đề thi THPT QG 2020 môn toán học đề 1 có lời giải chi tiết

ĐỀ THI THỬ THPT QG NĂM HỌC 2020 ĐỀ SỐ Mơn: Tốn  Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Vecto vecto pháp tuyến (P)? uu r A n3 = (2;1; −1) uu r B n2 = (2; −1;1) uu r C n4 = (−2;1;1) ur D n1 = (1; −1;1) Câu Đường cong hình vẽ bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y = − x + x − B y = x − x − C y = x − x − D y = − x + x − Câu Số cách chọn học sinh từ 10 học sinh A A10 B C10 Câu Biết ∫ A D 102 C 210 f ( x)dx = 2, ∫ g( x )dx = −1 , ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx B C D Câu Nghiệm phương trình 3x− = A x = C x = B x = D x = Câu Thể tích khối nón có chiều cao h = 2a bán kính r = a 8π a A B 8π a 2π a C 3 D 2π a Câu Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao 3h A Bh B 3Bh C Bh D Bh Câu Số phưc liên hợp số phức + 3i A − 3i B + i C − i D −1 + 3i Câu Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau x -∞ -1 +∞ Trang y’ + - + +∞ y -∞ Hàm số cho đạt cực tiểu A x = −1 B x = C x = D x = Câu 10 Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M (1; −3;1) trục Oz có tọa độ A (1; −3;0) B (1;0;0) D (0; −3;0) C (0;0;1) Câu 11 Cho cấp số cộng (un ) với u1 = u3 = 10 Công sai cấp số cộng cho A −3 C −2 B D Câu 12 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x − x + B x − + C A x + x + C C x − x + x + C Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : vecto phương d? uu r A u2 = (1; −3; 2) uu r B u3 = (−2;1;3) D x − x + C x + y −1 z − = = Véctơ −3 ur C u1 = ( −2;1; 2) uu r D u4 = (1;3; 2) Câu 14 Với a số thực dương tùy ý, log a A log a B log a C + log a D + log a Câu 15 Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau: x y’ y -∞ - -2 0 + + +∞ 2 +∞ - -∞ -1 Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (1; +∞) B (−∞; −2) -∞ C (−1; 2) D (0,1) Câu 16 Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau: x y’ y -∞ - -1 + 0 - +∞ +∞ + +∞ 0 Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = A B C D Trang Câu 17 Cho hai số phức z1 = + i z2 = + i Trên mặt phẳng tạo độ Oxy, điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 , có tọa độ A (3;5) B (5;3) Câu 18 Hàm số y = 3x A ( x − x).3x C 3x −2 x 2 −2 x C (3;4) D (4;3) có đạo hàm − x −1 B 2( x − 1).3x D 2( x − 1)3x ln 2 −2 x ln −2 x Câu 19 Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x + 3x đoạn [ −2; 2] B −20 A 20 D −4 C Câu 20 Cho hàm số f(x) có đạo hàm f '( x ) = x ( x + 1) ( x − 4), ∀x ∈ ¡ Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Câu 21 Cho a b hai số thực dương thỏa mãn ab = Giá trị log a + log b A B C D Câu 22 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông B AB = a, BC = a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) A 60° B 30° C 90° D 45° Câu 23 Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy m 1,8 m Chủ sở dự định bể nước mới, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 2,8 m B 2,6 m C 2,1 m D 2,3 m Câu 24 Nghiệm phương trình log (2 x − 1) − = log ( x − 1) A x = B x = C x = D x = −1 Câu 25 Thể tích khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có