Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán : Phép dời hình có loài giải chi tiết

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHÉP BIẾN HÌNH A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép biến hình quy tắc để điểm M mặt phẳngxác định mộtđiểm M � thuộc mặt phẳng Kí hiệu thuật ngữ: Gọi P tập hợp điểm mặt phẳng phép biến hình F : F :P �P M �M� FM - Điểm M �gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F , hay M điểm tạo ảnh điểm M � - Nếu  hình H �( gồm điểm M �là ảnh M � ) gọi anh  qua phép biến hình F - Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng Tích hai phép biến hình Cho hai phép biến hình F G Gọi M điểm mặt phẳng M �là ảnh M qua F , �là ảnh M � M� qua G � Ta nói, M � ảnh M tích hai phép biến hình F G Ký hiệu G.F � M�  G F  M   PHÉP TỊNH TIẾN A Lý thuyết Định nghĩa r uuuuu r r  v Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M � cho MM � r v gọi phép tịnh tiến theo vectơ r r Tvr v v  Phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là: , gọi vectơ tịnh tiến   uuuuur r Tvr ( M )  M � � MM � v Ta có: Phép tịnh tiến theo vecto – khơng phép đồng ur v Tính chất: ur uuuuur uuuu r , N� v N  MN , từ suy Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M , N thành hai điểm M � M �� r M �� N  uMN v ur v Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, đường tròn thành đường tròn có bán kính STUDY TIP Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Biểu thức tọa độ: r v   a; b  , M  x; y  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ �x '  x  a r � r v : Tv ( M )  M'  x '; y '  có biểu thức tọa độ: �y '  y  b Khi phép tịnh tiến theo vectơ B CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN DẠNG CÁC BÀI TỐN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính chất phép tịnh tiến Xác định ảnh điểm, hình qua phép tịnh tiến Tìm quĩ tích điểm thơng qua phép tịnh tiến Ứng dụng phép tịnh tiến vào tốn hình học khác Ví dụ 1: Kết luận sau sai? uuur r Tuuur (A)  B Tur ( A)  B � AB  u A B AB uuu r uuuu r uur ( M )  N � AB  MN T2 uAB T0r ( B)  B C C Lời giải: Đáp án D uuuu r uuur uur ( M )  N � MN  AB T2 uAB Ta có Vậy D sai STUDY TIP uuuuur r Tvr  M   M � � MM � v Định nghĩa phép tịnh tiến: Tr ( M )  M '; Trv ( N )  N ' Ví dụ 2: Giả sử v Mệnh đề sau sai? uuuuuur uuuu r uuuuur uuuur M ' N '  MN A B MM '  NN ' C MM '  NN ' D MNM ' N ' hình bình hành Lời giải: Đáp án D Theo tính chất phép tịnh tiến đáp án A, B, C MNM ' N ' khơng theo thứ tự đỉnh hình bình hành nên D sai Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng A Không Đáp án A d1 d2 cắt Có phép tịnh tiến biến B Một C Hai d1 thành d2 D Vô số Lời giải: Do phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nên d d khơng có phép tịnh tiến biến thành Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm I Gọi M , N trung điểm AD, DC Phép tịnh tiến theo vectơ sau biến tam giác AMI thành INC uur B IN uuuu r AM A uuur C AC Lời giải: uuuu r MN D Đáp ánuuu Du r uur uur uuur ( AMI )  INC MN  AI  IC � TuMN Ta có Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD tâm I Kết luận sau sai? A uur ( D )  C TuAB B uuur ( B )  A TCD C Lời giải: TuAIur ( I )  C D TuIDur ( I )  B Đáp án D uur uur TuIDur ( I ) I� '  II ' ID I' D Ta có Vậy D sai Ví dụ 6: Trong đối tượng: cá (hình A), bướm (hình B), mèo (hình C), ngựa (hình D), hình có phép tịnh tiến? A B C D Lời giải: Đáp án D Trong hình D đối tượng ngựa ảnh ngựa qua phép tịnh tiến theo hướng xác định  C  có tâm O đường kính AB Gọi  tiếp tuyến  C  điểm A Ví dụ 7: Cho đường tròn uuu r Phép tịnh tiến theo vectơ AB biến  thành:  C  song song với  A Đường kính đường tròn  C  điểm B B Tiếp tuyến  C  song song với AB C Tiếp tuyến D Đường thẳng song song với  qua O Lời giải: Đáp án B Tuuur     � � � //, � Theo tính chất phép tịnh tiến nên AB tiếp tuyến đường tròn  C  điểm B  O, R  A thay đổi đường tròn đó, BD Ví dụ 8: Cho hai điểm B, C cố định đường tròn đường kính Khi quỹ tích trực tâm H ABC là: A.