MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT MÔN VẬT LÝ

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT MÔN VẬT LÝ.....................................................................,. đây là tài liệu huuwx ích đối với những bạn nào đang ôn tập thi các cuôc thi hsg các cấp đặc biệt là thi hsg quốc gia

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT MÔN VẬT LY Nguyễn thị nguyệt nga Bài toán Một cứng đồng chất tiết diện đều, chiều dài L, khối lượng M đặt đầu sàn nằm ngang, đầu tường thẳng đứng Ban đầu giữ cho lập với phương thẳng đứng góc α Bỏ qua ma sát Thả tự do, xác định: a Phản lực sàn tường lên sau thả b Góc phương thẳng đứng thời điểm rời khỏi tường Giải Chọn hệ trục tọa độ xOy hình vẽ Ban đầu hợp với phương thẳng đứng góc α , thời điểm góc ϕ Áp dụng định luật bảo toàn năng: MvG I Gω MgL cos ϕ MgL cos α + + = 2 2 Trong I G = y ML L , vG = ω (vì khối tâm G 2 quay quanh O với bán kính L/2) uu u r N2 α Từ g ( cos α − cos ϕ ) L gω sin ϕ g sin ϕ ⇒ 2ωγ = ⇔γ = L 2L ω2 = (1) u r P uu r N1 x (2) Mặt khác L L sin ϕ ⇒ xG// = ( γ cos ϕ − ω sin ϕ ) 2 L L yG = cosϕ ⇒ yG// = ( −γ sin ϕ − ω 2cosϕ ) 2 xG = (3) (4) Áp dụng định luật Niu tơn theo hai phương ox oy với lưu ý phương trình (1) (2) (3) (4)ta Trang  3Mg  sin ϕ N1 = Mg − My = Mg − + cosϕ sinϕ − cos 2ϕ ÷    // G N = MxG// = 3Mg sin ϕ  3cosϕ  − cosα ÷    Khi vừa thả ϕ = α nên 3Mg sinα 3Mgsin2α N2 = N1 =Mg- Khi rời khỏi tường N = ⇒ cosϕ = cosα Bài toán (HSG QG 2008) Sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể, vắt qua ròng rọc cố định, hai đầu buộc vào hai vật khối lượng m1 m2 (m1< m2) Ròng rọc có khối lượng M, bán kính R có khe hẹp để phanh lại chốt G găm vào Biết hệ số ma sát trượt dây ròng rọc k Bỏ qua ma sát ổ trục ròng rọc Lúc đầu, ròng rọc chốt lại, hệ trạng thái cân Khi chốt G rời nhẹ rịng rọc, hệ bắt đầu chuyển động Tính gia tốc a vận tốc vật ròng rọc quay vòng Ngay sau quay vòng, chốt G lại găm tức thời vào khe ròng rọc làm cho dây bị trượt ròng rọc Biết đoạn dl phần dây tiếp xức với rịng rọc lực căng T dây biến thiên lượng theo quy luật dT = k Tdl R Hãy xác định gia tốc a/ vật lực căng T , T2 điểm A B tương ứng nơi dây bắt đầu tiếp xúc với rịng rọc Tính vận tốc vật sau thời gian t kể từ thời điểm dây bị trượt ròng rọc Giải 1.Phương trình động lực học vật Trang a  (T2 − T1)R = I β = I R  (1) P2 − T2 = m2a T − P = ma  1  Giải hệ (1) ta thu kết a= ( m2 − m1 ) g m1 + m2 + M Khi ròng rọc quay vòng, vật m1 m2 quãng đường s = 2πR Vận tốc vật m1 m2 lúc v = 2as = 4πR ( m2 − m1 ) g M m1 + m2 + 2 Các phương trình động lực học P2 − T2 = m2a' (2) T1 − P1 = ma' (3) Do có ma sát dây với nửa vòng tròn ròng rọc nên lực căng dây điểm khác khác nhau, tăng dần từ A đến B Xét đoạn dây dl, biến thiên lực căng T2 π dT = kdϕ dT = kTdϕ⇒ ∫ T ∫0 T1 kπ Từ T2 = T1e Kết hợp với phương trình (1), (2), (3) giải ta có ( m − me ) g