Đồ án tốt nghiệp đại học nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng dụng phân tích phổ

Thông thờng ta nhận đợc các tín hiệu rời rạc theo thời gian từ việc lấy mẫu một tín hiệu thời gian liên tục continuous-time signal kết hợp với bộ biến đổi tơng tự – các thuật toán FFT số

Mục Lục

Mở đầu 3

Chơng 1: Tổng quan về Tín hiệu số và hệ thống xử lý tín hiệu số 5

1.1 Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số 5

1.1.1 Tín hiệu rời rạc theo thời gian: 5

1.1.2 Các hệ thống xử lý tín hiệu số 14

1.2 Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu 19

1.2.1 Lấy mẫu 20

1.2.2 Khôi phục tín hiệu 22

1.3 Xử lý tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số 25

1.3.1 Xử lý tín hiệu trong miền thời gian 25

1.3.2 Xử lý tín hiệu trong miền tần số 32

Chơng 2: Biến đổi Fourier rời rạc 44

2.1 Lấy mẫu trong miền tần số: Biến đổi Fourier rời rạc 44

2.1.1 Lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục lại tín hiệu rời rạc theo thời gian 44

2.1.2 Biến đổi Fourier rời rạc(DFT) 48

2.2 Phân tích tín hiệu trong miền tần số bằng DFT 49

2.3 Trình ứng dụng của DFT 53

2.3.1 Phân tích phổ của tín hiệu 53

2.3.2 Đáp ứng của hệ thống trong miền tần số 54

2.3.3 Công thức tổng chập trong miền tần số 56

Chơng 3: thuật toán biến đổi nhanh Fourier( FFT ) - cấu trúc file wave 57

3.1 Tính toán nhanh DFT – các thuật toán FFT các thuật toán FFT 57

3.1.1 Phơng pháp tính trực tiếp của DFT 57

3.1.2 Phơng pháp chia nhỏ để tính DFT 58

3.1.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian 64

3.1.4.Ví dụ về tính toán fft cơ số hai với n=16 71

3.2 Cấu trúc file Wave 78

3.2.1 Multimedia Windows 78

3.2.2 Cấu trúc Wave file 80

CHƯƠNG 4: Thiết kế và xây dựng chơng trình hiển thị phổ tín hiệu file wave 87

4.1 lu đồ thuật giải và cấu trúc dữ liệu 87

4.1.1 Sơ đồ khối 87

4.1.2 Cấu trúc dữ liệu và định nghĩa 88

4.2 Giao diện và thuyết minh chơng trình 91

Kết luận 94

Tài liệu tham khảo 96

Mở đầu

Cuộc cách mạng khoa học và công nghệ đang diễn ra một cách sôi

động cha từng thấy nh hiện nay trên toàn thế giới thúc đẩy loài ngời nhanhchóng bớc sang một kỷ nguyên mới Đó là kỷ nguyên của nền văn minhdựa trên cơ sở công nghiệp trí tuệ Mở đầu cho cho cuộc cách mạng khoahọc và công nghệ lần này có thể đợc đánh dấu bằng sự ra đời và phát triểncủa máy tính cũng nh các phơng tiện xử lý thông tin khác, đặc biệt là các hệthống sử lý song song với tốc độ ngày càng cao Cùng với sự phát triểnngày càng nhanh chóng các công cụ sử lý tín hiệu số hiện đại Đặc biệt cácphơng pháp sử lý số này phải áp dụng có hiệu quả trong các lĩnh vực thôngtin liên lạc,phát thanh truyền hình,tự động điều khiển và các nghành côngnghệ khác ở bất cứ nơi đâu bạn cũng sẽ gặp rất nhiều những vật dụngtrong cuộc sống đợc áp dụng kỹ thuật số, từ những vật dụng rất đơn giản

nh những món đồ chơi trẻ em đến các vật dụng loại Hi – các thuật toán FFT End đắt tiềntrong gia đình, ứng dụng trong truyền thông, các thiết bị chuyên dùng trongtruyền thông, phát thanh, truyền hình, các thiết bị của ngành khoa học, y tế,giáo dục… đều đ đều đợc các nhà sản xuất tận dụng tối đa những u thế của côngnghệ số đa vào trong sản phẩm của mình Những chiếc máy ảnh kỹ thuật

số, máy tính số … đều đ với tốc độ phân giải cao nhng kích thớc chỉ cỡ một baothuốc lá, thậm chí là mỏng và nhỏ hơn, rất thời trang và rất nhẹ đang dầnthay thế những chiếc máy ảnh vận hành bằng cơ khí cổ điển rất thịnh hành

ở những năm cuối thế kỷ trớc mà có lẽ bây giờ khi đi du lịch, mang theo nó

là một vấn đề cần phải cân nhắc, xem xét Còn về các dịch vụ viễn thông đaphơng tiện, chắc chúng ta còn nhớ đến những chiếc máy điện thoại để bànquay tay, muốn thực hiện cuộc gọi thì phải đăng ký với tổng đài, thì bây giờtổng đài số đã đợc thay thế, các cuộc điện thoại dùng cách gọi trực tiếp

quay số IDD hết sức dễ dàng, tiện dụng Sự phát triển bùng nổ của công

nghệ thông tin làm cho các dịch vụ Internet trở nên gần gũi và giúp cho conngời trên toàn thế giới có thể trao đổi và cập nhật thông tin trực tuyến

Đó chính là những thành quả thấy rất rõ của việc áp dụng kỹ thuật số

mà trong đó phân tích và xử lý tín hiệu số là vấn đề cốt lõi, căn bản của hệthống số Đề tài: Nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng“ Nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng

dụng phân tích phổ của tín hiệu” sẽ làm rõ hơn về vấn đề này

Trong phạm vi của đề tài, em đã giải quyết đợc một số vấn đề sau:

 Chơng I: Tổng quan về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số

 Chơng II: Biến đổi tín hiệu Fourier rời rạc

 Chơng III: Thuật toán biến đổi nhanh Fourier (FFT) và Cấu trúc file Wave.

 Chơng IV: Thiết kế và xây dựng chơng trình hiển thị phổ tín hiệu file Wave.

Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu ứng dụng Đặc biệt đợc sự giúp đỡtận tình của Thầy giáo Tiến sỹ Dơng Tử Cờng, đề tài của em đã đợc hoànthành Tuy vậy, không thể không có những thiếu sót vì đây là một vấn đềcòn mới, ít tài liệu đề cập đến hoặc có đề cập thì cũng chỉ sơ sài chungchung, khó có thể thuật toán hoá, chơng trình hoá Em rất mong đợc sự

đóng góp chân thành của các thầy cô giáo và những ngời quan tâm đến vấn

đề này để đề tài của em đợc hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn sựgiúp đỡ nhiệt tình của bạn bè, thầy cô giáo đặc biệt là Thầy giáo TS Dơng

Tử Cờng đã hớng dẫn và quan sát quá trình thực hiện đề tài của em

Chơng 1: Tổng quan về Tín hiệu và hệ thống

xử lý tín hiệu số1.1 Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số.

1.1.1 Tín hiệu rời rạc theo thời gian:

Định nghĩa tín hiệu: Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin

Về mặt toán học, tín hiệu đợc biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiềubiến số độc lập Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tínhiệu là liên tục thì tín hiệu đó đợc gọi là tín hiệu liên tục Còn nếu tín hiệu

đợc biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó đợc gọi là tínhiệu rời rạc( rời rạc ở đây đợc hiểu là rời rạc theo biến số) Hàm của tínhiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó đợc gọi là tín hiệu số

Tín hiệu rời rạc theo thời gian là một chuỗi số có chỉ số( đợc định chỉsố) các số thực hoặc số phức Nh vậy tín hiệu rời rạc theo thời gian là hàm

của biến độc lập có kiểu số nguyên n( biến nguyên n), ta kí hiệu là x(n).