Đoạn thẳng nối từ A tới chân đường cao thuộc BC ABC B Cung tròn đường tròn đường kính BC  O, R  qua TuHAuur C Đường tròn tâm O�bán kính R ảnh  O, R  qua TuDCuuur D Đường tròn tâm O ' , bán kính R ảnh Lời giải: Đáp án D Kẻ đường kính BD � ADCH hình bình hành(Vì AD //CH AH //DC vng góc với umột uur đường uuur thẳng) uuu r  A  H � AH  DC � TuDC  O, R  qua TuDCuuur Vậy H thuộc đường tròn tâm O ' , bán kính R ảnh  C  Khi Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD , hai điểm A, B cố định, tâm I di động đường tròn quỹ tích trung điểm M cạnh DC :  C�  ảnh  C   C�  ảnh  C  B đường tròn A đường tròn qua TuKIuur , K trung điểm BC qua TuKIuur , K trung điểm AB C đường thẳng BD D đường tròn tâm I bán kính ID Lời giải: Đáp án B Gọi K trung điểm AB � K cố định Tuuur  I   M � M � C �   TuKIuur   C   Ta có KI DẠNG XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Phương pháp Xác định ảnh điểm qua phép tịnh tiến - Sử dụng biểu thức tọa độ r Xác định ảnh �của đường thẳng  qua phép tịnh tiến theo véctơ v , B �tương ứng Đường thẳng �cần tìm Cách Chọn hai điểm A, B phân biệt  , xác định ảnh A� , B� đường thẳng qua hai ảnh A� Cách Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng phương với Cách Sử dụng quỹ tích M  x; y  �, Tvr  M   M � ; y�  x�  M � �� Với � � x  x  a x  x  a � � � � � � Từ biểu thức tọa độ �y  y  b ta �y  y  b x, y phương trình  ta phương trình � Xác định ảnh hình (đường tròn, elip, parabol…) M  x; y  Tr  M   M � ; y�  x�  M �thuộc ảnh ’ - Sử dụng quỹ tích: Với điểm thuộc hình , v hình - Với đường tròn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có bán kính sử dụng quỹ tích A  3; 3 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm Tìm tọa độ diểm A�là ảnh A qua phép r v   1;3 tịnh tiến theo véctơ A A�  2; 6  B A�  2;0  C A�  4;0  D A�  2;0  Lời giải: Đáp án B �x  x  x r �x  uuur r � �A� A v � �A� � A�  2;0  Tvr  A  A� x A�y A� � AA� v y A� y A� y A  yvr  � � Ta có STUDY TIP  xa �x� � � Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: �y  y  b M�  4;  , biết M �là ảnh M qua phép tịnh tiến Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm r v   1; 5  theo véctơ Tìm tọa độ điểm M A M  3;5  B M  3;7  C M  5;7  D M  5; 3 Lời giải: Đáp án C uuuuur r Tvr  M   M � xM �; yM � � MM � v  Ta có: �xvr  xM � xM �xM  xM � xvr �x  5 �� �� � �M � M  5;7  r  y r y  y y  y  y y  � � M M M v �M �v �M M  5;  M�  3;  ảnh cảu M qua phép Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm điểm r r tịnh tiến theo véctơ v Tìm tọa độ véctơ v r r r r v   2;0  v   0;  v   1;0  v   2;0  A B C D Lời giải: Đáp án D �xr  xM � xM �xvr  r uuuuur r � �v �� � v   2;0  Tr  M   M �  xM �; yM � � MM � v �yvr  yM � yM �yvr  Ta có: v r M  0;  , N  2;1 v   1;  Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm véctơ Ơ Phép tịnh r � � M , N M , N N� tiến theo véctơ v biến thành hai điểm tương ứng Tính độ dài M � N�  A M � N�  N�  B M � C M � Lời giải: N� 3 D M � Đáp án A Tvr  M   M � � 2 � � MN  M �� N   2        � Tr  N   N � Ta có �v STUDY TIP Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm Oxy , cho ABC biết A  2;  , B  5;1 , C  1; 2  Phép tịnh tiến theo Ví dụ Trong u mặt uur phẳng tọa độ B C tương ứng điểm Tọa độ trọng tâm G�của A��� BC véctơ BC biến ABC thành A��� là: A G�  4; 2  B G�  4;  C G�  4; 2  D G�  4;  Lời giải: Đáp án A uuur G  2;1 BC   6; 3  ABC Ta có tọa độ trọng tâm ; u u u r �xG� xG  xBC �xG � 4 uuuu r uuur � � �� � G�  4; 2  � uur  G   G � TuBC  xG�; yG� � GG� BC �yG� yG  yuBCuur �yG� 2 STUDY TIP BC Phép tịnh tiến biến trọng tâm G ABC thành trọng tâm G�của A��� Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đườn thẳng �là ảnh đường thẳng r  : x  y   qua phép tịnh tiến theo véctơ v   1; 1 : x  2y  A � : x  y   C � : x  2y 1  B � Lời giải: : x  2y   D � Đáp án A Cách 1: A  1;0  � � Tvr  A   A�  2; 1 �� Chọn B  1;1 � � Tvr  B   B�  0;0  �� Chọn � đường thẳng �chính đường thẳng A�� B r A� 2; 1 n   1;   �  