất

Năng lượng E của tín hiệu x(n) được định nghĩa bằng công thức:

(1.1.9)

Trong đó |x(n)| là modul của tín hiệu Với cách định nghĩa này thì côngthức (1.1.9) có thể được sử dụng để tính năng lượng của tín hiệu phứccũng như tín hiệu thực

Năng lượng của tín hiệu có thể là hữu hạn hay vô hạn Nếu E là hữu hạn (0<E<∞) thì x(n) được gọi là tín hiệu năng lượng Để phân biệt năng lượng của tín hiệu rời rạc, thông thường người ta sử dụng thêm chỉ số x đối với E và viết là: E x

Rất nhiều tín hiệu với năng lượng vô hạn lại có công suất hữu hạn

Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) được định

nghĩa bằng biểu thức sau:

N

P | ( )|2

12

1lim

hạn( và khác 0) tín hiệu sẽ được gọi là tín hiệu công suất Dưới đây sẽ mô

tả một ví dụ về kiểu năng lượng này

Ví dụ 1: Xác định năng lượng và công suất của dãy nhẩy bậc đơn vị

Công suất trung bình của tín hiệu nhẩy bậc đơn vị là:

2

1/

12

/11lim1

2

1lim

)(1

2

1lim

N

Từ đây suy ra rằng tín hiệu nhẩy bậc đơn vị là tín hiệu công suất

Cũng tương tự như vậy có thể nhận thấy rằng hàm mũ phức x(n) =

Ae jn có công suất trung bình là A 2 vì vậy đây là tín hiệu công suất Tuyvậy có thể thấy rằng tín hiệu dốc đơn vị không phải là tín hiệu năng lượngcũng không phải là tín hiệu công suất

b Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn

Các tín hiệu rời rạc theo thời gian luôn luôn có thể được phân loại

thành tín hiệu tuần hoàn(periodic) và tín hiệu không tuần hoàn( aperiodic) Tín hiệu x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ N nếu với mỗi số nguyên dương N, ta có:

Giá trị nhỏ nhất của N thoả mãn biểu thức (1.1.13) được gọi là chu kỳ

cơ bản Nếu không có bất cứ một giá trị nào của N để (1.1.13) là đúng thì

tín hiệu được gọi là không tuần hoàn Hình 1.5 là một ví dụ về tín hiệu tuầnhoàn

Khi khảo sát tín hiệu hình Sin ta cũng thấy rằng tín hiệu:

∞ là vô hạn Mặt khác, công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn là hữu hạn và bằng công suất trung bình trong một chu kỳ Như vậy, nếu x(n) là tín hiệu tuần hoàn với tần số cơ bản N và có các giá trị hữu hạn thì công

suất của nó được xác định qua biểu thức:

1 N n

n x N

P

(1.1.16)Suy ra rằng tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu công suất

1.1.2 Các hệ thống xử lý tín hiệu số

1 Mô tả vào/ra hệ thống

Một hệ thống rời rạc theo thời gian là một toán tử toán học hoặc phép

ánh xạ biến đổi một tín hiệu( ngõ vào) thành một tín hiệu khác( ngõ ra) dựa

vào một tập cố định các quy luật và các phép toán Các tính chất vào – ra

của một hệ thống có thể được chỉ ra theo một trong nhiều cách khác nhau

Quan hệ vào/ra này có thể được biểu diễn nhờ vào một quy luật toán học

hoặc bằng biểu thức toán học:

y(n) ≡ T[x(n)]

trong đó T là ký hiệu của phép biến đổi hoặc toán tử.

Hoặc biểu diễn:

Theo cách biểu diễn này thì y(n) là đáp ứng của hệ thống T với kích

thích là x(n).

T

H th ng r i ệu rời rạc theo thời ốc đơn vị ời rạc theo thời

r c theo th i ạc theo thời ời rạc theo thời gian – T[.]

Việc phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc được thực hiện

thông qua các điều kiện ràng buộc đối với phép biến đổi T

2 Biểu diễn hệ thống rời rạc theo thời gian bằng sơ đồ khối.

Để có thể biểu diễn các hệ thống rời rạc theo thời gian bằng sơ đồ khốiviệc trước tiên là cần phải xây dựng một số khối thực hiện một số côngviệc cơ bản Thông qua các khối này chúng ta có thể xây dựng nên các hệthống phức tạp hơn

a Bộ nhân với hằng số( constant multiplier).

