SKKN - Ứng dụng Tích Phân

Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 tiếp thu và vận dụng nội dung: Ứng dụng của tích phân trong hình học, giúp các em cảm thấy t

HƯỚNG DẪN HỌC SINH 12 HỌC TỐT NỘI DUNG:

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong giai đoạn phát triển khoa học công nghệ hiện nay, trình độ tri thức của con ngườitừng bước được cải thiện và phát triển rõ rệt Đáp ứng nhu cầu học tập của mọi người dân bằngmọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học của dân tộc Vì thế trongdạy học, giáo viên cần tạo điều kiện để học sinh phát triển năng lực trí tuệ, phát huy tính tíchcực, chủ động, sáng tạo trong học tập, biết nhận biết vấn đề ở từng góc độ khác nhau, tìm tòinhững cái cái mới để từng bước hình thành kiến thức mới Để phát huy tính tích cực của họcsinh, giáo viên phải đặt học sinh vào những tình huống cụ thể, có vấn đề, tạo cho các em nhữngthử thách trước những vấn đề mới

Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinhnhững bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan

hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ đểgiải bài toán Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn

học sinh lớp 12 tiếp thu và vận dụng nội dung: Ứng dụng của tích phân trong hình học, giúp

các em cảm thấy thoải mái để chủ động giải quyết các bài toán tính diện tích hình phẳng và tínhthể tích của vật thể tròn xoay Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được chia sẻ cùng đồngnghiệp, đồng môn ; góp phần tìm ra biện pháp thiết thực, hiệu quả để nâng cao chất lượng dạy

và học môn toán tại các trường vùng sâu, vùng xa như trường THPT Thanh Bình

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

Trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số thường có thêm yêu cầu tính diện tíchhình phẳng, tính thể tích của vật thể tròn xoay Nội dung ứng dụng của tích phân trong hình họckhông thể thiếu trong quá trình ôn tập thi tốt nghiệp và thi đại học, cao đẳng hàng năm

2 Khó khăn

Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản, càng khó khănhơn đối với các học sinh yếu về suy luận, về khả năng tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá Việcdạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiềunguyên nhân , trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” mà trong các sách giáo khoa hiện hànhđang còn thiếu

Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của cácvật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các emhọc sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính dạng này Khi học vấn đề này nhìn chung các emthường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế vàtrực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , thuộc công thức nhưng không giải được , đặc biệt lànhững bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được Thêm vào đó trongsách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp

học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹnăng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.

Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứadấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sailầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay Từ

đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới ,thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh

sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân

Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12 Do chưa tìm ra được phương pháp thíchhợp để giải toán nên sẽ xuât hiện nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập.Để giúpcác em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâmcao của cả thầy và trò

3 Số liệu thống kê.

Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; 12A3;12A8năm học 2008 - 2009, lớp12A11;12

12A , năm học 2009 - 2010, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau :

+ Bài kiểm tra một tiết (2008 - 2009 ), trong 90 bài kiểm tra có :

• 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 21,1 %

• 26 bài điểm 5 tỷ lệ 28,9 %

• 38 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 42,2 %

+ Bài kiểm tra một tiết (2009 - 2010 ), trong 92 bài kiểm tra có :

• 14 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 15,2 %

• 27 bài điểm 5 tỷ lệ 29,4 %

• 46 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 50,0 %

Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận được rằng trong số những em có học lực yếu cũng có những em

có kỹ năng tính toán tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán cònqúa hạn chế

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn

“ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiếnmạnh mẽ của toán học Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ.Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học,giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng hoá toán học trongnhiều lĩnh vực

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hànhtheo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó Chẳng hạn, quy trình bốn bước củaPolya để giải một bài toán gồm :

• Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

• Bước 2 : Xây dựng thuật giải

• Bước 3 : Thực hiện thuật giải

• Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toánthật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóatrong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các

em làm quen dần với các bườc thực hiện của một bài toán tính diện tích, tính thể tích

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Chuyên đề này gồm ba phần :

 Phần một : Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt nội dung ứng

dụng của tích phân trong hình học

1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải

2/ Hướng khắc phục

 Phần hai Diện tích của hình phẳng

I Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.

1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ) và trục hoành

2/ Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

3/ Các bài toán minh họa và bài tập tương tự

4/ Diện tích của hình tròn và hình elip

II Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

1/ Cách tìm giao điểm của hai đồ thị

2/ Một vài ví dụ về cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

3/ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

 Phân ba: Thể tích của vật thể tròn xoay.

I Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

1/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành

2/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một vật thể quanh trục tung

II Thể tích của khối cầu , khối nón tròn xoay

1/ Thể tích khối cầu

2/ Thể tích khối nón tròn xoay

PHẦN MỘT Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt nội dung ứng dụng của tích phân trong hình học

1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giảitích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tíchphân , đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích củavật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung giúp làmsáng tỏ và chứng minh cho các công thức mà các em đã được học ở các lớp dưới Đây cũng làmột nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , , đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH Nhìnchung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khókhăn , sai lầm sau :

Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thểtròn xoay )

Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đãhọc trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng đượckiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này

Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “chưa đủ” để giúphọc sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi vàthấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học

Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lạihọc sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu

Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ; thể tích vật thể tròn xoaymột cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xétdấu các biểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích ;cộng , trừ thể tích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải

Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : =∫ = ∫

b

a b

a

dx x f dx x f

 Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối

 Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối

 Hoặc dùng công thức sau :

