đề thi THPT QG 2020 môn toán học đề 13 có lời giải chi tiết

ĐỀ THI THỬ THPT QG NĂM HỌC 2020 ĐỀ SỐ 13 Mơn: Tốn  Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu Trong không gian Oxyz, véctơ véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) : y − 3z + = 0? ur A u1 = ( 2;0; −3) r B u = ( 0; 2; −3) r C u = ( 2; −3;1) r D u = ( 2; −3;0 ) Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 2;3; −1) B ( 0; −1;1) Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ là: A ( 1;1;0 ) B ( 2; 2;0 ) C ( −2; −4; ) D ( −1; −2;1) Câu Tính thể tích V khối nón chiều cao h = a bán kính đáy r = a B V = A V = π a π a3 C V = 3π a D V = π a3 3 Câu Cho hàm y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình (I) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) (II) Hàm số đồng biến khoảng ( −1; ) (III) Hàm số có ba điểm cực trị (IV) Hàm số có giá trị lớn Số mệnh đề mệnh đề sau là: A B C D Câu Hàm số có đồ thị hình vẽ? A y = − x + x + B y = x − x + C y = x − x + D y = x + x + Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có bảng biến thiên sau x −∞ y' −2 + y − + +∞ −∞ +∞ −3 Trang Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng đây? A ( 0; +∞ ) B ( −∞; −2 ) C ( −2;0 ) D ( −3;1) C 30 D 16 Câu Hình bát diện có tất cạnh A B 12 Câu Tính diện tích xung quanh S khối trụ có bán kính đáy r = chiều cao h = A S = 48π C S = 96π B S = 24π D S = 12π Câu Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z = − 4i A Điểm A B Điểm B C Điểm C D Điểm D  x = −2 + t  Câu 10 Trong không gian Oxyz, đường thẳng d song song với đường thẳng  y = −1 − 2t , có véctơ z = + t  phương là: r A u = ( −1; −3; ) r B u = ( −2; −1;3) r C u = ( 1; −2;1) r D u = ( 0; −2;3) 2  C  −∞; ÷ 3  D ¡ Câu 11 Tập xác định hàm số y = ( − 3x ) − 2 A ¡ \   3 2  B  ; +∞ ÷ 3  Câu 12 Đặt log = a, log 25 A a B 2a C a D 3a Câu 13 Cho a, b số thực thỏa mãn a + 6i = − 2bi, với i đơn vị ảo Gía trị a + b A −1 Câu 14 Tập nghiệm bất phương trình ( 0,125 ) A ( 3; +∞ ) Câu 15 Tìm giới hạn lim A C −4 B B ( −∞; ) ∪ ( 3; +∞ ) x2 D 5 x −6 1 > ÷ 8 C ( −∞; ) D ( 2;3) 2n + 3n + B C D Câu 16 Hàm số y = x.e x có đạo hàm A y ' = x.e x x B y ' = ( x + 1) e C y ' = 2.e x D y ' = e x Trang Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Góc hai đường thẳng BD AD ' A 30° B 90° C 45° D 60° 2 Câu 18 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − 25 = Tìm toạ độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) A I ( 1; −2; ) , R = 34 B I ( −1; 2; −2 ) , R = C I ( −1; 4; −4 ) , R = 29 D I ( 1; −2; ) , R = Câu 19 Cho cấp số nhân ( u2 ) : u1 = 1, q = Hỏi 2048 số hạng thứ mấy? A 12 B C 11 D 10 Câu 20 Một chất điểm chuyển động có phương trình S = 2t + 6t − 3t + với t tính giây (s) y = f ( x ) tính mét (m) Hỏi gia tốc chuyển động thời điểm t = ( s ) bao nhiêu? A 88 m > B 228 ( m / s ) C 64 ( m / s ) D 76 ( m / s ) Câu 21 Có cách xếp học sinh vào bàn dài có chỗ ngồi? A B 24 C D 16 Câu 22 Cho hàm số y = − x + 3x − có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với