Phép toán này được mô tả trên hình 1.11 và biểu diễn một phép lấy tỷ

lệ của tín hiệu đầu vào x(n) Chú ý rằng đây cũng là phép toán tức thì.

b Bộ cộng( Adder)

Hình 1.12 mô tả một hệ thống (bộ cộng) thực hiện cộng hai dãy tín

hiệu với kết quả là một dãy khác – dãy tổng y(n).

Chú ý rằng trong quá trình thực hiện thao tác cộng ta không cần phảilưu trữ bất cứ một giá trị trung gian nào bởi vì phép cộng được thực hiệntức thì không nhớ

c Bộ nhân tín hiệu( signal multiplier)

Hình 1.13 biểu diễn một bộ nhân của hai dãy tín hiệu với kết quả là

một dãy tích y(n) Cũng giống như hai trường hợp trước, ở đây phép nhân

cũng là phép toán không nhớ

d Phần tử trễ đơn vị.

Phần tử trễ đơn vị( unit delay element) là hệ thống đặc biệt có tác

dụng làm trễ tín hiệu đi qua với thời gian bằng một đơn vị Hệ thống này

được mô tả trên hình 1.14 Nếu tín hiệu đầu vào là x(n) thì tín hiệu ra là y(n) = x(n - 1), rõ ràng rằng để có thể nhận được tín hiệu đầu ra y(n) ở thời điểm n thì giá trị mẫu đầu vào x(n) ở thời điểm trước đó (n - 1) cần được

lưu trữ lại

Như vậy hệ thống này là hệ thống có nhớ Trong miền Z phần tử này được ký hiệu bởi z -1

e Phần tử vượt trước đơn vị( Unit advance element).

Trái ngược với hệ trễ đơn vị, hệ vượt trước đơn vị sẽ chuyển đầu vào

x(n) dịch về trước một mẫu theo thời gian để có thể nhận được ở đầu ra tín hiệu y(n) = x(n+1) Hình 1.15 là cách biểu diễn hệ thống này trong đó z là

Hình 1.14 Bi u di n qua s ểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ơn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ủa tín hiệu rời rạc theo thời c a ph n t ần hoàn ử

trễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời

3 Phân loại các hệ thống rời rạc theo thời gian.

Các hệ thống rời rạc theo thời gian có thể được phân loại dựa vào cáctính chất mà hệ thống có được Các tính chất quan trọng thường dùng nhấtlà: Tuyến tính, bất biến, nhân quả, nhớ và không nhớ, ổn định và khảđảo…

thống là có nhớ hoặc biến đổi( dynamic).

Các hệ thống được mô tả bằng các quan hệ vào/ra.:

y(n) = cx(n) y(n) = nx(n) + bx 3 (n) đều là các hệ thống không nhớ bởi vì các giá trị của y(n) chỉ phụ thuộc vào

giá trị tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm

Ngược lại hệ thống: y(n) = x(n) + x(n - 1) là hệ thống có nhớ vì y(n)

không chỉ phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm màcòn phụ thuộc vào quá khứ

b Hệ thống bất biến và không bất biến theo thời gian

Z y(n) = x(n + 1)x(n)

Hình 1.15 Bi u di n qua s ểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ơn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời ủa tín hiệu rời rạc theo thời c a ph n t vần hoàn ử ượt t

trưới n = 1, 4c

Một hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian nếu như đặc trưngvào/ra của nó không thay đổi theo thời gian tức là:

đối với mọi tín hiệu đầu vào x(n) và mọi thời gian dịch chuyển k.

c Hệ tuyến tính và không tuyến tính.

Các hệ thống có thể được chia làm hai loại: tuyến tính và không tuyếntính Hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thoả mãn nguyên lý xếpchồng Nguyên lý này đòi hỏi rằng đáp ứng của hệ thống với tác động làtổng của các tín hiệu sẽ bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác độngđầu vào là từng tín hiệu riêng lẻ tức là:

T[a1x1(n) + a2x2(n)] = T[a1x1(n)] + T[a2x2(n)]

đối với mọi dãy tín hiệu đầu vào x 1 (n), x 2 (n) và các hằng số a1, a2

d Hệ nhân quả và không nhân quả

Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu tín hiệu đầu ra của nó tại một

thời điểm bất kỳ n( nghĩa là y(n)) chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong quá khứ và tại thời điểm đang xét [ tức là chỉ phụ thuộc vào x(n), x(n - 1), x(n - 2), ] và không phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào trong tương lai [x(n+1), x(n+2), ] Như vậy tín hiệu đầu ra y(n) có thể được biểu diễn

như sau:

y(n) = F[x(n), x(n - 1), x(n - 2), ]

trong đó F[.] biểu diễn một hàm số bất kỳ

Ngược lại, hệ thống được gọi là không nhân quả nếu tín hiệu đầu rakhông những chỉ phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào ở hiện tại và quá khứ

mà còn phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong tương lai

e Hệ ổn định và không ổn định.