Đường thẳng qua có véctơ pháp tuyến có phương trình là: �  :1 x     y  1  � x  y  STUDY TIP Hai đường thẳng phương có hai véctơ pháp tuyến phương Cách Tvr     � � � , hai đường thẳng phương nên �có dạng x  y  m  Chọn A  1;  � � Tvr  A  A�  2; 1 ��� m  � Vậy phương trình  : x  y  Cách 3: Sử dụng quỹ tích M  xM ; yM  � � xM  yM    1 Lấy  x 1 1 �x� �x  x� Tvr  M   M � ; y�  x�  ��� � � M � �M � �y  yM  �yM  y  Ta có  1 ta  x� 1   y� 1   � x� y� Thay vào : x  2y  Vậy � Nhận xét: Độc giả sử dụng cách tỏ có tính tư cao hơn, nhanh áp dụng cho nhiều loại hình khác  C�  ảnh cảu đường tròn Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn r  C  : x  y  2x  y   qua Tvr với v   1;   x  2 A  x  2 B  y2  2 C x  y  2x    y2  D x  y  x   Lời giải: Đáp án B 2 Cách 1: Theo tính chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có bán kính  C  có tâm I  1; 2  , bán kính R  Ta có: đường tròn Tr  I   I �  2;0  Suy ra: v  C�  có tâm I �  2;0  , bán kính R� R  có phương trình: Vậy đường tròn  x  2  y2  Cách 2: Sử dụng quỹ tích: M  x; y  � C  � Tvr  M   M � ; y�  x�  Gọi  x 1 1 �x� �x  x� �� ��  y2 2 �y� �y  y�  C  , ta có: Thế x, y vào phương trình đường tròn 2 2     x�  1   y �     �  x�  x� 1   y �    y�   x�   C�  :  x  2 Vậy  y2  Study Tip I  a; b  có tâm bán kính R x  y  2ax  2by  c  có tâm I  a; b  bán kính R  a  b  c Phương trình đường tròn r r y  f  x   x3  x  v   a; b  v Ví dụ Cho vectơ cho tịnh tiến đồ thị theo vectơ ta nhận y  g  x   x  3x  x  đồ thị hàm số Tính P  a  b Phương trình đường tròn  x  a A P  B P  1   y  b   R2 D P  3 C P  Lời giải: Đáp án A g  x   f  x  a   b � x3  3x  x   � b  x  a    x  a   1� � � Từ giả thiết ta có: � x  3x  x   x  3ax   a  1 x  a  3a   b �a  � P  ab 3 � b  � Đồng thức ta được: Study Tip Đồng thức đa thức � hệ số đa thức tương ứng A  5;  C  1;0  B  Tur  A  , C  Tvr  B  Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm , Biết r r r r T Tìm tọa độ vectơ u  v để thực phép tịnh tiến u v biến điểm A thành điểm C A  6;  B  2; 4  C Lời giải: Đáp án C uuu r r Tur  A   B � AB  u Ta có: uuur r Tvr  B   C � BC  v uuur uuu r uuur r r AC  AB  BC  u  v Mà uuur r r Tur vr  A   C � AC  u  v   4; 2  Do đó: Study Tip  4; 2  D  4;  Ta có sơ đồ tổng quát: A  2;1 Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành OABC với điểm , điểm B thuộc đường thẳng  : x  y   Tìm quỹ tích đỉnh C ? A Là đường thẳng có phương trình x  y  10  B Là đường thẳng có phương trình x  y   C Là đường thẳng có phương trình x  y   2 D Là đường tròn có phương trình x  y  x  y  Đáp án A Lời giải: Tuuur  B   C Vì OABC hình bình hành nên AO Vậy quỹ tích điểm C đường thẳng  ' song song với  Ta tìm phương trình  ' : x  y  10  Ví dụ 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3x  y   Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ r v có giá song song với Oy biến d thành d ' qua A  1;1 r r r r v   0;5  v   1; 5 v   2; 3 v   0; 5  A B C D Đáp án D Lời giải: r r � v   0; k  , k �0 Véc tơ v có giá song song với Oy �x '  x M  x; y  �d � Tvr  M   M '  x '; y'  � � �y '  y  k Gọi A  1;1 Thế vào phương trình d � d ' : 3x ' y´ k   mà d ' qua nên k  5 Ví dụ 12 Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , chohai đường thẳng d : x  y   r d' : x  y   Tìm tọa độ v có phương vng góc với d Tvr biến đường thẳng d thành d ' r �6 � v� ; � �13 13 � A r �1 � v� ; � �13 13 � B r �16 24 � v� ; � �13 13 � C Đáp án D Lời giải: �x  x ' a r �� r T  M   M '  x '; y' �d ' �y  y ' b v   a; b  Gọi , ta có v Thế vào phương trình đường thẳng d : x ' y ' 2a  3b   Từ giả thiết suy 2a  3b   5 � 2a  3b  8  1 r � 16 24 � v� ; � 13 13 � � D Véc tơ phương d r u   3;  r r rr u  v � u.v  � 3a  2b   2 Do 16 24 a  ;b  1 2   13 13 Giải hệ ta C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Câu 1: Có phép tịnh tiến biến đường thẳng thành nó? A Câu 2: B D Vơ số Có phép tịnh tiến biến đường tròn thành nó? A Câu 3: C B C D Vơ số Có phép tịnh tiến biến hình vng thành nó? A B C D