Một điều quan trọng cần phải lu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian không

đ-ợc định nghĩa ở các thời điểm nằm giữa hai mẫu liên tiếp nhau Cũng sẽ

không đúng nếu cho rằng x(n) sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của x(n) không phải là số nguyên Rất đơn giản, tín hiệu x(n) chỉ đợc định nghĩa đối với các giá trị nguyên của n Do vậy một tín hiệu có giá trị thực x(n) sẽ đợc biểu diễn bằng đồ thị ở dạng giản đồ lollipop nh đợc trình bày trong hình

1.1

Trong nhiều bài toán cũng nh trong nhiều ứng dụng, để thuận lợi ta

xem x(n) nh là một vector Các giá trị từ x(0) đến x(N-1) của chuỗi thờng

đ-ợc khảo sát nh là các phần tử của một vector cột nh sau:

x= [x(0), x(1), … đều đ , x(N-1)]T.Trong khi nghiên cứu, chúng ta giả sử rằng tín hiệu rời rạc theo thời

gian đợc định nghĩa đối với giá trị nguyên của n thuộc khoảng - ∞ < n < +

∞ Theo qui ớc chúng ta cũng sẽ xem x(n) nh là mẫu thứ n“ Nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng ” của tín hiệu,thậm chí nếu tín hiệu này vốn đã là tín hiệu rời rạc( không phải là kết quả

của quá trình lấy mẫu tín hiệu rời rạc) Nếu cho rằng x(n) là tín hiệu nhận

đợc do quá trình lấy mẫu của tín hiệu tơng tự x a (t) thì x(n) = x(nT), trong

đó T là chu kỳ lấy mẫu( thời gian giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp nhau).

Chú ý: Chúng ta sẽ sử dụng x(n) nh là cách viết đơn giản của x(nT)

hoặc hiểu là với T = 1.

Thông thờng ta nhận đợc các tín hiệu rời rạc theo thời gian từ việc lấy

mẫu một tín hiệu thời gian liên tục( continuous-time signal) kết hợp với bộ biến đổi tơng tự – các thuật toán FFT số ADC( analog to digital converter) Thí dụ nh tín hiệu liên tục x a (t) đợc lấy mẫu với tần số lấy mẫu là f s = 1/T s( nghĩa là trong 1

giây ta có f s mẫu) để tạo ra tín hiệu đợc lấy mẫu ( rời rạc theo thời gian )

Tuy nhiên không phải tất cả các tín hiệu rời rạc theo thời gian đều có

đợc theo cách trên Một số tín hiệu đợc khảo sát là các chuỗi xuất hiện một

Hình 1.1 Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời gian

n

4 -1

-2

-3 -4 -5

1.3 1.8

2.5 1.8

- 1.3

- 1.8

3

0.5 2

cách tự nhiên rời rạc theo thời gian mà không cần đến bộ biến đổi tơng tự

-số để biến đổi tín hiệu tơng tự thành tín hiệu rời rạc theo thời gian Ví dụcho tín hiệu loại này nh giá cả hàng ngày trên thị trờng cổ phiếu, thống kêdân số, kiểm kê kho hàng và các số vệt đen ở bề mặt của mặt trời.v.v… đều đ

Ngoài phơng pháp sử dụng đồ thị nh mô tả trên hình 1.1 còn có một sốphơng pháp khác tơng đối thuận tiện đợc dùng để biểu diễn tín hiệu( hoặcdãy) rời rạc theo thời gian Các phơng pháp này bao gồm:

Trong đó kí hiệu dùng để chỉ thời điểm gốc( n = 0).

Dãy x(n) có giá trị bằng 0 với n < 0 đợc biểu diễn bằng cách sau:

Nếu dãy hữu hạn thoả mãn điều kiện x(n) = 0 với n < 0 thì dãy có thể

đợc biểu diễn theo cách nh sau:

Tín hiệu trong (1.1.4) có chứa 8 giá trị mẫu hoặc tám điểm (theo thờigian) và đợc gọi là dãy có tám điểm Cũng tơng tự nh vậy, dãy biểu diễn bởi(1.1.5) là dãy 5 điểm.

1 Tín hiệu phức

Một cách tổng quát, tín hiệu rời rạc theo thời gian có thể có giá trịphức Thật vậy, trong một số ứng dụng quan trong nh thông tin số, các tínhiệu phức phát sinh một cách tự nhiên Tín hiệu phức có thể đợc biểu diễn

bằng các phần thực ( real part ) và phần ảo( imaginary part).

z(n) = a(n) + jb(n) = Re{z(n)} + jIm{z(n)}

hoặc đợc biểu diễn ở dạng cực( polar form) theo biên độ( amplitude) và pha( phase)

z(n) = │z(n)│exp[jarg{z(n)}]

Biên độ có thể đợc suy ra từ các phần thực và phần ảo nh sau:

│z(n)│2 = Re2{z(n)} + Im2{z(n)}

Trong khi đó pha đợc tính theo công thức

arg{z(n)} = tan-1Im{z(n)}/Re{z(n)}

Nếu z(n) là một chuỗi phức, liên hợp phức( complex conjugate) ký hiệu là z * (n) đợc thành lập bằng cách thay đổi dấu trong phần ảo của z(n)

z*(n) = Re{z(n)} - jIm{z(n)} = │z(n)│exp[- jarg{z(n)}]

2 Một vài tín hiệu rời rạc cơ bản.

Mặc dù hầu hết các tín hiệu mang thông tin trong thực tế là các hàm

phức tạp theo thời gian( complicated functions of time ), nhng dới đây là

một số tín hiệu rời rạc theo thời gian tuy đơn gian nhng rất quan trọng Nórất hay xuất hiện và thờng đợc sử dụng trong lý thuyết về tín hiệu và hệthống rời rạc theo thời gian để biểu diễn và mô tả các tín hiệu phức tạp hơn

Các tín hiệu cơ bản này là: xung đơn vị( unit sample), nấc đơn vị( unit

step), tín hiệu dốc đơn vị và hàm mũ( exponential)

Nh vậy, dãy mẫu đơn vị là tín hiệu chỉ có một giá trị duy nhất bằng 1

đơn vị tại thời điểm n = 0 trong khi tất cả các giá trị còn lại đều bằng 0 Khác với xung đơn vị (n) của tín hiệu tơng tự, dãy mẫu đơn vị về mặt toán

học không vớng và phức tạp nh tín hiệu này Tín hiệu dãy xung đơn vị đóngmột vai trò hết sức quan trọng và đợc mô tả bằng đồ thị nh trên hình 1.2

b Dãy nhảy bậc đơn vị

Dãy này còn đợc gọi là tín hiệu nhảy bậc đơn vị hay hàm bậc thang và

đợc định nghĩa qua hàm sau:

Giữa tín hiệu nhẩy bậc đơn vị và tín hiệu xung đơn vị có mối quan hệ:

u

0

) ( )

Tơng tự, một xung đơn vị có thể đợc viết thành sai biệt của hai tín hiệu

nấc đơn vị: (n) = u(n) – các thuật toán FFT u(n - 1)

Tín hiệu nhảy bậc đơn vị đợc mô tả trên hình 1.3

-1-2-3

c Tín hiệu dốc đơn vị

Tín hiệu này đợc ký hiệu bằng u r (n) và đợc định nghĩa qua công thức:

Tín hiệu này đợc mô tả trên hình 1.4

d Hàm mũ

Chuỗi hàm mũ đợc định nghĩa bởi x(n) = a n trong đó a là số thực hoặc

số phức Chuỗi hàm mũ có tầm quan trọng đặc biệt khi a  e j 0với  0 là

một số thực Trong trờng hợp này, x(n) là một hàm mũ phức:

) sin(

Nghiên cứu các hàm mũ phức rất hữu ích trong việc phân rã

Fourier ( Fourier decomposition) các tín hiệu.