Trong nhiều ứng dụng, đáp ứng y(n) của hệ thống được giới hạn mỗi

khi biên độ tín hiệu đầu vào bị giới hạn Một hệ thống có tính chất nàyđược gọi là hệ thống có tính ổn định theo nghĩa đầu vào giới hạn và đầu ra

giới hạn là BIBO( bounded input – bounded output) nghĩa là tồn tại hai số hữu hạn M x và M y để:

│x(n)│ ≤ Mx < ∞

│y(n)│ ≤ My < ∞

đối với mọi n Nếu dãy đầu vào là hữu hạn và dãy đầu ra là vô hạn thì hệ

thống được gọi là không ổn dịnh

1.2 Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu.

Trong đa số trường hợp, các tín hiệu rời rạc theo thời gian nhận được

từ việc lấy mẫu một tín hiệu liên tục theo thời gian, chẳng hạn như các tín

hiệu âm tần và tiếng nói, các dữ liệu radar và siêu âm, các tín hiệu địa chấn

và sinh học… Quá trình biến đổi các tín hiệu liên tục này thành dạng số

được gọi là biến đổi tương tự thành số ( analog-to-digital conversion: A/D) Quá trình ngược lại, tái tạo tín hiệu tương tự từ các mẫu của tín hiệu này được gọi là biến đổi số thành tương tự (digtal-to-analog conversion: D/A) Chúng ta sẽ khảo sát các vấn đề liên quan đến biến đổi A/D và D/A Nền tảng cho việc khảo sát này là định lý lấy mẫu (sampling theorem), định

lý này cung cấp cho ta các điều kiện cần có để một tín hiệu tương tự có thểđược biểu diễn duy nhất theo các mẫu của tín hiệu này

1.2.1 Lấy mẫu.

Một bộ biến đổi A/D sẽ biến đổi tín hiệu tương tự thành một chuỗi số( lấy mẫu) Tín hiệu ngõ vào đưa đến bộ biến đổi A/D; x a (t) là hàm có giá trị thực theo một biến liên tục t Như vậy, với mỗi giá trị của t, hàm x a (t) có

thể có một giá trị thực nào đó

Tín hiệu ngõ ra của bộ biến đổi A/D la một dòng bit (bit stream) tương ứng với một chuỗi rời rạc theo thời gian x(n), chuỗi này có biên độ được

lượng tử hoá đối với mỗi giá trị của n, nghĩa là biên độ là một trong một số hữu hạn các giá trị có thể có được Các thành phần của một bộ biến đổi A/

D được mô tả trong hình dưới.

Đầu tiên là bộ lấy mẫu (sampler), bộ này đôi khi còn gọi là bộ biến đổi liên tục thành rời rạc (continuous-to-discrete C/D) hoặc bộ biến đổi A/

D lý tưởng Bộ lấy mẫu biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian x a (t) tại những thời điểm là bội số nguyên của chu kỳ lấy mẫu T s , x(n) = x a (nT s ).

Các tín hiệu rời rạc theo thời gian, một cách điển hình, được tạo thành

bằng cách lấy mẫu có chu kỳ hay tuần hoàn( periodically sampling) một tín hiệu liên tục theo thời gian x(n) = x a (nT s ).

Khoảng cách giữa các mẫu T s được gọi là chu kỳ lấy mẫu và f s = 1/T s

là tần số lấy mẫu tính bằng số mẫu trong 1 giây Một phương pháp tiện lợi

để khảo sát quá trình lấy mẫu này là trước tiên tín hiệu liên tục được nhân

với chuỗi xung tuần hoàn 

để tạo ra tín hiệu được

lấy mẫu( sampled signal):

a a

a

x ( ) ( ) ( ) ( )  ( )

Kế đến, tín hiệu được lấy mẫu được biến đổi thành tín hiệu rời rạc

theo thời gian bằng cách ánh xạ các xung có khoảng cách thời gian là T s

thành một chuỗi tín hiệu là x(n) trong đó các giá trị của các mẫu được định chỉ số bằng các biến nguyên n:

x(n) = x a (nT s )

Ta hãy xét một ví dụ: Giả sử x a (t) là tín hiệu tuần hoàn bị giới hạn

Nếu x a (t) được lấy mẫu với tần số lấy mẫu là  s ≥ 2 0 , biến đổi Fourier

của x s (t) được tạo thành bằng cách lập lại có chu kỳ X a (j) như được minh

x a (t) bị sai lệch và X a (j) không được tái tạo từ X s (j).