trục tung A y = −2 x + B y = x + C y = 3x − D y = −3x − Câu 23 Đồ thị hàm số y = − x + x + x − đồ thị hàm số y = 3x − x − có tất điểm chung? A B C D Câu 24 Đồ thị sau hàm số y = x − 3x − Với giá trị m phương trình x − x − = m có nghiệm phân biệt? A m = −4 B m = −3 C m = D m = −5 Câu 25 Ký hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − 4z + 11 = Giá trị z1 + z2 A 18 B 33 C 14 D 22 Câu 26 Tính thể tích V khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a A V = π a3 B V = 4π a 3 C V = π a3 D V = π a3 Trang 3 Câu 27 Biết hàm số f ( x ) = x − x − x + 28 đạt giá trị nhỏ đoạn [ 0; 4] x0 Tính P = x0 + 2018 A P = 2021 B P = 2018 C P = 2019 D P = 2020 x x Câu 28 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( e + 1) ( e − 12 ) ( x + 1) ( x − 1) ¡ Hỏi hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A B C Câu 29 Số giá trị nguyên âm m để phương trình log A B D ( x − 1) = log ( mx + x ) C D Câu 30 Cho số phức z thỏa mãn z − z + 13 = Giá trị z + A 17 −5 B 17 có nghiệm z +i C 17 D − 17 Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 , d có phương trình d1 : x−2 y −2 z −3 x −1 y − z −1 = = , d2 : = = Phương trình mặt phẳng ( α ) cách hai đường −1 thẳng d1 , d là: A x + y + z + = B 14 x − y − z + = C x − y − z = D x − y − z + = Câu 32 Biêt A ab = − ln x dx = a.ln + b với a, b số hữu tỉ Tính tích a.b x2 ∫ 25 B ab = Câu 33 Cho f ( x ) = ( e x + x cos x ) A 2018 25 2018 C ab = − 25 D ab = 25 Giá trị f '' ( ) là: B 2018.2017 C 20182 D 2018.2017.2016 Câu 34 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Phép vị tự phép đồng dạng B Phép đồng dạng phép dời hình C Có phép vị tự khơng phải phép dời hình D Phép dời hình phép đồng dạng Câu 35 Bất phương trình ( x − 9x ) ln ( x + ) ≤ có nghiệm nguyên? A B C D Vô số Câu 36 Cho f ( x ) mà hàm số y = f ' ( x ) có bảng biến thiên hình bên Tất giá trị tham số m để bất phương trình m + x < f ( x ) + x nghiệm với x ∈ ( 0;3) là: Trang x −1 f ( x) 3 A m < f ( ) B m ≤ f ( ) C m ≤ f ( 3) D m < f ( 1) − m Câu 37 Cho số thực m > thỏa mãn ∫ 2m − 1dx = Khẳng định sau đúng? A m ∈ ( 1;3) B m ∈ ( 2; ) C m ∈ ( 3;5 ) D m ∈ ( 4;6 ) Câu 38 Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 (cm) Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tơn ngun liệu để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm A 91125 cm3 ) ( 2π B 13500 ( cm3 ) π C 108000 ( cm3 ) π D 91125 cm3 ) ( 4π Câu 39 Gọi ( S ) mặt cầu qua bốn điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 1;3;0 ) , C ( −1;0;3 ) , D ( 1; 2;3 ) Tính bán kính R ( S ) A R = 2 B R = Câu 40 Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = C R = D R = x khoảng ( 0; π ) là: sin x A − x cot x + ln ( sin x ) + C B x cot x − ln sin x + C C x cot x + ln sin x + C D − x cot x − ln ( sin x ) + C Câu 41 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên từ tập họp A = { 1, 2,3, , 2019} Tính xác suất P số tự nhiên chọn khơng có số tự nhiên liên tiếp A P = 679057 B P = 677040 