đề thi THPT QG 2020 môn toán học đề 7 có lời giải chi tiết

ĐỀ THI THỬ THPT QG NĂM HỌC 2020 ĐỀ SỐ Mơn: Tốn  Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 1; −1; ) B ( 2;1;1) Độ dài đoạn AB A B C D 6 Câu Giải bất phương trình log ( − x ) < A x > B −1 < x < C x < D x = Câu Đường cong hình bên đồ thị hàm số nào? A y = x − x + B y = x − x − C y = x − x + D y = Câu Tập xác định hàm số y = ( x − ) A ( −∞; ) −5 2x +1 x −1 B ( 2; +∞ ) D ¡ \ { 2} C ¡ Câu Cho cấp số cộng (un) có ( u1 ) = −3 công sai d = Khẳng định sau đúng? A un = −3 + ( n + 1) B un = −3 +   C un = n  −3 + ( n − 1) ÷   ( n − 1) D un = −3 + n − Câu Số giao điểm đồ thị hàm số y = x − x + với đường thẳng y = A B C D Câu Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình x + ( y − ) + ( z − 1) = 25 Tâm mặt cầu 2 (S) điểm A I ( −4; −1; 25 ) B I ( 0; −4; −1) C I ( 4;1; 25 ) D I ( 0; 4;1) C D Câu Số mặt phẳng đối xứng khối tứ diện A B Câu Số tập có phần tử tập hợp có phần tử là: A 7! 3! B C7 C D A7 Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, mặt phẳng qua điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; ) có phương trình là: A x + y + z − 24 = B x + y + z − 12 = C x + y + z + 12 = D x + y + z = Trang Câu 11 Cho ∫ f ( x ) dx = −4 −2 A -6 ∫ f ( x ) dx = Khi B ∫ f ( x ) dx −2 C D Câu 12 Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h A Bh B Bh C Bh D 3Bh Câu 13 Cho số phức z = −1 + 2i Biểu diễn hình học z điểm có tọa độ A ( −1; ) B ( −1; −2 ) C ( 1; −2 ) D ( 1; ) Câu 14 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị [ −2; 4] hình vẽ, giá trị lớn f ( x ) [ −2; 4] A B C D -2 Câu 15 Thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) xung quanh trục Ox b b A V = ∫ f ( x ) dx B V = π ∫ f ( x ) dx a a b b C V = π ∫ f ( x ) dx D V = ∫ f ( x ) dx a a Câu 16 Cho hàm số f ( x ) = x − x + x + hàm số g ( x ) có bảng biến thiên sau Hàm số y = g ( f ( x ) ) nghịch biến khoảng A ( −1;1) B ( 0; ) C ( −2;0 ) D ( 0; ) Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy ( ABCD ) , góc SC ( ABCD ) 45° Thể tích khối chóp S.ABCD Trang A a3 B a3 C a D a3 Câu 18 Số phức z = x + yi (với x, y ∈ ¡ ) thỏa mãn ( + i ) z = + 5i, giá trị x + y A 34 B 17 C Câu 19 Tích nghiệm phương trình 3x A − x +5 B D 17 34 = C –4 D Câu 20 Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = 10 + A y = 10 B x = 10 C y = −10 ? x − 10 D x = −10 Câu 21 Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 3; −2;5 ) Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ ( Oxz ) A M ( 3; −2;0 ) B M ( 3;0;5 ) C M ( 0; −2;5 ) D M ( 0; 2;5 ) · Câu 22 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có cạnh 2a, đáy ABC tam giác cân A, AB = 2a, BAC = 120° Hình chiếu vng góc A′ mp ( ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC Thể tích khối chóp A′.BB′C ′C 4a B 3 A 2a C 3a Câu 23 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) D 4a ( x − 1) ( − x ) Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng đây? A ( −∞; −1) B ( −1;1) C ( 2; +∞ ) D ( 1; ) Câu 24 Cho biểu thức P = x x x3 với x > Mệnh đề đúng? A P = x 23 B P = x 12 23 C P = x 24 12 D P = x 23 Câu 25 Tính tích nghiệm phương trình x − 3x+1 + = A B log C log D Câu 26 Cho số phức z1 = + 2i, z2 = − 2i Phương trình bậc hai sau có hai nghiệm z1 , z2 ? A z − z + 13 = B z − z − 13 = C z + z + 13 = D z + z − 13 = Câu 27 Cho hình vng ABCD cạnh Gọi M trung điểm AB Cho tứ giác AMCD điểm quay quanh trục AD ta khối