Như đã được minh họa trong ví dụ trên, nếu x a (t) hoàn toàn bị giới hạn băng thông sao cho tần số cao nhất của x a (t) là  0, và nếu tần số lấy mẫu lớn

Hình 1.16 Hình d ng ph khi b ng thông c a tín hi u b gi i h nạc theo thời ổ khi băng thông của tín hiệu bị giới hạn ăng thông của tín hiệu bị giới hạn ủa tín hiệu rời rạc theo thời ệu rời rạc theo thời ị của tín hiệu rời rạc theo thời ới n = 1, 4 ạc theo thời

hơn 2 0 ,  s ≥ 2 0 , aliasing không xuất hiện và tín hiệu x a (t) có thể được khôi phục từ các mẫu x a (nT s ) của tín hiệu này bằng một bộ lọc thấp Sau đây là phát biểu của định lý lấy mẫu Nyquist:

thông, X a (j) = 0 với || >  0 thì x a (t) có thể được khôi phục từ các mẫu

x a (nT s ) của tín hiệu này nếu 2 0

T



Tần số 0 được gọi là tần số Nyquist và tần số lấy mẫu tối thiểu  s = 2 0

được gọi là tốc độ Nyquist ( Nyquist rate).

Do các tín hiệu được tim thấy trong các hệ thống vật lý không bao giờ

có băng thông bị giới hạn hoàn toàn, một bộ lọc tương tự nhằm loại bỏaliasing được sử dụng để lọc tín hiệu trước khi lấy mẫu Mục đích của việc

lọc này là tối thiểu hoá các năng lượng trên tần số Nyquist và giảm số lượng aliasing trong bộ biến đổi A/D.

1.2.2 Khôi phục tín hiệu.

Như đã được phát biểu trong định lý lấy mẫu, nếu x a (t) là tín hiệu hoàn toàn bị giới hạn băng thông, X a (j) = 0 với || >  0và nếu Ts < /0 thì x a (t)

có thể được khôi phục từ các mẫu x(n) = x a (nT s ) Quá trình khôi phục bao

gồm hai bước như được minh họa trong hình 1.19

Bi n ến đổi đổ khi băng thông của tín hiệu bị giới hạni các xung B l c ộ cộng ọc

thông th p ấy mẫu được lặp lại

lý tưởngng

a(t)

Hình 1.19 B khôi ph c tín hi u r i r c th nh liên t c có b l c khôi ộ cộng ục tín hiệu rời rạc thành liên tục có bộ lọc khôi ệu rời rạc theo thời ời rạc theo thời ạc theo thời àn ục tín hiệu rời rạc thành liên tục có bộ lọc khôi ộ cộng ọc

ph c thông th p ục tín hiệu rời rạc thành liên tục có bộ lọc khôi ấy mẫu được lặp lại

Trước tiên các mẫu x(n) được biến đổi thành một chuỗi xung,

r

T

T

T j

|

| , )

T t

T t t

h

/

)/sin(

s

s s n

s r

T nT t

T nT t n

x nT

t h n x t

/)(

/)(

sin)()

()()

()()

r n

T jn r

|

|),(

)

T j s

X

Như vậy X(e j ) được lập tỉ lệ theo tần số ( = T s ) và sau đó bộ lọc

thông thấp loại bỏ mọi tần số trong phổ tuần hoàn X ( ejT s)

, các tần số này cao hơn tần số cắt  c = /T s Do ta không thể thực hiện một bộ lọc thông

thấp lý tưởng, nhiều bộ biến đổi D/A sử dụng một bộ giữ bậc 0( zero-order holder) cho bộ lọc khôi phục.

