SỞ GD& ĐT TỈNH ĐIỆN BIÊN ĐỀ TS VÀO 10 THPT Năm học: 2019 – 2020 Mơn: Tốn (Chung) Thời gian: 90’ (khơng kể giao đề) ĐỀ BÀI: ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) A Cho biểu thức: x5 x 1 x B x 9 x x 3 Tính A x = 25 Rút gọn biểu thức B A Tìm giá trị nhỏ B Câu (2,5 điểm) Giải phương trình: a) x x b) x x �2 x y � Giải hệ phương trình: �x y Câu (1,0 điểm) Cho phương trình: x ax b (a, b tham số) Tìm a, b để phương trình �x1 x2 �3 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: �x1 x2 Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) có hai đường chéo AC, BD vng góc với I (I khác O) Kẻ đường kính CE Chứng minh tứ giác ABDE hình thang cân Chứng minh: AB CD BC AD 2 R Từ A, B kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt BD, AC F K Tứ giác ABKF hình gì? 2 2 Câu (1,0 điểm) 3 Tìm nghiệm nguyên phương trình: y x x x 2 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: A = 1 a 1 b 1 c 2 số phương ĐÁP ÁN Câu (2,5 điểm) A Cho biểu thức: x5 x 1 x B x 9 x x 3 Tính A x = 25 Rút gọn biểu thức B A Tìm giá trị nhỏ B Hướng dẫn: ĐKXĐ: x �0, x �9 A Với x = 25 (TMĐK) => B Có: 25 30 15 25 x x ( x 1)( x 3) x x 9 x9 x 3 ( x 3)( x 3) x 4 x 37 x 3 x 3 x x9 x9 A x5 x x5 : x Có: B x x ĐK: x > A x5 x �2 x x => B Dấu "=" xảy x Vậy MinA � x Câu (2,5 điểm) xg 2 x � x 5(TM ) x x x 3 Giải phương trình: a) x2 5x b) x x �2 x y � Giải hệ phương trình: �x y Hướng dẫn: a) x 1 � x2 5x � � x4 � b) � ( x 2) � x � x x � ( x 2)( x 3) � � ( x 3) (Vo ly ) � 2 2 2x y x 15 � �4 x y 14 � �x �� �� �� � �x y �x y �x y �y Câu (1,0 điểm) Cho phương trình: x ax b (a, b tham số) Tìm a, b để phương trình �x1 x2 �3 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: �x1 x2 Hướng dẫn: Ta có: a 4(b 1) a 4b Để phương trình có nghiệm thì: �0 � a 4b �0 Theo Vi-Et ta có: �x1 x2 a � �x1.x2 b �x1 x2 �x1 x2 � � ( x1 x2 )2 x1 x2 �3 � 2 Mà: �x1 x2 �( x1 x2 )( x1 x1 x2 x2 ) � ( a) b � b a Thay b a vào biểu thức Delta ta có: a 4b a 4( a 4) 3a 12 ĐK: �0 � 3a 12 �0 � �a �2 x1 => 2 a a 3a 12 a a 3a 12 ; x2 2 2 a 3a 12 a 3a 12 3 2 a 1 � 3a 12 � (TM ) b 3 a 1 � x1 x2 x1 x2 Do: �a �1 � Vậy �b 3 pt có nghiệm thỏa mãn đề Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) có hai đường chéo AC, BD vng góc với I (I khác O) Kẻ đường kính CE Chứng minh tứ giác ABDE hình thang cân Chứng minh: AB CD BC AD 2 R Từ A, B kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt BD, AC F K Tứ giác ABKF hình gì? Hướng dẫn: Có: � EBC � EDC � 900 EAC (Góc nt chắn nửa đường tròn) � EA AC � EA PBD ( AC ) � EADB Mà: Do: => � BCE � 900 � �BEC � � ICD � 900 �IDC (cmt) 1� � BDC � � IDC ADC BC � � � ICD ACD BCE hình thang (1) => (Góc nt chắn � BC � � � EB AD � EB AD ) (2) Từ (1) (2) => AEBD hình thang cân (đpcm) Có: AB CD BC AD ( ED CD ) ( BC EB ) EB (cmt)) (Vì: AB = ED, AD = AB CD BC AD ( ED CD ) ( BC EB ) EC EC => � IF �A MCA � AFB EC 2.(2 R) 2 R (đpcm) Giả sử : AF CD M ; BK CD N (Cùng phụ với � CAM ) cân A => AB = AF (3) � IAF � � IAB (Đường cao tam giác cân) Mà: BK // AF (cùng DC ) � IAF � ( SLT ) � IKB � IAB � ( IAF) � � IKB � ABK cân B => BA = BK (4) Từ (3) (4) => AB = BK = AF => AF//=BK => ABKF HBH Mặt khác: => ABKF hình thoi Câu (1,0 điểm) 3 Tìm nghiệm nguyên phương trình: y x x x Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: A = 1 a 1 b 1 c 2 số phương Hướng dẫn: 2 Với y = => x x x � ( x 1)( x 1) ( x 1) ( Do : x x) Với y �0 x = -1 => y.y2 = (x + 1)(x2 + 1) => �y x �2 �y x (Vì: x, y ��� y y , x x 1) ( x 1) x � x x x � x => y = Vậy pt có nghiệm là: (x;y) = (-1; 0) ; (0; 1) Vì: ab+bc+ca = => + a2 = ab+bc+ca + a2 = (a+b)(a+c) (1) Tương tự: + b2 = ab+bc+ca + b2 = (a+b)(b+c) (2) + c2 = ab+bc+ca + c2 = (c+b)(a+c) (3) Từ (1), (2) (3) => A = (a+b)2(b+c)2(c+a)2 => A số CP (đpcm)