a' = kπ kπ m2 + me T1 = m1 ( a'+ g) T2 = m1 ( a'+ g) ekπ / Vận tốc vật xác định v = v0 + a t , v0 vận tốc thời điểm dây bắt đầu trượt Ta có Trang v0 = 4πR ( m2 − m1 ) g M m1 + m2 + Từ vận tốc vật ( ) kπ 4πR ( m2 − m1 ) g m2 − me v= + gt kπ M m + me m1 + m2 + Bài toán (HSG QG 2010) Một cứng AB đồng chất, tiết diện đều, khối lượng M, chiều dài AB=L có gắn thêm vật nhỏ khối lượng m=M/4 đầu mút B Thanh treo nằm ngang hai sợi dây nhẹ, O2 O1 α0 không giãn O1A O2B (hình vẽ) Góc hợp dây O1A phương thẳng đứng α M A a Tính lưc căng T0 dây O1A B b Căt dây O2B, tính lực căng T dây O1A gia tốc góc sau cắt Giải Hệ vật nặng có khối tâm G với vị trí xác định cách A khoảng AG: AG = 3L Momen quán tính hệ với trục quay qua G (áp dụng định lí Say nơHuyghen): IG = 8mL2 15 a Khi cân bằng, xét với trục quay qua điểm B vng góc với mặt phẳng hình vẽ Từ phương trình momen, có: Trang m P.BG − T0 L cos α = ⇒ T0 = 2L = 2mg L cos α cos α ( M + m) g (1) b Tại thời điểm t = dây O 2B vừa bị cắt, chưa di chuyển, điểm A có vận tốc Điểm A có gia tốc theo phương vng góc với dây O1A r r r Xét điểm G, có gia tốc: a G = a A + a G / A Trong hệ quy chiếu đất, với trục quay qua khối tâm G, trình chuyển động quay sau cắt dây, có phương trình momen, thời điểm ban đầu: T.AG.cosα = I G γ G T.AG.cosα ⇒ γG = γA = γ = (2) IG Phương trình ĐLII Newton: r r r r P + T = ( M + m) ( aA + aG/A ) r Chiếu lên phương dây O1A, với a G / A hướng hình vẽ, ta được: ( M + m ) g cos α − T = ( M + m ) γ.AG.cosα (3) Thay (2) vào (3) tính được: T= ( M + m ) g cos α0 M + m ) AG cos α ( 1+ (4) IG Thay giá trị AG IG tính vào (4) tính được: T.AG.cosα 45gcos 2α 40mg cos α = T= γ = IG + 27 cos α ( 8+27cos2α0 ) L Bài toán (HSG QG vịng 2, 2011) Một lắc vật lí có khối lượng M, khối tâm G quay quanh trục nằm ngang qua điểm O nằm lắc Momen quán tính lắc trục quay I Biết khoảng cách OG = d Con lắc Trang thả từ vị trí có OG hợp với phương thẳng đứng góc α = 600 (G phía O) Bỏ qua ma sát trục quay lực cản môi trường Tính độ lớn phản lực trục quay lên lắc OG hợp với phương thẳng đứng góc α Tính gia tốc tồn phần lớn khối tâm lắc trình dao động Khi lắc vị trí cân chịu tác dụng xung lượng x lực F thời gian ngắn ∆t theo phương qua điểm A trục OG (lực F hợp với OG góc β, xem hình vẽ) a) Xác định xung lượng lực trục quay tác dụng lên lắc thời gian tác dụng ∆t b) Xác định góc β vị trí điểm A để xung lượng lực tác dụng lên trục quay không Giải r r r Chiếu phương trình động lực học Mg + F = Ma lên phương: Ox tiếp tuyến với quỹ đạo khối tâm: Mγd = Ft − Mg sin α (1) Oy trùng với phương GO: Mω2d = Fn − Mg cos α (2) Phương trình chuyển động quay : Iγ= - Mgdsinα (3) Từ(1) (3) suy ra: Ft = Mg ( − A ) sin α , với A = Md (4) I Định luật bảo toàn lượng: Iω2 = Mgd ( cosα- cosα ) (5) Từ (2) (5) ta có: F = Ft + Fn = Mg { ( − 2A ) cosα+2Acosα } + ( − A ) 2 Gia tốc khối tâm: Trang sin 2α a = a 