Đáp ứng xung của bộ giữ bậc 0 là: 



,0

0,1)(

0

s T t t

h

) 2 / sin(

j

Sau khi chuỗi các mẫu của x a (nT s ) đã được biến đổi thành các xung,

bộ giữ bậc 0 tạo ra một xấp xỉ dạng bậc thang cho x a (t) như được trình bày

trong hình 1.20 Với bộ giữ bậc thang 0, ta thường “xử lý sau” tín hiệu ngõ

ra với một bộ lọc khôi phục bổ chính( reconstruction compensation filter),

đáp ứng tần số lấy gần đúng là:

Trong các trười rạc theo thời ng h p khácợt

Trong các trười rạc theo thời ng h p khácợt

T j

|

|

; )

2 / (

2 / )

(

2 /

sao cho việc ghép nối tầng H 0 (e j ) với H c (e j ) cho ta kết quả gần đúng với một bộ lọc thông thấp có độ lợi T s trên toàn dải thông Lưu ý là việc ghép

nối tầng H c (j) với bộ giữ bậc 0 cho ta một bộ lọc thông thấp lý tưởng.

1.3 Xử lý tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số.

1.3.1 Xử lý tín hiệu trong miền thời gian.

Khi khảo sát các tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian, hiển nhiên

có liên quan đến các thao tác trên tín hiệu Một cách tổng quát các thao tácnày là kết hợp của một vài phép biến đổi cơ bản trên tín hiệu Các phép

biến đổi này có thể được phân loại thành các phép biến đổi độc lập n hoặc thành các phép biến đổi theo biên độ của x(n).

Đối với các phép biến đổi theo biến độc lập, thông thường các chuỗi

được biến đổi và được thao tác bằng cách sửa đổi chỉ số n như sau: y(n) = x(f(n)), trong đó f(n) là một hàm nào đó của n Nếu có một giá trị nào đó của n làm cho f(n) không phải là một số nguyên, y(n) = x(f(n)) không xác định Việc xác định ảnh hưởng của việc sửa đổi chỉ số n luôn luôn có thể

t4T

s

-2T

s

t4T

thực hiện được bằng cách sử dụng phương pháp liệt kê dạng bảng đơn giản,

với mỗi một giá trị của n ta tính giá trị của f(n) và kế đến thiết lập y(n) = x(f(n))

Tuy nhiên với nhiều phép biến đổi chỉ số, điều này không cần thiết vàchuỗi có thể được xác định hoặc vẽ đồ thị trực tiếp Các phép biến đổithông dụng nhất bao gồm dịch, đảo ngược và lập tỷ lệ

1 Tịnh tiến( dịch): Đây là phép biến đổi được xác định bởi f(n) = n –

k Nếu y(n) = x(n – k).Tín hiệu x(n) có thể được dịch chuyển theo thời gian bằng cách thay thế biến độc lập n bởi n – k, trong đó k là số nguyên Nếu k

là số nguyên dương thì kết quả của sự dịch chuyển về thời gian sẽ là sự trễ

của tín hiệu với k đơn vị của thời gian Nếu k là số âm thì kết quả của sự dịch chuyển theo thời gian là sự vượt trước của tín hiệu với k đơn vị thời

gian

2 Đảo ngược( reversal): Phép biến đổi này được cho bởi f(n) = - n và

đơn thuần bao gồm việc hoán đổi tín hiệu x(n) tương ứng với chỉ số n Kết

quả của thao tác này là được gọi là sự phản xạ của tín hiệu đối với thời

điểm gốc n = 0.

3 Lập tỷ lệ thời gian( time scaling): Phép biến đổi này được xác định

bởi f(n) = Mn hoặc f(n) = n/N, trong đó M và N là các số nguyên dương Trong trường hợp f(n) = Mn, chuỗi x(Mn) được thành lập bằng cách trích lấy các mẫu thứ M của x(n) (thao tác này được gọi là lấy mẫu xuống[down

- sampling]) Với f(n) = n/N, chuỗi y(n) = x(f(n)) được xác định như sau:

Thao tác này còn được gọi là lấy mẫu lên [up - sampling].

y(n) =

x(n/N), v i n = 0, N, 2N, ới n = 1, 4 ±N, ±2N, ±N, ±2N,

0, các trười rạc theo thời ng h p khácợt

Các phép biến đổi biên độ thường dùng nhất là cộng, nhân và lập tỷ lệ.Việc thực hiện các phép toán này không phức tạp và chỉ bao gồm các phéptoán trên từng điểm của tín hiệu.