Vô số Câu 4: Phép tịnh tiến khơng bảo tồn yếu tố sau đây? Câu 5: A Khoảng cách hai điểm B Thứ tự ba điểm thẳng hàng C Tọa độ điểm D Diện tích r r r r Tv  A   A� , Tv  B   B� v �0 A , B Với hai điểm phân biệt với Mệnh đề sau đúng? uuuur r B  v A A�� Câu 6: uuuur uuu r r B  AB  D A�� d d Cho hai đường thẳng song song với Có phép tịnh tiến theo vectơ r r v �0 biến d1 thành d ? A Câu 7: uuu r r C AB  v uuuur uuu r B  AB B A�� B C D Vơ số Tuuur uuur Cho hình bình hành ABCD Phép tịnh tiến AB  AD biến điểm A thành điểm nào? A A�đối xứng với A qua C C O giao điểm AC qua BD Câu 8: B A�đối xứng với D qua C D C Tuuur  G   M Cho tam giác ABC có trọng tâm G , AG Mệnh đề đúng? Câu 9: A M trung điểm BC B M trùng với A C M đỉnh thứ tư hình bình hành BGCM D M đỉnh thứ tư hình bình hành BCGM uuu r Cho lục giác ABCDEF tâm O Tìm ảnh AOF qua phép tịnh tiến theo vectơ AB A AOB B BOC C CDO D DEO Câu 10: Cho hình bình hành ABCD tâm I Kết luận sau sai? A uuu r  A  B TuDC B uuur  B   A TCD C TuDIuur  I   B D TuIAur  I   C Câu 11: Cho hình vng ABCD tâm I Gọi M , N trung điểm AD, DC Phép tịnh tiến theo vectơ sau biến AMI thành MDN ? C Câu 8: S A��� BC  D Chu vi BC chu vi A��� ABCD  AB / /CD  Đáy lớn AB  , đáy nhỏ CD  Gọi I ugiao uur điểm uuu r hai đường chéo J giao điểm hai cạnh bên Phép biến hình AB thành CD phép vị tự nào? Cho hình thang V� � A Câu 9: ABC  �I, � �2� V� � B J, � � � 2� V� C V� 1� I,  � � � 2� D 1� J,  � � � 2�  O; R  điểm A cố định đường tròn BC dây cung di động BC có độ dài khơng đổi 2a  a  R  Gọi M trung điểm BC Khi tập hợp trọng tâm G ABC là: Cho đường tròn G  V� A G  V� B M 2� �A, � � 3� , tập hợp đường tròn M 1� O, � � � 2� , tập hợp đường thẳng G  V� � M  C �A , � � 3� , tập hợp đường tròn G  V� � M  D B, � � � 3� Câu 10: Cho đường tròn , tập hợp đường thẳng  O; R   O�  tiếp xúc với đường tròn  O  đường kính AB Một đường tròn  O; R  I Tính độ dài đoạn AI đoạn AB C D Đường thẳng CD cắt A R C R B R D R ; R�  O; R   O�  tiếp xúc A  R  R�  Đường kính qua A cắt Câu 11: Cho hai đường tròn ; R�  O; R  B cắt  O�  C Một đường thẳng di động qua A cắt  O; R  M cắt ; R�  O�  N Gọi I giao điểm BN CM Mệnh đề sau đúng? A Tập hợp điểm I đường tròn: B Tập hợp điểm I đường tròn: C Tập hợp điểm I đường tròn: D Tập hợp điểm I đường tròn: �  O�   V�C ,   O, R   �  O�   V�C ,   O, R   �  O�   V�M,   O, R   �  O�   V�M,   O, R   R �� � � � R  R� � R � � � � R  R� � R� � � � � R  R� � R � � � � R  R� � DẠNG 2: TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ A  1; 3 Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm ảnh A�của điểm qua phép vị tự tâm O tỉ số 2 A Câu 2: B A�  1;3 C A�  2;6  D A�  2; 6  A  1;  I  3; 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Tìm ảnh A�của A qua phép vị tự tâm tỉ k  số A� A� A�  1;5   5; 1  1;5 B C D P  3;  , Q  1;1 , R  2; 4  , Q� , R�lần lượt ảnh Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Gọi P� k P, Q, R qua phép vị tự tâm O tỉ số Q R�là: Khi tọa độ trọng tâm tam giác P�� A Câu 3: A�  2;6  A�  3;  �1 � �; � A �9 � Câu 4: � 1� �2 � �2 � 0; � � � ; � � ;0 � 3 � � � � B C D �9 � A  0;3 , B  2; 1 , C  1;5  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm Phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành C Khi giá trị k là: k B k  1 C D k  A  0;3 , B  2; 1 , C  1;5  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm Phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành C Khi giá trị k là: A Câu 5: k  A k  Câu 6: Câu 7: Câu 8: B k  1 C k  D k �� d : x  y   0, I  1;  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Tìm ảnh d �của d qua phép vị tự tâm I tỉ số k  2 x y20 x  y   C D Oxy , d : x  y   � Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng Tìm ảnh d d qua phép k vị tự tâm O tỉ số A x  y   B 2 x  y   A 3 x  y   B 3x  y  10  C x  y  15  D x  y  !0  x y d :  1 Oxy , : x  y   Phép vị Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d � V  d   d� tự  O ,k  Tìm k A Câu 9: k B k  