ĐỀ THI VÀO 10 Bài I (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức : A x 1 x = x 1 � x2 �x x 2) Cho biểu thức P � � x 1 với x > 0; x �1 � x � x 1 x 1 x b) Tìm giá trị x để 2P = x a) Chứng minh P Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? Bài III (2,0 điểm) �4 �x y � 1) Giải hệ phương trình � �1 � �x y 5 y 1 1 y 1 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + parabol (P): y = x a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Gọi A, B giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt cắt đường thẳng AM, An điểm Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 2a bc 2b ca 2c ab Bài Bài 1.1 (0,5 điểm) Hướng dẫn giải Với x = x 3� A a) Chứng minh P Điểm 1 2 1 0, x 1 x - Với x > 0; x �1 ta có � x2 P� � x ( x 2) � P 0, 25 0, 25 x x 2 x 1 x ( x 2) x ( x 1)( x 2) x = x ( x 2) x 1 x 1 x - Vậy với x > 0; x �1 ta có P x 1 x P Bài 1.2 (1,5 điểm) � x 1 x � x ( x 2) � � x 1 b) - Với x > 0; x �1 ta có: P - Để 2P = x nên 0, 25 x 1 x 0, 25 x 1 x 5 x - Đưa phương trình x x 0, 25 � x 2(loai) � � x thỏa mãn điều kiện x > 0; x �1 - Tính �x � - với x = 1/4 2P = x Bài Bài (2,0 điểm) 0, 25 Hướng dẫn giải (2,0 điểm) - Gọi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo x ( sản phẩm; đk x nguyên dương) Khi thực tế ngày phân xưởng làm số sản phẩm x + (sp) 0, 1100 ngày x 1100 Số ngày làm thực tế là: ngày x5 - Số ngày làm theo kế hoạch là: 0,5 Vì thời gian thực tế kế hoạch ngày , ta có phương trình: 1100 1100 2 x x5 0,25 + Giải phương trình tìm x1 55; x2 50 0,5 Vì x nên x1 50 thỏa mãn điều kiện ẩn, x2 55 không thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng làm 50 sp Bài Hướng dẫn giải 0,25 Điểm Bài 3.1 (1,0 điểm) �4 �x y � Giải hệ phương trình � �4 � �x y 5(1) y 1 đk x �y; y �1 4(2) y 1 - Lấy (1) trừ vế cho (2) ta được: 0, � y � y 2(tm) y 1 Bài 3.2 (1,0 điểm) 0,25 0,25 - Thay y = vào (1) ta tính x = -1 Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = ( - 1; ) a) - Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x2 � x 3 � 0, 25 x = -x + � x + x - = � � x2� y 4 � x 3 � y � - Chỉ ra: � 0, 25 - Kết luận: A(2;4) B(-3;9) - b) Gọi A’, B’ hình chiếu A B xuống trục hồnh Ta có S OAB SAA 'B'B SOAA ' SOBB' 0, 25 Ta có A’B’ = x B' x A ' x B' x A ' , AA’ = y A , BB’ = y B AA ' BB ' 94 65 A ' B ' (đvdt) 2 27 (đvdt); SOAA ' A ' A.A 'O SOBB' B' B.B 'O (đvdt) 2 65 �27 � � S OAB SAA 'B'B SOAA ' SOBB' � � 15 (đvdt) �2 � Diện tích hình thang : SAA 'B'B 0, 25 - Kết luận Bài Hướng dẫn giải (3,5 điểm) Hình vẽ: P N F O A 0,25 B M E (0,75 điểm) - Tứ giác AMBN có góc vng, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R) 0,75 � � Ta có ANM (cùng chắn cung AM (O;R) ) ABM 0,25 0,25 � AQB � - Chỉ ABM (cùng phụ với góc MAB) Q (1 điểm) (1,0 điểm) � � - Nên ANM AQB 0,25 � � - Vì ANM nên MNPQ nối tiếp (do có góc ngồi đỉnh góc AQB đối diện ) 0,25 */ Chứng minh: F trung điểm BP - Chỉ OE đường trung bình tam giác ABQ - Chứng minh OF // AP nên OF đường trung bình tam giác ABP 0,25 0,25 Suy F trung điểm BP */ Chứng minh: ME // NF Mà AP vuông góc với AQ nên OE vng góc OF Xét tam giác vng NPB có F trung điểm cạnh huyền BP � 900 Xét tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên ONF 0,25 0,25 � 900 nên ME // NF vng góc với MN Tương tự ta có OME - Ta thấy : 2SMNPQ 2SAPQ 2SAMN (0,5 điểm) 2R.PQ AM.AN 2R.(PB BQ) AM.AN AB BP � AB2 BP.QB - Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy QB BA 0,25 Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có PB BQ �2 PB.BQ (2R) 4R AM AN MN = 2R2 2 �2R.4R 2R 6R Suy SMNPQ �3R - Ta có AM.AN � Do đó, 2SMNPQ 0,25 Dấu xảy AM =AN PQ = BP hay MN vng góc AB Bài Hướng dẫn giải (0,5 điểm) - Ta có Q 2a bc 2b ca 2c ab Mà 2a bc (a b c)a bc (Do a + b +c = 2) a ab bc ca (a b) (a c) (a b)(a c) � (0,5 điểm) 0,25 (Áp dụng bất đẳng thức với số dương a+b a+c) Vậy ta có (a b) (a c) (1) 2a bc � Tương tự ta có : (a b) (b c) (2) 2b ca � (a c) (b c) (3) 2c ab � (2) (3) vế theo vế Q 2(a b c) Cộng (1) Khi a = b = c = Q = giá trị lớn Q 0,25 ... sản phẩm x + (sp) 0, 1100 ngày x 1100 Số ngày làm thực tế là: ngày x5 - Số ngày làm theo kế hoạch là: 0,5 Vì thời gian thực tế kế hoạch ngày , ta có phương trình: 1100 1100 2 x x5 0,25 +... (1) trừ vế cho (2) ta được: 0, � y � y 2(tm) y 1 Bài 3.2 (1,0 điểm) 0,25 0,25 - Thay y = vào (1) ta tính x = -1 Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = ( - 1; ) a) - Xét phương trình hồnh độ giao... Hướng dẫn giải (3,5 điểm) Hình vẽ: P N F O A 0,25 B M E (0,75 điểm) - Tứ giác AMBN có góc vng, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R) 0,75 � � Ta có ANM (cùng chắn cung AM (O;R) ) ABM 0,25 0,25