3 Phân loại tín hiệu rời rạc

Các phơng pháp toán học đợc dùng trong việc phân tích tín hiệu và hệthống rời rạc theo thời gian hoàn toàn phụ thuộc vào đặc thù của tín hiệu.Dới đây chúng ta sẽ phân loại các tín hiệu rời rạc theo thời gian tuỳ theocác đặc thù này

a Tín hiệu năng lợng và tín hiệu công suất

Năng lợng E của tín hiệu x(n) đợc định nghĩa bằng công thức:

Năng lợng của tín hiệu có thể là hữu hạn hay vô hạn Nếu E là hữu hạn

(0<E<∞) thì x(n) đợc gọi là tín hiệu năng lợng Để phân biệt năng lợng của

tín hiệu rời rạc, thông thờng ngời ta sử dụng thêm chỉ số x đối với E và viết là: E x

Rất nhiều tín hiệu với năng lợng vô hạn lại có công suất hữu hạn Công

suất trung bình của tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) đợc định nghĩa bằng

N

1 2

1 lim

và khác 0) tín hiệu sẽ đợc gọi là tín hiệu công suất Dới đây sẽ mô tả một ví

dụ về kiểu năng lợng này

Ví dụ 1: Xác định năng lợng và công suất của dãy nhẩy bậc đơn vị

Công suất trung bình của tín hiệu nhẩy bậc đơn vị là:

2

1 / 1 2

/ 1 1 lim 1 2

1 lim ) ( 1 2

1 lim

b Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn

Các tín hiệu rời rạc theo thời gian luôn luôn có thể đợc phân loại thành

tín hiệu tuần hoàn(periodic) và tín hiệu không tuần hoàn( aperiodic) Tín hiệu x(n) đợc gọi là tuần hoàn với chu kỳ N nếu với mỗi số nguyên dơng N,

hạn Mặt khác, công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn là hữu hạn và

bằng công suất trung bình trong một chu kỳ Nh vậy, nếu x(n) là tín hiệu tuần hoàn với tần số cơ bản N và có các giá trị hữu hạn thì công suất của nó

| ) (

|

1 N n n x N

Suy ra rằng tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu công suất

1.1.2 Các hệ thống xử lý tín hiệu số

1 Mô tả vào/ra hệ thống

Một hệ thống rời rạc theo thời gian là một toán tử toán học hoặc phép

ánh xạ biến đổi một tín hiệu( ngõ vào) thành một tín hiệu khác( ngõ ra) dựavào một tập cố định các quy luật và các phép toán Các tính chất vào – các thuật toán FFT ra

của một hệ thống có thể đợc chỉ ra theo một trong nhiều cách khác nhau.Quan hệ vào/ra này có thể đợc biểu diễn nhờ vào một quy luật toán họchoặc bằng biểu thức toán học:

y(n) ≡ T[x(n)]

trong đó T là ký hiệu của phép biến đổi hoặc toán tử.

Hoặc biểu diễn:

Theo cách biểu diễn này thì y(n) là đáp ứng của hệ thống T với kích thích là x(n).

Việc phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc đợc thực hiện thông

qua các điều kiện ràng buộc đối với phép biến đổi T

2 Biểu diễn hệ thống rời rạc theo thời gian bằng sơ đồ khối.

Để có thể biểu diễn các hệ thống rời rạc theo thời gian bằng sơ đồ khốiviệc trớc tiên là cần phải xây dựng một số khối thực hiện một số công việc

cơ bản Thông qua các khối này chúng ta có thể xây dựng nên các hệ thốngphức tạp hơn

T

Hệ thống rời rạc theo thời gian – các thuật toán FFT

T[.]

Tín hiệu hoặc kích thích vào Tín hiệu hoặc đáp ứng ra

Hình 1.10 Biểu diễn bằng sơ đồ khối của hệ thống rời rạc theo thời gian

a Bộ nhân với hằng số( constant multiplier).

Phép toán này đợc mô tả trên hình 1.11 và biểu diễn một phép lấy tỷ lệ

của tín hiệu đầu vào x(n) Chú ý rằng đây cũng là phép toán tức thì.

b Bộ cộng( Adder)

Hình 1.12 mô tả một hệ thống (bộ cộng) thực hiện cộng hai dãy tín

hiệu với kết quả là một dãy khác – các thuật toán FFT dãy tổng y(n).

Chú ý rằng trong quá trình thực hiện thao tác cộng ta không cần phải

l-u trữ bất cứ một giá trị trl-ung gian nào bởi vì phép cộng đợc thực hiện tứcthì không nhớ

c Bộ nhân tín hiệu( signal multiplier)

Hình 1.13 biểu diễn một bộ nhân của hai dãy tín hiệu với kết quả là

một dãy tích y(n) Cũng giống nh hai trờng hợp trớc, ở đây phép nhân cũng

là phép toán không nhớ

d Phần tử trễ đơn vị.

Phần tử trễ đơn vị( unit delay element) là hệ thống đặc biệt có tác dụng

làm trễ tín hiệu đi qua với thời gian bằng một đơn vị Hệ thống này đợc mô

tả trên hình 1.14 Nếu tín hiệu đầu vào là x(n) thì tín hiệu ra là y(n) = x(n

-1), rõ ràng rằng để có thể nhận đợc tín hiệu đầu ra y(n) ở thời điểm n thì giá

trị mẫu đầu vào x(n) ở thời điểm trớc đó (n - 1) cần đợc lu trữ lại

Nh vậy hệ thống này là hệ thống có nhớ Trong miền Z phần tử này

đ-ợc ký hiệu bởi z -1

e Phần tử vợt trớc đơn vị( Unit advance element).

Trái ngợc với hệ trễ đơn vị, hệ vợt trớc đơn vị sẽ chuyển đầu vào x(n)

dịch về trớc một mẫu theo thời gian để có thể nhận đợc ở đầu ra tín hiệu

y(n) = x(n+1) Hình 1.15 là cách biểu diễn hệ thống này trong đó z là ký

hiệu của hệ thống

3 Phân loại các hệ thống rời rạc theo thời gian.

Các hệ thống rời rạc theo thời gian có thể đợc phân loại dựa vào cáctính chất mà hệ thống có đợc Các tính chất quan trọng thờng dùng nhất là:Tuyến tính, bất biến, nhân quả, nhớ và không nhớ, ổn định và khả đảo… đều đ

Hình 1.14 Biểu diễn qua sơ đồ của phần tử trễ

Z y(n) = x(n + 1)x(n)

Hình 1.15 Biểu diễn qua sơ đồ của phần tử v ợt tr ớc

y(n) = cx(n)

đều là các hệ thống không nhớ bởi vì các giá trị của y(n) chỉ phụ thuộc vào

giá trị tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm

Ngợc lại hệ thống: y(n) = x(n) + x(n - 1) là hệ thống có nhớ vì y(n)

không chỉ phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm màcòn phụ thuộc vào quá khứ

b Hệ thống bất biến và không bất biến theo thời gian

Một hệ thống đợc gọi là bất biến theo thời gian nếu nh đặc trng vào/racủa nó không thay đổi theo thời gian tức là:

T[a1x1(n) + a2x2(n)] = T[a1x1(n)] + T[a2x2(n)]

đối với mọi dãy tín hiệu đầu vào x 1 (n), x 2 (n) và các hằng số a1, a2

d Hệ nhân quả và không nhân quả

Một hệ thống đợc gọi là nhân quả nếu tín hiệu đầu ra của nó tại một

thời điểm bất kỳ n( nghĩa là y(n)) chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong quá khứ và tại thời điểm đang xét [ tức là chỉ phụ thuộc vào x(n), x(n - 1),

x(n - 2), ] và không phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào trong tơng lai [x(n+1), x(n+2), ] Nh vậy tín hiệu đầu ra y(n) có thể đợc biểu diễn nh

sau:

y(n) = F[x(n), x(n - 1), x(n - 2), ]

trong đó F[.] biểu diễn một hàm số bất kỳ

Ngợc lại, hệ thống đợc gọi là không nhân quả nếu tín hiệu đầu rakhông những chỉ phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào ở hiện tại và quá khứ

mà còn phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong tơng lai

e Hệ ổn định và không ổn định.

Trong nhiều ứng dụng, đáp ứng y(n) của hệ thống đợc giới hạn mỗi khi

biên độ tín hiệu đầu vào bị giới hạn Một hệ thống có tính chất này đợc gọi

là hệ thống có tính ổn định theo nghĩa đầu vào giới hạn và đầu ra giới hạn là

1.2 Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu.