tất cạnh a A 3a 3a B 12 3a C D 6a Câu 26 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − y + z − = Bán kính mặt cầu cho A B 15 C D Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −1;1) B (3;1; −3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình là: A x + y − z + = B x − z + = Trang C x + y − z − = D x − y − z − = Câu 28 Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: − -∞ X y’ +∞ + + ` +∞ Y -3 -4 Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C D Câu 29 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x − y = x − A B C D 2 Câu 30 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị z1 + z2 A B D −2 C Câu 31 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;0; 2), B(2;1;0), C(1; 2; −1) D(2;0; −2) Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình  x = + 3t  A  y = −2 + 2t z = 1− t  x =  B  y =  z = −1 + 2t   x = + 3t  C  y = + 2t z = 1− t   x = 3t  D  y = 2t z = + t  Câu 32 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i ) z − 4( z − i ) = −8 + 19i Moodun số phức z − + 2i A B C D Câu 33 Cho hàm số f(x), bảng xét dấu f’(x) sau: -∞ X -3 -1 f’(x) + y = f (3 − x ) Hàm số đồng biến khoảng đây? A (3,4) B (2,3) Câu 34 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = - +∞ + C (−∞; −3) D (0;2) 2x −1 khoảng (−1; +∞) ( x + 1) A ln( x + 1) + +C x +1 B ln( x + 1) − +C x +1 C ln( x + 1) − +C x +1 D ln( x + 1) + +C x +1 Câu 35 Cho hàm số f(x) Biết f (0) = f '( x ) = 2sin x + 3, ∀x ∈ ¡ , π ∫ f ( x)dx A π + 4π B π − 4π C π + 4π − D π + 4π + Trang Câu 36 Có tất giá trị nguyên tham số thực m để phương trình x + (3 − m).2 x − m = có nghiệm thuộc khoảng (0;1)? A B C Vô số D Câu 37 Cho hàm số y = f ( x) Hàm số y = f '( x) có đồ thị hình bên Biết  1 f ( −1) = 1, f  − ÷ = Bất phương trình  e f ( x) < ln(− x) + m với 1  x ∈  −1; − ÷khi e  A m ≥ B m > C m ≥ D m > Câu 38 Có 13 học sinh trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc khối 12 có học sinh nam học sinh nữ, khối 11 có học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh để trao thưởng, tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ đồng thời có khối 11 khối 12 A 57 286 B 24 143 C 27 143 Câu 39 Cho hình trụ (H) có bán kính đáy chiều cao D 229 286 10 Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD dây cung hai đường tròn đáy, cạnh AD BC khơng đường sinh hình trụ Độ dài cạnh hình vuông ABCD A 10 B C 20 D 15 Câu 40 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ trung điểm H AB đến mặt phẳng ( SAC ) A 10a 10 B 5a C 15a 10 D 15a Câu 41 Ơng B có khu vườn giới hạn đường parabol đường thẳng Nếu đặt hệ tọa độ Oxy hình vẽ bên parabol có phương trình y = x đường thẳng y = 25 Ông B dự định dùng mảnh vườn nhỏ chia từ khu Trang vườn đường thẳng qua O điểm M parabol để trồng loại hoa Hãy giúp ơng B xác định điểm M cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ A OM = B OM = 15 C OM = 10 D OM = 10  π Câu 42 Trên khoảng  0; ÷phương trình x − cos x = + log (s inx) có nghiệm?  