giá trị ở mỗi thời điểm bằng tổng các giá trị của x 1 (n) và x 2 (n) tương ứng ở

các thời điểm đó Và như vậy:

y(n) = x1(n) + x2(n), - ∞ < n < ∞

giá trị ở mỗi thời điểm bằng tích các giá trị của x 1 (n) và x 2 (n) tương ứng ở

các thời điểm đó Và như vậy:

y(n) = x1(n) * x2(n), - ∞ < n < ∞

3 Lấy tỷ lệ: Phép lấy tỷ lệ còn được gọi là phép nhân của dãy với

hằng số và được thực hiện bằng cách nhân giá trị của mỗi mẫu với chínhgiá trị của hằng số đó Giả sử hằng số được ký hiệu là C, khi đó ta có thểviết:

y(n) = Cx(n), - ∞ < n < ∞

1 Kỹ thuật phân tích hệ thống tuyến tính.

Xung đơn vị có thể được sử dụng để phân rã một tín hiệu ngẫu nhiên

x(n) thành tổng của các xung đơn vị bị dịch và có trọng số như sau:

)2()2()1()1()()0()1()1(

x( ) ( )( )

Trong đó mỗi một số hạng của tổng, x(k)(n k), là một tín hiệu có biên

độ là x(k) ở thời điểm n = k và có giá trị 0 với mọi giá trị khác của n Phân

rã này là phiên bản rời rạc của tính chất dịch đối với các tín hiệu liên tụctheo thời gian và được sử dụng trong phép lấy đạo hàm của một tổng chập.Đối với việc phân tích các đáp ứng của hệ thống tuyến tính đối vớimột tín hiệu đầu vào cho trước có hai phương pháp.

Phương pháp thứ nhất dựa trên cách giải quyết trực tiếp đối với biểuthức biểu diễn quan hệ vào/ra của hệ thống Biểu thức này thông thường códạng:

y(n) = F[y(n 1), y(n 2), , y(n N), x(n), x(n 1), , x(n M)]

-trong đó F[.] là hàm với các biến là các thành phần được chỉ ra -trong dấu

ngoặc vuông Cụ thể hơn, đối với hệ thống LTI( Linear Time Invariant –

Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian) thì sau này ta có thể thấy rằng

quan hệ vào/ra có thể được biểu diễn bằng công thức dưới dạng phươngtrình vi phân:

M k k

k y n k b x n k a

n

y

)()

()

+ Phân tích tín hiệu đầu vào thành tổng các tín hiệu đơn giản cơ bản.Việc phân tích này sẽ đưa đến việc xác định đáp ứng của tín hiệu đầu vàothông qua các đáp ứng của hệ đối với các tín hiệu cơ bản mà thông thường

sẽ đơn giản và dễ dàng hơn rất nhiều:

1

) ( )

(

(1.3.2)

+ Sử dụng tính chất tuyến tính của hệ thống để xác định đáp ứng tổngcủa hệ thống thông qua các đáp ứng riêng lẻ đối với từng tín hiệu cơ bản

Một cách chi tiết hơn, giả sử rằng tín hiệu tác động x(n) đã được phân tích thành tổng các tín hiệu thành phần cơ bản {x k (n)}:







N k

k

kx n c

n

x

1

) ( )

(

Trong đó, {c k}là tập hợp các biên độ( hệ số trọng số) nhận được khi phân

tích tín hiệu x(n) Nếu giả sử đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu thành phần cơ bản x k (n) là y k (n) hay:

 ( ) 

) ( n T x n

k k

k

c T n x T n

Giả sử rằng x(n) là tín hiệu bất kỳ cần phân tích thành tổng các dãy

mẫu đơn vị và ta chọn các tín hiệu thành phần là:

trong đó k biểu diễn sự trễ của dãy mẫu đơn vị.

Để xác định được tín hiệu bất kỳ x(n) ta thực hiện lặp lại phép nhân x(n) và (n - k) trên tất cả giá trị cho phép của độ dịch trễ (k tương ứng với các thời điểm lấy mẫu) -∞ < k < ∞ và sau đó cộng tất cả các dãy đã được nhân lại với nhau thì dãy kết quả thu được sẽ là x(n) Như vậy ta có thể

(1.3.6)

Vế phải của (1.3.6) chính là kết quả của việc phân tích tín hiệu bất kỳ

x(n) thành tổng của các xung đơn vị dịch.