Trong đa số trờng hợp, các tín hiệu rời rạc theo thời gian nhận đợc từviệc lấy mẫu một tín hiệu liên tục theo thời gian, chẳng hạn nh các tín hiệu

âm tần và tiếng nói, các dữ liệu radar và siêu âm, các tín hiệu địa chấn và

sinh học… đều đ Quá trình biến đổi các tín hiệu liên tục này thành dạng số đợc

gọi là biến đổi tơng tự thành số ( analog-to-digital conversion: A/D) Quá

trình ngợc lại, tái tạo tín hiệu tơng tự từ các mẫu của tín hiệu này đợc gọi là

biến đổi số thành tơng tự (digtal-to-analog conversion: D/A) Chúng ta sẽ khảo sát các vấn đề liên quan đến biến đổi A/D và D/A Nền tảng cho việc khảo sát này là định lý lấy mẫu (sampling theorem), định lý này cung cấp

cho ta các điều kiện cần có để một tín hiệu tơng tự có thể đợc biểu diễnduy nhất theo các mẫu của tín hiệu này

Đầu tiên là bộ lấy mẫu (sampler), bộ này đôi khi còn gọi là bộ biến

đổi liên tục thành rời rạc (continuous-to-discrete C/D) hoặc bộ biến đổi A/

D lý tởng Bộ lấy mẫu biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian x a (t) tại

những thời điểm là bội số nguyên của chu kỳ lấy mẫu T s , x(n) = x a (nT s ).

Các tín hiệu rời rạc theo thời gian, một cách điển hình, đợc tạo thành

bằng cách lấy mẫu có chu kỳ hay tuần hoàn( periodically sampling) một tín hiệu liên tục theo thời gian x(n) = x a (nT s ).

Khoảng cách giữa các mẫu T s đợc gọi là chu kỳ lấy mẫu và f s = 1/T s là

tần số lấy mẫu tính bằng số mẫu trong 1 giây Một phơng pháp tiện lợi đểkhảo sát quá trình lấy mẫu này là trớc tiên tín hiệu liên tục đợc nhân vớichuỗi xung tuần hoàn 

s ( )  ( ) để tạo ra tín hiệu đợc lấy

mẫu( sampled signal):

a a

a

x ( ) ( ) ( ) ( )  ( )

Kế đến, tín hiệu đợc lấy mẫu đợc biến đổi thành tín hiệu rời rạc theo

thời gian bằng cách ánh xạ các xung có khoảng cách thời gian là T s thành

một chuỗi tín hiệu là x(n) trong đó các giá trị của các mẫu đợc định chỉ số bằng các biến nguyên n:

Ta hãy xét một ví dụ: Giả sử x a (t) là tín hiệu tuần hoàn bị giới hạn

băng thông sao cho X a (j ) = 0 với || > 0 nh minh họa ở hình 1.16

Nếu x a (t) đợc lấy mẫu với tần số lấy mẫu là  s ≥ 2 0 , biến đổi Fourier

của x s (t) đợc tạo thành bằng cách lập lại có chu kỳ X a (j ) nh đợc minh họa ở

hình 1.17

Tuy nhiên nếu s < 20 , phổ bị dịch X a (j  - jk s ) sẽ chồng lấp và khi các

phổ này đợc cộng để tạo ra X s (j ), kết quả đợc minh họa ở hình 1.18.

Việc chồng lấp các thành phần phổ đợc gọi là aliasing Khi aliasing xuất hiện (hay còn gọi là bị alias), phổ tần suất (frequency content) của

Nh đã đợc minh họa trong ví dụ trên, nếu x a (t) hoàn toàn bị giới hạn

băng thông sao cho tần số cao nhất của x a (t) là  0, và nếu tần số lấy mẫu lớn

hơn 2 0 , s ≥ 20 , aliasing không xuất hiện và tín hiệu x a (t) có thể đợc khôi

phục từ các mẫu x a (nT s ) của tín hiệu này bằng một bộ lọc thấp Sau đây là

phát biểu của định lý lấy mẫu Nyquist:

Định lý lấy mẫu: Nếu x a (t) là tín hiệu hoàn toàn bị giới hạn băng

thông, X a (j ) = 0 với || >  0 thì x a (t) có thể đợc khôi phục từ các mẫu

s s

Tần số 0 đợc gọi là tần số Nyquist và tần số lấy mẫu tối thiểu  s = 20

đợc gọi là tốc độ Nyquist ( Nyquist rate).

Do các tín hiệu đợc tim thấy trong các hệ thống vật lý không bao giờ

có băng thông bị giới hạn hoàn toàn, một bộ lọc tơng tự nhằm loại bỏaliasing đợc sử dụng để lọc tín hiệu trớc khi lấy mẫu Mục đích của việc lọc

này là tối thiểu hoá các năng lợng trên tần số Nyquist và giảm số lợng

aliasing trong bộ biến đổi A/D.

1.2.2 Khôi phục tín hiệu.

Nh đã đợc phát biểu trong định lý lấy mẫu, nếu x a (t) là tín hiệu hoàn

toàn bị giới hạn băng thông, X a (j ) = 0 với || >  0và nếu Ts < /0 thì x a (t) có

thể đợc khôi phục từ các mẫu x(n) = x a (nT s ) Quá trình khôi phục bao gồm

hai bớc nh đợc minh họa trong hình 1.19

Trớc tiên các mẫu x(n) đợc biến đổi thành một chuỗi xung,

r

T T T

j H





|

| , 0

|

| , )

đổi rời rạc thành liên tục lý tởng (D/C) Do đáp ứng xung của bộ lọc khôi

phục là:

s

s r

T t

T t t

h

/

) / sin(

) (

s

s s n

s r

T nT t

T nT t n

x nT

t h n x t

/ ) (

/ ) (

sin ) ( )

( ) ( )





Công thức nội suy này trình bày cách thức x a (t) đợc khôi phục từ các

mẫu x(n) = x a (nT s ) Trong miền tần số, công thức nội suy trên trở thành:

a j x n H j e s

X ( ) ( ) ( ) 

) ( ) ( )

( ) ( )

r T jn r

a j H j x n e H j X e

Biến đổi các xung Bộ lọc thông thấp lý t ởng

| ), (

)

T j s

X

Nh vậy X(e j ) đợc lập tỉ lệ theo tần số ( = T s ) và sau đó bộ lọc thông

thấp loại bỏ mọi tần số trong phổ tuần hoàn X(e jT s), các tần số này cao

hơn tần số cắt  c = /T s Do ta không thể thực hiện một bộ lọc thông thấp lý

tởng, nhiều bộ biến đổi D/A sử dụng một bộ giữ bậc 0( zero-order holder)

cho bộ lọc khôi phục

Đáp ứng xung của bộ giữ bậc 0 là:   

 , 0 0 , 1 ) (

0

s

T t t

h

Và đáp ứng tần số là:

2 /

) 2 / sin(

j

Sau khi chuỗi các mẫu của x a (nT s ) đã đợc biến đổi thành các xung, bộ

giữ bậc 0 tạo ra một xấp xỉ dạng bậc thang cho x a (t) nh đợc trình bày trong

hình 1.20 Với bộ giữ bậc thang 0, ta thờng xử lý sau“ Nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng ” tín hiệu ngõ ra với

một bộ lọc khôi phục bổ chính( reconstruction compensation filter), đáp

j s

s

c

T

T e

T Sin T j

|

|

; )

2 / ( 2 / )

(

2 /

sao cho việc ghép nối tầng H 0 (e j ) với H c (e j ) cho ta kết quả gần đúng với

một bộ lọc thông thấp có độ lợi T s trên toàn dải thông Lu ý là việc ghép nối

tầng H c (j ) với bộ giữ bậc 0 cho ta một bộ lọc thông thấp lý tởng.

1.3 Xử lý tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số.

1.3.1 Xử lý tín hiệu trong miền thời gian.

Khi khảo sát các tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian, hiển nhiên

có liên quan đến các thao tác trên tín hiệu Một cách tổng quát các thao tác

t4T

s

-2T

s

t4T

này là kết hợp của một vài phép biến đổi cơ bản trên tín hiệu Các phép biến

đổi này có thể đợc phân loại thành các phép biến đổi độc lập n hoặc thành các phép biến đổi theo biên độ của x(n).