679057 C P = 2017 679057 D P = 2016 679057 Trang Câu 42 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình bên Hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng đây? A ( −2; −1) B ( −1; ) C ( 2; +∞ ) D ( −∞; −1) Câu 43 Một phễu gồm phần có dạng hình trụ, bán kính đáy R phần lại có dạng hình nón, chiều cao 2R Phễu chứa nước có mực nước đến sát đáy hình nón Người ta thả vào vật hình cầu kim loại vào đặt vừa khít hình nón (hình bên) Chiều cao cột nước dâng lên theo A C ( 32 R 1+ ( 16 R 1+ ) ) B D ( 8R 1+ ( 4R 1+ ) ) 3 Câu 44 Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ Biết ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = D I = Câu 45 Cho hình chóp S.ABC có SA = x, BC = y, SA = AC = SB = SC = Tính thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn tổng ( x + y ) bằng: A B C D Câu 46 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + m có điểm cực trị A m ≤ B m > C m < D m ≥ Trang Câu 47 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = −10 g ( x ) = f ( 2x + x − 1) + m Tìm m để max [ 0;1] A m = −13 B m = C m = D m = −1 Câu 48 Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,4%/năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi nhập làm vốn ban đầu để tính lãi cho năm Hỏi sau năm, người lĩnh số tiền khơng 80 triệu đồng (cả vốn ban đầu lẫn lãi), biết suốt thời gian gửi tiền người khơng rút tiền lãi suất không thay đổi? A năm B năm C năm D năm Câu 49 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [0; 2018] để hệ phương trình  x − y + m = có nghiệm?   xy + y = A 2016 B 2018 C 2019 D 2017 Câu 50 Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ , hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ Xét hàm số h ( x ) = f ( x + 1) − x − x + Hãy chọn khẳng định đúng: A Hàm số h ( x ) nghịch biến ¡  1 B Hàm số h ( x ) nghịch biến  −1; ÷ 3   1 C Hàm số h ( x ) đồng biến  −1; ÷ 3  D Hàm số h ( x ) đồng biến ¡ Trang Đáp án 1-B 11-C 21-B 31-B 41-B 2-A 12-A 22-C 32-A 42-B 3-A 13-A 23-C 33-C 43-A 4-B 14-D 24-B 34-B 44-C 5-C 15-A 25-B 35-C 45-C 6-C 16-B 26-A 36-B 46-D 7-B 17-D 27-A 37-A 47-A 8-B 18-A 28-B 38-B 48-D 9-D 19-A 29-C 39-D 49-B 10-C 20-B 30-C 40-A 50-C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B Trong khơng gian Oxyz, phưong trình mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = r ⇒ n = ( a; b; c ) véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) r ( P ) : y − 3z + = ⇒ VTPT ( P ) là: n = ( 0; 2; −3) Câu 2: Đáp án A  + − −1 +  ; ; Gọi M trung điểm AB ⇒ M =  ÷ = ( 1;1;0 ) 2   Câu 3: Đáp án A Thể tích khối nón có bán kính r chiều cao h V = π r h ( ) 2 Ta có V = π r h = π a a = π a 3 Câu 4: Đáp án B Từ đồ thị hàm số ta thấy: • Đồ thị xuống khoảng ( 0;1) nên hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) Do (I) • Đồ thị lên khoảng ( −1;0 ) , xuống khoảng (0; 1) lên khoảng ( 1; ) nên khoảng ( −1; ) hàm số khơng hồn tồn đồng biến Do (II) sai • Đồ thị hàm số có ba điểm hai điểm cực tiểu điểm cực đại nên (III) • Giá