k k C D 2 C� C  :  x  1   y       Oxy , Trong mặt phẳng tìm ảnh đường tròn đường tròn qua k   phép vị tự tâm tỉ số  C�  :  x  2 A C  C�  :  x  2   y    10   y    20 B  C�  :  x  2   y    10  C�  :  x  2   y  4 D 2  C  :  x  3   y  1  Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C�  đường tròn  C  qua phép vị tự tâm I  1;  tỉ số k  2  20 Tìm ảnh đường tròn 2 A x  y  x  16 y   2 x  3   y  8  20  C 2 B x  y  x  !6 y   2 x  3   y  8  20  D 2 C1  :  x  1   y  3   hai đường tròn ; Oxy, Câu 11: Trong mặt phẳng cho 2  C2  :  x     y  3  Tìm tâm vị tự ngồi hai đường tròn  1; 3 D 2 C1  :  x  3   y  3   Oxy , Câu 12: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn đường tròn 2   C2  :  x  10    y    Tìm tâm vị tự biến  C  thành  C � A  2;3 B  2;3 C  3; 2  13 � �36 27 � � �32 24 � � ; � � ;5 � � ; � 5 � � � � A B C �5 � D D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất ứng dụng phép vị tự Câu 1: Đáp án D � 13 � 5; � � � 2� Câu 2: Đáp án D Câu 3: Đáp án A Câu 4: Theo tính chất phépv ị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng nhay, khơng có trường hợp d cắt d � Đáp án B Câu 5: Đáp án B Câu 6: Đáp án A Câu 7: uuuuur uuuuur � �� O M  k O M1 Lấy điểm M bất kỳ: và uuur uuuu r � � V � O I  kO O F  M   M �  O ;k  O I Khi phép hợp thành Gọi u uuuur làuuảnh r ucủa uuu r uuqua ur phép hợp uuuu r uuuur uuuur uuuu r MM  OI  OO�  O� I   1 k� IM  k � OM  k k � OM  OO� Khi nên:r uuuu r u   1 k�  OO� Vậy F phép tịnh tiến theo vectơ Đáp án B V O ;k   M   M V�  B    B�  � AB� 3� �A; � � 2� uuuur uuuu r V O�� M   M � OM  kOM ;k   3 AB  9;V� � C    C � � AC �  AC  12 � B�� C   12  15  A ; 2 � � � 2� Câu 8: Đáp án C Câu 9: Ta có uur r uur AB 1 uu uur  ;V� � A   C � IC   IA;V� � B   D � ID   IB I, � CD � 2 �I , � � 2� � 2� uur uur r uur uuur uu uuur � IC  ID   IA  IB � CD   AB 2 Đáp án A    OM  BC � OM  R  a � M � O; R  a Ta có: uuur uuuu r AG  AM � G  V� � M  �A, � � 3� Ta có: Khi M  O; di động đường tròn  O đường tròn R2  a2 V� qua phép vị tự 2� �A , � � 3� Câu 10: Đáp án B V� Ta có: V�  O   O�� CO� R� � C, � � � R�  I   D � CD  R� � C, � � � R� R� CI R R� CO R  2  1    O�  ảnh G chạy đường tròn  1 Từ Câu 11: Đáp án A  2 � CD� CO  � OI�O� D � OI  AB � I CD CI điểm cung AB M I V� Ta dự đoán  O1   V� CI CI � C; � � � CM �  O  O  � I nằm đường tròn mà M nắm đường tròn � C; � � � CM � CI Ta cần chứng minh CM theo R R� CM CI  IM IM IM IB BM AB R CI R�   1     �  CI CI mà CI IN CN AC R� CM R  R� Ta có CI M I � V� R� � C, � � � R  R �� DẠNG 2: TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG QUA PHÉ VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Câu 1: Đáp án C uuur uuu r V O ;2  A   A� � OA�  2OA � A�  2;  Câu 2: Đáp án D Câu 3: uur uu r 3  �x� V I ,2  A   A� � IA�  IA � � � A  1;5  1  �y� Đáp án B V� ;V� � Q   Q� ;V� � R   R� �  P   P� O , O, 1� O , � � � 3� � � � 3� � � � 3� Câu 4: � 2 � � � 1� � � 4� � 1� P� 1; � ;Q �  ; � ;R �  ; � 0; � � � Q R � � � � � 3 � � 3 � Nên tọa độ trọng tâm P��� Đáp án A Câu 5: uuur uuu r 1  k � V A,k   B   C � AC  k AB � � �k   k  4  � Giả sử Đáp án D Câu 6: � uuur uuur  k.4 � k � V A,k   B   C � AC  k AB � � �� �  k � � k  1 không thỏa mãn � k �� � Giả sử Đáp án C V I ,2  d   d � � d�d � nên d �có dạng x  y  c  tọa độ điểm 5 �x� M  2;0  �d � V I ;2  M   M �  x; y  �d �� � �y '  2 Chọn điểm � d :10   c  � c  : 2x  y   Vậy d � Câu 7: Đáp án D Câu 8: : x  y  10  Tương tự câu � d � Đáp án A vào d : x  y   � d�d � Câu 9:  2k �x� M  2;0  �d � V O ,k   M   M � ; y�  x�  � �� �y  Chọn M� �d � � 2.2k    � k  Do Đáp án C  C I  1; 2  bán kính R   2 �x� � V O ,2  I   I � ; y�  x�  � �� � I �  2;  R�  k R  �y  Bán kính Đường tròn có tâm  :  x     y  4  20 � đường tròn  C � Câu 10: Đáp án C 2 uur uu r �x�  3 I  8;1 : V I ,2  J   J � x� ; y� � IJ �  2 IJ � � � J�    3;8 C �  y  � Đường tròn có tâm 2 R�  k R2 5�  C�  :  x  3   y    20 Bán kính phương trình Câu 11: Đáp án A  C1  C  Đường tròn I1  1;3 bán kính R1  I  