tròn xoay Tính thể tích khối tròn xoay A 7π B 7π C 14π D 14π Câu 28 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Trang Số giá trị nguyên m để phương trình f ( x ) = − 3m có nghiệm phân biệt A B Câu 29 Biết ∫x C D x+2 dx = a ln 12 + b ln 7, với a, b số nguyên, a + b3 + 4x + A -9 B C D Câu 30 Trong không gian Oxyz, cho hình thoi ABCD với A ( −1; 2;1) , B ( 2;3; ) Tâm I hình thoi thuộc đường thẳng d : x +1 y z − = = Đỉnh sau đỉnh D hình thoi? −1 −1 A D ( 0;1; ) Câu 31 Cho B D ( −2; −1;0 ) hàm số ∫ f ( x ) sin xdx = − f ( x ) cos x + ∫ π x A f ( x ) = −π ln π y = f ( x) x C D ( 0; −1; −2 ) Biết hàm số D D ( 2;1;0 ) cho thỏa mãn hệ thức cos xdx Hỏi hàm số y = f ( x ) hàm số hàm số sau? B f ( x ) = πx ln π x C f ( x ) = π ln π D f ( x ) = − πx ln π Câu 32 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng ( 0, +∞ ) f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ′ ( x ) = − x f ( x ) với x ∈ ( 0; +∞ ) , biết f ( 1) = f ( ) > Tổng tất giá trị nguyên a+3 a thỏa mãn A -14 B C D -2  x = −1 + t  x = + 3s   Câu 33 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y = + 2t d :  y = − s Khoảng cách  z = −1 − t z = − s   hai đường thẳng cho A 31 B C D 62 Câu 34 Biết phương trình x + ax + bx + cx + d = 0, ( a, b, c, d ∈ ¡ ) nhận z1 = −1 + i z2 = + 2i nghiệm Tính a + b + c + d A 10 B C -7 D Câu 35 Để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 2, giá trị tham số m thuộc khoảng sau đây? Trang A ( 2;3) B ( −1;0 ) C ( 0;1) D ( 1; ) Câu 36 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên hàm số m cho phương trình f ( sin x − cos x ) = m − có hai nghiệm  π 3π phân biệt khoảng  − ;  4 A 13  ÷?  B 12 C 11 D 21 Câu 37 Bé Minh có bảng hình chữ nhật gồm hình vng đơn vị, cố định khơng xoay hình vẽ Bé muốn dùng màu để tô tất cạnh hình vng đơn vị, cạnh tơ lần cho hình vng đơn vị tơ màu, màu tơ hai cạnh Hỏi bé Minh có tất cách tơ màu bảng? A 139968 B 4374 C 576 D 15552 Câu 38 Cho hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( CNQ ) A 2a B a C a D a Câu 39 Anh Bình muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối tháng) với lãi suất 0.75% /tháng Hỏi hàng tháng, Anh Bình phải trả số tiền (làm tròn đến nghìn đồng) để sau năm trả hết nợ ngân hàng? A 9236000 B 9137000 C 9970000 D 9971000 Câu 40 Cho tam giác ABC cạnh a, dựng phía mặt phẳng ( ABC ) tia Ax, By vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Lấy điểm A′ ∈ Ax, B′ ∈ By cho AA′ = 2a, BB′ = a Khi cos góc hai mặt phẳng ( A′B′C ) ( ABC ) A B C 15 D Câu 41 Vườn hoa trường học có hình dạng giới hạn đường elip có bốn đỉnh A, B, C, D hai đường parabol có đỉnh E, F (phần tơ đậm hình vẽ bên) Hai đường Trang parabol có trục đối xứng AB, đối xứng qua trục CD, hai parabol cắt elip điểm M, N, P, Q Biết AB = 8m, CD = 6m, MN = PQ = 3m, EF = 2m Chi phí để trồng hoa vườn 300.000 đ/m2 Hỏi số tiền trồng hoa cho vườn gần với số tiền đây? A 4.477.800 B 4.477.000 C 4.477.815 D 4.809.142 Câu 42 Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ điểm A ( 1;1;1) , B ( 2;0; ) , C ( −1; −1;0 ) , D ( 0;3; ) Trên cạnh AB, AC, AD lấy điểm B′, C ′, D′ cho AB AC AD + + = tứ diện AB′C ′D′ tích nhỏ Phương trình mặt phẳng ( B′C ′D′ ) AB′ AC ′ AD′ A 16 x − 40 y − 44 z + 39 = B 16 x + 40 y + 44 z − 39 = C 16 x − 40 y − 44 z − 39 = D 16 x + 40 y − 44 z + 39 = Câu 43 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hàm số hình Lập hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − 3x Mệnh đề sau đúng? A g ( −1) > g ( 1) B g ( −1) = g ( 1) C g ( −1) < g ( −2 ) D g ( −1) = g ( −2 ) Câu 44 Xét số phức z thỏa mãn z = 2 Biết tập hợp tất điểm biểu diễn số phức w= z +1− i đường tròn, bán kính đường tròn iz + A 10 B C 2 D Câu 45 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn  f ′ ( x )  + f ( x ) f '' ( x ) = x + x với x ∈ ¡ f ( ) = 2 Giá trị f ( 1) A B C 16 15 D 15 Trang Câu 46 Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ bên Bất phương trình log f ( x ) + m + + f ( x ) > − m với x ∈ ( −1; ) A m ≥ − f ( −1) B m ≥ − f ( 1) C m < − f ( −1) D m ≥ − f ( ) Câu 47 Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 6, AD = 3, A′C = mặt phẳng ( AA′C ′C ) vng góc với đáy Biết mặt phẳng ( AA′C ′C ) ( AA′B′B ) tạo với góc α , thỏa mãn tan α = Thể tích khối lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ A V = 10 B V = C V = 12 D V = Câu 48 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R di động ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O) cho 1 1 + + = Biết mặt phẳng ( PQR ) 2 OP OQ OR 1  ;0 ÷ tiếp xúc với mặt cầu ( S ) cố định Đường thẳng d thay đổi qua M  ; ÷ cắt ( S ) 2   hai điểm A, B phân biệt Diện tích lớn tam giác AOB A 15 B Câu 49 Cho phương trình C 17 D 3mx + x + 5m + + x +1 = Tất giá trị tham số thực m để x +1 x +1 phương trình có nghiệm A − < m <  m  m>−  C  m < D < m < Câu 50 Với a tham số thực để bất phương trình x + 3x ≥ ax + có tập nghiệm ¡ , A a ∈ ( −∞;0 ) B a ∈ ( 1;3) C a ∈ ( 3; +∞ ) D a ∈ ( 0;1) Trang ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1C 11A 21B 31B 41D 2C 12B 22D 32D 42D Câu Chọn C uuur Ta có: AB = AB = 3B 13A 23D 33C 43A ( − 1) 4D 14C 24C 34B 44A 5B 15B 25A 35D 45C 6C 16A 26A 36A 46D 7D 17D 27A 37D 47B 8B 18B 28B 38A 48D 9B 19B 29B 39B 49C 10B 20A 30B 40A 50C + ( − ( −1) ) + ( − ) = 2 Câu Chọn C 1 − x > x <  ⇔ ⇔ x < Ta có: log ( − x ) < ⇔  1 1 − x >  ÷ =  x <    Câu Chọn B Cách 1: Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị có điểm cực trị nên ta loại đáp án A D Mặt khác, đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ - nên loại đáp án C Vậy ta chọn B Cách 2: Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ – nên loại đáp án A C Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số xác định x = nên ta loại D Vậy ta chọn B Câu Chọn D Ta có: y = ( x − ) −5 xác định x ≠ Vậy D = ¡ \ { 2} Câu Chọn B Sử dụng công thức số hạng tổng quát un = u1 + ( n − 1) d ( ∀n ≥ ) Ta có: un = −3 + ( n − 1) Câu Chọn C x = 3 Ta có phương trình hồnh độ giao điểm x − x + = ⇔ x − x = ⇔   x = ±1 Do số giao điểm Câu Chọn D Ta có tâm mặt cầu I ( 0; 4;1) Câu Chọn B Trang Câu Chọn B Mỗi tập gồm phần tử tổ hợp chập phần tử Vậy có C7 tập Câu 10 Chọn B Phương trình mặt phẳng qua điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; ) là: x y z + + = ⇔ x + y + z − 12 = Câu 11 Chọn A ∫ Ta có −2 Vậy ∫ −2 f ( x ) dx = ∫ −2 f ( x ) dx = ∫ −2 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = −4 − = −6 Câu 12 Chọn B Theo lý thuyết, thể tích khối chóp tính theo cơng thức V = Bh Câu 13 Chọn A Ta có: z = −1 + 2i ⇒ điểm biểu diễn hình học z có tọa độ ( −1; ) Câu 14 Chọn C Dựa vào đồ thị ta nhận thấy, giá trị lớn hàm số cho [ −2; 4] (đạt x = −1 ) Câu 15 Chọn B b Theo định nghĩa ta có: V = π ∫ f ( x ) dx a Câu 16 Chọn A Ta có f ′ ( x ) = x − x + 5; f ′ ( x ) = ( x − 1) + > 0, ∀x ∈ ¡ y ′ =  g ( f ( x ) ) ′ = g ′ ( f ( x ) ) f ′ ( x )  x − x + x + > y ′ < ⇔ g ′ ( f ( x ) ) < ⇔ −6 < f ( x ) < ⇔   x − x + x − < Trang ( x + 1) ( x − x + ) >  ⇔ ⇔ −1 < x < ( x − 1) ( x − x + 3) < Câu 17 Chọn D Ta có AC hình chiếu SC lên mặt phẳng ( ABCD ) · Suy góc SC ( ABCD ) góc SCA · SCA = 45° ⇒ SA = AC.tan 45° = a 1 a3 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD = S ABCD SA = a a = 3 Chọn 18 Chọn B ( + i ) z = + 5i ⇔ z = x = + 5i ⇔ z = 4+i ⇒  1+ i y =1 Vậy x + y = 17 Câu 19 Chọn B x Ta có − x +5 = ⇔ 3x − x +5 x = = 32 ⇔ x − x + = ⇔ x − x + = ⇔   x2 = Vậy tích nghiệm phương trình 3x − x +5 = x1.x2 = 1.3 = Câu 20 Chọn A   y = lim 10 + Ta có xlim ÷ = 10 ⇒ y = 10 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số →±∞ x →±∞ x − 10   Câu 21 Chọn B Cho điểm M ( x; y; z ) Hình chiếu điểm M lên mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) là: M ( x; y;0 ) , M ( 0; y; z ) , M ( x;0; z ) Điểm A ( 3; −2;5 ) Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ ( Oxz ) : M ( 3;0;5 ) Câu 22 Chọn D Gọi H trung điểm BC Xét ∆ABC có BH = 2a.sin 60° = a 3, AH = 2a.cos 60° = a Xét A′HA vng H có A′H = ( 2a ) − a = a Xét khối lăng trụ A′B′C ABC có h = A′H = a 3, S ∆ABC = AH BC = a 3 Suy VABC A′B′C ′ = a 3.a 3 = 3a Suy VA′ ABC = VABC A′B′C ′ = a Trang 10 3 Mặt khác ta có VA′ BCB′C ′ = VABC A′B′C ′ − VA′ ABC = 3a − a = 2a Câu 23 Chọn D  x = −1  Ta có f ′ ( x ) = ⇔  x =  x = Lập bảng xét dấu f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( − x ) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng ( 1; ) Câu 24 Chọn C Ta có P= x x 24 3 x = x x x = x x 11 = x.x 11 12 = x 23 12 23 24 =x 23 Vậy P = x 24 Câu 25 Chọn A 3 x = x = x − 3x +1 + = ⇔ 32 x − 3.3x + = ⇔  x ⇔ x = log =   Khi tích nghiệm phương trình Câu 26 Chọn A Đặt S = z1 + z2 = ( + 2i ) + ( − 2i ) = P = z1 z2 = ( + 2i ) ( − 2i ) = 13 Khi z1 , z2 nghiệm phương trình z − Sz + P = ⇔ z − z + 13 = Câu 27 Chọn A Cách 1:  AM / / CD  Gọi S = CM ∩ DA Vì M trung điểm AB, mà  nên AM đường trung bình  AM = CD ∆SCD ⇒ A trung điểm SD ⇒ SD = AD = Khi cho tứ giác AMCD điểm quay quanh trục AD ta khối nón cụt có chiều cao AD = 2, hai đáy hai đường tròn có bán kính R1 = CD = 2, R2 = AM = tích V Tam giác SCD điểm quay quanh trục SD tạo thành khối nón xoay có chiều cao SD = 4, bán kính đáy R1 = CD = 2, nên tích 16π V1 = π R1 SD = 3 Trang 11 Tam giác SAM điểm quay quanh trục SD tạo thành khối nón tròn xoay có chiều 2π cao SA = 2, bán kính đáy R2 = AM = nên tích V2 = π R2 SA = 3 Ta có V = V1 − V2 = 14π Cách (Trắc nghiệm) Áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích khối nón cụt có chiều cao h, hai bán kính đáy R1 , R2 1 14π V = π ( R12 + R22 + R1 R2 ) h = π ( + + ) = 3 Câu 28 Chọn B Số nghiệm phương trình f ( x ) = − 3m số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = − 3m Phương trình f ( x ) = − 3m có nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = − 3m cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt Từ bảng biến thiên suy ra: < − 3m < ⇔ −1 < m < − nên giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 29 Chọn B Đặt t = x + x + ⇒ dt = ( x + ) dx ⇒ ( x + ) dx = dt Đổi cận: x = ⇒ t = 7; x = ⇒ t = 12 12 x+2 1 ∫0 x + x + 7dx = ∫7 2t dt = ln t 12 1 = ln 12 − ln = ln 12 − ln ⇒ a = 1; b = −1 2 Vậy a + b3 = Câu 30 Chọn B Gọi I ( −1 − t ; −t ; + t ) ∈ d tâm hình thoi ABCD uu r uur Xét IA = ( t; t + 2; −t − 1) ; IB = ( t + 3; t + 3; −t ) Vì ABCD hình thoi nên uu r uur IA ⊥ IB ⇔ IA.IB = ⇔ 3t + 