trị lớn hàm số tung độ điểm cao đồ thị hàm số nên (IV) sai Nhu ta có hai mệnh đề (I) (III) Câu 5: Đáp án C Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt nên loại đáp án A B Đồ thị hàm số có nét cuối lên nên a > ⇒ loại Chọn D Câu 6: Đáp án Dựa vào BBT ta thấy, hàm số nghịch biến ( −2;0 ) Câu 7: Đáp án B Đếm 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Câu 8: Đáp án B Trang Ta có: S xq = 2π rh = 2π 4.3 = 24π Câu 9: Đáp án D Vì z = − 4i nên điểm biểu diễn số phức z có tọa độ ( 3; −4 ) , đối chiếu hình vẽ ta thấy điểm D Câu 10: Đáp án C Do đường thẳng d song song với đường thẳng ( ∆ ) nên vtcp ( ∆ ) vtcp d r Vậy vtcp d u = ( 1; −2;1) Câu 11: Đáp án C Hàm số y = ( − 3x ) − có nghĩa − x > ⇔ x < Câu 12: Đáp án A Ta có log = log log b = = log log 6 − log − a Câu 13: Đáp án A Hai số phức nhau, phần thực phần thực, phần ảo phần ảo Tìm a, b tính a + b a = a = ⇒ ⇒ a + b = −1 Ta có: a + 6i = − 2bi ⇒  6 = −2b b = −3 Câu 14: Đáp án D Ta có ( 0,125 ) x2 x −6 1 > ÷ 8 x2 x−6 1 1 ⇔ ÷ > ÷ 8 8 ⇔ x2 < 5x − ⇔ x2 − 5x + = ⇔ < x < Vậy tập nghiệm S = ( 2;3) Câu 15: Đáp án A 2+ 2n + n=2 = lim Ta có lim 3n + 3+ n Câu 16: Đáp án B x x Sử dụng công thức đạo hàm bản: ( e ) ' = e ; [ u.v ] ' = u ' v + uv ' Ta có: ( xe x ) = e x + xe x = e x ( x + 1) ' Câu 17: Đáp án D Có B ' D '/ / BD ⇒ ( BD, AD ' ) = ( B ' D ', AD ' ) = AD ' B ' = 600 ∆AB ' D ' cạnh a Câu 18: Đáp án A 2 Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) có bán kính R = a + b2 + c2 − d Trang Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; −2; ) bán kính R = 12 + ( −2 ) + 22 + 25 = 34 Câu 19: Đáp án A Giả sử 2048 số hạng thứ n ta có: un = u1q n −1 = 1.2n −1 = 2048 ⇔ n − = 11 ⇔ n = 12 Câu 20: Đáp án B Ta có: v ( t ) = S ' ( t ) = 8t + 12t − ⇒ a ( t ) = v ' ( t ) = 24t + 12 Tại thời điểm t = ( s ) ⇒ a = 24.3 + 12 = 228 ( m / s ) Câu 21: Đáp án B Mỗi cách xếp hoán vị phần tử: 4! = 24 Câu 22: Đáp án C Gọi M ( 0; y0 ) giao điểm đồ thị hàm số ( C ) với trục Oy Khi ta có: y0 = −2 ⇒ M ( 0; −2 ) Ta có: y = −3 x + ⇒ y ' ( ) = Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) điểm M ( 0; −2 ) là: y = y ' ( ) ( x − ) − = x − Câu 23: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: x = − x + x + x − = x − x − ⇔ x − x = ⇔  x = −2  x = 2 Suy đồ thị hai hàm số có điểm chung Câu 24: Đáp án B Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = x − 3x − đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − 3x − điểm phân biệt ⇔ m = −3 Câu 25: Đáp án B  z = + 7i z − 4z + 11 = ⇔   z = − 7i Từ có:  z = + 7i ⇒ z =    z = − 7i ⇒ z2 = ( 11) ( 11) 2 = 11 = 11 2 ⇒ z1 + z2 = 11 + 2.11 = 33 Trang 10 Câu 26: Đáp án A Cơng thức tính thể tích khối cầu bán kính R : V = π R Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính R = a  a  π a3 ⇒V = π  ÷ = 2 Câu 27: Đáp án A Để tìm GTNN, GTLN hàm số f ( x ) đoạn [ a, b ] , ta làm sau: • Tìm điểm x1 , x2 , , xn thuộc khoảng ( a, b ) mà hàm số f ( x ) có đạo hàm khơng có đạo hàm • Tính