4;3 có tâm bán kính R2  I Gọi tâm vị tự uur uur R2 V I ,k    C1     C2  � V I ,k   I1   I , k   � II  II1 � I  2;3  R1 Câu 12: Đáp án A Đường tròn có tâm phép vị tự  C  có tâm I  3;3 bán kính R   C�  có tâm I �  10;7  bán kính R� Đường tròn Đường tròn �� I  I� ,R R� tỉ số vị tự uuuu r uuur V O1 ,k   I   I � � O1 I �  kO1I k  với � � 36 x  10    x  3 x � � � � �� �� �x     y  3 �y  27 � � O1  x; y  tâm vị tự �36 27 � O1 � ; � Vậy �5 � PHÉP ĐỒNG DẠNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa k  k  0 Một phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số với hai điểm M , N ảnh M� , N �tương ứng ln có M �� N  kMN Nhận xét: - Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số k  k - Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số - Nếu thực liên tiếp hai phép đồng dạng ta phép đồng dạng Tinh chất Phép đồng dạng tỉ số k : a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toán thứ tự chúng b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc k R d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính STUDY TIP B C biến trọng tâm, trực tâm, a) Nếu phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác A��� BC tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC thành tương ứng tam giác A��� n n b) Phép đồng dạng biến đa giác cạnh thành đa giác cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, cạnh thành cạnh Hình đồng dạng Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình B CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ PHÉP ĐỒNG DẠNG Ví dụ 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hai đường thẳng đồng dạng B Hai đường tròn ln đồng dạng C Hai hình vng ln đồng dạng D Hai hình chữ nhật ln đồng dạng Đáp án D Lời giải: Với hai hình chữ nhật ta chọn cặp cạnh tương ứng tỉ lệ chúng chưa đã Vì lúc tồn phép đồng dạng biến hình chữ nhật thành hình chữ nhật Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I Gọi H , K , L, J trung điểm AD, BC , KC , IC Tứ giác IHCD đồng dạng với tứ giác sau đây? A JLKI Đáp án A B ILJH C JLBA Lời giải: D ALJH Tứ giác IHDC hình thang vng Ta thấy IHDC đồng dạng với JLKI theo tỉ số Ví dụ 3: Mệnh đề sau đúng? A Phép đồng dạng tỉ số B Phép đồng dạng tỉ số C Phép đồng dạng tỉ số D Phép đồng dạng tỉ số Đáp án A k  phép dời hình k  1 phép đối xứng tâm k  phép tịnh tiến k  phép vị tự tỉ số k  Lời giải: Khi k  phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên phép dời hình Ví dụ 4: Cho ABC có đường cao AH , H nằm BC Biết AH  4, HB  2, HC  Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC F hình thành hai phép biến hình nào? k H phép vị tự tâm H tỉ số A Phép đối xứng tâm u uu r B Phép tịnh tiến theo BA phép vị tự tâm H tỉ số k   HB, HA C Phép vị tự tâm H tỉ số k  phép quay tâm H góc quay góc D Phép vị tự tâm H tỉ số k  phép đối xứng trục Đáp án C Lời giải: Ta có V H ,2 Q H ;  với    HB, HA  biến B thành A A thành C , F phép đồng V Q dạng hợp thành  H ,2  H ;  biến HBA thành HAC M  2;  Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm Hỏi phép đồng dạng có cách thực k phép quay tâm O góc quay 90�sẽ biến điểm M liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số thành điểm sau đây?  2; 1 A Đáp án A Ta có B  2;1 C  1;  Lời giải: uuuur uuuu r V� � M   M � x� ; y� � OM �  OM � M �    2; 1 O; � � � 2� �  y� 2 �x� � � � � Q O;90�  M � ; y� � M�   M�  x�  � ��  2; 1 � � y   x   � D  1;  Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x  y  thỏa mãn phép đồng dạng có cách thực llieen tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k  2 phép đối xứng trục Oy sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng sau đây? A 2 x  y  B x  y  C x  y  D x  y   Đáp án A Lời giải: V  d   d �� d �Pd Ta có:  O;2 � d �có dạng: x  y  c  Chọn N  1;  �d : V O;2  N   N �  2; 4  �d �� 4   c  � c  : 2x  y  + phương trình đường thẳng d � �  d�   d� Qua phép đối xứng trục Oy : Đ oy Suy phương trình ảnh �cần tìm là: 2 x  y  d�  C  :  x     y    Hỏi phép đồng