9t + = ⇔ t = −2; t = −1 Do D đối xứng B qua I nên + Với t = −1 ⇒ I ( 0;1;1) ⇒ D ( −2; −1;0 ) (Đáp án B) + Với t = −2 ⇒ I ( 1; 2;0 ) ⇒ D ( 0;1; −2 ) Câu 31 Chọn B Hệ thức ∫ f ( x ) sin xdx = − f ( x ) cos x + ∫ π x cos xdx (1) Trang 12 Xét ∫ u = f ( x ) ⇒ du = f ′ ( x ) f ( x ) sin xdx Đặt   dv = sin xdx ⇒ v = − cos x Ta ∫ f ( x ) sin xdx = − f ( x ) cos x + ∫ f ′ ( x ) cos xdx x Theo hệ thức (1), suy f ′ ( x ) = π Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có hàm số thỏa mãn f ( x ) = πx ln π Câu 32 Chọn D Trên ( 0; +∞ ) ta có f ′ ( x ) = − x f ( x ) ⇔ −  ′ f ′( x) = x ⇔  ÷ ÷ = x f ( x)  f ( x)   ′ x2 ⇒ ∫  dx = xdx ⇔ = + C ÷ ∫ ÷ f ( x)  f ( x)  Có f ( 1) = f ( 2) > a+3 a+2 a+2 ⇒ = +C ⇔ C = = 2+ ⇒ f ( 2) = ; a+3 2 f ( 2) a+6 2−a ⇔ > ⇔ > ⇔ −6 < a < a+6 4 ( a + 6) x2 a + = + Do f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ a ≥ −2 Ta có f ( x) 2 Với a ∈ ¢ ⇒ a ∈ { −2; −1;0;1} Vậy tổng tất giá trị nguyên a cần tìm -2 Câu 33 Chọn C Cách 1: ur Đường thẳng d1 có vectơ phương u1 = ( 1; 2; −1) qua điểm M ( −1;3; −1) uu r Đường thẳng d2 có vectơ phương u2 = ( 3; −1; −1) qua điểm M ( 7;1;5 ) ur uu r uuuuuur ur uu r uuuuuur Ta có u1 ; u2  = ( −3; −2; −7 ) , M 1M = ( 8; −2;6 ) , u1 ; u2  M 1M = −62 ≠ nên d1 d2 chéo ur uu r uuuuuur u1 ; u2  M 1M   = 62 Khoảng cách d1 d2 d ( d1 , d ) = ur uu r u1 ; u2    Vậy d ( d1 , d ) = 62 Cách 2: ur Đường thẳng d1 có vectơ phương u1 = ( 1; 2; −1) qua điểm M ( −1;3; −1) uu r Đường thẳng d2 có vectơ phương u2 = ( 3; −1; −1) qua điểm M ( 7;1;5 ) ur uu r uuuuuur Ta có u1 ; u2  = ( −3; −2; −7 ) , M 1M = ( 8; −2;6 ) , Trang 13 ur uu r uuuuuur Suy u1 ; u2  M 1M = −62 ≠ nên d1 d2 chéo Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 r ur uu r Suy ( P ) qua M ( −1;3; −1) có vectơ pháp tuyến n = u1 ; u2  = ( −3; −2; −7 ) Phương trình ( P ) là: −3 ( x + 1) − ( y − 3) − ( z + 1) = ⇔ 3x + y + z + = Ta có d ( d1 , d ) = d ( M , ( P ) ) = 62 + + 49 = 62 Vậy d ( d1 , d ) = 62 Câu 34 Chọn B +) Xét phương trình x + ax + bx + cx + d = ( 1) , ( a, b, c, d ∈ ¡ ) +) Nhận thấy: Nếu z nghiệm ( 1) z nghiệm ( 1) +) Do đó, (1) có bốn nghiệm z1 = −1 + i, z2 = + 2i, z3 = z1 = −1 − i, z4 = z2 = − 2i  z1 + z3 = −2  z + z4 = +) Mà    z2 z4 =  z1.z3 = 2 +) Do x + ax + bx + cx + d = ( x + x + ) ( x − x + 3) ⇔ x + ax3 + bx + cx + d = x + x + x + Suy a = 0, b = 1, c = 2, d = hay a + b + c + d = Câu 35 Chọn D y ′ = x − 4mx = x ( x − m ) x = Xét y ′ = ⇔   x = ± m , ( m > ) ( ) ( Tọa độ ba điểm cực trị là: A ( 0; m − 1) , B − m ; − m + m − , C ) m ; −m + m − Gọi H trung điểm cạnh BC, ta có: S ∆ABC = AH BC = m m = ⇔ m = Câu 36 Chọn A π  Đặt t = sin x − cos x = sin  x − ÷ 4  π  π π  π 3π  Với x ∈  − ; ÷ ⇒ x − ∈  − ; ÷⇒ t ∈ − 2;  2  4  ( ) Khi phương trình cho trở thành f ( t ) = m − ⇔ f ( t ) = m −1 π  π 3π   Với giá trị t0 ∈ − 2; có giá trị x0 ∈  − ; ÷ cho t0 = sin  x0 − ÷ 4  4   ( ) Trang 14  π 3π  Do phương trình f ( sin x − cos x ) = m − có hai nghiệm phân biệt khoảng  − ; ÷  4  ⇔ phương trình f ( t ) = ( ) m −1 có hai nghiệm phân biệt khoảng − 2; Từ bảng biến thiên suy −4 < m −1 < ⇔ −7 < m < Vậy có 13 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 37 Chọn D 2 + Tô màu ô vuông số 2: có C3 cách chọn màu, có C4 cách tơ màu lên cạnh Vậy có C32 C42 = 18 cách + Tơ màu vng số 1,5,3: có C2 cách chọn màu lại, có C3 cách tơ màu lại lên cạnh lại hình vng Vậy có ( C21 C32 ) = 63 cách + Tơ màu vng số 4,6: Mỗi hình vng có