f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( xa ) , f ( xb ) • So sánh giá trị vừa tìm được, số lớn giá trị GTLN f ( x ) [ a, b ] , số nhỏ giá trị GTNN f ( x ) [ a, b ] ,  x = −1 ∉ [ 0; 4] f ( x ) = x − x − x + 28 ⇒ f ' ( x ) = 3x − x − 9; f ' ( x ) = ⇔   x = ∈ [ 0; 4] Ta có: f ( ) = 28, f ( 3) = 1; f ( ) = f ( x ) xác định với x ∈ [ 0; 4] ⇒ GTNN hàm số đoạn [ 0; 4] ⇒ x0 = ⇒ P = x0 + 2018 = 2021 Câu 28: Đáp án B Các điểm x = x0 gọi điểm cực trị hàm số y = f ( x ) ⇔ x = x0 nghiệm bội lẻ phương trình y ' = e x + =  x = ln12  x e − 12 = x x ⇔  x = −1 Ta có: f ' ( x ) = ⇔ ( e + 1) ( e − 12 ) ( x + 1) ( x − 1) = ⇔  x = −1  x =   x = Trong ta thấy x = nghiệm bội hai phương trình suy x = không điểm cực trị hàm số Vậy hàm số có điểm cực trị Câu 29: Đáp án C log ( x − 1) = log ( mx + x ) ⇔ log ( x − 1) = log ( mx + x ) x >  x − >  x −1 >  ⇔ ⇔ ⇔  x − x + = mx  x − + x = m ( x − 1) = mx + x Trang 11 Đặt f ( x ) = x − + x Ta có: f ' ( x ) = − 1 , f ' ( x ) = ⇔ − = ⇔ x = ±1 x x Bảng biến thiên x +∞ f '( x) + f ( x) +∞ −4 Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm m > −4 m ∈ ¢ ⇒ m = −1, m = −2, m = −3 Vậy có giá trị nguyên âm m thỏa yêu cầu toán Câu 30: Đáp án C  z = + 2i z − z + 13 = ⇔   z = − 2i Với z = + 2i ⇒ z = 6 = 4+i ⇒ z + = 17 z+i z +i Với z = − 2i ⇒ z = 14 = − i⇒ z+ =5 z+i 5 z+i Câu 31: Đáp án B r Ta có d1 qua A ( 2; 2;3) có u d1 = ( 2;1;3) , r d qua B ( 1; 2;1) có u d2 = ( 2; −1; ) uuur r r AB = ( −1;1; −2 ) , u d1 , u d2  = ( 7; −2; −4 ) r r uuu r ⇒ u d1 , u d2  AB ≠ nên d1 , d chéo Do ( α ) cách d1 , d nên ( α ) song song với d1 , d r r r ⇒ nα = u d1 , u d2  = ( 7; −2; −4 ) ⇒ ( α ) : 7x − y − 4z + d = Theo giả thiết d ( A, ( α ) ) = d ( B, ( α ) ) ⇔ d −2 69 = d −1 69 ⇔d= ⇒ ( α ) :14 x − y − z + = Trang 12 Câu 32: Đáp án A  du = dx u = ln x    x ⇒ Đặt   dv = x dx v = −  x 5 5 ln x 1 1 ∫1 x dx = − x ln x + ∫1 x dx = − x ln − x = − x ln + Suy ab = − 25 Câu 33: Đáp án C Sử dụng cơng thức tính đạo hàm: ( u ) ' = n.u′.un (uv) ' = u′v + uv′ ( e ) ' = e ; ( sin x ) ' = cos x, ( cos x ) ' = − sin x n −1 n x x Ta có: f ' ( x ) = 2018 ( e x + x cos x ) = 2018 ( e x + x cos x ) 2017 2017 ( e x + x cos x ) ' ( e x + x cos x − x3 sin x ) 2017 f '' ( x ) = ( f ( x ) ) ' =  2018 ( e x + x cos x ) ( e x + 3x cos x − x sin x )  '   = 2018.2017 ( e x + x cos x ) +2018 ( e x + x cos x ) 2017 (e x = 2018.2017 ( e x + x cos x ) +2018 ( e x + x cos x ) 2017 (e 2016 + x cos x − x sin x ) ' 2016 x ( e x + x cos x ) ' ( e x + 3x cos x − x sin x ) ( e x + x cos x − x sin x ) + x cos x − x sin x − x sin x − x cos x ) Khi f " ( ) = 2018.2017.1.1 + 2018.1.1 = 2018 Câu 34: Đáp án B Phép đồng dạng khơng phép dời hình khơng bảo tồn khoảng cách hai điểm Câu 35: Đáp án C Điều kiện: x > -5 Xét dấu hàm số f ( x ) = x ( x − 3) ( x + 3) x − −3 − + + x+3 − + + + x −3 − − − + f ( x) − + − + Trang 13  f ( x ) ≥ ⇔ x ∈ [ −3;0 ] ∪ [ 3; +∞ ) ⇒  f ( x ) ≤ ⇔ x ∈ ( −∞; −3] ∪ [ 0;3)   x ( x − 3) ( x + 3) ≥   x − 9x ≥   ln x + ≤ ( )  ln ( x + ) ≤ e    ⇔ ( x − 9x ) ln ( x + 5) ≤ ⇔   x − 9x ≤   x ( x − 3) ( x + 3) ≤     ln ( x + ) ≥ 0    ln ( x + ) ≥ e   x ∈ [ −3;0] ∪ [ 3; +∞ )   −4 ≤ x ≤ −3  x ≤ −4 ⇔ ⇔ 0 ≤ x ≤   x ∈ ( −∞; −3] ∪ [ 0; 3]    x ≥ −4  Lại có x ∈ ¢ ⇒ x = { −4; −3;0;1; 2;3} Câu 36: Đáp án B m + x < f ( x ) + x nghiệm ∀x ∈ ( 0;3) g ( x) g ( x ) = f ( x ) + x − x > m nghiệm ∀x ∈ ( 0;3) ⇒ m ≤ [ 0;3] Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) + x − 2x Dựa vào BBT ta thấy: x f ( x) −1 3 2 Dựa vào BBT, suy ra: < f ' ( x ) ≤ 3, ∀x ∈ ( 0;3) ⇒ −1 ≤ x − 2x ≤ ⇒ g ' ( x ) ≥ ∀x ∈ ( 0;3) ⇒ Hàm số đồng biến (0; 3) ⇒ g ( x ) = g ( ) = f ( ) ⇔ m ≤ f ( ) [ 0;3] Câu 37: Đáp án A Đánh giá để phá dấu giá trị tuyệt đối biểu thức lấy tích phân Từ tính tích phân theo tham số m, giải phương trình ẩn m để tìm m Với x ∈ [ 1; m ] m ≥ x ≥ mà m > ⇒ 2m > Suy 2mx > ⇔ 2mx − > ⇒ mx − > m Nên ∫ m 2m − 1dx = ∫ ( 2m − 1) dx = ( mx − x ) m = ( m3 − m − m + 1) = m3 − 2m + = Trang 14 m =  ⇔ m3 − m = ⇔ m ( m − ) = ⇔  m = − m =  Vậy m = ∈ ( 1;3) Câu 38: Đáp án B Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN Đặt MN = x ( < x < 90 ) Ta có: MQ BM = ⇔ MQ = ( 90 − x ) AI BI Gọi R bán kính trụ ⇒ R = Thể tích x 2π khối trụ là:  x  VT = π  ( 90 − x ) = ( − x3 + 90x ) ÷ 8π  2π  Xét f ( x ) = f '( x) = − x + 90x ) với < x < 90° ( 8π x = −3 x + 180x ) , f ' ( x ) = ⇔  ( 8π  x = 60 Khi suy max f ( x ) = f ( 60 ) = x∈( 0;90) 13500 cm3 ) ( π Câu 39: Đáp án Gọi I ( a; b; c ) tâm mặt cầu Lập hộ phương trình ẩn a, b, c dựa vào điều kiện IA = IB = IC = ID Gọi I ( a; b; c ) tâm mặt cầu qua bốn điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 1;3;0 ) , C ( −1;0;3 ) , D ( 1; 2;3 )  AI = BI  2 Khi IA = IB = IC = ID ⇔  AI = CI CI = DI  ( a − ) + b + c = ( a − 1) + ( b − 3) + c  2 ⇔ ( a − ) + b + c = ( a + 1) + b + ( c − 3)  2 2 a + 1) + b + ( c − 3) = ( a − 1) + ( b − ) + ( c − 3) ( −4a + = −2a + − 6b + −2a + 6b = a =    ⇔ −4a + = 2a + − 6c + ⇔ −6a + 6c = ⇔ b = 2a + = −2a + − 4b + 4a + 4b = c =    Trang 15 Suy I ( 0;1;1) R = IA = 22 + 12 + 12 = Câu 40: Đáp án A Sử dụng nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần để làm toán đạo hàm hàm số đáp án, đáp án có đạo hàm hàm số cho đáp án Ta có I = ∫ x dx sin x u = x du = dx  ⇒ Đặt  x  dv = sin x dx v = − cot x ⇒ I = − x cot x + ∫ cot xdx = − x cot x + ln sin x + C Vì x ∈ ( 0; π ) ⇒ sin x > ⇒ I = − x cot x + ln ( sin x ) + C Câu 41: Đáp án B Tính số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố: “Trong số tự nhiên chọn khơng có số tự nhiên liên tiếp” ⇒ A : “Trong số tự nhiên chọn có số tự nhiên liên tiếp” Tính số phần tử biến cố A Tính xác suất biến cố A , từ tính xác suất biến cố A Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên n ( Ω ) = C2019 Gọi A biến cố: “Trong số tự nhiên chọn khơng có số tự nhiên liên tiếp” ⇒ A : “Trong số tự nhiên chọn có số tự nhiên liên tiếp” Số cách chọn 2019 số, có số tự nhiên liên tiếp, có 2018.2017 cách (có bao gồm số tự nhiên liên tiếp) Số cách số tự nhiên liên tiếp, có 