3 Phép chập

Đối với một hệ thống tuyến tính và bất biến, quan hệ giữa tín hiệu ngõ

vào x(n) và tín hiệu ngõ ra y(n) được cho bởi tổng chập:

h n x n

x n h n

y( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Vì phép chập về cơ bản dùng để phân tích và mô tả hệ thống

LTI( Linear Time Invariant – Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian),

trong mục này ta xem xét cơ chế thực hiện phép chập Ta sẽ bắt đầu bằng

cách liệt kê một số tính chất của phép chập, các tính chất này có thể được

sử dụng để đơn giản hóa việc tính toán tổng chập

a Các tính chất của phép chập

Phép chập là một toán tử tuyến tính và do vậy có một số tính chấtquan trọng bao gồm giao hoán, kết hợp và phân phối

+) Tính giao hoán của tổng chập.

Tính giao hoán phát biểu rằng trật tự mà hai chuỗi chập với nhaukhông quan trọng Về mặt toán học, tính giao hoán được định nghĩa:

x(n)*h(n) = h(n)*x(n)

Từ quan điểm hệ thống, tính chất này phát biểu rằng một hệ thống có

đáp ứng xung đơn vị h(n) và tín hiệu ngõ vào x(n) hoạt động một cách chính xác giống như là một hệ thống có đáp ứng xung đơn vị là x(n) và tín hiệu ngõ vào h(n) Điều này được minh hoạ trong hình vẽ dưới đây:

+) Tính kết hợp của tổng chập

Toán tử chập thoả tính kết hợp như sau:

[x(n) *h1(n)] *h2(n) = x(n) *[ h1(n) *h2(n)]

Từ quan điểm hệ thống, tính kết hợp phát biểu rằng nếu hai hệ thống

có các đáp ứng xung đơn vị là h 1 (n) và h 2 (n) được ghép nối tầng như trình

bày trong hình vẽ, hệ thống tương đương là hệ thống có đáp ứng xung đơn

+) Tính phân phối của tổng chập

Tính phân phối của toán tử chập phát biểu rằng:

x(n) *[h1(n) + h2(n)] = x(n) * h1(n) + x(n)*h2(n)

Từ quan điểm của hệ thống, tính chát này phát biểu rằng nếu hai hệ

thống có đáp ứng xung đơn vị là h 1 (n) và h 2 (n) được kết nối song song, như

minh hoạ hình dưới, hệ thống tương đương là hệ thống có đáp ứng xung

của tổng chập một cách dễ dàng hơn Mặc dầu vậy việc tính toán giá trị củatổng chập theo phương pháp giải tích vẫn tương đối phức tạp Khi thựchiện phép chập bằng phương pháp giải tích, thông thường điều cần thiết để

x(n)

y(n) x(n)

h1(n)*h2(n) h

tính toán các tổng hữu hạn hoặc vô hạn sẽ kéo theo các số hạng có dạng n

hoặc n n

+) Phương pháp đồ thị

Cùng với phương pháp giải tích vừa nêu trên, phép chập cũng có thểđược thực hiện bằng đồ thị Các bước cần thực hiện khi sử dụng phươngpháp đồ thị như sau:

1 Vẽ hai chuỗi x(k) và h(k) như là các hàm của k.

2 Chọn một trong hai chuỗi, thí dụ h(k), và đảo ngược thời gian của chuỗi này để hình thành chuỗi h(-k).

3 Dịch chuỗi đã được đảo ngược thời gian bởi n [Lưu ý: Nếu n > 0,

điều này tương ứng với phép dịch sang phải( trì hoãn), trong khi nếu

n < 0, điều này tương ứng với phép dịch sang trái(tiến tới)].

4 Nhân hai chuỗi x(k) và h(n - k) và lấy tổng các tích đối với mọi giá trị của k Giá trị kết quả sẽ là giá trị của y(n) Quá trình này được lặp lại đối với mọi n có thể

1.3.2 Xử lý tín hiệu trong miền tần số.

Chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu một công cụ toán học khác, đó là biến

đổi Fourier, để chuyển biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến

số độc lập n sang miền tần số liên tục 

Biến đổi Fourier là một trong các công cụ toán học sử dụng rất nhiều

trong việc thiết kế và phân tích các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời

e

X( ) ( ) 

Như vậy biến đổi Fourier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong

miền biến số độc lập tự nhiên n thành việc biểu diễn tín hiệu X ( ej)trong

miền tần số  (hoặc tần số 

 2



f

), tức là trên trục ảo j vì j là một biến số

ảo Như vậy ta thấy rằng X ( ej) là một hàm phức của biến số .

Ví dụ mô hình chuyển đổi tín hiệu trong miền thời gian sang miền tần

số sử dụng biến đổi Fourier:

* Biến đổi Fourier ngược

Tín hiệu x(n) có thể tính được nhờ sự biến đổi ngược thông qua công

1 Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn rời rạc.