dạng có Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn k phép quay tâm O góc quay cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 900 sẽ biến  C  thành đường tròn sau đây? A  x  2   y  2   x     y  1  D C Đáp án D 2 B 2  x  1   y  1   x  1   y  1  Lời giải: V�   C     C � C� I �1;1 1 nên đường tròn   có tâm   bán kính R� � Q O;900   C �     C�  � � � ; y�  x�  xác định  �  tâm I � Ta lại có  có bán kính R� �   y�  1 �x� � � I�  1;1 � �  x� 1 �y� Gọi 1� O; � � � 2� Vậy phương trình đường tròn �  C�  là:  x  1   y  1  C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1: Mệnh đề sau đúng? A Phép dời hình phép đồng dạng, tỉ số k  1 B Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng với tỉ số  k k C Phép vị tự tỉ số k �0 phép đồng dạng tỉ số D Phép đồng dạng phép dời hình với k �0 Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? I “ Mỗi phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số k ” II “ Mỗi phép đồng dạng phép dời hình” III “ Thực liên tiếp hai phép đồng dạng ta phép đồng dạng” A Chỉ I Câu 3: Câu 4: CÂU 5: B Chỉ II D Cả I III Giả sử phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A1 B1C1 Giả sử F biến trung tuyến AM ABC thành đường cao A1 M A1B1C1 Mệnh đề sau đúng? A A1B1C1 tam giác B A1 B1C1 tam giác cân C A1B1C1 tam giác vuông B1 D A1B1C1 tam giác vuông C1    AB, AC  Cho hình chữ nhật ABCD AC  AB Gọi Q phép quay tâm A góc quay V phép vị tự tâm A tỉ số 2, F phép hợp thành V Q F biến đường tròn tâm B bán kính BA thành đường tròn sau đây? A Đường tròn tâm D bán kính DB B Đường tròn tâm C bán kính CA C Đường tròn tâm D bán kính DC D Đường tròn tâm A bán kính AC I; R I� ; 2R  Cho hai đường tròn   tiếp xúc O d đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn O Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số k , Đ phép đối xứng qua đường V I; R thẳng d , F phép hợp thành Đd  O ;k  Với giá trị k F biến  I� ; 2R  thành  ? A k  CÂU 6: C Chỉ III B k  2 C k D k , B� , C� , D�theo thứ Cho hình vng ABCD tâm O (điểm đặt theo chiều kim đồng hồ) A� tự trung điểm AB, BC , CD, DA Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số k  Q phép  quay tâm O góc quay Phép biến hình F xác định hợp thành liên tiếp phép D là: quay phép vị tự Khi qua F ảnh đoạn thẳng B��  B A Đoạn D�� CÂU 7: C B.Đoạn A�� D.Đoạn BD uu r uur r ABCD O IA  IB  Gọi G AB I Cho hình bình hành tâm Trên cạnh lấy điểm cho trọng tâm ABD F phép đồng dạng biến AGI thành COD Khi F hợp hai phép biến hình nào? uuur V A Phép tịnh tiến theo GD phép  B ;1 V� C Phép CÂU 8: C.Đoạn CA 3� �A; � � 2� phép Q O ;1080   Q G ;1080 B Phép   phép V� D Phép 3� �A; � � 2� phép V� 1� �B ; � � 2� Q G ;1080  Phép đồng dạng với tỉ số k hình hình ban đầu?  A Câu 9: B D C Phóng to hình chữ nhật kích thước theo phép đồng dạng tỉ số k  hình có diện tích là: A.60 đơn vị diện tích B 180 đơn vị diện tích C 120 đơn vị diện tích D 20 đơn vị diện tích B C đồng dạng với theo tỉ số k Chọn câu sai: Câu 10: Cho ABC A��� A k tỉ số hai trung tuyến tương ứng B k tỉ số hai đường cao tương ứng C k tỉ số hai góc tương ứng D k tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng Câu 11: Cho hình vuông ABCD , P thuộc cạnh AB , H chân đường vng góc hạ từ B đến PC Phép đồng dạng viến BHC thành PHB Khi ảnh B D là: A P Q  Q �BC; BQ  BH  B C Q  Q �BC; BQ  BH  C H Q  Q �BC; BQ  BH  D P C Câu 12: Mệnh đề sau đúng? A Mọi phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với B Mọi phép đồng dạng biến hình vng thành hình vng C Tồn phép đồng dạng biến hình chữ nhật (khơng phải hình vng) thành hình vng D Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác có diện tích M  1;  Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm Phép đồng dạng hợp thành phép vị tự tâm  I  1;  tỉ số k  phép quay tâm O góc quay sẽ biến M thành điểm có tọa độ: A  2; 1 B 2 2;  C  2; 2  D 2 2;   Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  Phép đồng dạng phép thực  I 1; 2  liên tiếp qua phép vị tự tâm  tỉ số k  phép quay tâm O góc quay sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng sau đây? A x  y   B x  y   C x  y   D x  y   M  0;1 Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm Phép đồng dạng phép thực liên tiếp I 4;  qua phép vị tự tâm  tỉ số k  3 phép đối xứng qua trục d : x  y   sẽ biến M thành điểm sau đây? A  16;5  B  14;9  C  12;13 D  18;1  C  :  x  1   y    Phép đồng dạng Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn phép thực liên tiếp qua phép vị tự tâm O tỉ số k  2 phép quay tâm O góc quay 180 C sẽ biến đường tròn   thành đường tròn sau đây? ( O gốc tọa độ) 2 A x  y  x  y   C  x  2 2 2 B x  y  x  y     y    16 D  x  2   y    16  C  :  x  1   y    Phép đồng dạng Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn r k v I  1; 1 phép tịnh tiến theo   3;  phép thực liên tiếp qua phép vị tự tâm tỉ số C sẽ biến đường tròn   thành đường tròn có phương trình:  x  4 A  x  4 C   y  4  B  x  4   y  4  2   y  4  2 D  x  1  y2  D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Đáp án C Câu 2: Đáp án C Câu 3: Đáp án D Câu 4: Theo tính chất phép đồng dạng A1M đường trung tuyến A1 B1C1 , theo giả thiết A1 M lại đường cao nên A1 B1C1 tam giác cân A1 Vì ABC cân A Đáp án B V A;2  B   B1 ; Q A;   B1   C V A;2  biến đường tròn tâm B bán kính BA thành đường tròn tâm B1 bán kính B1 A Q Qua  A;  biến đường tròn tâm B1 bán kính B1 A thành đường tròn tâm C bán kính CA Qua Câu 5: Đáp án A   I     I  ;V    I     I � Vậy k  Câu Ta có: Đ d Đáp án C Q� Câu O ;2 � O; � � D B1 , D1 nằm đường thẳng qua AC , D�thành B1 , D1 : B1 D1  B�� Ta có: � � biến B� V O ;  B1   B2 ;V O;  D1   D2 � OB2  2OB1 , OD2  2OD1 � B2 D2  2B1D1  B�� D  AC     Đáp án C V� - Phép Câu  AGI   AOB 3� �A; � � 2� Q O;1800  AOB   COD  - Phép  Đáp án A Đáp án B Qua phép đồng dạng tỉ số k  ta cạnh tương ứng hình chữ nhật 12 15 � Diện tích hình chữ nhật ảnh là: 12.15 = 180 Câu 10 Đáp án C Câu 11 Đáp án A Câu 12 Đáp án B Câu 13 Đáp án B uuuu r uuur �x� 3 V I ;2  M   M �  x; y  � IM � IM � � � � M �  3; 1 �y  1 Ta có: � 2 �   2 �x� � 2 � � � � � � �2 2; Q�  � M �  M x ; y � � M�    � O; � � 2 �y� � 4� �    � � 2   Câu 14 Đáp án C Ta có: V I ;3  d   d � � d� Pd � d � có dạng: x  y  c  M  2; 1 �d � V I ;3  M   M � ; y�  x�  � M�  4;1 �d ��   c  � c  6 Chọn � d� : x  2y 6  Q� Có �  d�   d� � O; � � � 4� N  x� ; y�  �d �� Q� � �   y �x  y� �x� �� � �y  x �y   x� � � �� �� �  � N   N  x ; y  � � O; � � � � � 2� Gọi � � � : y�  x� 6  Thế vào phương trình d � � : 2x  y   Vậy phương trình d � Câu 15 Đáp án C uuuu r uuur V I ;3  M   M �  x; y  � IM � 3IM � M �  16;5 Ta có: � � � M� ; y�   M�  x�  � d trung trực M � �có dạng: x  y  c  qua M� �� M � M� Đd M� � c  37 � M �� M� : x  y  37  � M� Gọi H trung điểm M � x  y  37  � � � H  14;9  � M �  12;13 � � tọa độ H nghiệm hệ �x  y   Câu 16 Đáp án D C J 1; Đường tròn   có tâm   bán kính R  V O;2  J   J1  x� ; y�  � J1  2; 4  , bán kính R1  R  2 � Phương trình  C1  :  x     y    16 � � Q O ;1800  J1   J  x� ; y�  � J  2;    , bán kính R2  R1  2 x     y    16  Vậy phương trình đường tròn cẩn tìm là: Câu 17 Đáp án B J 1; có tâm   bán kính R  uur ur V� � J   J1 � IJ1  IJ � J1  1;0  , R1  R  3 �I ; � � 3� uuuur r Tvr  J1   J � J1 J  v � J  4;  , bán kính R2  V� � 2 �I ; � Tr  x  4   y  4  Vậy đường tròn ảnh qua hai phép � � v là: Đường tròn  C ... Ta có Vậy D sai Ví dụ 6: Trong đối tượng: cá (hình A), bướm (hình B), mèo (hình C), ngựa (hình D), hình có phép tịnh tiến? A B C D Lời giải: Đáp án D Trong hình D đối tượng ngựa ảnh ngựa qua phép. .. B phép đối xứng qua A, B Với điểm M bất kì, gọi M1  S A  M  M  SB  M1  M , Gọi F phép biến hình biến M thành Chọn mệnh đề đúng: A F khơng phép dời hình B F phép đối xứng trục C F phép. .. ứng với đỉnh tam giác cân Ví dụ 13: Hình có tâm đối xứng? A B C D Lời giải: Đáp án C Hình C có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo Ví dụ 14: Giải sử phép đối xứng tâm O biến đường thẳng