2017 cách ( ) ⇒ n A = 2018.2017 − 2017 = 2017 (vì số tự nhiên liên tiếp tính lần) ( ) ⇒P A = 2017 20172 677040 = P A = − = ( ) 3 C2019 C2019 679057 Câu 42: Đáp án B Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp tính đạo hàm hàm số g ( x ) = f ( − x ) Hàm số đồng biến ( a; b ) g ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b ) hữu hạn điểm Đặt g ( x ) = f ( − x ) ta có g ' ( x ) = − f ' ( − x ) Xét x ∈ ( −2; −1) ⇒ − x ∈ ( 4;5 ) ⇒ f ' ( − x ) > ⇒ g ' ( x ) < ⇒ hàm số y = g ( x ) nghịch biến ( −2; −1) Trang 16 Xét x ∈ ( −1; ) ⇒ − x ∈ ( 1; ) ⇒ f ' ( − x ) > ⇒ g ' ( x ) < ⇒ hàm số đồng biến ( −1; ) Câu 43: Đáp án A Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB, sử dụng cơng thức r = S S, P diện P tích nửa chu vi tam giác SAB Tính thê tích khơi câu, sử dụng công thức V = π r Thể tích khối cầu thể tích phần nước dâng lên dạng khối trụ, sử dụng công thức V = π R h tính thể tích khối trụ, từ suy h Áp dụng định lí Pytago ta tính được: SA = SB = SO + OA2 = 4R + R = R Ta có: S ABC = 1 SO AB = 2R.2R = 2R 2 Nửa chu vi tam giác ABC là: P = SA + SB + SC R + R + 2R = =R 2 ( ) +1 Do khối cầu nằm vừa khít hình nón nên bán kính cầu bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB ⇒r= S ABC 2R 2R = = P +1 R +1 ( ) 4 ⇒ Thế tích khối cầu V = π r = π 8R ( ) +1 Thể tích khối cầu thể tích phần nước dâng lên hình trụ có bán kính đáy R Gọi h chiều cao cột nước dâng lên ta có: v = π R2h = π ( 8R ) +1 ⇔h= ( 32 R ) +1 Câu 44: Đáp án C 2 0 Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − = J − 1 Lại có ∫ f ( x ) dx = 1 1 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫ 30 30 Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx x = ⇒ t = Đổi cận  x = ⇒ t = 2 0 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = ⇒ J = Trang 17 Vậy I = ∫ f ( x ) dx = − = Chú ý: b Sử dụng công thức ∫ a c b a c f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Sử dụng giả thiết f ( x ) = f ( x ) phương pháp đổi biến tính ∫ f ( x ) dx Câu 45: Đáp án C Gọi I, J trung điểm BC SA Ta có BC ⊥ ( SAI ) 1 x2 + y xy Nên VS ABC = BC.S SAI = xy − ≤ xy − 3 = xy xy  xy  1 − ÷ ≤ 4   x = y  Dấu “=” xảy  xy xy ⇒ x = y =  = − Vậy x + y = Chú ý: + Thể tích hình tứ diện có diện tích đáy B chiều cao h: V = Bh + Bất đẳng thức Cô-si: x + y ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ 4xy ⇔ x + y xy ≥ x2 + y xy ⇔ 1− ≥ 1− + A ≥ B A ≥ B (với A, B > 0) Câu 46: Đáp án D Xét g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + m, lập bảng biến thiên tìm số cực trị y=g(x) Tìm điều kiện để y = h ( x ) = g ( ( x) ) có cực trị kết luận Xét g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + m, có g ' ( x ) = f ( x ) f ' ( x ) + f ' ( x ) = f ' ( x )  f ( x ) + 1 Trang 18   g ( 1) = f ( 1) + f ( 1) + m x =1  f '( x) =   g '( x) = ⇔  ⇔ x = ⇒  g ( 3) = m   f ( x ) + =  x = a ( a < 0)  g ( a) = m −  Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) x g '( x) −∞ a − g ( x) + +∞ − + g ( 1) g ( a) m Dựa vào bảng biến