Giả xử x(n) là dãy tuần hoàn với chu kỳ N, nghĩa là x(n) = x(n + N)

với mọi N Biểu diễn x(n) qua chuỗi Fourier có dạng:

)

k

N kn j

k e c n

) (

k

N kn j

N

(1.3.8)

Biểu thức (1.3.7) thường được gọi là chuỗi Fourier rời rạc theo thời

gian( DTFS) Các hệ số c k của chuỗi cho phép mô tả tín hiệu x(n) trong

miền tần số Các hệ số này biểu diễn biên độ và pha của các thành phần tần

số tương ứng với dạng:

s k (n) = e j2kn/N = e j(k)n (1.3.9) với (k) = 2k/N.

Dễ dàng nhận thấy s k (n) là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ N [ nghĩa là

s k (n) = s k (N + n)] Từ tính chất tuần hoàn này suy ra:

) (

)(

1 N

n

N n

k N kn j N

n N k j N

N e

n x N

(1.3.10)

Điều này chứng tỏ các hệ số c k của chuỗi cũng tuần hoàn với chu kỳ

N Như vậy khi k chạy trong khoảng 0,1, , N – 1 ta luôn có:

Các kết luận trên chứng tỏ phổ của tín hiệu tuần hoàn x(n) với chu kỳ

N cũng là dãy tuần hoàn với cùng chu kỳ N và do vậy bất kỳ N mẫu liên tục

của tín hiệu hoặc phổ của nó sẽ cung cấp một cách trọn vẹn về cách mô tảcủa tín hiệu trong miền thời gian hoặc tần số

Vì các hệ số là dãy tuần hoàn nên ta chỉ cần xác định các giá trị này

trong một chu kỳ, tức là ứng với các giá trị của k trong khoảng 0,1, , N –

1 Điều này có một sự thuận tiện vì trong miền tần số khi 0 ≤ k ≤ N - 1 thì

ta sẽ có 0 ≤  k = 2k/N ≤ 2 Ngược lại nếu: - N/2 ≤ k ≤ N/2 thì ta sẽ có - 

≤  k = 2k/N ≤ .

2 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn.

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc x(n) với năng lượng hữu hạn

được định nghĩa bởi:

e n

x )(

(1.3.12)

Như vậy biến đổi Fourier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong

miền biến số độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu X() trong miền tần số

 Về mặt vật lý, X() biểu diễn nội dung tần số của tín hiệu x(n) Nói một

cách khác, X() là phân tích của x(n) thành các thành phần tần số của nó.

Có thể nhận thấy hai điểm khác nhau cơ bản giữa biến đổi Fourier

của tín hiệu năng lượng hữu hạn và rời rạc theo thời gian với tín hiệu cónăng lượng hữu hạn và liên tục theo thời gian:

+ Đối với tín hiệu liên tục, biến đổi Fourier và phổ của nó có miền

giới hạn tần số từ -  đến +, trong khi đối với tín hiệu rời rạc thì miền

giới hạn này nằm trong khoảng từ -  đến  hoặc từ 0 đến 2 vì vậy X()

là tín hiệu tuần hoàn chu kỳ 2.

+ Bởi vì tín hiệu là rời rạc theo thời gian do vậy phép biến đổi

Fourier sẽ bao gồm tổng các phần tử thay cho phép lấy tích phân như trong

trường hợp tín hiệu liên tục

Và biểu thức của các hệ số của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn

Hình vẽ mô phỏng cặp biến đổi Fourier như sau:

3 Các tính chất của biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc theo thời gian.

Biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có một số

tính chất rất quan trọng mà việc sử dụng linh hoạt các tính chất này có thểlàm giảm một cách đáng kể sự phức tạp của các vấn đề nảy sinh trong khiphân tích tần số đối với một số ứng dụng trên thực tế Để thuận tiện cho

việc giới thiệu các tính chất của biến đổi Fourier ta có một số quy ước như

sau: Đối với biểu thức phân tích ta ký hiệu:

e n x n

x F

(

(1.3.13)Đối với biểu thức tổng hợp (biến đổi ngược):

(

(1.3.14)

Ngoài ra còn có thể biểu diễn x(n) và X() như là một cặp trong phép

biến đổi Fourier bằng cách sau:

) ( )

 

a) Tính chất đối xứng của biến đổi Fourier

Giả sử rằng cả hai tín hiệu x(n) và X() đều là các tín hiệu phức Khi

1)