2n + a 2t = ( ω d ) + ( γd ) 2 = gA − 8cos α.cosα + 3cos α + 4cos α Khi α0 = 600 có a = gA − 4cos α + 3cos α Hàm cực đại α = , a max = Mgd I a Phân tích xung lượng X0 lực trục quay tác dụng lên lắc thành hai thành phần XOy, XOxtheo phương thẳng đứng Oy phương ngang Ox Áp dụng định lý biến thiên động lượng mômen động lượng với v x, vylà thành phần vận tốc khối tâm sau va chạm: Mv Gx = X sin β + X Ox (1) X Oy = X cos β I (2) vGx = lX sin β d (3)  Mld  2 Từ đó, độ lớn X0 : X O = XOx + X Oy =X  − 1÷ sin 2β + cos 2β  I  Ở l=OA b Để trục quay không chịu tác động xung lực X cần hai điều kiện X Oy = ⇒ β = 900 X Ox = ⇒ X O = Từ l = OA = I Md Bài tốn ( HSG QG vịng 1, 2011) Cho vật mỏng đều, đồng chất, uốn theo dạng lịng máng thành phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có trục ∆, bán kính R gắn với điểm O cứng, mảnh, nhẹ Vật quay khơng ma sát quanh trục cố định (trùng với trục ∆) qua điểm O Trên hình vẽ, OA OB cứng độ dài R, OAB nằm mặt phẳng vng góc với trục ∆, chứa khối tâm G vật 1, C giao điểm OG lịng máng Tìm vị trí khối tâm G vật Giữ cho vật cố định đặt vật hình trụ rỗng, mỏng, đồng chất, chiều dài với vật 1, bán kính r nằm dọc theo đường sinh vật Kéo vật lệch khỏi vị trí cân góc nhỏ thả nhẹ Trang a) Tìm chu kì dao động nhỏ vật Biết q trình dao động, vật ln lăn không trượt vật b) Biết hệ số ma sát nghỉ vật vật Tìm giá trị lớn góc để q trình dao động điều hồ, vật khơng bị trượt vật Thay vật vật nhỏ Vật nằm mặt phẳng OAB Kéo cho vật vật lệch khỏi vị trí cân cho G vật nằm hai phía mặt phẳng thẳng đứng chứa ∆, với góc lệch hình vẽ, thả nhẹ Bỏ qua ma sát Tìm khoảng thời gian nhỏ để vật tới C Giải Do tính đối xứng, ta thấy G nằm đường thẳng đứng Oy nên cần tính tọa độyG = OG vật Xét phần tử dài dl, có khối lượng dm = 2m 2m dl = dα πR π Theo cơng thức tính tọa độ khối tâm ta có: yG = m π ∫ R cos α −π 2m 2R dα = π π Xét vật vị trí ứng với góc lệch β Gọi ϕ góc mà vật tự quay quanh Chọn chiều dương tất chuyển động ngược chiều kim đồng hồ Lực tác dụng lên vật gồm: trọng lực, phản lực, lực ma sát nghỉ Phương trình chuyển động khối tâm vật xét theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo: m a = Fms − m g sin β Vì β nhỏ sin β ≈ β (rad) ⇒ m ( R − r ) β // = Fms − m 2gβ (1) Phương trình chuyển động quay khối trụ nhỏquanh khối tâm: m r ϕ// = Fms r (2) Điều kiện lăn không trượt: ( R − r ) β// = −rϕ// (3) Thay (2) (3) vào (1) ta được: Trang β // + g β = (4) 2( R − r) Nghiệm (4) có dạng dao động điều hịa với chu kì T = 2π 2( R − r ) g Từ (2) ta có Fms = m rϕ// = −m ( R − r ) β // = m gβ (5)  Phản lực: N = m 2gcos β = m 2g 1 −  β2  (6) ÷  Điều kiện lăn khơng trượt Fms ≤ µN β Từ − β2 ≤ µ với ∀β∈ ( 0, β0 ) 1 Hay β0 ≤  + 1 ữ à2 ữ Xét thời điểm khối tâm vật vật có li độ góc tương ứng α, θ Phương trình chuyển động vật theo phương tiếp tuyến với hình trụ m Rθ // = − m3gθ (1) g Nghiệm (1) θ = θ0 cosω0 t với ω0 = R Phương trình chuyển động G quanh O m1R α // = − m1gR 2 α (2) π Nghiệm (2) α = α0 cosω1t với ω1 = 2g πR Góc lệch vật so với phương OG  ω − ω1   ω + ω1  γ = α − θ = 2α 0cos  t ÷cos  t÷     π Khi vật tới C γ = Từ đó: t = ω + ω 1 Ví dụ (Trích đề HSG QG vịng 2, 2012) Cho vành hình trụ mỏng đều, đồng chất, bán kính R có khối lượng M Trong lịng vành trụ có gắn cố định A cầu nhỏ (bán kính nhỏ so với R), Trang C A α0 khối lượng m Biết A nằm mặt phẳng mà mặt phẳng vng góc với trục hình trụ qua khối tâm C vành hình trụ Người ta đặt vành trụ mặt phẳng nằm ngang Biết gia tốc rơi tự g Giả thiết khơng có ma sát vành trụ mặt phẳng Đẩy vành trụ cho AC nghiêng góc α o so với phương thẳng đứng buông cho hệ chuyển động với vận tốc ban đầu khơng (Hình 1.a) a) Tính động cực đại hệ b) Viết phương trình quỹ đạo A hệ quy chiếu gắn với mặt đất c) Xác định tốc độ góc bán kính AC AC lệch góc α (α< α o) so với phương thẳng đứng Giải Vì khơng có ma sát, ngoại lực tác dụng lên hệ theo phương thẳng đứng, nên vị trí theo phương ngang khối tâm G không đổi a Áp dụng định luật bảo toàn năng, động cực đại hệ độ giảm cực đại vật m Wd max = mgR ( − cosα ) b Chọn hệ tọa độ xOy đứng yên với mặt đất có Oy qua khối tâm G, Ox qua tâm C vành Gọi tọa độ m (x, y) tâm C vành M (X, Y) Khi CA lệch phương thẳng đứng (Oy) góc α x=− M X m x + X = R sin α nên y suy M x= R sin α (1) M+m A Và y = R ( − cosα ) (2) Từ (1) (2) thay vào hệ thức sin α + cos 2α = qui chiếu gắn với mặt đất x2 Trang 10 x α B ta thu phương trình quỹ đạo m hệ y2 + =1  M  R R÷  M+m  C O G (3) Phương trình (3) mơ tả quỹ đạo chuyển động m elip bán trục lớn R dọc theo Oy bán trục nhỏ M R dọc theo Ox M+m c Vì khơng có ma sát, khối tâm G chuyển động theo phương thẳng đứng nên vận tốc điểm G theo phương thẳng đứng Điểm tiếp xúc B có vận tốc theo phương ngang, từ tâm quay tức thời K thời điểm góc lệch AC phương thẳng đứng α xác định hình vẽ Động hệ C A G K B Wd = 1 I K ω2 = ( M.R + M.CK + m.KA ) ω2 (1) 2 Trong đó: CK = mCG.cosα = m R cos α (2) m+M KA = CK + R − 2.R.CK.cosα (3) Áp dụng định luật bảo tồn ta có mgR ( cosα-cosα ) = I K ω2 (4) Thay (1), (2), (3) vào (4) thu biểu thức tốc độ góc bán kính CA ω= 2mg ( cosα-cosα )   m 2  R ( m + M ) 1 −  ÷ cos α    M + m   Trang 11 Trang 12 ... A có gia tốc theo phương vng góc với dây O1A r r r Xét điểm G, có gia tốc: a G = a A + a G / A Trong hệ quy chiếu đất, với trục quay qua khối tâm G, trình chuyển động quay sau cắt dây, có phương... định đặt vật hình trụ rỗng, mỏng, đồng chất, chiều dài với vật 1, bán kính r nằm dọc theo đường sinh vật Kéo vật lệch khỏi vị trí cân góc nhỏ thả nhẹ Trang a) Tìm chu kì dao động nhỏ vật Biết... nên cần tính tọa độyG = OG vật Xét phần tử dài dl, có khối lượng dm = 2m 2m dl = dα πR π Theo cơng thức tính tọa độ khối tâm ta có: yG = m π ∫ R cos α −π 2m 2R dα = π π Xét vật vị trí ứng