thiên, suy đồ thị hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị Suy đồ thị hàm số h ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + m có điểm cực trị đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm hồn tồn phía trục Ox (kể tiếp xúc) Do g ( a ) ≥ ⇔ m − 1 ≥0⇔m≥ 4 Chú ý: Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị phương trình f ' ( x ) = có nghiệm bội lẻ phân biệt f '( u ( x) ) = u '( x) f ( u ) Câu 47: Đáp án A 3 Ta có: g ( x ) = f ( 2x + x − 1) + m ⇒ g ' ( x ) = ( 6x + 1) f ' ( 2x + x − 1) Với x ∈ [ 0;1] ( 2x + x − 1) ∈ [ −1; 2] Quan sát đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy hàm số y = f ( x ) nghịch biến đoạn [ −1;1] ⇒ f ' ( x ) ≤ 0, x ∈ [ −1;1] ⇒ f ' ( 2x + x − 1) ≤ 0, x ∈ [ −1;1] ⇒ g ' ( x ) ∈ [ −1; 2] 6x + > 0, ∀x) g ( x ) = g ( ) = f ( −1) + m = + m ⇒ g ( x ) nghịch biến [ 0;1] ⇒ max [ 0;1] Theo đề bài, ta có: + m = −10 ⇒ m = −13 Chú ý: g ( x ) , từ suy m Khảo sát hàm số y = g ( x ) đoạn [ 0;1] tìm max [ 0;1] Câu 48: Đáp án D Trang 19 Số tiền người thu sau n năm: P = A ( + r ) = 50 ( + 8, 4% ) (triệu đồng) n P ≥ 80 ⇔ 1, 084n ≥ n 8 ⇔ log1,084 ; 5,83 5 Chú ý: + Công thức lãi kép: P = A ( + r ) n Khách gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì, n kì hạn, P số tiền khách nhận vốn lẫn lãi sau n kì gửi n + Cơng thức logarit: a = b ⇒ log a b = n Câu 49: Đáp án B  xy = ( − y )  xy = − y + y xy + y + = ⇔ xy = − y ⇔  ⇔ ( 1)  y ≤ y ≤1 Nếu y = 0, hiển nhiên không thỏa mãn hệ:  x = − + y Nếu y ≠ 0, ( 1) ⇔   y ≤ Thế vào x − y + m = 0, ta có 1 − + y − y + m = ⇔ = − m ( 2) y y Đê hệ có nghiệm (2) có nghiệm y ∈ ( −∞;1] \ { 0} Xét hàm f ( y ) = 1 có f ' ( y ) = − < với y y y ∈ ( −∞;1] \ { 0} nên ta có bảng biến thiên hàm f ( y ) sau: y f '( y ) −∞ +∞ f ( y) −∞ 2 − m < m > ⇔ Dựa vào BBT, ta thấy (2) có nghiệm y ∈ ( −∞;1] \ { 0}  2 − m ≥ m ≤ Mà m ∈ ¢ m m ∈ [ 0; 2018] nên m ∈ { 0;1;3; 4;5;6; ; 2018} Chú ý:  f ( x ) = g ( x ) f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x ) ≥ Câu 50: Đáp án C h ( x ) = f ( x + 1) − x − x + ⇒ h ' ( x ) = f ' ( x + 1) − ( x + 1) Trang 20 Xét bất phương trình: h ' ( x ) > ⇔ f ' ( x + 1) − ( 3x + 1) > ⇔ f ' ( 3x + 1) > x + 1( *) Quan sát hình vẽ ta thấy: Xét khoảng ( −1; ) f ' ( x ) > x ⇔ −2 < x < ⇒ ( *) ⇔ −2 < 3x + < ⇔ −1 < x <  1 ⇒ Hàm số h ( x ) đồng biến  −1; ÷ 3  Chú ý: Hàm số nghịch biến y ' ≤ 0( y ' = với hữu hạn giá trị x) Trang 21 ... = 0, ta có 1 − + y − y + m = ⇔ = − m ( 2) y y Đê hệ có nghiệm (2) có nghiệm y ∈ ( −∞;1] { 0} Xét hàm f ( y ) = 1 có f ' ( y ) = − < với y y y ∈ ( −∞;1] { 0} nên ta có bảng biến thi n hàm... số tự nhiên chọn khơng có số tự nhiên liên tiếp” ⇒ A : “Trong số tự nhiên chọn có số tự nhiên liên tiếp” Số cách chọn 2019 số, có số tự nhiên liên tiếp, có 2018.2017 cách (có bao gồm số tự nhiên... Đặt f ( x ) = x − + x Ta có: f ' ( x ) = − 1 , f ' ( x ) = ⇔ − = ⇔ x = ±1 x x Bảng biến thi n x +∞ f '( x) + f ( x) +∞ −4 Dựa vào bảng biến thi n ta có phương trình có nghiệm m > −4 m ∈ ¢ ⇒ m