Đối với các phép biến đổi theo biến độc lập, thông thờng các chuỗi

đ-ợc biến đổi và đđ-ợc thao tác bằng cách sửa đổi chỉ số n nh sau: y(n) =

x(f(n)), trong đó f(n) là một hàm nào đó của n Nếu có một giá trị nào đó

của n làm cho f(n) không phải là một số nguyên, y(n) = x(f(n)) không xác

định Việc xác định ảnh hởng của việc sửa đổi chỉ số n luôn luôn có thể

thực hiện đợc bằng cách sử dụng phơng pháp liệt kê dạng bảng đơn giản,

với mỗi một giá trị của n ta tính giá trị của f(n) và kế đến thiết lập y(n) =

x(f(n))

Tuy nhiên với nhiều phép biến đổi chỉ số, điều này không cần thiết vàchuỗi có thể đợc xác định hoặc vẽ đồ thị trực tiếp Các phép biến đổi thôngdụng nhất bao gồm dịch, đảo ngợc và lập tỷ lệ

1 Tịnh tiến( dịch): Đây là phép biến đổi đợc xác định bởi f(n) = n – các thuật toán FFT

bằng cách thay thế biến độc lập n bởi n – các thuật toán FFT , trong đó k là số nguyên Nếu k k

là số nguyên dơng thì kết quả của sự dịch chuyển về thời gian sẽ là sự trễ

của tín hiệu với k đơn vị của thời gian Nếu k là số âm thì kết quả của sự dịch chuyển theo thời gian là sự vợt trớc của tín hiệu với k đơn vị thời gian.

2 Đảo ngợc( reversal): Phép biến đổi này đợc cho bởi f(n) = - n và

đơn thuần bao gồm việc hoán đổi tín hiệu x(n) tơng ứng với chỉ số n Kết

quả của thao tác này là đợc gọi là sự phản xạ của tín hiệu đối với thời điểm

gốc n = 0.

3 Lập tỷ lệ thời gian( time scaling): Phép biến đổi này đợc xác định

bởi f(n) = Mn hoặc f(n) = n/N, trong đó M và N là các số nguyên dơng Trong trờng hợp f(n) = Mn, chuỗi x(Mn) đợc thành lập bằng cách trích lấy các mẫu thứ M của x(n) (thao tác này đợc gọi là lấy mẫu xuống[down -

sampling]) Với f(n) = n/N, chuỗi y(n) = x(f(n)) đợc xác định nh sau:

Thao tác này còn đợc gọi là lấy mẫu lên [up - sampling].

y(n) =

x(n/N), với n = 0, ±N, ±2N,

0, các trờng hợp khác

Các phép biến đổi biên độ thờng dùng nhất là cộng, nhân và lập tỷ lệ.Việc thực hiện các phép toán này không phức tạp và chỉ bao gồm các phéptoán trên từng điểm của tín hiệu.

1 Cộng: Tổng của hai tín hiệu x 1 (n) và x 2 (n) là một tín hiệu y(n) với

giá trị ở mỗi thời điểm bằng tổng các giá trị của x 1 (n) và x 2 (n) tơng ứng ở

các thời điểm đó Và nh vậy:

y(n) = x1(n) + x2(n), - ∞ < n < ∞

2 Nhân: Tích của hai tín hiệu x 1 (n) và x 2 (n) là một tín hiệu y(n) với

giá trị ở mỗi thời điểm bằng tích các giá trị của x 1 (n) và x 2 (n) tơng ứng ở các

thời điểm đó Và nh vậy:

y(n) = x1(n) * x2(n), - ∞ < n < ∞

3 Lấy tỷ lệ: Phép lấy tỷ lệ còn đợc gọi là phép nhân của dãy với hằng

số và đợc thực hiện bằng cách nhân giá trị của mỗi mẫu với chính giá trịcủa hằng số đó Giả sử hằng số đợc ký hiệu là C, khi đó ta có thể viết:

y(n) = Cx(n), - ∞ < n < ∞

1 Kỹ thuật phân tích hệ thống tuyến tính.

Xung đơn vị có thể đợc sử dụng để phân rã một tín hiệu ngẫu nhiên

x(n) thành tổng của các xung đơn vị bị dịch và có trọng số nh sau:

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 (

) (n  x  n x n x n x n 

x( ) ( )  ( )

Trong đó mỗi một số hạng của tổng, x(k)  (n k), là một tín hiệu có biên

độ là x(k) ở thời điểm n = k và có giá trị 0 với mọi giá trị khác của n Phân

rã này là phiên bản rời rạc của tính chất dịch đối với các tín hiệu liên tụctheo thời gian và đợc sử dụng trong phép lấy đạo hàm của một tổng chập

Đối với việc phân tích các đáp ứng của hệ thống tuyến tính đối với mộttín hiệu đầu vào cho trớc có hai phơng pháp

Phơng pháp thứ nhất dựa trên cách giải quyết trực tiếp đối với biểuthức biểu diễn quan hệ vào/ra của hệ thống Biểu thức này thông thờng códạng:

y(n) = F[y(n 1), y(n 2), , y(n N), x(n), x(n 1), , x(n M)]

-trong đó F[.] là hàm với các biến là các thành phần đợc chỉ ra -trong dấu

ngoặc vuông Cụ thể hơn, đối với hệ thống LTI( Linear Time Invariant – các thuật toán FFT

Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian) thì sau này ta có thể thấy rằng

quan hệ vào/ra có thể đợc biểu diễn bằng công thức dới dạng phơng trình viphân:

k y n k b x n k a

n

y

) ( )

( )

+ Phân tích tín hiệu đầu vào thành tổng các tín hiệu đơn giản cơ bản.Việc phân tích này sẽ đa đến việc xác định đáp ứng của tín hiệu đầu vàothông qua các đáp ứng của hệ đối với các tín hiệu cơ bản mà thông thờng sẽ

đơn giản và dễ dàng hơn rất nhiều:

k x n c n

x

1

) ( )

x

1

) ( )

(

Trong đó, {c k}là tập hợp các biên độ( hệ số trọng số) nhận đợc khi phân

tích tín hiệu x(n) Nếu giả sử đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu thành phần cơ bản x k (n) là y k (n) hay:

 ( )

) (n T x n

Khi hệ thống là tuyến tính thì ta có thể áp dụng tính chất tỷ lệ tức là:

Đáp ứng của hệ thống đối với c k x k (n) sẽ là c k y k (n) và khi đó đáp ứng tổng

k k

k

c T n x T n

2 Phân tích tín hiệu rời rạc theo thời gian thành các xung.

x( ) ( )

Giả sử rằng x(n) là tín hiệu bất kỳ cần phân tích thành tổng các dãy

mẫu đơn vị và ta chọn các tín hiệu thành phần là:

trong đó k biểu diễn sự trễ của dãy mẫu đơn vị.

Để xác định đợc tín hiệu bất kỳ x(n) ta thực hiện lặp lại phép nhân x(n)

và (n - k) trên tất cả giá trị cho phép của độ dịch trễ (k tơng ứng với các thời điểm lấy mẫu) -∞ < k < ∞ và sau đó cộng tất cả các dãy đã đợc nhân lại với nhau thì dãy kết quả thu đợc sẽ là x(n) Nh vậy ta có thể viết:

Vế phải của (1.3.6) chính là kết quả của việc phân tích tín hiệu bất kỳ

x(n) thành tổng của các xung đơn vị dịch.

3 Phép chập

Đối với một hệ thống tuyến tính và bất biến, quan hệ giữa tín hiệu ngõ

vào x(n) và tín hiệu ngõ ra y(n) đợc cho bởi tổng chập:

h n x n

x n h n

y( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Vì phép chập về cơ bản dùng để phân tích và mô tả hệ thống

trong mục này ta xem xét cơ chế thực hiện phép chập Ta sẽ bắt đầu bằngcách liệt kê một số tính chất của phép chập, các tính chất này có thể đợc sửdụng để đơn giản hóa việc tính toán tổng chập

a Các tính chất của phép chập

Phép chập là một toán tử tuyến tính và do vậy có một số tính chất quantrọng bao gồm giao hoán, kết hợp và phân phối

+) Tính giao hoán của tổng chập.

Tính giao hoán phát biểu rằng trật tự mà hai chuỗi chập với nhaukhông quan trọng Về mặt toán học, tính giao hoán đợc định nghĩa:

x(n)*h(n) = h(n)*x(n)

Từ quan điểm hệ thống, tính chất này phát biểu rằng một hệ thống có

đáp ứng xung đơn vị h(n) và tín hiệu ngõ vào x(n) hoạt động một cách chính xác giống nh là một hệ thống có đáp ứng xung đơn vị là x(n) và tín hiệu ngõ vào h(n) Điều này đợc minh hoạ trong hình vẽ dới đây:

+) Tính kết hợp của tổng chập

Toán tử chập thoả tính kết hợp nh sau:

[x(n) *h1(n)] *h2(n) = x(n) *[ h1(n) *h2(n)]

Từ quan điểm hệ thống, tính kết hợp phát biểu rằng nếu hai hệ thống

có các đáp ứng xung đơn vị là h 1 (n) và h 2 (n) đợc ghép nối tầng nh trình bày

Từ quan điểm của hệ thống, tính chát này phát biểu rằng nếu hai hệ

thống có đáp ứng xung đơn vị là h 1 (n) và h 2 (n) đợc kết nối song song, nh

minh hoạ hình dới, hệ thống tơng đơng là hệ thống có đáp ứng xung đơn vị

tổng chập một cách dễ dàng hơn Mặc dầu vậy việc tính toán giá trị củatổng chập theo phơng pháp giải tích vẫn tơng đối phức tạp Khi thực hiệnphép chập bằng phơng pháp giải tích, thông thờng điều cần thiết để tínhtoán các tổng hữu hạn hoặc vô hạn sẽ kéo theo các số hạng có dạng n hoặc

1 Vẽ hai chuỗi x(k) và h(k) nh là các hàm của k.

2 Chọn một trong hai chuỗi, thí dụ h(k), và đảo ngợc thời gian của chuỗi này để hình thành chuỗi h(-k).

3 Dịch chuỗi đã đợc đảo ngợc thời gian bởi n [Lu ý: Nếu n > 0, điều này tơng ứng với phép dịch sang phải( trì hoãn), trong khi nếu n < 0,

điều này tơng ứng với phép dịch sang trái(tiến tới)]

4 Nhân hai chuỗi x(k) và h(n - k) và lấy tổng các tích đối với mọi giá trị của k Giá trị kết quả sẽ là giá trị của y(n) Quá trình này đợc lặp lại đối với mọi n có thể

1.3.2 Xử lý tín hiệu trong miền tần số.

Chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu một công cụ toán học khác, đó là biến

đổi Fourier, để chuyển biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến

số độc lập n sang miền tần số liên tục 

Biến đổi Fourier là một trong các công cụ toán học sử dụng rất nhiều

trong việc thiết kế và phân tích các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời

e

X(  ) ( ) 

Nh vậy biến đổi Fourier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong

miền biến số độc lập tự nhiên n thành việc biểu diễn tín hiệu X(e j )trong

f ), tức là trên trục ảo j vì j là một biến số

ảo Nh vậy ta thấy rằng X(e j ) là một hàm phức của biến số 

Ví dụ mô hình chuyển đổi tín hiệu trong miền thời gian sang miền tần

số sử dụng biến đổi Fourier:

* Biến đổi Fourier ngợc

Tín hiệu x(n) có thể tính đợc nhờ sự biến đổi ngợc thông qua công thức

2

1 ) (

1 Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn rời rạc.

Giả xử x(n) là dãy tuần hoàn với chu kỳ N, nghĩa là x(n) = x(n + N)

với mọi N Biểu diễn x(n) qua chuỗi Fourier có dạng:







 1 0

/ 2 )

k

N kn j

k e c n

Trong đó c k là hệ số của chuỗi và e j2kn/N với k = 0, 1, 2, N – các thuật toán FFT là N 1

hàm mũ phức có quan hệ điều hoà với nhau và có tần số tơng ứng là: k/N.

Và khi đó biểu thức biểu diễn của các hệ số của chuỗi Fourier theo

/ 2 ) (

1 N k

N kn j

N

(1.3.8)

Biểu thức (1.3.7) thờng đợc gọi là chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian(

số Các hệ số này biểu diễn biên độ và pha của các thành phần tần số tơngứng với dạng:

với (k) = 2k/N.

Dễ dàng nhận thấy s k (n) là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ N [ nghĩa là

/ 2 /

) (

) (

n N k j N

N e

n x N

(1.3.10)

Điều này chứng tỏ các hệ số c k của chuỗi cũng tuần hoàn với chu kỳ

Các kết luận trên chứng tỏ phổ của tín hiệu tuần hoàn x(n) với chu kỳ

N cũng là dãy tuần hoàn với cùng chu kỳ N và do vậy bất kỳ N mẫu liên

tục của tín hiệu hoặc phổ của nó sẽ cung cấp một cách trọn vẹn về cách môtả của tín hiệu trong miền thời gian hoặc tần số

Vì các hệ số là dãy tuần hoàn nên ta chỉ cần xác định các giá trị này

trong một chu kỳ, tức là ứng với các giá trị của k trong khoảng 0,1, , N – các thuật toán FFT

1 Điều này có một sự thuận tiện vì trong miền tần số khi 0 ≤ k ≤ N - 1 thì ta

sẽ có 0 ≤  k = 2k/N ≤ 2 Ngợc lại nếu: - N/2 ≤ k ≤ N/2 thì ta sẽ có -  ≤  k

= 2k/N ≤ .

2 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn.

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc x(n) với năng lợng hữu hạn đợc

e n

Nh vậy biến đổi Fourier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong

miền biến số độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu X() trong miền tần số

 Về mặt vật lý, X() biểu diễn nội dung tần số của tín hiệu x(n) Nói một cách khác, X() là phân tích của x(n) thành các thành phần tần số của nó.

Có thể nhận thấy hai điểm khác nhau cơ bản giữa biến đổi Fourier của

tín hiệu năng lợng hữu hạn và rời rạc theo thời gian với tín hiệu có năng ợng hữu hạn và liên tục theo thời gian:

l-+ Đối với tín hiệu liên tục, biến đổi Fourier và phổ của nó có miền

giới hạn tần số từ -  đến +, trong khi đối với tín hiệu rời rạc thì miền giới

hạn này nằm trong khoảng từ -  đến  hoặc từ 0 đến 2 vì vậy X() là tín hiệu tuần hoàn chu kỳ 2.

+ Bởi vì tín hiệu là rời rạc theo thời gian do vậy phép biến đổi Fourier

sẽ bao gồm tổng các phần tử thay cho phép lấy tích phân nh trong trờng hợptín hiệu liên tục

Và biểu thức của các hệ số của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn

Hình vẽ mô phỏng cặp biến đổi Fourier nh sau:

3 Các tính chất của biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc theo thời gian.

Biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có một số

tính chất rất quan trọng mà việc sử dụng linh hoạt các tính chất này có thểlàm giảm một cách đáng kể sự phức tạp của các vấn đề nảy sinh trong khiphân tích tần số đối với một số ứng dụng trên thực tế Để thuận tiện cho

việc giới thiệu các tính chất của biến đổi Fourier ta có một số quy ớc nh

sau: Đối với biểu thức phân tích ta ký hiệu:

e n x n

x F

Ngoài ra còn có thể biểu diễn x(n) và X() nh là một cặp trong phép

biến đổi Fourier bằng cách sau:

) ( )

Giả sử rằng cả hai tín hiệu x(n) và X() đều là các tín hiệu phức Khi

x n n

1 )

1 )

Quan hệ này cho thấy, nếu tín hiệu x(n) trễ đi k mẫu trong miền thời

gian thì phổ biên độ của nó sẽ không thay đổi trong khi phổ pha sẽ tăng

thêm một lợng -k Nh vậy từ quan điểm toán học có thể thấy việc tín hiệu

bị trễ k mẫu trong miền thời gian sẽ tơng đơng với việc nhân phổ của nó với

Vậy với tín hiệu thực x(n) có thể nói: Nếu tín hiệu bị đảo biến số n

ng-ợc quanh gốc tọa độ thì phổ biên độ của nó sẽ không thay đổi trong khi phổpha sẽ bị đổi dấu

e) Định lý tổng chập.

ta lấy tổng chập của hai tín hiệu trong miền thời gian thì điều này sẽ tơng

đ-ơng với việc nhân các phổ của các tín hiệu này trong miền tần số

Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tơng quan sẽ bằng phổ mật độ năng

lợng của tín hiệu Điều đó chứng tỏ rằng, dãy tự tơng quan và phổ mật độnăng lợng có chứa cùng một thông tin về tín hiệu Tuy vậy cả hai đềukhông chứa thông tin về pha do vậy việc khôi phục tín hiệu từ hàm tự t ơngquan và hoặc phổ mật độ là không duy nhất

Theo tính chất này thì việc nhân dãy x(n) với e j 0n sẽ tơng đơng với

việc dịch chuyển tần số của phổ X() đi một lợng  0

) (n 0n   X   0 X   0

n

) ( ) ( 2

1 ) ( ) ( 2 1 2

1

i) Tích của hai dãy

( ) ( ) (n x1 n x2 n X X1 X2 0

(1.3.21)Tích phân ở vế phải của biểu thức (1.3.21) chính là tổng chập của các

biến đổi Fourier X 1 ( ) và X 2 ( ) Quan hệ này là quan hệ có tính đối ngẫu của

tổng chập trong miền thời gian Nói một cách khác, tích của hai dãy trong

miền thời gian sẽ tơng đơng với tổng chập của các biến đổi Fourier tơng

ứng và ngợc lại tổng chập của hai dãy trong miền thời gian sẽ tơng đơng với

tích của các biến đổi Fourier của các tín hiệu này.

) ( )

Trong quan hệ vào/ra này, hệ thống đợc đặc trng trong miền thời gian

bởi đáp ứng xung[đáp ứng mẫu đơn vị] h(n) {h(n), - ∞ <n <∞}.

Bây giờ ta hãy xem xét các đặc tính của hệ thống trong miền tần số.Giả sử hệ thống đợc kích thích bởi tín hiệu mũ phức:

k j k

n

Ae k h n

y( ) ( )[  ( ) ] [ ( )  ]  (1.3.24)

Ta có số hạng trong ngoặc vuông của (1.3.24) là hàm của biến tần số 

và đây là biến đổi Fourier của đáp ứng mẫu đơn vị h(k) của hệ thống Nếu

ký hiệu:

e k h

Nh vậy, đáp ứng của hệ thống cũng có dạng nh tín hiệu vào nhng đợc

nhân thêm với H() và do vậy H() đợc gọi là hàm đáp ứng tần số của hệ

thống

b Đáp ứng đối với tín hiệu vào không tuần hoàn

Nếu ký hiệu x(n) là dãy đầu vào, y(n) là dãy đầu ra và h(n) là đáp ứng

mẫu đơn vị của hệ thống thì từ định lý tổng chập ta có:

Trong đó Y(), X() và H() là các biến đổi Fourier tơng ứng của x(n),

y(n), h(n) Từ quan hệ này suy ra rằng phổ của tín hiệu ra bằng phổ của tín

hiệu vào nhân với đáp ứng tần số của hệ thống

Nếu biểu diễn Y(), X() và H() dới dạng cực thì biên độ và pha của tín

hiệu ra đợc biểu diễn dới dạng:

|Y()| = |H()| |X()| (1.3.28)

) ( ) ( )

có tác dụng nh bộ lọc đối với tín hiệu vào

Hình 1.3.1 mô tả quan hệ giữa miền thời gian và miền tần số đợc sử

dụng trong việc phân tích các hệ thống LTI và ổn định BIBO Có thể nhận

thấy, khi phân tích hệ thống trong miền thời gian ta đã sử dụng tổng chậpcủa tín hiệu vào và đáp ứng xung của hệ thống để nhận dãy tín hiệu ra, cònkhi phân tích trong miền tần số phổ của tín hiệu ra có thể đợc xác định

thông qua phổ tín hiệu vào X() và đáp ứng tần số H() của hệ thống.

Nh vậy, có thể sử dụng quan hệ (1.3.27) để xác định phổ Y() của tín hiệu ra Sau khi đã xác định đợc Y() thì dãy tín hiệu ra {y(n)} có thể đợc

xác định thông qua biểu thức biến đổi Fourier ngợc:

Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian h(n).H()

x(n)

X()

y(n) = h(n)*x(n)Y() = H()X()

Hình 1.3.1 Quan hệ vào ra trong miền thời gian và tần số của hệ thống LTI

Chơng 2: Biến đổi Fourier rời rạc

Việc phân tích tín hiệu rời rạc theo thời gian trong miền tần số thờng

đợc thực hiện rất hiệu quả và tiện lợi bằng bộ vi xử lý tín hiệu số Để thực

hiện việc phân tích này, tín hiệu rời rạc theo thời gian {x(n)} cần đợc

chuyển từ miền thời gian sang miền tần số tơng ứng thông qua biến đổi

Fourier X() của dãy Tuy vậy, do X() là hàm liên tục của biến tần số nên

có thể thấy việc xử lý bằng máy tính của cách biểu diễn này là không thuậntiện

Để tránh nhợc điểm nêu trên có thể đa ra một cách biểu diễn khác

của{x(n)} – các thuật toán FFT biểu diễn thông qua việc lấy mẫu phổ X() của tín hiệu Nh

vậy, từ biểu diễn của tín hiệu trong miền tần số liên tục ta đã đa đến biến

đổi Fourier rời rạc (DFT) Biến đổi này là một công cụ rất hiệu quả trong

việc phân tích các tín hiệu rời rạc theo thời gian

2.1 Lấy mẫu trong miền tần số: Biến đổi Fourier rời rạc.

Trớc khi nghiên cứu DFT( Discrete Fourier Transform - Biến đổi

Fourier rời rạc ), ta hãy xét việc lấy mẫu của biến đổi Fourier đối với dãy

tín hiệu rời rạc theo thời gian không tuần hoàn và qua đây có thể thiết lập

đ-ợc quan hệ giữa biến đổi Fourier đã đđ-ợc lấy mẫu và DFT.

2.1.1 Lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục lại tín hiệu rời rạc theo thời gian.

Chúng ta đã biết rằng mọi tín hiệu không tuần hoàn có năng lợng hữuhạn đều có phổ liên tục Xét một tín hiệu không tuần hoàn rời rạc theo thời

gian x(n) với biến đổi Fourier:

e n x

Giả xử tín hiệu X() đợc lấy mẫu tuần hoàn và khoảng cách giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp là bằng nhau và bằng  radian Bởi vì X() tuần hoàn chu kỳ 2 do vậy chỉ cần xét đến các mẫu đợc lấy trong miền tần số cơ bản Nếu chọn khoảng tần số cơ bản là 0 ≤  ≤ 2 và số lợng mẫu đợc lấy trong khoảng này là N thì khoảng cách giữa các lần lấy mẫu sẽ là  = 2/N.

Nếu xét biểu thức (2.1.1) tại  = 2k/N, ta nhận đợc:

e n x k

N

) ( )

2

, với k = 0, 1, … đều đ., N-1 (2.1.2)

và đây chính là n mẫu đợc lấy của X().

Ta hãy chia tổng trong (2.1.2) thành một số lợng vô hạn các tổng,

trong đó mỗi tổng có chứa N phần tử Nh vậy công thức (2.1.2) có thể đợc

1

/ 2 /

2 /

2 1

/

) (

LN n

N kn j N

kn j N

kn j N

n

N kn

e n x k

N

Nếu chỉ số n của tổng bên trong đợc thay đổi thành n – các thuật toán FFT LN và vị trí của hai

tổng đợc thay đổi cho nhau ta sẽ nhận đợc kết quả sau:

/ 2

) (

e lN n x k

N

(2.1.3)với k = 0, 1, 2, … đều đ., N-1

là tín hiệu nhận đợc do sự xếp chồng của vô số tín hiệu x(n) đặt lệch nhau

một chu kỳ là N Rõ ràng rằng x p (n) là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ cơ bản

là N và do vậy nó có thể đợc khai triển qua chuỗi Fourier bằng công thức

(2.1.5)với các hệ số:

/

) (

1 N n

N kn j p

2 (

/

)

2 (

1 )

k

N kn j

N

X N n

(2.1.8)Quan hệ đợc đa ra bởi (2.1.8) chính là công thức cho phép khôi phục

lại tín hiệu tuần hoàn x p (n) từ các mẫu của phổ X() Quan hệ này, tuy vậy

vẫn không đảm bảo đợc rằng x(n) hoặc X() có thể đợc khôi phục từ các

mẫu hay không Để đảm bảo đợc điều này cần phải xem xét thêm quan hệ

giữa x(n) và x p (n).

Bởi vì theo công thức (2.1.4) x p (n) là sự mở rộng một cách tuần hoàn

của x(n) do vậy x(n) có thể đợc khôi phục lại từ x (n) nếu không có “ Nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứngsự trùm

thời gian” giữa các thành phần của x p (n) Điều này đòi hỏi x(n) phải có độ

dài hữu hạn và độ dài L phải nhỏ hơn chu kỳ N của x p (n) Trên hình (4.2)

mô tả hai trờng hợp của tín hiệu x p (n) ứng với các trờng hợp N > L và N <

L ở đây không làm mất tính tổng quát ta có thể xem x(n) là một dãy có độ

dài hữu hạn với các giá trị khác không trong khoảng 0 ≤ n ≤ L-1 Có thể đa

ra nhận xét rằng khi N ≥ L thì:

Vì vậy x(n) có thể đợc khôi phục từ x p (n) mà không có sự sai lệch Mặt

khác nếu N < L thì sẽ không có khả năng khôi phục x(n) từ x p (n) do có sự

trùm tín hiệu trong miền thời gian

Từ kết quả thu đợc ở trên ta suy ra phổ của tín hiệu không tuần hoàn

rời rạc theo thời gian không tuần hoàn với độ dài hữu hạn L có thể đợc khôi

phục một cách chính xác thông qua các mẫu của nó tại các tần số k = 2 k/

0

1 0

), ( )

(

N n L

L n n

x n

/ 2

(

1 )

k

N kn j

N k e X

N n

1 0

/

)

2 (

1 [ )

n

n j N

k

N kn

e k N

X N

1 0

) / 2

1 )[

2 (

k N

(2.1.11)Tổng của các phần tử nằm trong dấu ngoặc vuông của (2.1.11) biểu

diễn công thức nội suy đợc dịch bởi 2k/N theo tần số Thậy vậy, ta có định

2 / ) 1 (

) 2 / sin(

) 2 / sin(

1

1 1 1

)

n

N j j

N j n

N

N e

e N

e N

2 ( )

2 ( )

k

k N p

k N X

Nh vậy, có thể thấy cũng giống nh trờng hợp tín hiệu liên tục theo thời

gian, X() có thể đợc xác định thông qua các mẫu X(2k/N) của nó thông qua công thức nội suy (2.1.12), với k = 0, 1, 2, …, N-1 , N-1 Điểm khác biệt ở

đây là ở chỗ P() không có dạng của (sin)/ mà thay vào đó nó sẽ phụ thuộc vào tính chất tự nhiên của X().

2.1.2 Biến đổi Fourier rời rạc(DFT).

Trong (2.1.1) ta đã xem xét việc lấy mẫu trong miền tần số của tín

hiệu không tuần hoàn x(n) với năng lợng hữu hạn Trong trờng hợp tổng quát, các mẫu đợc lấy cách đều nhau theo tần số X(2k/N), k = 0, 1, 2, …, N-1 , N-1 sẽ không cho phép khôi phục tín hiệu gốc x(n) khi x(n) có độ dài vô

hạn Thay vào đó các mẫu này sẽ tơng ứng với dãy tuần hoàn x p (n) với chu

kỳ N ở đây x p (n) là tín hiệu xấp xỉ của x(n) và quan hệ của chúng đợc biểu

Khi dãy x(n) có độ dài hữu hạn L≤ N thì x p (n) đơn giản chỉ là sự lặp lại

có chu kỳ của x(n) và trong một chu kỳ đơn thì x p (n) sẽ đợc xác định bởi:

0

1 0

), ( )

(

N n L

L n n

x n

Bởi vì: x(n) x p(n) trên một chu kỳ đơn( tín hiệu x(n) đợc đa thêm

N-L điểm mẫu không) do vậy tín hiệu gốc x(n) với độ dài hữu hạn sẽ có thể

nhận đợc từ các mẫu tần số {X(2k/N)} thông qua công thức (2.1.8) Điều này chứng tỏ các mẫu tần số, X(2k/N), k = 0, 1, 2, …, N-1 , N-1 sẽ cho phép xác

định tín hiệu với độ dài hữu hạn x(n) một cách duy nhất.

Một điều quan trọng cần chú ý đó là các giá trị không đợc đa thêm vào

sẽ không cung cấp thêm bất kỳ một thông tin nào về phổ X() của dãy x(n)

và để có thể khôi phục lại X() có thể sử dụng công thức (2.1.13) với L mẫu

đợc lấy cách đều nhau của X() Tuy vậy việc đa thêm N- L không vào x(n)

và tính N điểm DFT sẽ làm cho đồ thị của biến đổi Fourier trở nên tốt hơn.

Tóm lại, dãy số x(n) với độ dài hữu hạn L [nghĩa là x(n) = 0 với n<0

và n≥L] có biến đổi Fourier:

2 0

, ) ( )

n

n j e n x

/ 2 ) ( )

2 ( )

n

N kn j e n x N

k X k

/ 2 ) ( )

n

N kn j e n x k

X  , k = 0, 1, 2, … đều đ, N-1

Quan hệ (2.1.18) chính là công thức dùng để biến đổi dãy {x(n)}với độ dài L ≤ N thành dãy của các mẫu tần số {X(k)} với độ dài N Bởi vì các mẫu

tần số nhận đợc bằng cách đánh giá giá trị của biến đổi Fourier X() tại N

tần số rời rạc cách đều nhau do vậy quan hệ (2.1.18) đợc gọi là biến đổi

Fourier rời rạc (DFT) của x(n) Ngợc lại quan hệ (2.1.10) sẽ cho phép khôi

phục dãy x(n) từ các mẫu tần số Biểu thức:

/ 2 ) (

1 )

k

N kn j e k X N n

x  ,n = 0, 1, 2, … đều đ , N-1 (2.1.19)

đợc gọi là biến đổi ngợc DFT (IDFT) Rõ ràng, khi x(n) có độ dài L < N thì

2.2 Phân tích tín hiệu trong miền tần số bằng DFT.

Ta đã biết rằng một tín hiệu có độ dài hữu hạn N có thể đợc biểu diễn

một cách đầy đủ thông qua phép biến đổi Fourier rời rạc DFT Tuy vậy,

khi tín hiệu có độ dài quá lớn hoặc vô hạn thì việc xác định biến đổi

Fourier rời rạc của nó là không thể thực hiện đợc Trong trờng hợp này, ta

cần lấy một đoạn thích hợp nhất của tín hiệu với một độ dài cho phép để

thực hiện biến đổi DFT Khi đó rõ ràng rằng phơng pháp DFT chỉ cho ta

một kết quả xấp xỉ của tín hiệu ở đây ta sẽ xem xét vấn đề hạn chế độ dài

của tín hiệu và các hiệu ứng nảy sinh do việc sử dụng phơng pháp DFT đối

với dãy đã đợc hạn chế về độ dài

Nếu tín hiệu cần phân tích là tín hiệu tơng tự thì trớc tiên tín hiệu nàycần đợc truyền qua bộ lọc để loại bỏ các nhiễu( hoặc các thành phần tần số

không cần thiết) và sau đó đợc lấy mẫu với tần số F s ≥ 2B, với B là độ rộng

của dải thông Nh vậy tần số cao nhất của hai thành phần có chứa trong tín

hiệu sau khi lấy mẫu là F s /2 Để có thể hạn chế độ dài của tín hiệu đã đợc