cách tơ màu Vậy có 22 = cách Vậy có 18.63.4 = 15552 cách thỏa mãn Câu 38 Chọn A Cách 1: +) Gọi O tâm hình vng MNPQ, I = AP ∩ CO, H hình chiếu P CO +) d ( A, ( CNQ ) ) d ( P, ( CNQ ) ) = AI CA = = 2, suy d ( A, ( CNQ ) ) = 2d ( P, ( CNQ ) ) PI PO  NQ ⊥ PM ⇒ NQ ⊥ ( CPO ) ⇒ NQ ⊥ PH +) Ta có   NQ ⊥ CP  PH ⊥ NQ ⇒ PH ⊥ ( CNQ ) ⇒ d ( P, ( CNQ ) ) = PH +) Do   PH ⊥ CO +) Ta có PO = a ; CP = a Trang 15 PO.PC Vậy d ( A, ( CNQ ) ) = PH = PO + PC 2 = 2a Cách 2: Cách trắc nghiệm +) Gọi O tâm hình vng MNPQ, I = AP ∩ CO +) d ( A, ( CNQ ) ) d ( P, ( CNQ ) ) = AI CA = = 2, suy d ( A, ( CNQ ) ) = 2d ( P, ( CNQ ) ) PI PO +) Ta thấy PCNQ tứ diện vuông P nên Suy d ( A, ( CNQ ) ) = 2d ( P, ( CNQ ) ) =  d ( P, ( CNQ ) )  = 1 + + = 2 2 PC PN PQ a 2a Câu 39 Chọn B Gọi x số tiền mà Anh Bình trả tháng năm Số tiền nợ sau tháng: 200 ( + r ) − x Số tiền nợ sau tháng: ( 200 ( + r ) − x ) ( + r ) − x = 200 ( + r ) − x 1 + ( + r )  Số tiền nợ sau tháng: 200 ( + r ) − x 1 + ( + r ) + ( + r )  …………………………………… Số tiền nợ sau 24 tháng: 200 ( + r ) 24 23 − x 1 + ( + r ) + + ( + r )    Sau 24 tháng trả hết nợ nên: 200 ( + r ) 24 23 − x 1 + ( + r ) + + ( + r )  =   ⇔ 200 ( + r ) 24 ( 1+ r ) − x r 24 −1 = ⇔ x ≈ 9,137 (triệu đồng) Câu 40 Chọn A Cách 1: Ta có Ax ⊥ ( ABC ) By ⊥ ( ABC ) nên AA′ / / BB′ Gọi D ≡ A′B′ ∩ AB  BB′ =   AA′ ⇒ BB′ đường trung bình ∆AA′D  AA′ / / BB′ Lại có ∆ABC Do BD = BA = BC = a ⇒ ∆BCD cân B Gọi E trung điểm CD ⇒ BE ⊥ CD (1) BB′ ⊥ ( ABC ) ⇒ BB′ ⊥ CD (2) Từ (1) (2) ⇒ CD ⊥ ( BB′E ) ⇒ CD ⊥ B′E Trang 16 ( ABC ) ∩ ( A′B′C ) = CD  · ′ ⇒ (· ( ABC ) , ( A′B′C ) ) = (·BE , B′E ) = BEB Vì  BE ⊥ CD  B′E ⊥ CD  a Nhận thấy BE đường trung bình ∆ACD ⇒ BE = · Xét ∆BB′E có: tan BEB ′= BB′ · ′= = ⇒ cos BEB BE Cách 2: Ta có Ax ⊥ ( ABC ) By ⊥ ( ABC ) nên ∆ABC hình chiếu ∆A′B′C mp ( ABC ) · Do cos ( ( A′B′C ) , ( ABC ) ) = S ABC = S ∆ABC S ∆A′B′C 1 AB AC.sin BAC = a.a.sin 60° = a 2 A′C = A′A2 + AC = a 5; B′C = B′B + BC = a 2; A′B′ = AB + B′B = a ⇒ ∆A′B′C cân B′ ⇒ B′H = B′C − S A′B′C A′C a = S a 15 ′ ′ = B H A C = ⇒ cos (· ( A′B′C ) , ( ABC ) ) = ∆ABC = S ∆A′B′C Câu 41 Chọn D +) Gắn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ với O ( 0;0 ) , B ( 4;0 ) C ( 0;3) +) Khi elip ( E ) có độ dài trục lớn AB = 8, độ dài trục bé CD = Þ Phương trình ( E ) là: x2 y2 + = 16  3 +) Do PQ = 3 P, Q ∈ ( E ) , suy P  2; ÷ Lại có ÷   EF = ⇒ F ( 1;0 ) +) Phương trình parabol ( P1 ) đỉnh F có dạng: x = ky +  3 +) Vì parabol ( P1 ) qua điểm P  2; ÷ ÷ nên phương trình ( P1 ) là:   +) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ( P1 ) : x = y + 27 16 − x , y = 0, x = 0, x = Trang 17 Ta có S1 = ∫ 16 − x dx ≈ 5.73967 ( m ) 3 +) Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x − 1, y = 0, x = 1, x = 2 3 x − 1dx ≈ 1, 73205 ( m ) Ta có S = ∫ +) Diện tích trồng hoa là: S = ( S1 − S ) ≈ 16, 0305 ( m ) Vậy số tiền trồng hoa cho vườn khoảng 16, 0305.300000 ≈ 4809150 đồng Câu 42 Chọn D VABCD VAB′C ′D′ Ta có  AB AC AD  + + AB AC AD  AB′ AC ′ AD′ ÷   = ≤ = ÷  ÷ AB′ AC ′ AD′  ÷ 3   Do thể tích AB′C ′D′ nhỏ AB AC AD = = = AB′ AC ′ AD′ uuur uuu r 7 7 Khi AB′ = AB ⇒ B′  ; ; ÷ ( B′C ′D′ ) / / ( BCD ) 4 4 uuur uuur Mặt khác  BC , BD  = ( 4;10; −11) 7 1 7    Vậy ( B′C ′D′ ) :  x − ÷+ 10  y − ÷− 11 z − ÷ = ⇔ 16 x + 40 y − 44 z + 39 = 4 4 4    Câu 43 Chọn A g ( x ) = f ( x ) − x − 3x ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 3) Vẽ đường thẳng y = x + cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) điểm x = −2, x = −1, x = Nhìn vào đồ thị ta thấy S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = f ′ ( x ) , y = x + 3, x = −2, x = −1 Khi S1 = −1 −1 −1 −2 −2 −2 ∫ f ′ ( x ) − ( x + 3) dx = ∫ ( f ′ ( x ) − ( x + 3) ) dx > ⇒ ∫ g ′ ( x ) dx > ⇒ g ( −1) > g ( −2 ) S diện tích hình phẳng giới hạn y = f ′ ( x ) , y = x + 3, x = −1, x = Khi đó, S2 = ∫ f ′ ( x ) − ( x + 3) dx = −1 1 −1 −1 ∫ ( ( x + 3) − f ′ ( x ) ) dx > ⇒ ∫ g ′ ( x ) dx < ⇒ g ( −1) > g ( 1) Câu 44 Chọn A Trang 18 + Ta có w = z +1− i − i − 3w ⇔ izw + 3w = z + − i ⇔ z = , (do w = = −i không thỏa mãn) iz + iw − i + z =2 2⇔ − i − 3w = 2 ⇔ − i − 3w = 2 iw − iw − ⇔ − i − 3w = 2 i w + i ⇔ − i − 3w = 2 w + i (1) + Đặt w = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) , 2 2 ( 1) ⇔ ( − 3a ) + ( + 3b ) =  a + ( b + 1)  ⇔ a + b2 − 6a − 10b − = ⇔ ( a − ) + ( b − ) = 40 2 Vậy tập hợp tất điểm biểu diễn số phức w = z +1− i đường tròn có bán kính iz + 10 Note 43: Phương pháp chung Bước 1: Từ đẳng thức w = f ( z ) ta biến đổi đưa biểu thức dạng z = g ( w ) Bước 2: Lấy môđun hai vế sử dụng giả thiết z = a dễ dàng suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w Câu 45 Chọn C Ta có:  f ′ ( x )  + f ( x ) f ′′ ( x ) =  f ( x ) f ′ ( x ) ′ Từ giả thiết ta có:  f ( x ) f ′ ( x ) ′ = x3 + x   Suy ra: f ( x ) f ′ ( x ) = ∫ ( x + x ) dx = x + x + C Với f ( ) = ⇒ C = Nên ta có: f ( x ) f ′ ( x ) = x + x Suy ra: ∫ f ( x) f ( x ) f ′ ( x ) dx = ∫ ( x + x ) dx ⇔ = 16 ⇒ f ( 1) = 15 15 Note 44: Phương pháp chung Xu hướng chung biến đổi đẳng thức cho đưa đạo hàm ( f ( x) f ′( x) )′ để dùng phương pháp nguyên hàm tìm hàm số y = f ( x ) Câu 46 Chọn D Ta có: log  f ( x ) + m +  + f ( x ) > − m ⇔ log  f ( x ) + m +  + f ( x ) + m + > log 5 + (*) Xét hàm số y = g ( t ) = log t + t ( t > ) Ta có g ′ ( t ) = + > 0, ∀t > suy hàm số y = g ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) t ln Khi ( *) ⇔ f ( x ) + m + > ⇔ f ( x ) > − m Trang 19  x = −1  Xét hàm số y = f ( x ) Ta có f ′ ( x ) = ⇔  x =  x = Ta có bảng biến thiên Từ đồ thị hàm số, suy ∫ −1 f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx ⇒ ⇒ f ( x) −1 ∫ −1 f ′ ( x ) dx < − ∫ f ′ ( x ) dx < − f ( x ) > f ( 4) Bất phương trình (*) với x ∈ ( −1; ) f ( 4) ≥ − m ⇔ m ≥ − f ( 4) Note 45: Phương pháp chung Bước 1: Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để rút mối liên hệ Bước 2: Cô lập tham số m tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ để đưa kết luận Câu 47 Chọn B Gọi M trung điểm AA′ Ta có AC = AB + BC = + = = A′C Do tam giác AA′C cân C Dựng A′E ⊥ AC , ( AA′C ′C ) vng góc với đáy nên A′E ⊥ ( ABCD ) Lấy F ∈ AB cho FE ⊥ AC , mà FE ⊥ A′E nên FE ⊥ ( ACC ′A′ ) , suy FE ⊥ AA′ Dựng EG ⊥ AA′ mà FE ⊥ AA′ nên FG ⊥ AA′ Do góc · mặt phẳng ( AA′C ′C ) ( AA′B′B ) góc EGF · = Ta có: tan EGF EF EF BC · = ⇒ EG = EF , mà tan EAF = = = ⇒ EA = EF EG EA AB EF GE 2 MC Từ suy ra: sin GAE · = = = = ⇒ MC = 2 AE AC EF AM = AC − MC = − = ⇒ AA′ = Trang 20 · Ta có: sin GAE = 2 A′E A′E = = ⇒ A′E = AA′ Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD A′B ′C ′D′ V = A′E AB.BC = = Note 46: Phương pháp chung Sử dụng kiến thức góc để xác định góc từ tính tốn yếu tố diện tích đáy chiều cao Khi sử dụng cơng thức thể tích lăng trụ V = S h Câu 48 Chọn D Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng ( PQR ) Dễ thấy 1 1 1 = + + = hay OH = 2 2 2 suy OH OP OQ OR OH Khi suy mặt phẳng ( PQR ) ln tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tâm O, bán kính z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ; x + yi ≠ x2 y2 x2 Ta có ( C ) nên điểm nằm mặt cầu + = ⇒ y = ±4 − 25 16 25 4 x2  S = ∫  36 − x − − ÷dx ; 30, 03m  25 ÷ 0    f ( 0) = c −1   a + b = a = −     , tam giác ⇔  Gọi  f ( 1) = a + b + c + trung điểm ⇒  cân O nên −  4a + 2b = b =    3  f ( ) = 4a + 2b + c + f ( x) = x − x + x + c 2 Đặt g ( x ) , ( 0;1) nên g ′ ( x ) = xf ′ ( x + ) f ′  f ( x + )  ≤ ∀x ∈ ( 0;1) Ta có f ′ ( x ) = x −x+ Xét hàm số ∀x ∈ ( 0;1) với g ′ ( x ) ≤ ⇔ f ′  f ( x + )  ≤ Có < x < ⇒ < x + < với f ′ ( x ) > 0∀x ∈ ( 2;3) f ( x ) Suy diện tích tam giác ( 2;3) lớn f ( ) < f ( x + ) < f ( 3) đạt M trung điểm − ≤ f ( ) < f ( 3) ≤ + 3 Trang 21   f ( 2) ≥ −  Cách ⇔   f ≤ 1+  ( ) 3 3 với ⇒ − ≤ c ≤ 1+ 3 3 Note 47: Phương pháp chung Bước 1: Xác định yếu tố thay đổi tốn tính tốn yếu tố đề yêu cầu theo biến số, cụ thể biến x Bước 2: Khảo sát biến thiên hàm biến x để suy giá trị lớn giá trị nhỏ Câu 49 Chọn C Điều kiện: c + max c = Phương trình trở thành: A′M , B′N , CC ′ VABC A′B′C′ TH1: x = Phương trình ⇒ VS A′B′C ′ = (Vơ lí) 3( 1− k ) TH2: ( x + ) + ( y − 1) + z = Phương trình I1 = ( −5;1;0 ) 2 Đặt R1 = x + ( y + ) + ( z − 3) = 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, ta thấy: I = ( 0; −2;3) Note 48: Phương pháp chung Bước 1: Sử dụng phép biến đổi để cô lập m Bước 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, sau xét tương giao Câu 50 Chọn C Xét trường hợp R2 = 6, phương trình khơng nhận giá trị âm ( x + 1) + y + ( z − ) = làm nghiệm Thật vậy, I = ( −1;0; ) mà R3 = Suy loại M ( x; y; z ) 2 Xét trường hợp MX = I1M − R1 MX = ( x + ) + ( y − 1) + z − 2 Đặt ⇔, MY = x + ( y + ) + ( z − 3) − 2 Trang 22 x x Khi f ′ ( x ) = ln + ln − a, ∀x ∈ ¡ MZ = I M − R32 Đặt ⇔ MZ = ( x + 1) + y + ( z − ) − 2 Suy hàm số MX = MY đồng biến ⇔ Lại có MX = MY ⇔ ur Suy với giá trị x − y + z + = phương trình M ln có nghiệm n1 = ( 5; −3;3) Ta có phương trình MY = MZ có nghiệm Mà MY = MZ ⇔ nên x − y − z + = M Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x ) đạt giá trị nhỏ x − y − z + = 0, ta kết hợp với điều r ur uu r uu r kiện đề n2 = ( 2; −4; −2 ) u =  n1 , n2  = ( 8;16; −14 ) nên ta suy M ( 9;8; −7 ) giá trị để y ′ = ( − x ) f ′ ( x − x ) = x =   x − x = −4 ⇔ D = ( −m; +∞ ) t = log ( x + m ) Suy  x − x = giá trị để   x − x = ( 3x − 5) t + ( x − 19 ) t − 12 = Suy ( x − ) t + ( x − 15 ) t − 4t − 12 = Như ( x − ) t ( t + 3) − ( t + 3) = giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Suy mệnh đề ⇔ ( t + 3) ( x − ) t −  = Note 49: Phương pháp chung Bước 1: Chia trường hợp biến số thực phép biến đổi để cô lập tham số m Bước 2: Khảo sát biến thiên hàm số sau cô lập để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Trang 23 ... 2m Chi phí để trồng hoa vườn 300.000 đ/m2 Hỏi số tiền trồng hoa cho vườn gần với số tiền đây? A 4. 477 .800 B 4. 477 .000 C 4. 477 .815 D 4.809.142 Câu 42 Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có. .. ) m −1 có hai nghiệm phân biệt khoảng − 2; Từ bảng biến thi n suy −4 < m −1 < ⇔ 7 < m < Vậy có 13 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 37 Chọn D 2 + Tô màu ô vuông số 2: có C3... 35D 45C 6C 16A 26A 36A 46D 7D 17D 27A 37D 47B 8B 18B 28B 38A 48D 9B 19B 29B 39B 49C 10B 20A 30B 40A 50C + ( − ( −1) ) + ( − ) = 2 Câu Chọn C 1 − x > x <  ⇔ ⇔ x < Ta có: log ( − x ) < ⇔  1