∫

a b

a

dx x f dx x f

Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b)

- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và đểhọc sinh tham khảo Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giảitoán Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng Từ đó học sinh có cảm giác nhẹnhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn

- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyệntập từ dễ tới khó Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải , số còn lại để học sinh thảoluận làm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên

- Tạo điều kiện cho học sinh làm quen cới cấu đề thi tốt nghiệp THPT và cấu trúc đề tuyển sinhvào các trường đại học và cao đẳng hàng năm, qua đó để các em biết lượng sức và có kế hoạchphân bổ thời hợp lí nhất trong ôn luyện

PHẦN HAI DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG

A HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH

1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

Chú ý : Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [a; b]

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ) , trục hoành và hai đường thẳng x a x b= ; = có diện tích là S và được tính theo công thức :

∫

=b

a

dx x f

x f

Muốn “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x)

Thường có hai cách làm như sau :

Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bậc nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để

xét dấu các biểu thức f x( ) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên

)

a

dx x f dx x f

2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

0 2

Tính

2 2 0

3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.

Bài toán 1 Tính diện tích của hình

+

2 3 2

x − +x −(x2− +3x 2)

Nhận xét: x≥ ∀ ∈0 ; x [ ]0;3 Gọi S là diện tích cần tìm :

Cách khác: (không dựa vào đồ thị)

Bài toán 4 Tính diện tích của hình

-2 O A 1 B

Nhận xét: x2 ≥ ∀ ∈0 ; x [ ]0; 2 Gọi S là diện tích cần tìm :

Cách khác: (không dựa vào đồ thị)

Gọi S là diện tích cần tìm :

Bài toán 5 Tính diện tích của hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= −x2 Nhận xét: − ≤ ∀ ∈ −x2 0 ; x [ 1;0] ∪ [ ]0; 2

Gọi S là diện tích cần tìm :

, trục hoành , và hai đường thẳng

Bài toán 6 Tính diện tích của hình

phẳng giới hạn bởi các đường y= − −x 2

, trục hoành , và hai đường thẳng

Nhận xét: − − ≤ ∀ ∈x 2 0 ; x [ ]0;3Gọi S là diện tích cần tìm :

1 A

2 -1

2 -1

Bài toán 10 Tính diện tích của hình

0 1

Chú ý: Nếu phương trình f x( ) 0= có k nghiệm phân biệt x x1; ; ;2 x ktrên ( )a b; thì trên mỗi khoảng (a x; 1) (, x x1; 2) (, , x b k; ) biểu thức f x( ) không đổi dấu.

4

Nhận xét: x3−3x2+ ≥ ∀ ∈2 0 ; x [ ]0;1

x3−3x2+ ≤ ∀ ∈2 0; x [ ]1; 2Gọi S là diện tích cần tìm :

3

1

122

(C) y

x

f x( ) = x( 4 -3⋅x 2)+2

3

2 -1

3

1

122

Gọi S là diện tích cần tìm : 2

hạn bởi đồ thị hàm số y= 5x+4 , trục

hoành , và hai đường thẳng x=0;x=1

(C) y

1

3 0 0

Gọi S là diện tích hình tròn: S=2S1

1

02

0

2

π

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1) y x= 2, trục hoành và hai đường thẳng x= −2;x=1

2) y= −x2, trục hoành và hai đường thẳng x= −2;x=1

B HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

⇒ Hoành độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình f(x) =g(x) (*)

Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ x0 của giao điểm của hai đồ thị.

Phương trình (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

2/ Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

1

Tìm toạ độ giao điểm của hai

đồ thị hàm số:

x x

2

Tìm hoành độ giao điểm của

đồ thị hai hàm số :ln

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị: x e=

3 Tìm hoành độ giao điểm của

đồ thị hai hàm số : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số:

3/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= f x( ) và y g x= ( )và hai đường thẳng x a x b= ; = (a b< ):

( ) ( )

b

a

Bài toán 20 Tính diện tích hình phẳng giới

-3 -2 -1

3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 4

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

d

x

y 4

-3 -2 -1

3 2 1

(C) tại điểm có hoành độ x0 =2

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị (C), tiếp tuyến d và đường thẳng x= 1

Đồ thị.

(C)

x y

-5

2

-2 -3 -1

(2) 4

y x

2 3 1

x y

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

 Bài tập áp dụng.

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y= − +x2 4x và y=0

- 2

2 4

-2

2 4

x y

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y x x= ( +1) (x−2) và y=0

- 2

2 4

x y

− +

=+ , trục hoành và đường

thẳng đi qua 2 điểm A(−2;0 ;) ( )B 0; 2

- 2

2 4

x y

PHẦN III THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

I Công thức tính vật thể tròn xoay

1 / Vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.

Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )

y= f x , trục hoành , hai đường thẳng x a x b= ; = (a b< )và quay quanh trục Ox, được tính theo công thức:

xoay được tạo bởi một hình

phẳng giới hạn bởi các đường:

xoay được tạo bởi một hình

phẳng giới hạn bởi các đường:

Thể tích của một vật thể tròn

xoay được tạo bởi một hình

phẳng giới hạn bởi các đường:

xoay được tạo bởi một hình

phẳng giới hạn bởi các đường:

xoay được tạo bởi một hình

phẳng giới hạn bởi các đường:

xoay được tạo bởi một hình

phẳng giới hạn bởi các đường:

212

x x