2 A B C D Câu 43 Xét số phức z thỏa mãn z = Trên mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w= + iz đường tròn có bán kính 1+ z A 52 B 13 C 11 D 44 Câu 44 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục ¡ Biết f (3) = ∫ xf (3x)dx = , ∫ x f '( x)dx A C −9 B D 25 Câu 45 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B (0;1; 2), C (−2;1; 4) mặt phẳng (P) có phương trình x − y + z + = Gọi N ( a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) cho T = NA2 + NB + NC đạt giá trị nhỏ Giá trị a + b + c A B − C D Câu 46 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M, N P tâm mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' BCC ' B ' Thể tích khối đa điện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A 14 3 B C D 20 3 Câu 47 Cho hàm số f(x) xác định có đạo hàm ¡ thỏa mãn f (2 x) + f (1 − x) = 12 x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f(x) điểm có hồnh độ A y = x − B y = x + C y = x − D y = x − Câu 48 Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln( x + y ) Giá trị nhỏ biểu thức x + y a + b với a, b số nguyên dương Tổng a + 2b Trang A B 13 C D 18 Câu 49 Trong không gian Oxyz, cho điểm E (1;1; 2) , mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = mặt cầu ( S ) : x + y + z = Gọi ∆ đường thẳng qua E, nằm (P) cắt (S) hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình ∆ x = 1+ t  A  y = + t z = + t  x =  B  y = + t z = − t  x = 1− t  C  y = + t z =   x = + 2t  D  y = + t z = − t  Câu 50 Cho hàm số f ( x) = ax + bx + cx + dx + e ( với a, b, c, d , e ∈ ¡ ), đồ thị f’(x) sau: Tập nghiệm phương trình f ( x) = e có số phần tử A B C D Trang Đáp án 1-A 11-B 21-C 31-C 41-D 2-B 12-C 22-D 32-A 42-A 3-B 13-A 23-C 33-A 43-B 4-D 14-A 24-B 34-D 44-C 5-B 15-D 25-A 35-C 45-D 6-C 16-C 26-D 36-B 46-C 7-B 17-D 27-C 37-C 47-A 8-A 18-B 28-C 38-A 48-B 9-D 19-A 29-D 39-B 49-C 10-C 20-A 30-B 40-C 50-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A r Vectơ pháp tuyến cần tìm n ( P ) = (2;1; −1) Câu 2: Đáp án B Hàm số có hệ số a > có ba điểm cực trị Câu 3: Đáp án B Số cách chọn học sinh từ 10 học sinh tổ hợp chập 10 phần tử, có C10 cách chọn Câu 4: Đáp án D Ta có 1 0 ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − 2.∫ g ( x)dx = Câu 5: Đáp án B Ta có 3x − = ⇔ 3x − = 32 ⇔ x − = ⇔ x = Câu 6: Đáp án C π 2π a Ta có V = π r h = a 2a = 3 Câu 7: Đáp án B Thể tích khối lăng trụ cần tìm V = 3Bh Câu 8: Đáp án A Ta có z = + 3i ⇒ z = − 3i Câu 9: Đáp án D Hàm số cho đạt cực tiểu x = Câu 10: Đáp án C Hình chiếu M (1; −3;1) Oz H(0;0;1) Câu 11: Đáp án B Ta có u3 = u1 + 2d ⇔ 10 = + 2d ⇔ d = Câu 12: Đáp án C Ta có ∫ f ( x) = ∫ ( x − x + 1) dx = x − x + x + C Câu 13: Đáp án A uu r Vectơ phương đường thẳng d ud = (1; −3; 2) Trang Câu 14: Đáp án A Ta có log a = log a = log a Câu 15: Đáp án D Ta có y ' > ⇔ x ∈ ( −2;0) ∪ (0;1) Suy hàm số cho đồng biến khoảng (0;1) Câu 16: Đáp án C Ta có f ( x) − = ⇔ f ( x) = Dựa vào BBT, đồ thị f(x) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 17: Đáp án D Ta có z1 + z2 = 2(1 + i ) + + i = + 3i Vậy điểm biểu diễn số phức cho có tọa độ (4;3) Câu 18: Đáp án B Ta có y ' = ( x − x) '.3x −2 x ln = 2( x − 1).3x −2 x ln Câu 19: Đáp án A  −2 ≤ x ≤ x = ⇔ Ta có f '( x) = x + x; f '( x) = ⇔   x = −2 3x + x = f ( x) = f(2) = 20 Tính f (0) = 0;f(−2) = 4;f(2) = 20 ⇒ max [ −2;2] Câu 20: Đáp án A Ta có f '( x ) = có nghiệm bội chẵn x = −1 Và f '( x ) = có nghiệm bội lẻ x = { −2;0; 2} Vậy hàm số cho có ba điểm cực trị x = −2, x = 0, x = Câu 21: Đáp án C Ta có log (ab ) = log ⇔ log a + log b = Câu 22: Đáp án D ( ) ( ) ¼ ¼ ¼ = SC;(AC) = SCA Ta có SC;(ABC) Tam giác ABC vng B, có AC = AB2 + BC2 = a + (a 3) = 2a ¼ = Tam giác SAC vng A, có tan SCA SA ¼ = 45° = ⇒ SCA AC Câu 23: Đáp án C Ta có r = r12 + r2 = 12 + 1,82 ≈ 2,1m Câu 24: Đáp án B Trang Ta có log (2 x − 1) − = log ( x − 1) ⇔ log ⇔ 2x −1 = log ( x − 1) 2x −1 = x − > ⇔ x − = 3x − ⇔ x = Câu 25: Đáp án A Diện tích tam giác ABC S ∆ABC = a2 Vậy thể tích khối lăng trụ V = AA '.S∆ABC = a a2 3a = 4 Câu 26: Đáp án D Ta có ( S ) : x + ( y + 1) + ( y − 1) = ⇒ Bán kính R = Câu 27: Đáp án C uuur uuur Ta có AB = (2; 2; −4) ⇒ n(α ) = (1;1; −2) Và M (2;0; −1) trung điểm AB Do phương trình (α) x + y − z − = Câu 28: Đáp án C Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng: y = −3, lim y = ⇒ y = −3, y = hai tiệm cận ngang * xlim →−∞ x →+∞ lim y = +∞ ⇒ x = − + *  1 tiệm cận đứng x → − ÷  2 Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Câu 29: Đáp án D x = Hoành độ giao điểm (P) d x − = 3x − ⇔  x = 2 Do đó, diện tích cần tính S = ∫ x − x + dx = 1 Câu 30: Đáp án B z = 1+ i 2 Ta có z − z + = ⇔ ( z − 1) = i ⇔  z = 1− i 2 2 Do z1 + z2 = (1 + i ) + (1 − i ) = 2i − 2i = Câu 31: Đáp án C r uuur uuur Ta có n ( BCD ) =  BC ; BD  = (−3; −2;1) Gọi d đường thẳng qua A vng góc với (BCD) r r Do u d = k u ( BCD ) = k ( −3; −2;1) = (3; 2; −1) Trang 10  x = 3t  x = + 3t   Vậy phương trình đường thẳng d  y = 2t ⇔  y = + 2t z = − t z = 1− t   Câu 32: Đáp án A Đặt z = a + bi (với a, b ∈ ¡ ) nên z = a − bi Do đó, giả thiết trở thành: (2 + i)( a + bi ) − 4( a − bi − i ) = −8 + 19i ⇔ 2a + 2bi + − b − 4a + 4bi + 4i = −8 + 19i −2a − b = −8 a = ⇔ −2a − b + (a + 6b + 4)i = −8 + 19i ⇔  ⇔ a + 6b + = 19 b = Vậy z = + 2i ⇒ z − + 2i = + 4i ⇒ z = 22 + 42 = Câu 33: Đáp án A Chuẩn hóa f '( x ) = ( x + 3)( x + 1)( x − 1) Ta có y ' = −2 f '(3 − x) = −2 [ (3 − x) + 3] [ (3 − x) + 1] [ (3 − x) − 1] = −2.(6 − x).(4 − x).(2 − x) > ⇔ ( x − 1)( x − 2)( x − 3) > ⇔ x ∈ (1; 2) ∪ (3; +∞) Do hàm số cho đồng biến khoảng (3;4) Câu 34: Đáp án D uu r Vectơ phương đường thẳng d ud = (1; −3; 2) Ta có 2x −1 ∫ f ( x)dx = ∫ ( x + 1) dx = ∫ 2( x + 1) − dx ( x + 1)2   = ∫ − dx = ln( x + 1) + + C (vì x > −1 ) 2 x +1  x + ( x + 1)  Câu 35: Đáp án C Ta có f ( x) = ∫ f '(x) dx = ∫ (2sin x + 3)dx = x − sin x +C Mà f (0) = nên C = Do f ( x ) = − sin x + x + 2 Vậy π ∫ π π + 4π −   f ( x )dx = ∫  − sin x + x + ÷dx =  0 Câu 36: Đáp án B Ta có x + (3 − m).2 x − m = ⇔ x + 3.2 x = (2 x + 1).m ⇔m= x + 3.2 x 3x + ⇔ m = 2x + 2− x + Trang 11 3x.ln 3(2− x + 1) + (3x + 3).2 − x ln 3x + f '( x ) = >0 Xét hàm số f ( x) = − x (0,1), có (2− x + 1) 2 +1 Suy f(x) đồng biến m = f ( x ) , f (0) < f ( x) < f (1) ⇔ < f ( x) < Để phương trình m = f ( x ) có nghiệm < m < Mặt khác m ∈ ¢ nên m = giá trị nguyên Câu 37: Đáp án C 1  Ta có m > f ( x ) − ln(− x); ∀ x ∈  −1; − ÷ (1) e  1  Đặt g( x) = f(x) − ln(− x) , (1) ⇔ m > g( x); ∀ x ∈  −1; − e ÷ ⇔ m > max1  g ( x)    −1;− ÷ e   1  Xét hàm số g( x) = f(x) − ln(− x)  −1; − ÷, có g'( x) = f'(x) + > e x   1 Lập bảng biến thiên, ta max1  g ( x ) = f  − e ÷ =    −1;− ÷ e  Suy  m > max g ( x) ⇔ m > 1   −1; − ÷ e  Thử với m = thỏa mãn Vậy m ≥ Câu 38: Đáp án A Không gian mẫu số cách chọn ngẫu nhiên học sinh từ 13 học sinh Suy số phần tử không gian mẫu Ω = C13 = 286 Gọi A biến cố “ học sinh chọn có nam nữ đồng thời có khối 11 khối 12 “ Ta có trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 1 TH1: Chọn học sinh khối 11; học sinh nam khối 12 học sinh nữ khối 12 nên có C2C8C3 = 48 cách TH2: Chọn học sinh khối 11; học sinh nữ khối 12 có C2C3 = cách TH3: Chọn học sinh khối 11; học sinh nữ khối 12 có C2 C3 = cách Suy số phần tử biến cố A ΩA = 48 + + = 57 Vậy xác suất cần tìm P ( A) = ΩA 57 = Ω 286 Câu 39: Đáp án B Kí hiệu đỉnh hình vẽ bên Đặt AB = AD = x Tam giác OAM vng M, có Trang 12 OM = OA2 − AM = 10 − x Ta có OI = 10 1 OO ' = ; MI = MN = AD = x 2 2 Tam giác OMI vng O, có OM + OI = MI ⇔ 10 − x + 10 = x ⇒ x = ⇒ AB = x = Câu 40: Đáp án C Tam giác SAB đều, có H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD) Kẻ HM ⊥ AC ( M ∈ AC ) HK ⊥ SM (K ∈ SM ) (hình vẽ bên) Ta có HK ⊥ ( SAC ) ⇒ d (H;(SAC)) = HK Lại có HM = d ( H ;( AC )) = d ( B;( AC )) AB.BC a.a a = = = 2 2 AB + BC a + (a 3) 1 20 = + = 2 2 HK SH HM 3a Tam giác SHM vuông H, có ⇒ HK = a 15 a 15 Vậy khoảng cách cần tìm d = 10 10 Câu 41: Đáp án D Điểm M ∈ ( P ) : y = x nên gọi M (a; a ) uuuu r r ⇒ OM = (a; a ) ⇒ nOM = (a; −1) Do đó, phương trình đường thẳng OM a.( x − 0) − 1.( y − 0) = ⇔ y = ax Phương trình hồnh độ giao điểm (P) OM x = x = ax ⇔ x( x − a ) = ⇔  x = a a Suy S = ∫ a  x ax  a3 x − ax dx = ∫ (− x + ax )dx =  − + = ÷ 0  a 2 a3 Mà S = ⇒ = ⇔ a = ⇒ M (3;9) uuuu r Vậy OM = (3;9) ⇒ OM = 10 Câu 42: Đáp án A Phương trình trở thành: sin x − cos x = log (s inx) Trang 13 s inx ⇔ log sin x − sin x = log cos x − cos x cos x ⇔ sin x − cos x = log Xét hàm số f (t ) = log t − t ( 0;1] , có f '(t ) = −1 > t.ln Suy f (t) đồng biến ( 0;1] ⇒ sin x = cos x ⇔ s inx = π ⇔x= Câu 43: Đáp án B Ta có w = + iz 5−w ⇔ w + w.z = + iz ⇔ z = 1+ z w −i Do z = ⇔ 5−w = ⇔ w −5 = w −i w −i a − + bi = a + (b − 1) i ⇔ (a − 5) + b = 2a + 2(b − 1) ⇔ (a + 5) + (b − 2) = 52 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I (−5; 2) , bán kính R = 13 Câu 44: Đáp án C Ta có 1 0 ∫ xf (3x)dx = ⇔ ∫ xf (3x)dx = 1 0 ⇔ ∫ x f (3x )d (3 x) = ⇔ ∫ xf ( x)dx = (đổi biển số) Lại có ∫x 3 f '( x)dx = x f ( x) − ∫ xf ( x)dx = f (3) − 2.9 = −9 0 Note 1: Phương pháp chung b b a a + Cơng thức biến đổi tích phân bản: k ∫ f ( x) dx = ∫ k f ( x)dx + Trong toán ta thấy có f (3x) nên dùng phương pháp đổi biến để xuất lượng cần có b + Cơng thức đổi biến: ∫ u '( x) f (u ( x))dx = a + Ta có cơng thức: b b b a a a u (b ) ∫ f (u) du u (a ) ∫ f ( x)dx = ∫ f (u)du =∫ f (v)dv = Câu 45: Đáp án D uur uu r uur uur uur uur Ta có T = 2( NI + IA) + ( NI + IB ) + ( NI + IC ) uur uu r uur uur = NI + NI (2 IA + IB + IC ) + IA2 + IB2 + IC2 uu r uur uur r Chọn điểm I cho IA + IB + IC = ⇒ Tọa độ điểm I (0;1; 2) Khi T = NI + IA2 + IB2 + IC ⇒ T nhỏ N hình chiếu I mặt phẳng (P) Trang 14 x = t  Phương trình đường thẳng qua I vng góc với (P)  y = − t z = + t  Suy N (t ;1 − t ; + t) ∈ (P) ⇒ t = −1 ⇒ N(−1; 2;1) Vậy a = −1; b = 2; c = nên a + b + c = Note 2: Phương pháp chung Bài tốn cực trị hình học khơng gian Oxyz Phương pháp giải: • Bước 1: Chèn điểm cố định vào hệ thức cho • Bước 2: Tìm tọa độ điểm cố định theo hệ thức cho • Bước 3: Biện luận giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức theo điểm cố định Các phép tốn véctơ bản: uuur uur uur • Phép cộng véctơ AB = AI + IB uuur uuu r uu r • Phép trừ véctơ AB = AB − IA Trong đường xiên từ điểm đến mặt phẳng, đường ngắn đường vng góc từ điểm đến mặt phẳng r Phương trình tham số đường thẳng có véctơ phương u = (a; b; c ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  x = x0 + at   y = y0 + bt (t ∈ ¡ )  z = z + ct  Câu 46: Đáp án C Ta có VMNP ABC = VMNP A ' B 'C ' = V1 Và VMPAA ' = VMNBB ' = VNPCC ' = V2 Do 2V1 + 3V2 = VABC A ' B 'C ' ⇒ V1 = VABC A ' B ' C ' − 3V2 Mà V2 = VMPAA ' = d ( M ;(AA'C'C)).S∆AA ' P 1 = d (B;(AA'C'C)) S AA 'C'C 1 = d (B;(AA'C'C)).S AA 'C'C = VB AA 'C'C 8 Và VB AA 'C'C = VABC A ' B 'C ' ⇒ V2 = VABC A ' B 'C ' 12 Trang 15 VABC A ' B 'C ' − VABC A ' B 'C ' 3 42 Vậy V1 = = VABC A ' B 'C ' = =6 8 Note 3: Phương pháp chung Bài toán chia khối đa diện thành nhiều khối đơn giản để tính thể tích Thể tích hình chóp có chiểu cao h diện tích đáy S là: v = Sh Hình chóp có chiều cao diện tích đáy tích Hình chóp cụt có chiều cao diện tích đáy tích So sánh khoảng cách từ hai điểm đến mặt phẳng So sánh khoảng cách hai điểm A B đến mặt phẳng (P) Giả sử đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) điểm M d ( A;( P )) MA = d ( B;( P )) MB Câu 47: Đáp án A Thay x = 0; x = vào giả thiết, ta  f (0) + f(1) = 2 f (0) + f (1) =  f (0) = −1 ⇔ ⇔   f (1) + f (0) =  f (0) + f (1) =  f (1) = Đạo hàm hai vế giả thiết, ta f '(2 x) − f'(1 − x) = 24 x (*) Thay x = 0; x = vào (*), ta được:  f '(0) − f'(1) = 2 f '(0) − f '(1) =  f '(0) = ⇔ ⇔   f '(1) − f '(0) = 12  f '(0) − f '(1) = −6  f '(1) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = f '(1).(x − 1) + f(1) = x − Note 4: Phương pháp chung Phương trình tiếp tuyến điểm x = x0 đồ thị hàm số y = f(x) là: y = f '(x ).(x − x0 ) + f(x ) Đạo hàm hàm hợp: [ f (u (x))] ' = f '(u ).u '( x) Nếu f(x) = g(x) f’(x) = g'(x) Câu 48: Đáp án B Ta có ln x + ln y ≥ ln( x + y ) ⇔ ln( xy ) ≥ ln( x + y ) ⇔ xy ≥ x + y ⇔ y ( x − 1) ≥ x Mà x, y > suy y ( x − 1) ≥ x > ⇒ x − > ⇔ x > Trang 16 Khi y ( x − 1) ≥ x ⇔ y ≥ x2 x2 nên x + y ≥ x + = f ( x) x −1 x −1 Xét hàm số f(x) (1; +∞) , có f '( x ) = x2 − 4x + ( x − 1) x > 2+ ⇔x= Phương trình f '( x ) = ⇔  2 x − 4x +1 =  2+  Dựa vào bảng biến thiên, suy f ( x) = f  ÷ ÷= + 2   a = ⇒ a + 2b = 32 + 2.2 = 13 Do + 2 = a + b ⇒  b = Note 5: Phương pháp chung + Công thức logarit bản: log a b + logb c = log a (bc) + So sánh logarit: Cho b ≥ c ta có: • Nếu < a < log a b ≤ log a c • Nếu a > log a b ≥ log a c + Phương pháp dồn biến: Đánh giá biểu thức chứa đa biến theo biểu thức chứa biến + Các bước tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Bước 1: Tìm điểm x1, x2,…, xn khoảng (a;b), f'(x) f'(x) khơng xác định Bước 2: Tính f ( a), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f(b) Bước 3: Tìm số lớn M số nhỏ m số f ( x); m = f ( x) Ta có: M = max [ a ;b ] [ a ;b ] Câu 49: Đáp án C Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = Ta có OE = 12 + 12 + 22 = < R ⇒ điểm E nằm mặt cầu (S) Gọi H hình chiếu O (P), A B hai giao điểm ∆ với (S) Khi AB nhỏ ⇔ AB ⊥ HE Mà AB ⊥ OH nên AB ⊥ ( HEO) ⇒ AB ⊥ OE x = 1− t r r uuur  Suy u ∆ =  n ( P ) ; EO  = (−1;1;0) Vậy phương trình ∆  y = + t z =  Note 6: Phương pháp chung + Phương trình tổng quát mặt cầu x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Trang 17 + Suy mặt cầu có tâm I(a;b;c) bán kính R = a + b + c − d + Độ dài đoạn thẳng nối gốc tọa độ O với điểm M không gian là: OM = xM2 + yM2 + zM2 + Trong đường xiên từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đường ngắn đường vng góc + Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng mặt phẳng + Véctơ vuông với hai véctơ khác tọa độ véctơ tích có hướng hai véctơ cho + Công thức tọa độ véctơ tích có hướng khơng gian r r Cho véctơ a = (a1 ; b1 ; c1 ), b = (a2 ; b2 ; c2 ) ta có: r r r r  b1 c1 c1 a1 a1 b1  u ⊥ a r ; ; ÷ = (b1c2 − b2c1 ; c1a2 − c2 a1 ; a1b2 − a2b1 )  r r ⇒ u =  a; b  =  u ⊥ b  b2 c2 c2 a2 a2 b2  r + Phương trình tham số đường thẳng có véctơ phương u = (a; b; c ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  x = x0 + at   y = y0 + bt (t ∈ ¡ )  z = z + ct  Câu 50: Đáp án D Dựa vào hình vẽ, ta có f '( x ) = 4a.( x + 1).(x − 1).(x − 4) = ax − 16ax − 4ax + 4a Suy f ( x) = ∫ f '( x) dx = ∫ (4 ax − 16ax − 4ax + 4a) dx = ax − 16 ax − 2ax + 4ax + e Do f ( x) = e ⇔ ax − 16 ax − 2ax + 4ax = 16   ⇔ ax  x − x − x + ÷ =   x = ⇔  16 ⇔ x = { 0; x1 ; x2 ; x3 }  x − x − 2x + =  Vậy phương trình f ( x) = e có nghiệm phân biệt Note 7: Phương pháp chung Từ đồ thị hàm số ta tìm nghiệm f'(x) viết dạng nhân tử Từ f'(x) tìm f(x) nhờ công thức nguyên hàm: f ( x ) = ∫ f '( x )dx Bài toán đưa biện luận nghiệm phương trình Trang 18 ... TH1: Chọn học sinh khối 11 ; học sinh nam khối 12 học sinh nữ khối 12 nên có C2C8C3 = 48 cách TH2: Chọn học sinh khối 11 ; học sinh nữ khối 12 có C2C3 = cách TH3: Chọn học sinh khối 11 ; học sinh... 12 có học sinh nam học sinh nữ, khối 11 có học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh để trao thưởng, tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ đồng thời có khối 11 khối 12 A 57 286 B 24 14 3 C 27 14 3... nhiên học sinh từ 13 học sinh Suy số phần tử không gian mẫu Ω = C13 = 286 Gọi A biến cố “ học sinh chọn có nam nữ đồng thời có khối 11 khối 12 “ Ta có trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 1 TH1: